2026年高考数学复习系列（全国）专题2.3 函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性（讲义）（解析版）

专题2.3函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性（举一反三复习讲义）

【全国通用】

1、函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性

函数的性质是历年高考的重点、热点内容，函数的单调性、奇偶性、周

期性是高考的必考内容，从近几年的高考情况来看，重点关注单调性、奇偶

命题规律性结合在一起，与函数图象、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要

充分运用转化思想和数形结合思想。题型主要以选择题、填空题为主，偶尔

分析

在解答题中渗透考查；对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的

单调性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难

度较小；对于解答题部分，一般与导数结合，综合性强，考查难度较大.

高考真题考点2023年2024年2025年

统计函数的性I卷：第4题，5分新课标I卷：第6题，5全国一卷：第5题，5

质I卷：第11题，5分分分

Ⅱ卷：第4题，5分新课标Ⅱ卷：第8题，5全国二卷：第10题，6

分分

天津卷：第3题，5分

预测在2026年全国卷高考数学中，对函数的单调性、奇偶性、对称性

2026年与周期性的考查仍为必考重点，考情较为稳定。题型主要以选择题、填空题

为主，偶尔在解答题中渗透考查，分值占比固定。命题形式延续函数多性质

命题预测综合的考查特点，常与函数图象、函数零点和不等式相结合进行考查，解题

时要充分运用转化思想和数形结合思想进行求解，难度中等。

知识点1函数的单调性

1．求函数的单调区间

求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.

2．函数单调性的判断

(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.

(2)复合函数的单调性：函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循

“同增异减”的原则.

知识点2函数的最值的求法

1．求函数最值的三种基本方法：

(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.

(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.

(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.

2．复杂函数求最值：

对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.

知识点3函数的奇偶性及其应用

1．函数奇偶性的判断

判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：

(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；

(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式

(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.

2．函数奇偶性的应用

(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数

或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.

(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.

3．常见奇偶性函数模型

(1)奇函数：

ax1ax1

①函数f(x)m()(x0)或函数f(x)m()．

ax1ax1

②函数f(x)(axax)．

xm2mxm2m

③函数f(x)loglog(1)或函数f(x)loglog(1)

axmaxmaxmaxm

④函数2或函数2．

f(x)loga(x1x)f(x)loga(x1x)

(2)偶函数：

①函数f(x)(axax)．

mx

②函数f(x)log(amx1)．

a2

③函数f(|x|)类型的一切函数．

④常数函数.

知识点4函数的周期性与对称性的常用结论

1．函数的周期性常用结论(a是不为0的常数)

(1)若f(x+a)=f(x)，则T=a；

(2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a；

(3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a；

(4)若f(x+a)=，则T=2a；

(5)若f(x+a)=，则T=2a；

(6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b);

2．对称性的三个常用结论

(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称.

(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称.

(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称.

3．函数的的对称性与周期性的关系

(1)若函数yf(x)有两条对称轴xa，xb(ab)，则函数f(x)是周期函数，且T2(ba)；

(2)若函数yf(x)的图象有两个对称中心(a,c),(b,c)(ab)，则函数yf(x)是周期函数，且T2(ba)；

(3)若函数yf(x)有一条对称轴xa和一个对称中心(b,0)(ab)，则函数yf(x)是周期函数，且

T4(ba).

【题型1函数单调性的判断及单调区间的求解】

【例1】（2025·北京海淀·三模）下列函数中，在上单调递增的是（）

．．．−∞,0．

ABC2D

1�−�3

�

【答案】A��=��=e+e��=���=sin�

【解题思路】由幂函数的单调性可判断AC；对求导可判断B；由正弦函数的性质可判断D.

�−�

��=e+e

【解答过程】对于A，因为，在上单调递增，故A正确；

11

�<0��=−�=−�−∞,0

对于B，，

�−�

当时�，�=e+e，

2�

e−1

′�−��

所以�<0��=在e−e=上单e调递<减0，故B错误；

�−�

��=e+e−∞,0

对于C，的定义域为，

23

32

��=�=�R

，所以为偶函数，

33

22

�−�=−�=�=����

因为，所以由幂函数的性质知在上单调递增，

2

23

3>0��=�0,+∞

由偶函数的性质可得：在上单调递减，故错误；

2C

3

对于D，当时，��=�−∞,0,

由的�单<调0性知�，�=sin在−�=−si不n�具备严格的单调性，

所以�=sin�在�=上si不n�具备−严∞格,0的单调性，故D错误.

