第十三讲 利用导数研究函数的极值与最大（小）值（解析版）

第十三讲利用导数研究函数的极值与最大（小）值【知识梳理】一、函数的极值1.极值的概念：若函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作；如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作；极大值与极小值统称为极值，称为极值点．2.求可导函数极值的步骤求导函数求方程的根考查在方程的根附近的左右两侧导数值的符号如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值．二、函数的最值1.最值的概念：函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我们有如下结论：一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.2.求可导函数最值的步骤：求在内的极值（极大值或极小值）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．三、函数的最值与极值的关系1.极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；2.在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；3.函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；4.对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.题型01函数（导函数）图象与极值的关系【解题思路】（1）对于原函数,要注意其图象在哪个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减;（2）对于导函数,则应注意其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于零【例1】（多选）函数的导函数的图象如图所示，则（

）A．是函数的极值点 B．3是函数的极大值点C．在区间上单调递减 D．1是函数的极小值点【答案】AC【分析】根据导函数的图象，得出函数的单调区间，进而即可得出函数的极值情况.【详解】对于A项，由图象可知，当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减.所以，在处取得极大值.故A正确；对于B项，由图象可知，当时，恒成立，且不恒为0，所以在上单调递减.所以，3不是函数的极大值点.故B错误；对于C项，由B可知，在区间上单调递减.故C正确；对于D项，由B可知，在上单调递减.所以，1不是函数的极小值点.故D错误.故选：AC.【例2】（多选）已知函数及其导函数的部分图象如图所示，设函数，则（

）A．在区间上是减函数 B．在区间上是增函数C．在时取极小值 D．在时取极小值【答案】BC【详解】根据图象得到的符号，即可得到的符号，进而得到的单调性和极值.【分析】结合图像可知，当时，当时，，当时，，，因，故当时，，在区间上单调递减，当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减，故在处取得极小值，在处取得极大值，故选：BC【变式1-1】已知函数的定义域为，导函数在内的图像如图所示，则函数在内的极小值有（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据导函数得到函数单调性，进而得到和为极大值，为极小值，从而得到答案.【详解】在内的图像如下，

当时，单调递增，时，单调递减，故为函数极大值点，为极大值，当时，单调递增，故为函数极小值点，为极小值，当时，单调递减，故为函数极大值点，为极大值，故函数在内的极小值有1个.故选：A【变式1-2】（多选）已知函数的导函数的图象如图所示，则（

）A．在区间上单调递增B．在区间上有且仅有2个极值点C．在区间上最多有4个零点D．在区间上存在极大值点【答案】CD【分析】结合导数图像的正负性，判断原函数的单调性，进而逐一对选项辨析即可.【详解】由图可知，在区间为负，单调递减，在区间为正，单调递增，故A错误；在区间上有3个零点，且零点附近左右两边的值一正一负，故有3个极值点，故B错误；在区间，为负，单调递减，在区间，为正，单调递增，则在与时取得极小值，在时取得极大值，则当与时，，且时，在区间上最多有4个零点,故C正确；在区间上为正，单调递增，在区间上为负，单调递减，则为极大值点，故D正确；故选：CD.【变式1-3】（多选）已知定义域为R的函数，且函数的图象如图，则下列结论中正确的是（

