北京2026年中考数学二轮复习热点05 填空压轴题（多空与逻辑推理3大题型）（热点专练）（解析版）

热点05填空压轴题（多空与逻辑推理）

热点聚焦方法精讲能力突破

第一部分热点聚焦·析考情

第二部分题型引领·讲方法

题型01表格信息逻辑推理题

题型02图表信息逻辑推理题

题型03文字信息逻辑推理题

第三部分能力突破·限时练

近三年:填空压轴题考点高度稳定：2023年：为多函数结合判定，侧重代数综合

2024-2025年：考查实际应用的方案规划，含两问，第二问为策略性逻辑分析（如最优方案选择），强调

在实际情境中运用数学思维。

2026年预测：延续"方案规划"风格，可能融入生活场景（如时间优化、资源分配、经济决策），要求提炼

数学模型。逻辑推理要求提升：第二问强调策略分析而非单纯计算，考查严谨的论证能力。

可能出现新形式：参考2025年部分城区模拟题，填空压轴题可能与跨学科情境（如物理背景、社会调查数

据）结合。

备考建议:1.强化逻辑分析：练习"最优方案选择""最少步骤规划"类题目，养成"先分析、后计算"的习惯。

2.关注情境应用：多接触利润、行程、资源配置等实际问题，训练提炼数学模型的能力。

题型01表格信息逻辑推理题

解题策略

此类题考查了方程相关的逻辑推理题，利用表格找到等量关系，综合判断，最终选择最为合适的方案。

找到问题的最优解。

例1（2025·九·北京石景山京源学校·零模）尊老敬老是中华民族的传统美德，某校文艺社团的同学准备在“五

一”假期去一所敬老院进行慰问演出，他们一共准备了6个节目，全体演员中有8人需参加两个或两个以上

的节目演出，情况如下表：

演员1演员2演员3演员4演员5演员6演员7演员8

节目A√√√√√

节目B√√√

节目C√√√

节目D√√

节目E√√

节目F√√

从演员换装的角度考虑，每位演员不能连续参加两个节目的演出，从节目安排的角度考虑，首尾两个节目

分别是A，F，中间节目的顺序可以调换，请写出一种符合条件的节目先后顺序___________（只需按演出

顺序填写中间4个节目的字母即可）．

【答案】EBDC/ECDB

【来源】2025年北京市石景山区京源学校九年级中考数学零模试卷

【分析】根据题意，可先确定第二个节目为节目E，继而确定第三个节目和第五个节目的可能性，最后确定

了第四个节目，即可得到答案．

【详解】由题意得，首尾两个节目分别是A，F，节目A参演演员有1、3、5、6、8，节目F参演演员有5、

7，

由于从演员换装的角度考虑，每位演员不能连续参加两个节目的演出

故可先确定第二个节目为不含演员1、3、5、6、8的节目，即节目E；

第三个节目为不含2、7的节目，即节目B或C

第五个节目为不含5、7的节目，即节目B或C

所以，可确定第四个节目为节目D

综上，演出顺序为节目AEBDCF或AECDBF

故答案为：EBDC或ECDB（写一种即可）．

【点睛】本题考查了统计表、利用信息做出决策或方案，能够正确理解题意是解题的关键．

【变式1】．（2025·北京汇文中学·三模）某工厂需要生产三种产品A，B，C，每种产品的生产分为两个阶

段：第一阶段是制作，第二阶段是包装，每种产品在每个阶段所需的时间（单位：小时）如表所示：

ABC

制作10812

包装6108

若由一名工人单独完成三种产品的生产，那么总共需要_____小时；若由两位工人合作完成这三种产品的生