故选：��A.=sin�−∞,0

【变式1-1】（2025·江苏南通·模拟预测）函数2的单调递减区间为（）

12�−3�+11

��=3

A．B．C．D．

3333

−∞,22,+∞−∞,44,+∞

【答案】D

【解题思路】利用复合函数单调性来确定单调减区间即可.

【解答过程】因为函数在上单调递减，在上单调递增，

233

�=2�−3�+11−∞,44,+∞

是减函数，根据复合函数的单调性，可得的单调递减区间为．

1�3

34

故�=选：D.��,+∞

【变式1-2】（2025·广东清远·一模）设函数，则函数为（）

2

��=�−���

A．奇函数，且在单调递增

B．奇函数，且在0,+∞单调递减

C．偶函数，且在0,+∞单调递增

D．偶函数，且在0,+∞单调递减

【答案】A0,+∞

【解题思路】利用函数的奇偶性定义、单调性定义判断即可.

【解答过程】易知的定义域为，且，

22

所以为奇函数�，�−∞,0∪0,+∞�−�+��=−�+�+�−�=0

因为函��数在上单调递增，

2

�=�,�=−�0,+∞

所以在上单调递增，

2

��=�−�0,+∞

故选：A.

【变式1-3】（2025·湖南常德·三模）已知奇函数是定义域为R的连续函数，且在区间上单

调递增，则下列说法正确的是（）�=�(�)(0,+∞)

A．函数在R上单调递增

2

B．函数�=�(�)+�在上单调递增

2

C．函数�=�(�)−在�R(上0,单+调∞递)增

2

�=��(�)

D．函数在上单调递增

�(�)

2

�=�(0,+∞)

【答案】C

【解题思路】根据已知设，由二次函数的性质确定AB错误；由幂函数的性质判断C正确；由反比

例函数的形式确定D错误�.�=�

【解答过程】因为是奇函数，且在区间上单调递增，

所以在�=�(上�)也为单调递增函数，(0,+∞)

�=�(�)−∞,0

对于A：不妨令，，

2

2211

��=��=�(�)+�=�+�=�+2−4

所以在单调递减，在单调递增，故A错误；

211

�=�(�)+�−∞,−2−2,+∞

对于B：不妨令，，

2

2211

��=��=�(�)−�=�−�=−�−2+4

所以在单调递增，在单调递减，故B错误；

211

�=�(�)−�−∞,22,+∞

对于C：，其定义域为，

2

又�=��(�)，所以R是奇函数，

222

取−��(−�)，=则−��(�)，�=��(�)，故

2222

所以0<�1<�20<�1<�20<，�则�1函数<��2�在1��1<�为2�递�增2函数；

222

所以函�1数−�2=�1��在1−�2��也2为<递0增函数，且�=当��(�)时，0,+∞，

22

�=��(�)−∞,0�=0�=��(�)=0

所以在R上单调递增，故C正确；

2

�=��(�)

对于D：不妨令，，

�(�)�1

22

��=��=�=�=�,�≠0

由反比例函数的单调性可知在和上单调递减，故D错误；

�(�)

2

�=�−∞,00,+∞

故选：C.

【题型2根据函数的单调性求参数】

【例2】（2025·广东茂名·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围

2

为（）��=�−6�+5�,+∞�

A．B．C．D．

【答案】D−∞,1−∞,33,+∞5,+∞

【解题思路】求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可.

【解答过程】由，可得或，

2

即函数的定�义−域6为�+5≥0�≤1，�≥5

又因为�(�)(在−∞,1]∪上[5单,+调∞递)增，在上单调递减，

2

在�=�−6�上+单5调递[5增,+，∞)(−∞,1]

�由=复合�函[数0,的+单∞调)性可知在区间上单调递增，

2

.��=�−6�+5[5,+∞)

�故≥选5：D.

【变式2-1】（2025·陕西西安·模拟预测）若函数在上单调，则的取值范围是（）

2

�+��−3

A．B．C．��=21,D+．∞�

【答案】A−2,+∞−1,+∞−∞,−2−∞,−1

【解题思路】根据指数函数、二次函数以及复合函数的单调性求解即可.

【解答过程】因为函数在上为增函数，在上为减函数，在上为

�2��

增函数，�=2R�=�+��−3−∞,−2−2,+∞

且函数在上单调，

2

�+��−3

根据复合��函数=的2单调性，可1,得+∞，即，

�

−2≤1�≥−2

所以的取值范围是.