）

A．B．函数在区间上单调递减C．当时，函数取得极小值D．当时，函数取得极小值【答案】AD【分析】根据题图判断原函数的函数符号，进而确定在对应区间上的符号，判断区间单调性、极值.【详解】由图知：，即，A对；由上，故，则在区间上单调递增，B错；和上，和上，所以、上，、上，故在、上递增，、上递减，则为极大值，为极小值，C错，D对.故选：AD题型02求不含参函数的极值【解题思路】求可导函数的极值的步骤：①求函数的定义域;②求函数的导数;③令,求出全部的根;④列表:方程的根将整个定义域分成若干个区间,把在每个区间内的变化情况列在一个表格内;⑤判断得结论:若导数在附近左正右负,则在处取得极大值;若左负右正，则取得极小值.【例3】已知函数在处有极值.(1)求、的值；(2)求出的单调区间，并求极值.【答案】(1)，(2)答案见解析【分析】（1）由题意可得出，即可解得实数、的值；（2）利用导数与函数单调性的关系可求得函数的增区间和减区间，由此可得出函数的极值.【详解】（1）解：因为，该函数的定义域为，，则，解得，此时，，经检验，，合乎题意.因此，，.（2）解：因为，该函数的定义域为，，令，可得，列表如下：减极小值增所以，函数的递减区间为，递增区间为，函数的极小值为，无极大值.【例4】求下列函数的单调区间和极值．(1)；(2)．【答案】(1)在上单调递增，没有极值(2)在和上单调递减，在上单调递增，极大值为1，极小值为0．【分析】利用导数求得函数的单调区间，进而求得函数的极值.【详解】（1）因为，所以恒为正，在上单调递增，因此没有极值．（2）．令，得或．1和2将区间分为三个区间，列表如下：1200递减极小值0递增极大值1递减故在和上单调递减，在上单调递增，因而极大值为1，极小值为0．【变式2-1】已知函数的极小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用极值的概念求解即可.【详解】因为，所以，令得，令得，令得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以的极小值为.故选：D【变式2-2】已知函数，为的导函数，，则（

）A．的极大值为，无极小值B．的极小值为，无极大值C．的极大值为，无极小值D．的极小值为，无极大值【答案】C【分析】本题考查利用导数判断函数的极值，考查考生的运算求解能力，可按下列顺序求解：的单调性的极值情况【详解】的定义域为，，所以，求导得，令，得，当时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，且当时，取得极大值，无极小值．故选：C．【变式2-3】已知函数(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数的极值.【答案】(1)(2)极大值为，极小值为【分析】（1）根据题意，求导得，由导数的几何意义即可得到结果.（2）根据题意，求导得，令即可得到极值点，从而得到结果【详解】（1）因为，且，则，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）因为，令，解得或，当时，，则函数单调递增；当时，，则函数单调递减；当时，，则函数单调递增；当时，有极大值为，当时，有极小值为.综上所述，极大值为，极小值为.题型03求不含参函数的最值【解题思路】求解函数在固定区间上的最值的步骤：①对函数进行准确求导,并检验的根是否在给定区间内；②研究函数的单调性,正确确定极值和端点函数值；③比较极值与端点函数值的大小,确定最值【例5】设函数(1)求的极大值点与极小值点及单调区间；(2)求在区间上的最大值与最小值．【答案】(1)极大值点，极小值点；单调递增区间为，单调递减区间为，(2)最大值为63，最小值为0【分析】（1）求函数的导数，利用函数的导数和极值之间的关系求函数的极大值点与极小值点以及单调区间；（2）利用导数求出极值，端点的函数值，然后求函数的最大值和最小值．【详解】（1）函数的导数为．令，解得，．由，得，即的单调递增区间为，由，得或，即的单调递减区间为，．的极大值点，极小值点．（2）列表当x变化时，，的变化表为：x0－0＋极小值当时，，当时，，当时，．∴在区间上的最大值为63，最小值为0.【例6】当.时，函数在区间上取最小值.【答案】【分析】求出函数的单调区间，根据函数的增减性确定极小值点，再比较端点值即可得解.【详解】，因为，所以，由可得，解得或，即或，同理由可得，解得，故函数在和上单调递增，在上单调递减，所以函数的极小值点为，又，所以当时，有最小值.故答案为：【变式3-1】已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求在上的最值.【答案】(1)(2)最小值为-14，最大值为175【分析】（1）求出导函数，求出和，然后代入点斜式直线方程化简即可求解；（2）利用导数求解函数的单调性区间，然后利用单调性求解最值即可.【详解】（1）因为，所以.因为，所以所求切线方程为，即.（2），令，得或.当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增.因为，所以.因为，所以，故在上的最小值为-14，最大值为175.【变式3-2】求下列函数的最值．(1)；(2).【答案】(1)最小值；最大值18.(2)最小值0；最大值π.【分析】（1）（2）求出函数的导数，确定函数的单调区间及单调性，再求出最值即得.【详解】（1）函数，求导得，当或时，，函数在，上单调递增，当时，，函数在上单调递减，而，，所以函数在处取得最小值，在取得最大值.（2）函数，求导得，当或时，，函数在，上单调递增，当时，，函数在上单调递减，而，，所以函数在处取得最小值，在取得最大值.【变式3-3】已知函数，若曲线在处的切线方程为.(1)求a，b的值；(2)求函数在区间上的最值．【答案】(1)(2)最大值是，最小值是【分析】（1）求导，求出和，通过点斜式可得切线方程；（2）求导，确定函数单调性，通过确定极值和端点值的大小来确定最值.【详解】（1）函数，，由题意得：.解得：（2）由（1）知，，令，解得：