产，每个阶段由一个人单独完成，每种产品制作完才可以包装，那么完成这三种产品的生产最少需要_____

小时．

【答案】5428

【来源】2025年北京汇文中学中考三模数学试题

【分析】三种产品各个阶段所需时间相加即可；一人依次完成A产品第一阶段，B产品的第一阶段，C产

品的第二阶段，另一人依次完成C产品第一阶段，A产品的第二阶段，B产品的第二阶段，则至少需要28

小时．

【详解】解：10681012854（小时）；

当由两位工人合作完成时，一人依次完成A产品第一阶段，B产品的第一阶段，C产品的第二阶段，另一

人依次完成C产品第一阶段，A产品的第二阶段，B产品的第二阶段，则至少需要1261028（小时）．

故答案为：54；28．

【变式2】．（2024·北京平谷·二模）某校航模小组的同学正在为即将开始的航模比赛做最后的准备．已知

准备工作共有A，B，C，D，E，F，G，H，M，N十项工序，准备工作完成过程需要满足以下要求：

（1）H只能在A、B、C工序均完成后才能完成；

（2）M只能在C、D、E工序均完成后才能完成；

（3）其余每项工序相互独立，之间没有干扰；

（4）一项工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序．

各项工序所需时间如下表所示：

工序ABCDEFGHMN

所需时间/分钟1815166758323

在不考虑其他因素的前提下，若由若干名学生合作完成准备工作，则至少需要________分钟才能全部完成；

若要在最短的时间内合作完成准备工作，则最少需要________名学生共同参与．

【答案】214

【来源】2024年北京市平谷区中考二模数学试题

【分析】本题考查了逻辑推理与时间统筹，根据加工要求得出加工顺序是解题的关键．

将所有工序需要的时间最少时间由最长工序时间决定，完成过程需要满足条件可知：可知需要先完成A，再

完成H；然后再合理安排其他时间即可．

【详解】解：由题意得：可知需要先完成A，再完成H，完成时长为183=21（分钟）；若要在最短的时

间内合作完成准备工作，需要四名学生，具体安排如下

图：

故答案为：21，4．

【变式3】．某公园划船项目收费标准如下：

两人船四人船六人船八人船

船型

（限乘两人）（限乘四人）（限乘六人）（限乘八人）

每船租金

90100130150

（元/小时）

若家庭3人想划船，最少需准备租船费用_____元；若某班18名同学一起去该公园划船，且每人划船的时间

均为1小时，则租船的总费用最低为_____元．

【答案】100380

【来源】北京市首都师范大学附属中学九年级中考三模数学试卷

【分析】本题考查了有理数运算的实际应用，解题关键是对船型进行分析，找出总费用最低的租船方案．

家庭3人想划船，四人船最划算；该班18名同学一起去该公园划船，八人船最划算，其次是六人船，计算

出总费用最低的租船方案即可．

【详解】解：家庭3人想划船，四人船最划算，租船的总费用为100（元）；

该班18名同学一起去该公园划船，

可以租用：四人船、六人船、八人船各1艘，

租船的总费用为100130150380（元）

故答案为：100，380．

【变式4】．（2025·北京东城·二模）图为一个33的开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，每次

