第7章 不等式、推理与证明 第3节 基本不等式及其应用

第3节基本不等式及其应用

考试要求1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)

值问题.

知识诊断,基础夯实

知识梳理

1.基本不等式：板W等

(1)基本不等式成立的条件：b^O.

(2)等号成立的条件：当且仅当正2时取等号.

(3)其中号称为正数小〃的算术平均数，痘称为正数小。的几何平均数.

2.两个重要的不等式

(1)1+/?222g风7,Z?£R),当且仅当时取等号.

⑵①，Z?eR),当且仅当。=〃时取等号.

3.利用基本不等式求最值

已知x20,)，20,则

(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是2⑺(简记：积定

和最小).

_$2

(2)如果和x+y是定值$,那么当且仅当x=v时,.有最大值是w(简记：和定积

最大).

|常用结论，

4十注2(〃，〃同号)，当且仅当时取等号.

4.应用基本不等式求最值要注意：”一定，二正，三相等“，忽略某个条件，就

会出错.

5.在利用不等式求最值计，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，

则一定要保证它们等号成立的条件一致.

诊断自测

1.思考辨析(在括号内打“'”或“X”)

(1)两个不等式层+尻22,必与牛成立的条件是相同的.()

(2)函数的最小值是2.()

4

(3)函数7U)=sinx+;^：的最小值为-5.()

(4)x>0且y>0是^+!22的充要条件.()

答案(1)X(2)X(3)V(4)X

解析(1)不等式成立的条件是〃，ZJER；

不等式审2旃成立的条件是。20,b20.

(2)函数y=x+=的值域是(-8,—2]U[2,+8),没有最小值.

(4)x>0且y>0是>拄2的充分不必要条件.

2.(易错题)已知x>2,则工+士的最小值是()

A.lB.2C.2aD.4

答案D

解析・・”>2,Ax-2>0,

/.x+-==x-2+~二+2

x-2x—2

22y(x-2)=+2=4,

当且仅当x—2=」方，即x=3时，等号成立.

x~2

3.若x<0,则x+；()

A.有最小值，且最小值为2

B.有最大值，且最大值为2

C.有最小值，且最小值为一2

D.有最大值，且最大值为一2

答案D

解析因为x<0,所以一x>0,%+；=----x+(T]w-2y(-尤)•(一£)=

—2,当且仅当x=—1时，等号成立，

所以x+J《一2.

4.若x>0,)>0,且x+y=18,则的最大值为()

A.9B.18C.36D.81

答案A

解析因为x+y—18,所以^^V王干一9,当且仅当x—y—9时，等号成立.

5.一段长为3()m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m,则这个矩形

的长为m,宽为m时菜园面积最大.

答案15y

解析设矩形的长为xm,宽为ym.则x+2y=30,所以5=孙=$(2>户娶苧^

22251S

=竽，当且仅当x=2y,即x=15,产子时取等号.

6.已知小且a-3〃+6=0,则2。+七的最小值为________.

O

答案I

解析由题设知4—3〃=—6,又2">0,8，>0,所以2。十以22y24=22"2"=

当且仅当2"=/,即〃=-3,/?=1时取等号.故2“+/的最小值为"

考点突破,题型剖析

考点一利用基本不等式求最值

角度1配凑法求最值

例1(1)已知()<x<l,则x(3—2t)的最大值为.

即2+葡最小值为5・

角度3消元法求最值

例3已知,r＞0»y＞0,/+3y+肛=9,贝ijx+3y的最小值为

答案6

解析法一（换元消元桧）

由已知得x+3y=9一个，

因为人＞0,）＞0,

所以x+3y22y[3x）\

2

所以3x）W（空J,

所以上借支＞9-（H3y）,

即（x+3y）2+12（x+3y）-10820,

则工+3）店一18（舍去）或x+3y26（当且仅当x=3y,即x=3,）=1时取等号）,

故x+3y的最小值为6.

法二（代入消元法）

9一3），

由x+3y+xy=9,得x=

9—3v

所以“+3,二百7+3），

9+3)23(1+y)2—6(1+y)+12

=1+y=11+y

12

=3(f)+干-6

22y3(1+y)仔-6

=12—6=6,

12

当且仅当3(l+y)=1=，即y=l,x=3时取等号,

所以x-\~3y的最小值为6.

感悟提升利用基本不等式求最值的方法

⑴知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”,但应注意以下两点：①具备条

件——正数；②验证等号成立.

(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但

要注意利用基本不等式求最值的条件.

⑶构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用

“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解.

-f

训练1(1)已知函数人］)=干。＜一1),则()

A<X)有最小值4B.yu)有最小值一4

CK0有最大值4D./U)有最大值一4

(2)正数〃，h满足〃〃=〃+〃+3,则a+h的最小值为

答案(1)A(2)6

小皿-fx2-14~1

解析(1)/)=干=一叶］

(1A/1A

=—x—1+1+।.—2

卜x十1J\x十1

=-a+1)+-(J+E+2-

因为xV—l,所以x+lVO,-(x+l)>0,

所以凡r)22，T+2=4,

当且仅当一a+i)=—(/+1，

即x=-2时，等号成立.

