第十讲 导数的概念及其意义（解析版）

第十讲导数的概念及其意义【知识梳理】一、平均速度与瞬时速度（1）平均速度：一般地,在这段时间里,物体的平均速度（2）瞬时速度：把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.物体在某一时刻的瞬时速度为当时间间隔无限趋近于0时平均速度的极限,即二、割线的斜率和切线的斜率（1）割线的斜率：如图所示，平均变化率表示割线的斜率.（2）切线与切线的斜率①曲线的切线：如图所示，在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.②切线的斜率：曲线在某一点处切线的斜率,即当横坐标间隔无限趋近于0时,割线斜率的极限,即.三、导数（1）平均变化率：把比值,即叫做函数从到的平均变化率.（2）导数的概念：如果当时,平均变化率无限趋近于一个确定的值,即有极限,则称在处可导,并把这个确定的值叫做在处的导数(也称为瞬时变化率),记作或,即.（3）导数的几何意义：函数在处的导数,就是切线的斜率,即.（4）导函数当时,是一个唯一确定的数,当变化时,是的函数,称它为的导函数(简称导数),的导函数有时也记作,即.说明:①平均变化率与瞬时变化率的区别:平均变化率刻画函数值在区间上变化快慢,瞬时变化率刻画函数值在处变化的快慢.②平均变化率与瞬时变化率的联系:当趋于0时,平均变化率趋于一个常数,这个常数为函数在处的瞬时变化率,它是一个固定值.四、求切线方程1.求曲线“在”点处的切线方程：第一步：计算切点的纵坐标；第二步：计算切线斜率；第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率；第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：.2.求曲线“过”点处的切线方程第一步：设切点为；第二步：求出函数在点处的导数；第三步：利用Q在曲线上和，解出及；第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：.题型01平均变化率【解题思路】（1）求函数平均变化率的三个步骤第一步,求自变量的变化量;第二步,求函数值的变化量;第三步,求平均变化率.（2）求点附近的平均变化率,可用的形式.【例1】已知某物体运动的位移s是时间t的函数，且.(1)求这个物体t从3秒到3.1秒的平均速度；(2)求这个物体t从3秒到3.01秒的平均速度.【答案】(1)30.5(m/s)(2)30.05(m/s)【分析】由平均变化率的公式直接计算.【详解】（1）当时，，∵，∴.（2）当时，，∵，∴.【例2】下列四个函数中，在区间上的平均变化率最大的为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据平均变化率的计算即可比较大小求解.【详解】对于A，在上的平均变化率为，对于B，在上的平均变化率为，对于C,在上的平均变化率为，对于D，在上的平均变化率为，由于，故在上的平均变化率最大，故选：B【变式1-1】函数，当自变量由改变到时，的变化为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据的变化求得正确答案.【详解】依题意，的变化为.故选：D【变式1-2】若函数在区间上的平均变化率为3，则m等于．【答案】2【分析】利用平均变化率公式直接求解即可.【详解】由题意得，所以，或（舍去）．故答案为：2【变式1-3】在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度(单位：)与起跳后的时间(单位：)之间的函数关系式为.(1)求运动员在第一个内的平均速度；(2)求运动员在这段时间内的平均速度.【答案】(1)(2)【分析】根据平均速度的求法求得平均速度.【详解】（1）运动员在第一个内的平均速度即高度在区间上的平均变化率，即，故运动员在第一个内的平均速度为.（2）运动员在这段时间内的平均速度即高度在区间上的平均变化率，即，故运动员在这段时间内的平均速度为.题型02瞬时变化率【解题思路】求瞬时速度的步骤：（1）求位移增量,;（2）求平均速度,;（3）取极限,;（4）若极限存在,则时刻的瞬时速度为.【例3】某直线运动的物体从时刻到的位移为，那么为（）A．从时刻到物体的平均速度 B．从时刻到位移的平均变化率C．当时刻为时该物体的速度 D．该物体在时刻的瞬时速度【答案】D【分析】根据题意，由变化率与导数的关系，分析可得答案.【详解】根据题意，直线运动的物体，从时刻到时，时间的变化量为，而物体的位移为，那么为该物体在时刻的瞬时速度.故选：D.【例4】在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位m）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系．该运动员在s时的瞬时速度（单位：）为（

