第十章　§10.7　概率与统计的综合问题-2024-2025学年高考数学大一轮复习讲义（人教A版）

§10.7概率与统计的综合问题

题型一频率分布直方图与分布列的综合问题

例1(2023•上饶模拟)为了解某高校学生每天的运动时间，随机抽取了100名学生进行调查.卜

面是根据调爸结果绘制的学生每天平均运动时间(单位：分钟)的频率分布直方图，将每天平

均运动时间不低于40分钟的学生称为“运动族”.

⑴用样本估计总体，已知某学生每天平均运动时间不低于20分钟，求该学生是“运助族”

的概率；

(2)从样本里的“运动族”学生中随机选取两位同学，用随机变量X表示每天平均运动时间在

40〜50分钟之间的学生数，求X的分布列及期望.

解(1)由频率分布直方图可知，

10X(0.01+0.0184-0.0224-0.025+0.020+«)=1,

解得4=0.005.

设“该学生每天平均运动时间不低于20分钟”为事件4,“该学生是'运动族'”为事件比

贝ijP(A)=0.72,P(A«)=0.25,

所以在该学生每天平均运动时间不低于20分钟的条件下是“运动族”的概率为

.口地=咤著

产(MA)—p(A)一0.72172。

(2)由题意可知，样本中共有“运动族”学生25人，运动时间在40〜50分钟之间的学生有20

人，

所以X=0,l,2.

尸比=0)=念$

X的分布列为

~x~~6~~i~~2

1119

P

30330

£(X)=OX』+1

思维升华高考常将频率分布直方图与分布列等交汇在一起进行考查，解题时要正确理解频率

分布直方图，能利用频率分布直方图正确计算出各组数据.概率问题以计算为主，往往和实

陆问题相结合,要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来.

跟踪训练1(2023•呼和浩特模拟)某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，

为调杳该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用按比例分配的分层随机抽样的方法，收

集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时).

(1)应收集多少个女生样本数据？

(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，

其中样本数据分组的区间为[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12].请估计该校学生每周

平均体育运动时间不低于4个小时的概率；

(3)视样本数据的频率为概率，现从全校随机抽取4名学生，记X为这4名学生中运动时间不

低于4个小时的人数，求X的分布列以及数学期望.

解(1)因为该校共有15000人，其中女生有4500人，

所以女生占总人数的比例为东

又因为采用按比例分配的分层随机抽样的方法收集300位学生的样本数据，

所以女生样本数据应收集看X300=90(个).

(2)由频率分布直方图可知，

学生每周平均体育运动时间不低于4个小时的频率为(0.15+0.125+0.075+0.025)X2=0.75,

故估计该校学生每周平均体育运动时间不低于4个小时的概率为0.75.

(3)由(2)可知，运动时间不低于4个小时的概率为土，则X〜8(4,

所以P(X=O)=CSX(£)4XG)O=虫,

P(x=i)=c!xg)xg)'=^

P(X=2)=C3XQ)2XG)2=^,

P(X=3)=GXQ〉XC)3磊,

P(X=4)=Clxg)xg}=^,

则X的分布列为

X01234

13272781

P

2566472864256

3

-

4

题型二回归模型与分布列的综合问题

例2(2023・韶关模拟)研究表明，如果温差大，且人们不注意保暖，可能会导致自身受到风寒

刺激，增加感冒患病概率，特别是对于儿童以及年老体弱的人群，要多加防范.某中学数学

建模社团成员研究了昼夜温差大小与某小学学生新增感冒就诊人数之间的关系，他们记录了

某六天的温差，并到校医室查阅了这六天中每天学生新增感冒就诊的人数，得到数据如下：

日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天

昼夜温差x(C)47891412

新增感冒就诊

川了2>'6

人数y(位)

(1)已知第一天新增感冒就珍的学生中有4位男生，从第一天新增感冒就诊的学生中随机抽取

2位，其中男生人数记为X,若抽取的2人中至少有一位女生的概率为急求随机变量X的分

布列和数学期望；

(2)已知两个变量x与)，之间的样本相关系数「=招，请用最小二乘法求出)，关于x的经验回

归方程;，=£+；并据此估计昼夜温差为15c时，该校新增感冒就诊的学生人数.

参考数据：£VF=3463,E(37-7)2=289.

/-Ir।

Z3—x)(yi-y)z(为一X)(»-y)

所以yi（3Ll）=4X3X6=9X8,解得川=9,

即第一天新增感冒就诊的学生有9位，其中男生4位，女生5位，

则随机变量X的所有可能取值为0,1,2,且X服从超几何分布，其中N=9,"=4,〃=2,

CW5

P(X=O)=渡=m，P(X=1)=

Ca1

P(X=2)=《=7,

X的分布列为

X012

551

P

1896

cS]ft

X的数学期望E(X)=OX本+1X$+2Xd=g.