故选：�A.−2,+∞

【变式2-2】（2025·山西·二模）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（）

�

�(�)=�+�(0,2]

A．B．C．D．

【答案】C(0,2](0,4][2,+∞)[4,+∞)

【解题思路】根据对勾函数的单调性，即可求解.

【解答过程】当时，为单调递增函数，不符合题意，

�

�=0�(�)=�+�

当时，均为单调递增函数，故为单调递增函数，不符合题意，

��

�<0�=�,�=��(�)=�+�

当时，在单调递增，在单调递减，

�

�>0�(�)=�+��,+∞0,�

故在上单调递减，则，

�

�(�)=�+�(0,2]�≥2

故选：C.

，

【变式2-3】（2025·安徽合肥·一模）若是上的增函数，则实数的取值范围为（）

，

��+1�<1

��=��

A．B．lCn．�+2��≥1D．

【答案】B1,+∞1,+∞2,+∞2,+∞

【解题思路】分类讨论及的的单调性，再注意分段函数的内部衔接点的大小关系，即可得到

的取值范围．�<1�≥1��

【�解答过程】当时，若为单调递增函数，则；

当时，�<1�为�单=调�递�增+函1数，�>0

若�≥1是上的�增�函=数ln，�+需2有�，解得．

故选��：B．��+1≤2��≥1

【题型3函数的最值问题】

【例3】（2025·宁夏陕西·模拟预测）已知函数，则在上的最大值为（）

�−�

A．B．C�．�0+1=2−2D．�1�−1,1

315

24

【答案】C

【解题思路】先利用换元法求出的解析式，再利用定义法求证在上的单调性即可求出.

【解答过程】�，�令，则��，−1,1

�−��−11−�

则��+1=2−，2�=�+1��=2−2

�−11−�

��=2−且2,�∈R，则

�1−11−�1�2−11−�2

∀�1,�2∈−1,1−1≤�1<�2≤1��1−��2=2−2−2−2

�1−1�2−111�1−1�2−11

=2−2−�1−1−�2−1=2−21+�1+�2−2

因，2则2，则，2

�1−1�2−1

又−1≤�1<�，2≤则1�1−1<�2−，1即2<2，

�1+�2−2

则2在>0上单�调�递1增−，��2<0��1<��2

则��的最−大1,1值为.

故选��：C.�1=0

【变式3-1】（2025·湖南·模拟预测）已知函数，则“，”是“在上的最

小值为2”的（）��∀�∈0,+∞��≥2��0,+∞

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分又不必要条件

【答案】B

【解题思路】根据充分、必要条件的判断方法，结合函数最小值的概念进行判断.

【解答过程】先判断充分性：若函数在的最小值为3，

则“，”成立，�但�“0在,+∞上的最小值为2”不成立，

所以∀“�∈0,+∞�，�≥2”不是“�在�0,+∞上的最小值为2”的充分条件.

再判断∀必�∈要性0,：+“∞在��≥2上的最�小�值为0,2+”时∞，可得“，”成立，

所以“��，0,+∞”是“在上的最小值∀�为∈2”0的,+必∞要条�件�.≥2

综上：∀“�∈0,+∞�，�≥2”是�“�在0,+∞上的最小值为2”的必要不充分条件.

故选：B∀.�∈0,+∞��≥2��0,+∞

【变式3-2】（2025·山东·模拟预测）已知函数，若正数a，b满足，则的最小

1

值是（）�(�)=�+��+�=1�(�)�(�)

A．2B．C．4D．

1725

44

【答案】D

【解题思路】先求出并利用条件将其化成关于的函数解析式，结合其特点，设

2

，，�将(�其)�简(�)化成关于的解析式�，利用对勾�函=数�的−单�调=性−即(�可−

12112−�2

2)+40<�≤4��(�)=�−1+�=�+�−2

求得其最小值.

【解答过程】因，，，则，

1

�(�)=�+��+�=1�,�>00<�<1

故，

2

11112�−�+2

�(�)�(�)=(�+�)(�+�)=(�+�)(1−�+1−�)=�−�−1+�(1−�)

设，由，可得，

21211

�=�−�=−(�−2)+40<�<10<�≤4

则有，

2−�2

�(�)=�−1+�=�+�−2

因函数在上单调递减，故，

2121125

�=�+�(0,4]�(�)=�+�−2≥�(4)=4+8−2=4

当且仅当时取等号，解得，

211

�=�−�=4�=�=2

故当时，取得最小值为.

125

�=�=2�(�)�(�)4

故选：D.