）A．10.9 B．0.1 C．6 D．5【答案】D【分析】对函数求导，将代入导函数求瞬时速度即可.【详解】由题设，则，所以运动员在s时的瞬时速度（单位：）为.故选：D【变式2-1】枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是，枪弹从枪口射出时所用的时间为s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度.【答案】【分析】计算出，代入即可求解.【详解】运动方程为，因为所以，所以，由题意知，，s，所以，即枪弹射出枪口时的瞬时速度为.【变式2-2】物体位移s和时间t满足函数关系，则当时，物体的瞬时速度为．【答案】80【分析】由瞬时变化速度计算公式可求当时，物体的瞬时速度.【详解】因为.所以该物体时，物体的瞬时速度为.故答案为：80【变式2-3】某高台跳水运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与跳起后的时间（单位：）存在函数关系，的图象如图所示，已知曲线在处的切线平行于轴，根据图象，给出下列四个结论：

①在时高度关于时间的瞬时变化率为；②曲线在附近比在附近下降得慢；③曲线在附近比在附近上升得快；④设在和时该运动员的瞬时速度分别为和，则．其中所有正确结论的序号是．【答案】①③④【分析】对于①，因为曲线在处的切线平行于轴，所以切线的斜率为0，即；对于②，比较大小即可；对于③，比较大小即可；对于④，，，比较大小即可.【详解】因为，所以.对于①，因为曲线在处的切线平行于轴，所以切线的斜率为0，即，所以在时高度关于时间的瞬时变化率为，故①正确；对于②，由题意知，所以，即曲线在附近比在附近下降得快，故②错误；对于③，由题意知，所以，即曲线在附近比在附近上升得快，故③正确；对于④，由题意知且，所以，，所以，所以.即，故④正确；故答案为：①③④.题型03导数的概念【解题思路】（1）在导数的概念中,增量的形式是多种多样的,但无论是哪种形式,分子中自变量的增量与分母中的增量必须保持一致,常见的形式还有:【例5】已知函数在处的导数为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据已知条件及函数在导数的定义即可求解.【详解】由题意得函数在处的导数，故A项正确.故选：A.【例6】用导数的定义求函数的导数．【答案】【分析】根据导数的定义直接计算即可求解.【详解】设，则，得，即函数的导数为.【变式3-1】若函数在处的瞬时变化率为，且，则（