⑵因为£盯=54,所以x=9,所以£(»•—x)2=64,

E(为一4Xvi-y)Z(即—x)Cv-y)

f=,16

由于

r=8X1717'

z(Ar-X)飞/z(yi-y)2

6__

所以£(为•一x)(>7—y)=8X16,

6__

zu-%)())-y)

8X16

所以人=-----------=--"-64"=2,

Z(XLx)2

6666

因为>¥=3463,ZQL)，)2=»?—2)，£vi+6y2=>#一6)，2=289,解得y=23,

所以a=y—》工=23—2X9=5,所以y=2r+5,

当x=15时，>'=30+5=35,

据此估计昼夜温差为15。(：时，该校新增感冒就诊的学生人数为35.

思维升华高考常将回归模型与分布列等交汇在一起进行考查，求经验回归方程时要充分利用

已知数据，合理利用公式减少运算.求解概率问题时要注意^率模型的应用，明确所求问题

所属的事件类型是关键.

跟踪训练2(2023・武汉模拟)某企业计划新购买100台设各，并将购买的设备分配给100名年

龄不同(视为技术水平不同)的技工加工一批模具，因技术水平不同而加工出的产品数量不同，

故产生的经济效益也不同.若用变量x表示不同技工的年龄，变量)，为相应的效益值(元)，

根据以往统计经验，他们的工作效益满足最小二乘法，且)，关于x的经验回归方程为;=1.2x

4-40.6.

(1)试预测一名年龄为52岁的技工使用该设备所产生的经济效益；

⑵试根据样木相关系数，•的值判断使用该批设备的技工人员所产生的效益与技工年龄的相关

程度(若0.75WP1W1,则认为y与x的线性相关程度很强；若|«0.75,则认为)，与x的线性

相关程度不强)；

(3)若这批设备有A,8两道独立运行的生产工序,且两道工序出现故障的概率依次是0.02,0.03.

若两道工序都没有出现故障，则生产成本不增加；若人工序出现故障，则生产成本增加2万

元；若B工序出现故障，则生产成本增加3万元；若A,B两道工序都出现故障，则生产成

本增加5万元.求这批设备增加的生产成本的期望.

100_100_

参考数据：I(Xi-x)2=121,X(y•一.y)2=225;

i-1尸i

AAAA

参考公式：经验回归直线y=a+的斜率和微距的最小二乘估计分别为方=

n__n__

Z(XLX)(»-y)Z(XLX收一y)

1=1A_A_尸1

,a=y—bx,r=>/=.

£QLx)2A/I(Xi~~x/£(y——)2

A

解⑴当x=52时,y=1.2X52+40.6=103.

所以预测一名年龄为52岁的技工使用该设备所产生的经济效益为103元.

100__

E(为一x)Cv»­y)

Aif

(2)由题意得〃==1.2,

ia)一

Z(XLx)2

100__

Z(Xi-x)(>v-y)

1=1

所以-------n\-------二12，

100__

所以Z(XLx)(y；—y)=121X1.2,

i(x)__

Z(Xi-xXy-y)

所以r=t-----f----

/IOO_/lOO_

A/Z(即-x)\/Z()Lyy

121X1.2121X1.2

--------=()88

—7,1--2-1-X--^-2z2^5==11X15…

因为0.75<0.88<1,所以y与x的线性相关程度很强.

所以使用该批设备的技工人员所产生的效益与技工年龄的相关程度很强.

(3)设增加的生产成本为久万元)，

则4的可能取值为0,2,35

P(c=0)=(1-0.02)X(1-0.03)=0.9506,

P(<=2)=0.02X(l-0.03)=0.0194,

P(^=3)=(1-0.02)X0.03=0.02941

P(c=5)=0.02X0.03=O.OCO6.

所以E(a=0X0.9506+2X0.0194+3X0.0294+5X0.0006=0.13,

所以这批设备增加的生产成本的期望为0.13万元.

题型三独立性检验与分布列的综合问题

例3(2023・聊城模拟)某中学在高一学生选科时，要求每位学生先从物理和历史这两个科目中

选定一个科目，再从思想政治、地理、化学、生物这四个科目中任选两个科目.选科工作完

成后，为了解该校高一学生的选科情况，随机抽取了部分学生作为样本，对他们的选科情况

统计后得到下表：

思想政治地理化学生物

物理类10()120200180

历史类1201406080

⑴利用上述样本数据填写下列2X2列联表，并依据小概率值。=0.001的独立性检验，分析

以上两类学生对生物学科的选法是否存在差异；

科类生物学科选法合计

选不选

物理类

历史类

合计

(2)假设该校高一所有学生中有］3的学生选择了物理类，其余的学生都选择了历史类，且在物

理类的学生中其余两科选择的是地理和化学的概率为/而在历史类的学生中其余两科选择的

是地理和化学的概率为七.若从该校高一所有学生中随机油取100名学生，用X表示这100名

学生中同时选择了地理和化学的人数，求随机变量X的均值E(X).