【变式3-3】（2025·广东·模拟预测）已知是上的奇函数，，若在上

单调递增，且，则在上的�最�小值是R（）��−1−�3−�=0��0,1

A．�1=2B．��RC．D．

【答案】C−4−3−2−1

【解题思路】由已知可得的对称中心和对称轴，进而得到周期性，再根据单调性可得一个周期内的最小

值.��

【解答过程】由是奇函数，可得.

由��，可得�的−�图象=−关�于�对称，

即��−1−�3−，�则=有0��，�=1

所以�−�=��+2��+2，=即−��的周期为.

因为��+在4=−单�调�递+增2，=且�是�奇函数�图�像关于原点4对称，

则�在�0,1单调递增，即在单调递增.

又因��为−的1,0图象关于对�称�，则−1,1在单调递减.

所以在一��个周期内�=1��1,3，

即在上的最[小�值�是]min=.�3=�−1=−�1=−2

故选��：C.R−2

【题型4函数的奇偶性及其应用】

【例4】（2025·陕西汉中·一模）若函数为奇函数，则实数（）

4

�

��=�+3−1�=

A．B．1C．2D．4

−1

【答案】C

【解题思路】根据函数为奇函数，利用特殊值求得a的值，再根据奇函数定义验证函数为奇函数，即可确定

答案.

【解答过程】函数为奇函数，故必有成立，

4

�

��=�+3−1�−1=−�1

即，解得，

44

−11

�+3−1=−�+3−1�=2

则此时，定义域为，

�

423+1

��

��=2+3−1=3−1−∞,0∪0,+∞

而，即函数为奇函数，符合题意，

−��

23+121+34

−���

故�−�，=3−1=1−3=−����=�+3−1

故选�=：2C.

【变式4-1】（2025·安徽·二模）已知函数，下列函数中为偶函数的是（）

2

A．B．��C=．ln�−2�+2D．

【答案】C��+1��−1��+1��−1

【解题思路】求出函数的定义域，根据偶函数的定义逐项判断即可.

【解答过程】因为，故的定义域为.

22

选项A：�−2�+2=�−1+1≥1��，�

22

��+1=ln�−2�+2+1=lne�−2�+2，

22

�−�+1=lne−�，所−以2−�+2不=是l偶n函e�数，+故2�A+错2误；

选��项+：1≠�−�+1��+1，，

B222

2�−2�+2−�−2−�+2�+2�+2

��−1=ln，�所−以2�+2−不1是=偶ln函数e，故B�错−�误−；1=lne=lne

选��项−C：1≠�−�−1��−1，

22

��+1=ln�+1−2�+1+2=ln�+，1

22

�−�+1=ln−�+，1所以−2−�+1为偶+函2数=，ln故�C+正1确；

选��项+D1：=�−�+1��+1，

22

��−1=ln�−1−2�−1+2=ln�−4�+，5

22

�−�−1=ln−�−，1所以−2−�−1不是+偶2函=数ln，�故+D4错�+误5.

�故�选−：1C.≠�−�−1��−1

【变式4-2】（2025·四川内江·一模）设奇函数的定义域为，当时，，则当

��R�≥0��=�1+��<0

时，（）

A�．�=B．

C．�1+�D．��−1

【答案】�C1−�−�1+�

【解题思路】设，由奇函数的定义可得出，即可得解.

【解答过程】当�<0时，，��=−�−�

由奇函数的定义�可<得0−�>0.

故选：C.��=−�−�=−−�1+−�=�1−�

【变式4-3】（2025·安徽合肥·一模）已知是定义在上的偶函数，且，当时，

3

，则（）����4−�=��0≤�≤2

��A=．3−2��−2B0．251=C．3D．7

【答案】B−1

【解题思路】首先根据偶函数的定义可得：，进而根据已知条件求得函数的周期，最后借助函

数周期性求解函数值即可.�−�=��

【解答过程】因为是定义在上的偶函数，所以.又因为，

所以��，所以�，所以�−�的=周�期�为.�4−�=��

�4−�=�−���+4=����4

因为时，，所以.

3

0≤�≤2��=3−2��−2025=�−1=�1=1

故选：B.

【题型5利用函数的性质比较大小、解不等式】

【例5】（2025·黑龙江大庆·一模）已知函数的定义域为，且在上单

调递减，则不等式的解集是�（(�)）�,�(1+�)=�(3−�)�(�)[2,+∞)

A．�(2�B−．3)>�(3)C．D．

【答案】D(−∞,3)(−∞,2)(3,+∞)(2,3)

【解题思路】根据给定条件，利用对称性及单调性求解函数不等式.

