平面向量数量积的坐标表示+高一下学期数学人教A版必修第二册

高一数学备课组6.3.5平面向量数量积的坐标表示1.经历两个向量数量积坐标表示的推导过程，并能运用数量积的坐标表示进行运算；2.会利用向量的坐标计算向量的模及夹角；3.能利用向量的坐标表示向量垂直的充要条件.学习目标

我们已经学习了把平面向量的线性运算用坐标来表示，将向量的部分运算问题转化成了代数运算问题.那么

1.向量的数量积可以不可以用坐标来表示呢？2.向量的平行关系可以用坐标来判断，那么垂直关系是否也能用坐标来判断呢？3.向量的模和夹角这些几何元素与坐标运算又有什么关系呢？带着这些问题我们走进今天的课堂.复习引入1.向量的数量积.2.向量的夹角.3.向量的模.4.向量垂直的充要条件.复习引入①i·i=_____

②j·j=_____

③

i·j=

_____④

j·i=_____1100问题1:设i,j分别是与x轴、y轴方向相同的单位向量，则xOyij知识精讲问题2：已知a=(x1,y1

),b=(x2,y2),怎样用a与b的坐标表示a·b呢?a=

x1i+

y1

j,

b=x2

i+

y2

j,

a·b=(x1

i+

y1

j)·(x2

i+

y2

j)a·b=x1

x2+

y1

y2

a·b=x1

x2i²+x1y2

i·

j+

y1x2

j·i+y1

y2j²两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.知识精讲

问题3：已知向量a=(x,y),怎样用a的坐标表示|a|呢？

问题4：如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为A

(x1,y1

),

B

(x2,y2),那么|a|如何用坐标表示呢？该公式也是用向量的方法推导两点间的距离公式知识精讲问题5：已知a=(x1,y1),b=(x2,y2

),你能用坐标形式表示a⊥b的充要条件吗？a⊥ba·b=0

x1

x2+

y1

y2=0问题6：已知a=(x1,y1

),b=(x2,y2

),那么a与b的夹角θ如何用坐标形式表示呢？知识精讲例1.

若点

A(1,2),B(2,3),C(-2,5)，则△ABC是什么形状？证明你的猜想.解：如图，在平面直角坐标系中画出A,B,C,我们发现△ABC是直角三角形，证明如下：因此,△ABC是直角三角形.知识精讲例2设a=(5,-7),b=(-6,-4),求a∙b及a，b的夹角θ(精确到1°).知识精讲例3：用向量方法证明两角差的余弦公式先根据三角函数定义标出角α，β，α-β终边与单位圆的交点坐标，然后根据圆的旋转对称性，从弧长等到弦长等，再利用两点间的距离公式和三角函数的相关公式进行推导，过程比较复杂.例3：用向量方法证明两角差的余弦公式证明：建立如图所示坐标系，以x轴的非负半轴为始边，作角α，β，它们的终边分别与单位圆o交于点A,B.则：运用向量工具进行探索，过程多么的简洁啊！知识精讲独学内化1：已知a=(2,3),b=(-2,4),

c=(-1,-2).求①(a+b)·(a

-b)；②a·(b+c)；

③(a+b)².2.已知a=(4,2),求与a垂直的单位向量的坐标.独学内化独学内化1：已知a=(2,3),b=(-2,4),

c=(-1,-2).求①(a+b)·(a

-b)；②a·(b+c)；

③(a+b)².2.已知a=(4,2),求与a垂直的单位向量的坐标.对一对、议一议，总结本组的共识、分歧和困惑.小组讨论交流对话小组代表发言，教师点评总结1：已知a=(2,3),b=(-2,4),

c=(-1,-2).求①(a+b)·(a

-b)；②a·(b+c)；

③(a+b)².解：法一①

a+b=(0,7),a-b=(4,-1),

(a+b)·(a-b)=0×4+7×(-1)=-7②b+c=(-3,2)

a·(b+c)=2×(-3)+3×2=0③(a+b)²=0²+7²=49解：法二①(a+b)·(a-b)=a²

-b²=(

2²+3²)-(

(-2)²+4²)=-7

②a·(b+c)=a·b+

a·c=

2×(-2)+3×4+2×(-1)+3×(-2)=0③(a+b)²=a²+2a·b+b²=

49交流对话2.已知a=(4,2),