）A．2 B．4 C． D．【答案】B【分析】根据导数的定义，直接代入求值.【详解】根据导数的定义可知，.故选：B【变式3-2】设，则（

）A． B． C．3 D．12【答案】B【分析】根据导数的定义进行转化即可.【详解】，.故选：B【变式3-3】设函数，若，则．【答案】1【分析】根据导数的定义求出，再将代入计算即可.【详解】解:因为=，∴，∴．故答案为：1题型04利用导数的定义求切线斜率【解题思路】用导数定义求函数在某一点处的切线斜率的步骤：①求函数的增量;②求平均变化率;③求极限.【例7】设存在导函数且满足，则曲线上的点处的切线的斜率为（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】由导数的定义及几何意义即可求解.【详解】解：因为存在导函数且满足，所以，即曲线上的点处的切线的斜率为，故选：A.【例8】曲线在点处的切线的斜率为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用导数的定义求得正确答案.【详解】设，故选：C【变式4-1】若为可导函数，且，则过曲线上点处的切线斜率为．【答案】2【分析】直接根据导数的定义计算得到答案.【详解】，故.故答案为：2【变式4-2】函数的图象在点处的切线的倾斜角的大小为．【答案】135°/【分析】利用导数的极限定义求解【详解】，即函数的图象在点处的切线的斜率为－1，所以切线的倾斜角．故答案为：135°【变式4-3】设是曲线上一点，求曲线在点P处切线的斜率.【答案】【分析】根据导数的几何意义，以及导数的定义，即可求解.【详解】，，当无限趋近于0时，无限趋近于所以曲线在点P处切线的斜率.题型05利用导数的概念求切线方程【解题思路】利用导数定义求函数在某一点处的切线斜率之后，然后用点斜式方程进行求切线方程即可【例9】函数在点处的切线方程为.【答案】【分析】由导数定义结合导数几何意义可得切线的斜率，即可得切线方程.【详解】则曲线在点处的切线方程的斜率为，得切线方程为，即.故答案为：【例10】已知函数图象上两点、.（1）若割线的斜率不大于，求的范围；（2）求函数的图象在点处切线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）求出割线的斜率（平均变化率），解不等式可得；（2）求出进的瞬时变化率即的斜率，然后可得切线方程．【详解】（1）由题意得，割线的斜率为，由，得，又因为，所以的取值范围是.（2）由（1）知函数的图象在点处切线的斜率为，又，所以切线的方程为，即.【变式5-1】已知曲线，，过两条曲线的交点作两条曲线的切线，求两切线与x轴围成的三角形的面积．（请用导数的定义求切线的斜率，否则只得结论分）【答案】．【解析】利用导数的定义先求出两条切线方程，再求出切线与轴的交点坐标，即可求出三角形的面积．【详解】解：由，得：，故两条曲线的交点坐标为，两条曲线切线的斜率分别为：，，两条切线的方程分别为，，即与，两条切线与x轴的交点坐标分别为，，两切线与x轴围成的三角形的面积为．【变式5-2】已知函数.(1)利用导数的定义求导函数；(2)求曲线在点处的切线的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用导数的定义可求得；（2）分析可知点在曲线上，求出的值，利用到导数的几何意义可求得所求直线的方程.【详解】（1）解：因为，所以，.（2）解：因为，故点在曲线上，又因为，所以，曲线在点处的切线的方程为，即.【变式5-3】已知曲线.(1)利用导数的定义求的导函数；(2)求曲线上横坐标为的点处的切线方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据计算可得；（2）首先求出切点坐标与切线斜率，再利用点斜式求出切线方程.【详解】（1）.（2）将代入曲线的方程，得，切点的坐标为，又切线的斜率，过点的切线的方程为，即.题型06已知切线（斜率）求参数【例11】若函数在处的切线方程为，则（

）A．2 B．3 C． D．【答案】D【分析】根据导数的几何意义得到，再根据导数的定义及极限的运算性质计算可得.【详解】因为函数在处的切线方程为，所以，所以.故选：D【例12】（多选）下列各点中，在曲线上，且在该点处的切线倾斜角为的是（）A． B．C． D．【答案】BC【分析】先设切点为，再利用导数的定义及几何意义求得，从而求得相应的，由此得解.【详解】依题意，设切点坐标为，因为，所以，解得，当时，；当时，；综上：所求切点为或.故选：BC.【变式6-1】如图，函数的图象在点处的切线是，则（

）A． B． C．2 D．1【答案】D【分析】根据已知求出切线方程，由导数的几何意义得，由切线方程得，从而可得结论．【详解】由题可得函数的图象在点处的切线与轴交于点，与轴交于点，则切线，即.所以，，，.故选：D．【变式6-2】若曲线在点处的切线垂直于直线，则点的坐标是．【答案】【分析】利用导数定义求出，设，根据垂直得出切线斜率为，则可得，进而求出点坐标.【详解】设，则，因为点处的切线垂直于直线，所以点处的切线的斜率为，所以，解得，则，即点的坐标是．故答案为：【变式6-3】已知直线和曲线相切，则切点坐标为，实数a的值为．【答案】【分析】设切点为，计算，确定，解得或，再验证得到答案.【详解】设直线与曲线相切于点，则，故，解得或，当时，；当时，.切点坐标为或．当切点为时，有，故（舍去）．当切点为时，有，故，因此切点坐标为，的值为.故答案为：；课后作业一、单选题1．质点M按规律s＝2t2＋3t做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M在t＝2s时的瞬时速度是（