【解答过程】由函数的定义域为，得函数的图象关于直线对称，

又函数在�(�上)单调递减，�则,�不(1等+式�)=�(3−�)�(�)�，=2

即�(�)[2,+∞，)解得，所以所�求(2不�−等3式)的>解�(集3)为⇔|2�.−3−2|<|3−2|

故选−1：<D2.�−5<12<�<3(2,3)

【变式5-1】（2025·天津武清·模拟预测）已知定义在R上的函数，，，

�1

��=�⋅e�=�log35�=−�log32

，则a，b，c的大小关系为（）

�=�A．ln3B．C．D．

【答案】D�>�>��>�>��>�>��>�>�

【解题思路】根据函数的解析式，求得函数为奇函数，化简，再结合函数的单调性，即可求解.

【解答过程】，定义域为，关于原点对称，�=�(log32)

�

且��=�⋅eR，所以函数为奇函数，

−���

所以�−�=−�⋅e=−�⋅e=−��，��=�⋅e

11

333

又�=−�log2=，�−log2=�log2

�

任取��=�⋅e,�>0，且，则，则，

�1�2

故�1在,�2∈0,+上∞单调递0增<，�1<�20<e<e��1<��2

又由��对数函0,数+的∞单调性可得，

所以log32<，log即35<1<.ln3

故选：�lDo.g32<�log35<�ln3�>�>�

【变式5-2】（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知定义在上的偶函数，且当

时，单调递增，则关于的不等式1−3�的,4解�集−是2（）���∈

0,3�−1�����−1>�2�−3�

A．B．C．D．

475252

3,28,43,33,2

【答案】A

【解题思路】先利用偶函数性质可得，再由偶函数单调性以及定义域列出不等式组计算求解即可.

【解答过程】由题意，函数是定义�在=1上的偶函数，所以，

解得，即函数的�定�义域为1，−3�,4�−21−3�+4�−2=0

当�=1时，单�调�递增，所以当−2,2时，单调递减，

关于�∈的0不,2等式��，�∈即−2,0��，

���−1>�2�−3���−1>�2�−3

所以，解得，所以原不等式解集为.

−2≤�−1≤244

−2≤2�−3≤23<�<23,2

故选：�A−.1>2�−3

【变式5-3】（2025·重庆·三模）已知函数是R上的偶函数，对任意，且

1212

都有，若，�=�(�+，1)，则的大小�关,系�是∈（1,+）∞�≠�

ln4

12

�(�)−�(�)e2

�1−�2>0�=�log36�=�(ln2)�=�(e)�,�,�

A．b<a<cB．a<b<cC．c<b<aD．b<c<a

【答案】A

【解题思路】根据函数为偶函数，推出函数的图象关于直线对称，再由条件推出

函数在�=上�单(�调+递1增)，于是可得�=�(�)，利用幂和�对=数1的运算性质和换底公

ee

�=�(�)(1,+∞)ln(2−ln2)=ln(2)

式，以及对数函数的单调性化简比较得，再由的单调性即可判断

ln4.

e2

23

【解答过程】因函数是R上的1<偶2函−数ln，则<log6<的e图=象2关于直线�=�(�)对称，

因对任意�=�(，�且+1)都有�，=即�(函�)数在�=1单调递增.

�(�1)−�(�2)

�1,�2∈1,+∞�1≠�2�1−�2>0�=�(�)(1,+∞)

因，，

ln4

e12ln2

1<log36=log32+1<21<2−ln2=ln(2e)=2ln2+1<2e=e=2,

由，可得，

ln4

1ln2111e2

log32−2ln2=ln3−2ln2=ln2(ln3−2)>01<2−ln2<log36<e=2

又由对称性可得：，

ee

ln(2−ln2)=ln(2)

故再由单调性，可得，即

ln4.

ee2

3

故选：A.ln(2−ln2)=ln(2)<�(log6)<�(e)�<�<�

【题型6函数的周期性】

【例6】（2025·四川凉山·一模）已知是定义在上的函数，．当时，

，则（）�����+1=−��2≤�<3��=5−

�

2A．�2025=B．C．D．

【答案】B−5−114

【解题思路】分析函数的周期性，再利用周期性将转化为已知区间内的函数值.

【解答过程】依题意函数满足�，(2可02得5)，即函数的周期为，

因此����+1，=−����+2=−��+1=��2

当�2025时=，�2×1012+1，=由�1，且，得，

�2

因此2≤�<3��=5.−2�2=5−2=1�2=−�1�1=−1

故选：�2B0.25=�1=−