第七讲 等差等比数列（学生版）

第七讲等差等比数列【知识梳理】一、等差数列1．等差数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．即，为常数．2．等差中项：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且．3．等差数列的通项公式及其变形以为首项，d为公差的等差数列的通项公式为．公式的变形：，．二、等差数列的前项和等差数列的前n项和公式：．令，，可得，则当，即时，是关于n的二次函数，点是的图象上一系列孤立的点；当，即时，是关于n的一次函数，即或常函数，即，点是直线上一系列孤立的点．三、等差数列的性质1．等差数列的常用性质（1）若，则；（2）若，则；（3）下标成等差数列的项组成以md为公差的等差数列2．与等差数列各项的和有关的性质设等差数列（公差为d）和的前n项和分别为，（1）数列是等差数列，首项为，公差为．（2）构成公差为的等差数列．（3）若数列共有项，则，；若数列共有项，则，．（4），．四、等比数列1．等比数列的概念如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．注意：（1）等比数列的每一项都不可能为0；（2）公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与无关的常数.2．等比中项如果在与中间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，此时．3．等比数列的通项公式及其变形首项为，公比为的等比数列的通项公式是．等比数列通项公式的变形：．4．等比数列与单调性当或时，是递增数列；当或时，是递减数列；当时，为常数列；当时，为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号．五、等比数列的前n项和公式首项为，公比为的等比数列的前项和的公式为六、等比数列及其前n项和的性质若数列是公比为的等比数列，前n项和为，则有如下性质：（1）若，则；若，则．推广：若，则．（2）若成等差数列，则成等比数列．（3）若项数为，则，若项数为，则．（4）当时，连续项的和（如）仍组成等比数列（公比为，）．注意：这里连续m项的和均非零．题型01等差数列基本量的计算【解题思路】（1）可由与构造关于的方程组即可求解（2）利用等差数列的性质可简化计算【例1】设为各项均不为零的等差数列的前n项和，若，则（

）A． B．2 C． D．3【例2】在等差数列中，(1)已知，，，求和；(2)已知，，求；(3)已知，，，求．【变式1-1】已知等差数列的前项和为，且，则（

）A．48 B．52 C．54 D．56【变式1-2】记公差不为零的等差数列的前项和为，若，则（

）A．13 B．12 C．11 D．10【变式1-3】等差数列的首项为5,公差不等于零.若,则（

）A．-2017 B． C． D．-2014题型02等差数列的证明【解题思路】一般用定义法判断一个数列是等差数列：若数列满足或为,则数列是等差数列.【例3】已知数列满足，，记.(1)求，；(2)求证：数列是等差数列；(3)求数列的前项和.【例4】已知数列满足.(1)求证：是等差数列.(2)求数列的通项公式.【变式2-1】已知数列中，，，.(1)求的值；(2)证明：数列是等差数列；(3)求数列的通项公式.【变式2-2】已知数列满足，（），令.(1)求的值；(2)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式.【变式2-3】在数列中4，，．求证：数列{}是等差数列；题型03等差数列的性质【解题思路】（1）通项公式的推广：在等差数列中，；（2）在等差数列中,若,则.特别的,若,则有【例5】在等差数列中，，则的值为（

）A．20 B．15 C．10 D．5【例6】在等差数列中，是方程的两根，若，则的值为（

）A． B． C．2 D．6【变式3-1】已知数列、是等差数列，其中且，那么．【变式3-2】在等差数列中，若，则.【变式3-3】已知等差数列的前项和为，，，则使得不等式成立的最大的的值为（

）A． B． C． D．题型04等差数列前n项和的性质【解题思路】（1）等差数列中,其前项和为,则中连续的项和构成的数列构成等差数列.（2）数列是等差数列(为常数)（3）等差数列奇偶项和的性质：①若项数为,则②【例7】已知等差数列与等差数列的前项和分别为与,且,则（

）A． B． C． D．【例8】（多选）已知各项都是实数的数列的前项和为，则下列说法正确的是（）A．若，则数列是递减数列B．若，则数列无最大值C．若数列为等比数列，则为等比数列D．若数列为等差数列，则为等差数列【变式4-1】设等差数列、的前项和分别为、，若对任意的，都有，则．【变式4-2】已知等差数列的前项和为，若，则.【变式4-3】（多选）公差为d的等差数列，其前n项和为，，，下列说法正确的有（

）A． B．C．中最大 D．题型05等差数列的最值问题【解题思路】求等差数列的前项和的最值通常有两种思路：（1）将配方，转化为求二次函数的最值问题,借助函数单调性来解决;(2)邻项变号法：当时,满足的项数使取最大值.当时,满足的项数使取最小值.【例9】（多选）已知数列的前项和为，若，则（

）A．4是数列中的项 B．当最大时，的值只能取5C．数列是等差数列 D．当时，的最大值为11【例10】（多选）已知公差不为的等差数列的前项和为，，，则的取值可能是（

）A． B． C． D．【变式5-1】（多选）已知等差数列的前项和为，公差为，且，若，则下列命题正确的是（

）A．数列是递增数列 B．是数列中的最小项C．和是中的最小项 D．满足的的最大值为25【变式5-2】已知公差不为0的等差数列中，，且，，成等比数列，则当时，取最大值，的最大值为．【变式5-3】等差数列中，已知，且在前项和中，仅当时，最大，则公差的取值范围为．题型06等比数列基本量的计算【解题思路】（1）在等比数列的五个量中,已知其中的三个量,通过解方程组,就能求出另外两个量；（2）在解决与前n项和有关的问题时,首先要对公比或进行判断,若两种情况都有可能,则要分类讨论.【例11】（多选）已知等比数列{an}满足，，设其公比为q，前n项和为，则（）A． B．C． D．【例12】在等比数列中，满足的通项公式可能是（