）A．2m/s B．6m/sC．4m/s D．11m/s【答案】D【分析】本题首先分析题意，运用物理知识，进行数学结合.【详解】质点M在t＝2s时位移的平均变化率为＝＝11＋2Δt，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于11m/s.故选：D.2．函数，则自变量从变到时函数值的增量为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据变量的增量的定义进行计算．【详解】因为，所以，故C项正确.故选：C.3．已知函数，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】画出函数的图象，观察与连线的斜率即得.【详解】作出函数的图象，如图所示.

由图可知曲线上各点与坐标原点的连线的斜率随着的增大而减小.由，得，即，故选：C4．已知函数，，，，它们在平面直角坐标系中的图象如图所示，则，，，的大小关系是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据导数的几何意义，画出各个函数图象在处的切线，根据切线的斜率来判断即可．【详解】依次作出，，，在的切线，如图所示：根据图形中切线的斜率可知．故选：A．5．设存在导函数且满足，则曲线上的点处的切线的斜率为（

）A．-1 B．-3 C．1 D．【答案】D【分析】利用导数的定义求解.【详解】解：因为，所以，故选：D6．设曲线在点处的切线与x轴、y轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则的面积等于（

）A．1 B．2 C．4 D．6【答案】B【分析】根据导数的定义求出曲线在点处的切线的斜率，写出切线方程，求出直线在坐标轴上的截距，即可得解.【详解】，所以，故在点处的切线的斜率为，切线方程为，即．令，得，令，得，所以，故选：B二、多选题7．为了评估某治疗新冠肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．已知该药物在人体血管中药物浓度随时间的变化而变化，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如图所示．则下列结论正确的是（

）

A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同B．在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同D．在和两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同【答案】AC【分析】利用图象可判断A选项；利用导数的几何意义可判断B选项；利用平均变化率的概念可判断C选项；利用平均变化率的概念可判断D选项.【详解】选项A，在时刻，两图象相交，说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同，即选项A正确；选项B，在时刻，两图象的切线斜率不相等，即两人的不相等，说明甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，即选项B错误；选项C，由平均变化率公式知，甲、乙两人在内，血管中药物浓度的平均变化率均为，即选项C正确；选项D，在和两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率分别为和，显然不相同，即选项D不正确．故选：AC.8．若当，满足，则下列结论正确的是（

）A．B．C．曲线上点处的切线斜率为D．曲线上点处的切线斜率为【答案】AD【分析】根据导数的定义和几何意义依次判断各个选项即可.【详解】由得：，即，曲线上点处的切线斜率为，C错误；D正确；，A正确；B错误.故选：AD.9．已知函数的图象如图所示，若为的导函数，则下列关系正确的是（

）

A． B．C． D．【答案】BD【分析】根据导数的几何意义结合图象即可判断各选项.【详解】对于AB，由图可知，，所以，A错B对；对于CD，由图可知，，所以C错D对.故选：BD三、填空题10．如图，水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，试分别找出与各容器对应的水面高度h与时间t的函数图象

A．

B．

C．

D．

【答案】容器（1）对应B，容器（2）对应A，容器（3）对应D，容器（4）对应C.【分析】根据容器的形状判断水面高度h随时间t的变化率的变化趋势，即可确定对应函数图象.【详解】由于单位时间内注入水的体积相同，容器（1）水面高度h随时间t的变化率恒定