故yu)有最小值4.

/Ir\2

(2)\*a>0,b>0,1»

2

即。+〃+3《审)，

整理得(。+〃)2—4(〃+加一1220,

解得a+bW—2(舍)或。+匕26(当且仅当a=b=3时取等号).

故的最小值为6.

[|考点二基本不等式的综合应用

例4（1）（2022•河南名校我考）已知直线〃龙+2力-1=0和『+）2=1相切，则浦的

最大值是（）

A.4B.zC.当D.l

（2）已知不等式。+），）（；+?29对任意正实数x,J恒成立，则正实数a的最小值

为（）

A.2B.4C.6D.8

答案（1）A（2）B

解析（1）圆广+）2=1的圆心为（0,0）,半径r=1,由直线数+2力-1=0和/

+）2=1相切，得I-H=1,则/+4反=1,又由1=a2-1~4b2^4ab,可得

yja2-1-4b2

当且仅当。=2仇即。=乎，8=乎时等号成立，故"的最大值是今

（2）已知不等式。+），）&+：）》9对任意正实数x,y恒成立，只需求。+），）&+：）的

最小值大于或等于9,

•••a+y)g+f)=i+*ax

y

2〃+2犯+1=(5+1)2,

当且仅当>=而时，等号成立,

.•・(W+1)229,・••心4,

即正实数a的最小值为4

感悟提升1.当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等

式的条件，然后利用常数代换法求最值.

2.求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定相关成立的条

件，从而得到参数的值或范围.

训练2（1）若△ABC的内角满足3sinA=sin8+sinC,则cosA的最小值是（）

A.|B.jC.1

(2)当x£(0,+8)时，ca2—3x+a20恒成立，则实数。的取值范围是

一3

答

案-

⑴汨⑵+

2,

一

解析(1)由题意结合正弦定理有%=8+c,结合余弦定理可得:

当且仅当人=。时等号成立.

综上可得，cosA的最小值是台

3r31

(2)加一3x+〃20,则aJ1_]=-।*x£(0,H-00),故x+122,当且仅当x

尸+,

3

33-

=1时等号成立，故尸一奇,2

叶一x

考点三基本不等式的实际应用

例5为了美化校园环境，园艺师在花园中规划出一个平行四边形，建成一个小花

圃，如图，计划以相距6米的M,N两点为一组相对的顶点，当口AMBN

的周长恒为2()米时，小花圃占地面积(单位：平方米)最大为()

答案D

解析设AM=xtAN=y,

则由已知可得x+y=l(),

在△MAN中，MN=6,

由余弦定理可得，

f+R—62G+y)2-36

当且仅当x=），=5时等号成立,

7

此时（COSA）min=25，

所以(sinA)max~25,

124

所以四边形AMBN的最大面积为2XTX5X5XTT=24,此时四边形AMBN是边

长为5的菱形.

感悟提升1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.

2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.

3.在求函数的最值时，一定要在定义域（使实际问题有意义的自变量的取值范围）

内求解.

训练3某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买元吨，运费为4万元/次，一

年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=

________吨.

答案20

解析该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买W次，运

费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用为之

和为（平4+41万元，¥，4+4X2160,当且仅当'10°=4X,即x=20时，一年

、人JJi

的总运费与总存储费用之和最小.

I分层训练,巩固提升

A级基础巩固

1.已知a,且必¥0,则下列结论恒成立的是（）

A..a-\-b^2y[abB./+、N2

a.b

C./]22D.a2+b2>2ab

答案c

解析因为树同号，所崛+汩肛船2.

2.若3x+2y=2,则8叶平的最小值为（）

A.4B.4&C.2D.2吸

答案A

解析因为3x+2），=2,所以8工+小22亚&=2、研/=4,当且仅当3x+2），=2

且3x=2y,即x=：,时等号成立.

3.若。>0,b>0,lga+lgO=lg（a+L）,则a+b的最小值为（）

A.8B.6C.4D.2

答案C

解析依题意出?=。+儿,即a+bW（%"）,

・・.〃+/?24,当且仅当〃=匕=2时取等号，

.,・《+/?的最小值为4.

『一1I

4.己知yu）=―—,则/“）在亍3上的最小值为（）

14

A，2B.§C.-1D.O

答案D

1"I（2—?r-|-1II

解析因为工㊂子3,所以式此二^-------=x+：—222—2=（）,当且仅当x=:,

一/JXXX

即X=1时取等号.

又3,所以於）在;，3上的最小值为0.