只能按一个开关．按任意一个开关一次将导致自身和所有相邻(上、下、左、右)的开关改变状态．例如，按

开关E，一次将导致B，D，E，F，H改变状态．如果按任意一个开关一次，则至少导致_____个开关改变

状态；如果要求只改变A，E，I的状态，则最少按_____次开关．

【答案】33

【来源】2025年北京市东城区九年级中考二模数学试卷

【分析】本题考查数学逻辑，将位置分为三类：四个角位置(A、C、G、I)，中心位置E和靠正方形四边中

点的位置，然后逐类分析即可知最受影响几个开关，按“按1次，按2次，按三次……”的思维顺序分析即可

得解．

【详解】解：根据题意可知：导致改变状态的开关最少，应该按四个角的开关，即开关A、D、G、I，此时

受影响的开关只有三个，

首先A，E，I的状态三者不相邻，因此一次是不可能的，

其次考虑按两次开关，分为3种情况，其他通过旋转对称可以同理推导视为一种，按一次后的三种情况如

下图所示：其中改变状态的用阴影表示：

这三种情况都不可能再按一次就只改变A，E，I的状态，

三次是可行的，方法如下，其中相比上一步改变状态的用阴影表示：

说明：这三步的顺序可以任意交换，都可以完成要求．

综上所述：如果按任意一个开关一次，则至少导致3个开关改变状态；如果要求只改变A，E，I的状态，

则最少按3次开关．

故答案为：3；3．

题型02图表信息逻辑推理题

解题策略

主要考查了逻辑与推理，理解题意列举出所有的顺序情况是解题的关键．与图形结合增加了该题的趣味

性，适当的作图可以帮助更好的找到该类题的解题思路。

例1（2025·北京三帆中学·三模）如图所示，在一个半径为1m的圆形轨道所在平面内，垂直立一根柱子，设

轨道到柱子的最近距离为dd0，在圆形轨道上有精密测距仪，可以在轨道的不同的n个位置测量离柱

子的距离h，用h1，h2，，hn表示n个不同位置测量的距离．

当h1h2hn1hn时，此时为轨道与柱子的最佳位置，此时的d为最佳距离．

（1）当最佳距离d1m时，hn的最大值为______；

（2）当n的最大值为6时，最佳距离d的范围是______．

【答案】3m0.4md0.5m

【来源】2025年6月北京市三帆中学中考三模数学试卷

【分析】本题考查圆上一点到圆外直线的距离，解题的关键是正确理解题意．

（1）根据圆的性质，当最佳距离d1m时，利用圆上一点到圆外一点距离的最值关系求解hn最大值；

（2）根据h1h2hn1hn以及圆上点到圆外一条直线的距离的取值范围，结合n的最大值为6，建立不

等式求解，即可得最佳距离d的范围．

【详解】（1）解：如图，轨道圆心记为点O，立柱所在直线记为MN，作OHMN，与O交于点B，点

A，与MN交于点H，

根据题意可知，OAOB1m，dAH

∴ABOAOB112m，

当最佳距离d1m时，AH1m，

∴BH213m，

∴1mh3m，

hn的最大值为3m，

故答案为：3m．

（2）解：当n6时，h1h2h3h4h5h6，

根据题意可得，dhd2m，

∵h1h2h3h4h55d，h6d2m，

∴5dd2m，

∴d0.5m，

当n的最大值为6时，

h1h2h3h4h5h66d，h7d2m

∴6dd2m，

∴d0.4m，

∴0.4md0.5m，

故答案为：0.4md0.5m．

【变式1】．（2025·北京海淀二十中学·模拟）现有一半径10米的圆形场地，建立如图所示的平面直角坐标

系xOy，场地圆心A的坐标为53,5．机器人在该场地中（含边界），根据指令s,s0,0180

完成下列动作：先朝其面对的方向沿直线行走距离s，再在原地逆时针旋转角度，执行任务．机器人位于

坐标原点O处，且面对x轴正方向．

（1）若给机器人下达指令4,90，则机器人至少重复执行_____次该指令能回到坐标原点O处；

（2）若机器人重复执行2次相同指令后位于圆心A处，则应给机器人下达的指令是_____．

103

【答案】4,60

3

【来源】2025年北京市海淀区第二十中学九年级数学中考模拟试卷

【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形、三角形外角的性质等知

识点，根据题意正确画出图形是解题的关键．

（1）根据题意以及旋转的定义画出图形即可解答；

（2）如图，先解直角三角形得到AOD30，再根据题意以及等边对等角、三角形外角的性质得到

103

ACD60，再解直角三角形求得OCAC即可解答．

3

【详解】解：（1）如图，给机器人下达指令4,90，第一次到达4,0的位置，第二次到达4,4的位置，

第三次到达0,4的位置，第四次到达0,0的位置，

∴机器人至少重复执行4次该指令能回到坐标原点O处，

故答案为：4．

（2）如图：

∵场地圆心A的坐标为53,5，

∴AD5,OD53，

AD53

∴tanAOD，即AOD30，

OD533

∵机器人重复执行2次相同指令后位于圆心A处，

∴OCAC，

∴CAOAOD30，

∴ACD60，

ADAD5103

OCAC

∴sinACDsin6033，

2

103

∴给机器人下达指令是,60．

3

103

故答案为：,60．

3

【变式2】．（2025·北京东城·一模）快递员小明每天从快递点P骑电动三轮车到A，B，C三个小区投送

快递．每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点P．P，A，B，C之间的距离（单位：km）如图所示．