----n(ad-bc)2----

口元(a+b)(c+d)(a+c)(h+dy

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

解(1)由题意可得选择物理类的总人数为300,其中选择生物学科的人数为180,不选择生

物学科的人数为120；选择历史类的总人数为200,其中选择生物学科的人数为80,不选择

生物学科的人数为120,据此完善2X2列联表如下：

生物学科选法

科类合计

选不选

物理类180120300

历史类80120200

合计260240500

零假设为N)：两类学生对生物学科的选法没有差异.

L七-sgrp,500X(180X120-120X80)2250

由表中数据可每L300X200义260X240=~13-^19,23X>10,828=必附’

根据小概率值a=0.001的独立性检验可知零假设不成立，即可以认为两类学生对生物学科的

选法存在差异，且此推断犯错误的概率不大于0.001.

(2)记“学生选择物理类”为事件M,“学生选择历史类”为事件N,“同时选择地理和化学”

为事件C,

32

则产(M)=5，P(M=1一尸

P(C|M)=1,P(C|N)=*

31214

故P(C)=P(M)尸(CIM+尸即尸。根=$><5+,乂诃=不，

由题意可得X〜Hjoo,歙

4

则随机变量X的均值E(X)=100Xx=16.

思维升华高考常将独立性检险与分布列等交汇在一起进行考查，解决独立性检脸问题，要注

意过好“三关”：假设关、公式关、对比关.解决稷率问题要准确地把握题中所涉及的事件，

明确所求问题所属的事件类型.

跟踪训练3(2024.沈阳模拟)随着科技的进步和人民生活水平的提高，电脑已经走进了千家万

户，成为人们生活、学习、娱乐的常见物品，便携式电脑(俗称“笔记本”)也非常流行.某

公司为了研究“台式机”与“笔记本”的受欢迎程度是否与性别有关，在街头随机抽取了50

人做调查研究，调查数据如下表所示.

男性女性合计

喜欢“台式机”20525

喜欢“笔记本”101525

合计302050

(1)依据小概率值。=0.01的独立性检验，分析喜欢哪种机型与性别是否有关？

(2)该公司针对男性客户做了调查，某季度男性客户中有青年324人，中年216人，老年108

人，用按比例分配的分层随机抽样的方法选出12人，又随机抽出3人进行答谢，这3人中的

青年人数设为随机变量X，求X的分布列弓数学期望.

______n(ad-bc)2_____

附：/=7(〃+〃)(c+GS+c)S+")'其中"="+”+c+d

a0.100.050.010.005

Xa2.7063.8416.6357.879

解(1)零假设为儿：喜欢哪种机型与性别无关.

由表中数据可得/2=)"28.333>6.635=AU.OI»根据小概率值(%=0.()1的独

入ZDADUAZU

立性检验可知零假设不成立，即可以认为喜欢哪种机型与性别有关，且此推断犯错误的概率

不大于0.01.

(2)由题意，324：216：108=3：2：1,

所以12人中有青年人6人，中年人4人，老年人2人，则X的所有可能取值为0.123,

P(x-O)-CJ2-irP(X—D—c?2-22,

P(X_2)_蜜一22,P(X_3)_^_]]

则分布列为

X0123

1991

P1T2222TT

19913

E(X)-OX-j-j-4-1乂寸+2乂行+3Xyj■一不

课时精练

知识过关

1.(2023•泰州模拟)第二十二届卡塔尔世界杯足球赛决赛中，阿根廷队通过扣人心弦的点球大

战战胜了法国队.某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢

足球是否与性别有关，随机抽取了男、女学生各100名进行调查，部分数据如表所示：

喜欢足球不喜欢足球合计

男生40

女生30

合计

(1)根据所给数据完成上表.并依据小概率值。=0.001的独立性检验,分析该校学生喜欢足球

与性别是否有关？

(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门.已知男生进

球的概率为2女生进球1的概率为*每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总

次数的分布列和数学期望.

----n(ad-hc?----

口兀(a+〃)(c+t/)(4+c)S+").

a0.0500.0100.001

Xa3.8416.63510.828

解(1)2X2列联表如下:

喜欢足球不喜欢足球合计

男生6040100

女生3070100

合计90110200

零假设为，0：该校学生喜欢足球与性别无关.

L七-sgp、200X(60X70-40X30)2八…

由表中数据得丫=innvinnvanviin18.182>10.828=x().o()i,

IUUA|UUAyUA11(J

根据小概率值a=0.001的独立性检验可知零假设不成立，即该校学生喜欢足球与性别有关,

且此推断犯错误的概率不大于0.001.