5.某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x

件，则平均仓储时间为|天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件

产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（）

A.60件B.80件

C.100件D.120件

答案B

解析设每批生产产品X件，则每件产品的生产准备费用是粤元，仓储费用是点元,

Xo

、，以#hJ8(X)।X、-工转上丁伊上用800/800、M“„.,,80()

总的费用是(一1+•兀，由基本不等式得一1+殍2\^^-X耳=20,当a且仅当q-

=9，即x=80时取等号.

O

6.对任意〃?，〃£(0,+°°),都有〃尸一〃〃2〃+2序2(),则实数〃的最大值为()

A.pB.2v5C.dD.1

答案B

解析二•对任意加，〃£(0,+°°),都有加一卬〃“+2/20,

AM2+2/72^67/72/2,即"上"=%+@恒成立，

nmnm

•牛霍2、腐=2版当且仅当彳=誓即〃尸啦〃时取等号，・・・〃W2但故

a的最大值为2叵

7.(2022河南顶级名校联考)已知各项均为正数的等比数歹!)｛〃〃｝,06,3675,S成等

差数列，若｛〃〃｝中存在两项“〃，或，使得4s为其等比中项，则A+3的最小值为

()

23

A.4B.9C.»D.z

JL

答案D

解析设各项均为正数的等比数列｛小｝的公比为q,g>0,

由06,345,47成等差数列，可得6。5=。6+〃7,即6〃同炉+。同6,

解得q=2(q=-3舍去)，

由｛〃“｝中存在两项。川，an,使得4m为其等比中项,

/w+n2

可得16a?=aman=a?-2-,

化简可得"z+〃=6,〃z,〃^N",

则2+沁"")(％)

中+"帘卷+2借用

当且仅当〃=2加=4时，上式取得等号.

8.已知x>0,)>0,且一j77+J=J,则x+y的最小值为()

X\1)乙

A.3B.5C.7D.9

答案C

解析・・”>0,），>0,且士+[=；,

X-i-15乙

・0+1+尸2图7+；卜+1+丁）

V

=21+1+

x+1号）

22（2+2\^'，J=8,当且仅当/^=卓，即x=3,y=4时取等号,

/.x+y>7,故x+y的最小值为7.

9.（2021・宜昌期末）某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每

月最少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本y（单位：元）与月

处理量M单位：吨）之间的函数关系可近似表示为尸#一300不+80000,为使每

吨的平均处理成本最低，该厂每月的垃圾处理量应为吨.

答案400

2

5—3004+80000nnn

解析由题意知，每吨垃圾的平均处理成本为4------------；-------=科辿詈

人乙人

—300,其中3OOWx〈6OO,又5+-30022y_300=400—300=

100,所以当且仅当5=配誉，即x=4（）0吨时，每吨垃圾的平均处理成本最低.

10.（2022・兰州诊断）设c均为正实数，若o+〃+c=l,则.

答案9

解析*•a,6,c均为正数，a+b-\-c=1,

；•!+坛=（。+计，'）川+3

=3+（婚）+（露M就）

23+2+2+2=9,当且仅当o=/7=c=g时，取等号.

11.（2020•江苏卷）已知+）/=1（x,）eR）,则F+y2的最小值是,

4

答案-

5

1—y|一）产

解析由题意知y#0.由5xY+y4=l,可得52,所以『+）?=5,+）?

=1^=K~2+4/jX2^-^X4y2=1,当且仅当已=4），2,即尸土乎时取等

号.所以f+y2的最小值为点

11Q

12.（2020•天津卷）已知6/＞0,〃＞（）,且必=1,则五+9+不吃的最小值为

答案4

解析因为。＞0,/?＞0,ab=\,

上〜田上cib.ah.8a+b8一1a+b8”...、/一〃

所以原式=五+五+1吃=”一十百石22y下一•不工=4，当且a仅当下一=

Q

士，即。+力=4时，等号成立.

a-vb

故―+++占的最小值为4.

La2ba-rb

B级能力提升

22

13.（2021•山西考前测试）己知a,b,c£（0,4-°°）,且。＞4,。〃+。。=4,则,+力+（

32

+B7的最小值是（）

A.8B.6C.4D.2

答案A

解析因为a,byc^（0,+°°）,且aZ?+ac=4,

航12」一2」322(〃+8+c)」32〃+A+c32山

ab-\-ca+Z?+ca(8+c)Q+〃+C2a-\-b-\-c^'

仅当7号,即a+"+c=8时取等号,所以〃+c=8—〃，代入"+

〃=4,解得a=4±2，5,

又因为。＞4,所以。=4+2小，/;+c=4—2小，此时等号成立,

故所求最小值为8.

14.（2022•合肥模拟）《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步,

问勾中容方儿何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原

理给出了这个问题的一般解法：如图1,用对角线将长和宽分别为方和。的矩形

分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角

三角形（朱、青）.将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形的

长为。+4宽为内接正方形的边长d,由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结

论.如图3,设。为斜边3c的中点，作直角三角形A8C的内接正方形的对角线

AE,过点A作AR_L3C于点凡则下列推断正确的是（）

①由图1和图2面积相等可得片；