（1）若小明按照P→B→A→C→P的路线骑行，则小明骑行的距离为___________km；

（2）小明骑行的最短距离为___________km．

【答案】6.25.2

【来源】北京市东城区2024-2025学年下学期九年级一模数学试卷

【分析】本题涉及到距离的计算．

（1）直接将路线中各段距离相加即可；

（2）需要找出所有可能的路线，计算其距离，再比较得出最短距离．

【详解】（1）根据图示计算P→B→A→C→P的路线距离为21.61.51.16.2km；

（2）找出所以可能路线计算：

P→B→A→C→P，距离为2.01.61.51.16.2km；

P→B→C→A→P，距离为2.01.81.50.76km

P→A→B→C→P，距离为0.71.61.81.15.2km；

P→A→C→B→P，距离为0.71.51.82.06km；

P→C→A→B→P，距离为1.11.51.62.06.2km；

P→C→B→A→P，距离为1.11.81.60.75.2km

通过比较这些路线的距离，5.2km是最短的．

【变式3】．（2025·北京文汇中学·模拟）磁力棋的棋盘为99的正方形网格，每个小正方形网格的边长为

1．磁力珠（近似看成点）可放在网格交点处，摆放时要求任意两颗磁力珠不吸到一起．若两颗磁力珠不吸

到一起，则它们之间的距离应不小于5．根据以上规则，回答下列问题：

，

（1）如图，小颖在棋盘A，B，C三处放置了互不相吸的三颗磁力珠．若她想从P1P2中选择一个位置再放

一颗磁力珠，与其他磁力珠互不相吸，则她选择的位置是____________；

（2）棋盘最多可摆放____________颗互不相吸的磁力珠．

【答案】P220

【来源】北京市文汇中学2024-2025学年九年级下学期模拟考试数学试题

【分析】此题考查了网格与勾股定理，正确掌握勾股定理的计算是解题的关键：

，

（1）根据勾股定理计算P1P2到点A，B，C的距离即可判断；

（2）根据题意画出图形即可得到答案．

【详解】解：（）∵22，

1P1C1125

∴P1不符合要求；

∵222222，

P2C125,P2B125,P2A1310

∴P2符合要求，

故答案为P2；

（2）如图所示，连接AB,BP2,CP,AC，

可以发现：四边形ABP2C为边长为5的正方形，

以5为边长，在四边形ABP2C基础上继续做正方形，格点处的点即为满足条件的磁力珠，

故答案为20．

【变式4】．（2024·北京东直门中学·三模）有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6；把它们像扑克牌那