(2)3人进球总次数C的所有可能取值为0/23,

W=0)=g)2x1=^,

P（＜；=2）=Clx|x|x1+^2x1=1,

P（e=3）=（|）2x|=1,

・•・4的分布列为

**

g0123

1542

p

187899

•"的数学期望％)=OX*+1X得+2X,+3X,=,.

2.某地区区域发展指数评价指标体系基于五大发展理念构建，包括创新发展、协调发展、绿

色发展、开放发展和共享发展5个•级指标.该地区区域发展指数测算方法以2015年作为基

期并设指数值为100,通过时序变化，观察创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共

享发展5个分领域指数值的变动趋势.分别计算创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展

和共享发展5个分指数，然后合成为该地区区域发展总指数，如下图所示.

V2。15~2022年某地区区域发展总指数.

14(H)

135.()

130.()

120.0

115.()

110.()

105.()

KMH)

?5.()年份

,2()15年2016年2()17年2018年2019年2020年2021年2<»22年

若N2015年记为x=l,2016年记为x=2,依此类推)与发展总指数y存在线性关系.

(1)求x与发展总指数y的经验回归方程；

(2)若规定发展总指数大于115的年份为和谐发展年，和谐发展年中发展总指数低于130的视

为良好，记1分，发展总指数大丁130的视为优秀，记2分，从和谐发展年中任取三年，用

X表示记分之和，求X的分布列和数学期望.

Z(为-x)8-y)

AAAAAAI™1g

参考公式和数据：经脸回归方程y=bx+〃，其中a=y—2x,b------------------,

£(Xi-x)2

1=1

-x)8—y)=228.9,)，=119.05.

1+2+3+4+5+6+7+8

解（1）由已知xQ=4.5,

8-

所以工(即一月)2=(-3.5)2+(-2.5)2+(-1.5)2+(-0.5)2-0.52+1.52+2.52+3.52=42,

又£(Xj—x)tv/-y)=228.9,

Z(即-x)()Ly)

A尸1

所以b==5.459

Z(即一X)2

因为y=119.05,所以〃=y—bx=94.525,

所以y=5.45x+94.525.

⑵由题可知，和谐发展年有5个，其中计分为1分的年份有3个，计分为2分的年份有2个,

X的所有可能取值为3,4,5,

所以P（X=3）W=*P1X=4）=鲁=,,

C\Cj_3

P(X=5)=或一10'

所以X的分布列为

X345

13

PToTo

|3321

E（X）=3X-+4X-+5X-=-

3.（2023・南京模拟）渔船海上外出作业受天气限制，尤其浪高对渔船安全影响最大，二月份是

某海域风浪最平静的月份，浪高一般不超过3m.某研究小组从前些年二月份各天的浪高数

据中，随机抽取50天数据作为样本，制成频率分布直方图（如图）.

根据海浪高度将海浪划分为如下等级:

浪高(cm)(0,50)[50,100)[100,200)[200,300]

海浪等级微浪小浪中浪大浪

海事管理部门规定：海浪等级在“大浪”及以上禁止渔船出海作业.

(1)某渔船出海作业除受浪高限制外，还受其他因素影响，根据以往经验可知，“微浪”情况

下出海作业的概率为0.9,“小浪”情况下出海作业的概率为0.8,“中浪”情况下出海作业

的概率为0.6,请根据上面频率分布直方图，估计二月份的某天各种海浪等级出现的概率，并

求该渔船在这天出海作业的概率；

(2)气象预报预计未来三天内会持续“中浪”或“大浪”，根据以往经验可知，若某天是“大

浪”，则第二天是“大浪”的概率为点“中浪”的概率为今若某天是“中浪”，则第二天

是“大浪”的概率为:，“中浪”的概率为|.现已知某天为“中浪”，记该天的后三天出现

“大浪”的天数为X,求X的分布列和数学期望.

解(1)记这天浪级是“微浪”为事件Ai,浪级是“小浪”为事件A2,浪级是“中浪”为事

件A?,浪级是“大浪”为事件.该渔船当天出海作业为事件从

则由题意可知，尸(4)=50X0.004=0.2,

P(A2)=50X0.006=0.3,

P(A3)=50X0.004+50X0.002=0.3,

P(A4)=50X0.002+50X0.002=0.2,

,P(B)=P(BAi)+P(BA2)-iP(BA3)

=P(8|4)P(4)+P(B\A2)P(A2)+P(B\Ai)P(A3)

=0.9X0.24-0.8X0.3+0.6X0.3=0.184-0.24+0.18=0.6.

(2)依题意可知，X的所有可能取值为0,123,

•••P(X=0)=停下卷,

I122112211()

P(X=1)=ZXZXT4--XTXTH-TXTXT=Z^,

XXXX=

P(X=2)=|X|X|+|5H324*

尸（X=3）=5></『五，

则X的分布列为

X0123

8101