）A． B． C． D．【变式6-1】已知等比数列，记其前项乘积.若，，则的前5项和为.【变式6-2】已知等比数列的各项均为正数，其前n项和为，若，则.【变式6-3】等比数列的各项均为正数，其前项和为，已知，则.题型07等比数列的证明【解题思路】一般用定义法判断一个数列是等比数列：若数列满足(为常数且不为零)或为常数且不为零),则数列是等比数列.【例13】已知在数列中，，判断数列是否为等比数列，并求其通项公式.【例14】数列的前n项和为，，且成等差数列．(1)求的值；(2)证明为等比数列，并求数列的通项公式．【变式7-1】已知数列满足.(1)证明是等比数列，并求的通项公式；(2)求数列的前项和.【变式7-2】已知为数列的前项和，且．(1)求证数列是等比数列；(2)求数列的前项和．【变式7-3】已知数列满足，

(1)求(2)若，求证数列是等比数列并求数列的通项公式(3)求数列的通项公式题型08等比数列的性质【解题思路】（1）通项公式的推广：在等比数列中，；（2）在等比数列中,若,则.特别的,若,则有【例15】在等比数列中，是方程的两根，则（

）A． B． C． D．【例16】设等比数列的公比为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（

）A． B． C．的最大值为 D．【变式8-1】若等比数列满足，则等于（

）A．6 B．±6 C．5 D．±5【变式8-2】已知等比数列的首项为2，前项满足，，则正整数m＝.【变式8-3】已知公比为的等比数列中，，则该数列前项的和．题型09等比数列前n项和的性质【解题思路】（1）等比数列的前项和,满足成等比数列(其中均不为,这一性质可直接应用.（2）等比数列的项数是偶数时,；等比数列的项数是奇数时,.【例17】已知为等比数列的前项和，，，则（

）A．3 B． C． D．【例18】已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【变式9-1】已知是正项等比数列的前项和，，则的最小值为.【变式9-2】（多选）已知各项都是实数的数列的前项和为，则下列说法正确的是（

）A．若，则数列是递减数列B．若，则数列无最大值C．若数列为等比数列，则为等比数列D．若数列为等差数列，则为等差数列【变式9-3】已知等比数列中，，，，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5题型10由Sn求等差比数列的通项公式【解题思路】利用：形如或或【例19】（多选）已知等比数列的前n项和为，公比为q，且满足，，则（

）A． B．C． D．若，则当最小时，【例20】已知数列的前n项和为，且(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前n项和【变式10-1】已知数列的前n项和为，前n项积为，若，当取最小值时，.【变式10-2】已知等差数列，，其中，，仍成等差数列．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和，且，求．【变式10-3】已知数列的前项和为，且满足，.(1)求证：是等差数列；(2)求数列的通项公式.题型11等差比数列与数学文化【例21】朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升.”其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升.”在该问题中前7天共分发多少升大米？（

）A．1170 B．1440 C．1785 D．1772【例22】古代“微尘数”的计法：“凡七微尘，成一窗尘；合七窗尘，成一兔尘；合七兔尘，成一羊尘；合七羊尘，成一牛尘；合七牛尘，成于一虮；合于七虮，成于一虱；合于七虱，成一芥子；合七芥子，成一大麦；合七大麦，成一指节；累七指节，成于半尺……”这里，微尘、窗尘、兔尘、羊尘、牛尘、虮、虱、芥子、大麦、指节、半尺的长度构成了公比为7的等比数列．那么1指节是（

）A．兔尘 B．羊尘 C．兔尘 D．羊尘【变式11-1】分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形几何具有自身相似性，从它的任何一个局部经过放大，都可以得到一个和整体全等的图形.如图的雪花曲线，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图2，如此继续下去，得图（3）不断重复这样的过程，便产生了雪花曲线.记为第个图形的面积，如果这个作图过程可以一直继续下去，则将趋近于多少（

）A． B．C． D．【变式11-2】十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第1次操作；再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作；…；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段；操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”.设第次操作去掉的区间长度为，数列满足：，则数列中的取值最大的项为（

）A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项【变式11-3】如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层球数构成一个数列，则，．题型12等差数列与等比数列的综合应用【例23】已知等差数列的前项和为，，等比数列满足是和的等差中项，且(1)求数列的通项公式及前项和；(2)求数列的前项和.【例24】已知等比数列的公比是的等差中项．等差数列满足．(1)求数列的通项公式；(2)将数列与数列的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求此新数列的前50项和；【变式12-1】已知数列是递增的等差数列，数列是等比数列，且，、、成等比数列，，，(1)求数列和的通项公式(2)若，求数列的前n项和．【变式12-2】给出以下条件：①，，成等比数列；②，，成等比数列；③是与的等差中项．从中任选一个，补充在下面的横线上，再解答．已知单调递增的等差数列的前n项和为，且，__________．(1)求的通项公式；(2)令是以1为首项，2为公比的等比数列，求数列的前n项和．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）【变式12-3】已知是公比为的等比数列，前项和为，且，，，.(1)求的通项公式；(2)若对任意的，是和的等差中项，求数列的前项和.课后作业一、单选题1．已知数列是等差数列，数列是等比数列，，且，则（

）A． B． C． D．2．已知数列是公比为的正项等比数列，且，则（

）A． B． C． D．3．已知正项等比数列的前n项和为．若，则（

）A． B． C． D．4．等差数列的前n项和为，公差为d，，则下列结论错误的是（

）A．若，则 B．若，则C． D．5．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列选项不正确的是（

）A．为递