样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下：

①左至右，按数字从小到大的顺序排列；

②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．

将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字1摆在了

标注字母_____的位置，标注字母d的卡片写有数字________

【答案】B4

【来源】2024年北京市东直门中学中考三模数学试题

【分析】本题考查图形及数字类的规律探索，解题的关键是理解题意，根据所给规则依次确定白1，白2，

白3，白4的位置．

【详解】解：第一行中B与第二行中c肯定有一张为白1，

若第二行中c为白1，则左边不可能有2张黑卡片，

∴白卡片数字1摆在了标注字母B的位置，

∴黑卡片数字1摆在了标注字母A的位置；

∴第一行中C与第二行中c肯定有一张为白2，

若第二行中c为白2，则a，b只能是黑1，黑2，

而∵A为黑1，矛盾，

∴第一行中C为白2；

第一行中F与第二行中c肯定有一张为白3，

若第一行中F为白3，则D，E只能是黑2，黑3，此时黑在白2右边，与规则②矛盾，

∴第二行中c为白3，

∴第二行中a为黑2，b为黑3；

第一行中F与第二行中e肯定有一张为白4，

若第一行中F为白4，则D，E只能是黑3，黑4，与b为黑3矛盾，

∴第二行中d为4．

故答案为：B；4．

题型03文字信息逻辑推理题

解题策略

考查推理与论证，解题的关键是根据题意，分析其存在的规律和方法；

例1（24-25·北京朝阳人朝分实验学校·模拟）某快递公司配送包裹至n个站点，站点按顺序编号为1至n，

从站点i到站点j的配送成本为aijijsisj，其中si表示站点i的包裹大小．已知包裹大小序列

为：s13，s25，s32，s48，s54．若每次配送必须连续站点（如从站点2到站点4），且每个站

点只能被配送一次，则完成所有站点配送的最小总成本为______元；若允许拆分配送（每个站点可被多次

访问，但包裹只交付一次），最小总成本为______元．

【答案】3222

【来源】北京市朝阳区人朝分实验学校2024-2025学年下学期九年级中考考前模拟数学试题

【分析】本题考查了优化问题．理解配送成本公式是解题的关键．不允许拆分配送时，由于每个站点只能

被配送一次且每次配送必须连续站点，那么只能一次性将所有站点配送完，即从站点1到站点5.根据配送

成本公式aijijsisj计算即可．允许拆分配送时，为了使总成本最小，每次配送2个站点．例

如站点3位于中间，优先配送，然后每次途经站点3或已配送完的站点，配送费用最小，分别计算再求和

即可．

【详解】解：不允许拆分配送时，由于每个站点只能被配送一次且每次配送必须连续站点，有以下3种方

案

方案1：配送1235

a1212s1s21358

a3535s3s4s5228428

成本为82836元

方案2：配送1345

a1313s1s2s3235220

a4545s4s518412

成本为201232元

方案3：配送15

a1515s1s2s3s4s543528488

成本为88元

323688

∴方案2成本最低为32元

允许拆分配送时，为了使总成本最小，需要合理拆分配送站点．站点3位于中间，优先配送，然后每次途

经站点3或已配送完的站点，配送费用最小，

a3434s3s412810

站点3，4包裹已经交付，则接下来s30，s40，

a2323s2s31505

a1212s1s21303

a4545s4s51044

成本为1053422元

故答案为：32，22．

【变式1】．（2025·北京朝阳·二模）某学校安排15名老师和一些学生参加团体操表演，所有师生恰好排列

成矩形方阵，要求每一行都有且只有6名男学生，每一列都有且只有8名女学生，则此次团体操表演最多

可以安排___________名男学生，此次团体操表演最少需要___________名学生．

【答案】426206

【来源】2025年北京市朝阳区九年级中考二模数学试卷

【分析】本题考查了因式分解的应用．设矩形方阵为m行n列，则师生总数满足mn156m8n，即

m8n663，而6316332179，据此计算即可求解．

【详解】解：设矩形方阵为m行n列，

∵每一行都有且只有6名男学生，每一列都有且只有8名女学生，且有15名老师，

∴师生总数满足mn156m8n，

整理得m8n663，

∵m、n都是正整数，6316332179，

∵男生总数为6m，当男生人数最多时，需要m最大，

此时m863，n61，

解得m71，n7，

∴6m671426，

∴此次团体操表演最多可以安排426名男学生；

当m89，n67，

解得m17，n13，

∴6m8n617813206，

∴此次团体操表演最少需要206名学生；

故答案为：426；206．

【变式2】．（2025·北京密云·一模）甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛赛前训练，每局两人进行比赛，第三

个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半

天训练结束时，发现A共当裁判9局．

①若B，C分别进行了17局，13局比赛，则这半天训练中，三人共进行了_______局比赛；

②三人至少进行了_______局比赛．

【答案】2117

【来源】2025年北京市密云区中考一模数学试卷

【分析】本题考查推理与论证，解本题关键根据题目提供的特征和数据，分析其存在的规律和方法，并递

推出相关的关系式，从而解决问题．

①先确定了B、C之间打了9局，A与B打了8局，A与C打了4局，进而确定三人一共打的局数；

②可推导出甲当裁判9局，乙当裁判3局，丙当裁判5局，甲当裁判的局次只能是1，3，5，…15，17，由

此能求出结果，即可得到答案．

【详解】解：①∵A当了9局裁判，

∴B、C之间打了9局，

又∵B，C分别进行了17局，13局比赛，

∴A与B打了1798局，A与C打了1394局，

∴三人共打了98421局，

故答案为：21．

②∵A当了9局裁判，而从1到17共9个奇数，8个偶数，

∴甲当裁判的局为奇数局，

∴三人至少进行了17局比赛，

故答案为：17．

【变式3】．（2025·北京大兴·一模）小瑞同学打开一盒全新的扑克牌，里面有54张普通牌和一张广告牌．他

要用这些牌玩一个游戏，先将所有的牌随机分成五堆，清点后分别为6张，11张，16张，13张，9张，将

每堆牌的张数由小到大排序后用有序数组记为（6，9，11，13，16）．接下来开始进行第一次操作：从每

堆牌中分别抽取一张，抽出的牌组成新的一堆牌，这时将每堆牌的张数由小到大进行排序，记录下新的有

序数组（若在某次操作中某一堆牌抽取后剩余牌的张数为0时，此时0不写入该有序数组，该堆自动消失）．重

复上述方法进行第二次操作，第三次操作……

（1）写出第二次操作后记录的有序数组_________；

（2）经过若干次这样的操作后，小瑞同学发现记录的有序数组不再发生变化，这时的牌有_________堆．

【答案】（4，4，6，7，9，11，14）10

【来源】2025年北京市大兴区中考数学一模试卷

【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给操作方式依次写出所得有序数组并发现规律是解题

的关键．

（1）根据所给操作方法，写出第二次操作后的记录即可解决问题．

（2）根据所给操作方法，依次写出所得有序数组，发现规律即可解决问题．

【详解】解：由题知，

第一次操作后的有序数组为（5，5，8，10，12，15）；

第二次操作后的有序数组为（4，4，6，7，9，11，14）；

第三次操作后的有序数组为（3，3，5，6，7，8，10，13）；

第四次操作后的有序数组为（2，2，4，5，6，7，8，9，12）；

第五次操作后的有序数组为（1，1，3，4，5，6，7，8，9，11）；

第六次操作后的有序数组为（2，3，4，5，6，7，8，10，10）；

，

（2，3，4，5，6，7，8，9，11）；

（1，2，3，4，5，6，7，8，9，10）；

（1，2，3，4，5，6，7，8，9，10）；

，

所以当有序数组不再变化时，这时牌有10堆．

故答案为：（4，4，6，7，9，11，14）；10．

【变式4】．（2025·北京延庆·一模）甲、乙两人参与两个科技项目：A（人工智能算法开发）和B（物联

网设备开发）．在项目A中，甲第一天能开发10个AI模块，之后每多连续工作一天，开发数量（最少2个）

比前一天减少2个；乙第一天能开发8个AI模块，之后每多连续工作一天，开发数量（最少2个）比前一天

减少1个；在项目B中，甲每天固定开发7个loT模块，乙每天固定开发8个loT模块．两人每日需选择不同

项目工作，且在某一项目连续工作少于3天时不可切换项目．

①甲在项目A连续工作5天能开发AI模块______个；

②一个科技系统需1个AI模块和1个loT模块，则26天最多能组装______套系统．

【答案】30196

【来源】2025年北京市延庆区九年级中考零模数学试卷

【分析】①由题意列出算式即可；

②由题意得甲在项目A连续工作3天最多能开发AI模块24个，甲在项目B连续工作3天最多能开发loT模

块21个，乙在项目A连续工作3天最多能开发AI模块21个，乙在项目B连续工作3天最多能开发loT模块

24个，每6天为一个循环，每6天组装242145套系统，最后两天分别计算开发两种不同系统，再列式

计算即可．

【详解】解：①由题意可得：甲在A项目连续工作5天能开发AI模块

1010210221023102430个；

②一个科技系统需1个AI模块和1个loT模块，

26天两模块同时开发出数量最多，

甲在项目A连续工作3天最多能开发AI模块10102102224个，乙在项目B连续工作3天最

多能开发loT模块8324个，

甲在项目B连续工作3天最多能开发loT模块7321个，乙在项目A连续工作3天最多能开发AI模块

88181221个，

∴每6天为一个循环，每6天组装242145套系统，

∵2664...2，

①每一组先安排21套系统，再安排24套系统，最后两天甲开发loT模块7214个，乙开发AI模块

549个，

∴26天最多能组装AI模块4549189套系统．

②每一组先安排21套系统，再安排24套系统，最后两天甲开发AI模块1010218个，乙开发loT模

块8216个，

26天最多能组装loT模块45416196套系统．

∵196189

∴一个科技系统需1个AI模块和1个loT模块，则26天最多能组装196套系统．

故答案为：①30；②196．

【点睛】本题考查的知识点是有理数混合运算，解题关键是根据题意列出算式解答．

（20分钟限时练）

1．小云被邀请玩一个拍灯挑战，规则如下：桌面上有40盏无差别的小灯，每个灯只有两种状态：亮或者

暗，玩家可以通过拍灯来切换一盏灯的亮暗状态，但是每一盏灯只能拍一次．现40盏小灯中，已知有15

盏灯亮，其余都是暗的．要求玩家蒙上双眼，将40盏小灯分成2组，如果玩家可以只通过拍灯的方式，使

两组中亮着的小灯数一样多，即算挑战成功．

（1）若将灯平均分成两组，经检查第一组里有5盏灯亮．如果只拍第一组的灯，则最少需要拍________盏，

挑战成功．

（2）小云的做法是：从40盏灯中任意选出n盏作为一组，然后将这n盏灯逐一拍一下，结果他挑战成功

了，那么n________．

【答案】515

【分析】（1）先求出第二组初始亮灯数和第一组的暗灯数，要使拍灯盏数最少，那么所拍的灯都是暗的灯，

据此可得答案；

（2）设选出的n盏灯中原有x盏亮灯，表示出拍灯前选出的组和另一组中亮灯的数量，进而表示出拍灯后

选出的组和另一组中亮灯的数量，根据拍灯规则得到拍完后两组的亮灯数，根据相等条件列等式，消去变

量得到n的值．

【详解】解：（1）∵一共有40盏小灯，

∴每组有40220盏小灯

∵一共有15盏灯亮，第一组有5盏灯亮，

∴第一组有20515盏灯暗，第二组有15510盏灯亮，

∵只拍第一组灯，第二组亮灯数不变，且要使两组中亮着的小灯数一样多，

∴拍完灯后第一组有10盏灯亮，

∵要使拍灯盏数最少，

∴所拍的灯都是暗的灯，使它们都变亮后满足第一组有10盏灯亮，

∴最少需拍1055盏灯；

（2）设选出的n盏灯中原有x盏亮灯，则剩余一组的原有亮灯数为15x，

将选出的n盏灯每一盏都拍一下后，原有x盏亮灯变为暗，原有nx盏暗灯变为亮，

因此拍完后选出组的亮灯数为nx，

∵拍完后两组中亮着的小灯数一样多

∴nx15x

解得n15．

2．某工厂根据现有条件可选择A，B，C三种产品中的一种、两种或三种进行生产，每种产品生产一个分

别需要的钢材（单位：吨）、工时（单位：小时）、获得利润（单位：万元）如下表所示：

项目

所需钢材（吨）工时（小时）利润（万元）

种类

A233

B354

C575

（1）现有钢材60吨，可安排工时100小时，工厂利润最大时，需生产A种产品_________个；

（2）若生产一个产品B所需工时由5小时缩减到3小时，现有钢材60吨，可安排工时81小时，则工厂能

获得的最大利润为_________万元．

【答案】3087

【分析】本题考查一次函数的应用，

（1）根据三种产品每吨钢材产出利润可得A种类产品生产的越多，利润越大，即可求出生产A种产品的数

量；

5

（2）设生产A产品a个，B产品b个，C产品c个，利润为W元，可以得到acb27，然后表示利

3

2

润W3a4b5cb87，即可得到最大值解题．