列表如下：x(，2)2(2，e)e0+2e－2↘ln2↗由上表可知，函在区间[上的最大值是，最小值是.题型04已知函数的极值求参数【解题思路】（1）利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程,从而求出参数的值.（2）导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件,所以必须对求出的参数值进行检验,看是否符合函数取得极值的条件.【例7】已知函数在处有极值0，则实数的值为（

）A．4 B．4或11 C．9 D．11【答案】D【分析】根据极值点列方程，结合函数的单调性确定其正确答案.【详解】，则，即，解得或.当时，，不符合题意，舍去；当时，，令，得或；令，得．所以在上单调递增，在上单调递减，符合题意，则．故选：D【例8】若函数与函数有相等的极小值，则实数（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】由对勾函数可知：的极小值，对求导，利用导数判断的单调性和极值，运算求解即可.【详解】由对勾函数可知：在时取到极小值，对于，则有：当时，在定义域内单调递减，无极值，不合题意；当时，，令，解得；令，解得；则在上单调递减，在上单调递增，所以的极小值为，解得.故选：B.【变式4-1】已知函数在处取得极小值5．(1)求实数a，b的值；(2)当时，求函数的最小值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由题意得到，，求出，，检验后得到答案；（2）求导，得到函数单调性，进而得到极值和最值情况，得到答案.【详解】（1），因为在处取极小值5，所以，得，此时所以在上单调递减，在上单调递增所以在时取极小值，符合题意所以，．又，所以．（2），所以列表如下：0123001↗极大值6↘极小值5↗10由于，故时，．【变式4-2】已知函数在处取得极大值，求的值.【答案】【分析】求出导函数，根据已知得出，代入求解方程组即可得出的值.进而求出函数的单调区间，检验极值即可.【详解】由已知可得，所以有，即，解得，所以.解可得，，.解可得，或，所以在上单调递增，在上单调递增；解可得，，所以在上单调递减.所以，在处取得极大值，满足题意.所以，.【变式4-3】若函数在区间内只有极小值，无极大值，则实数的取值范围是.【答案】【分析】利用函数极小值与导数的关系，列式计算即可.【详解】因为在区间内只有极小值，无极大值，所以0在区间内只有一个左负右正的异号根，即关于的方程在区间内只有一个左负右正的异号根，所以，得.故答案为：.题型05利用极值研究方程根的方法【解题思路】（1）研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题.一般地,方程的根就是函数的图象与轴交点的横坐标,方程的根就是函数与的图象的交点的横坐标.（2）利用导数可以判断函数的单调性,研究函数的极值情况,并能在此基础上画出函数的大致图象,从直观上判断函数图象与轴的交点或两个函数图象的交点的个数,从而为研究方程根的个数问题提供了方便.【例9】已知函数在处取得极值．(1)求实数的值；(2)若函数在内有零点，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据，求出的值，再验证即可；（2）利用导数得出函数在是的最值，由求解即可.【详解】（1）解：∵,所以，又在处取得极值，∴，解得.经验证时，，当时，；当时，，所以在处取得极值.所以；（2）解：由（1）知，，∴的极值点为，将，，在内的取值列表如下：0(0，1)1(1，2)2－0＋b单调递减极小值b－2单调递增b＋2∵在内有零点，∴，解得，∴实数的取值范围是.【例10】已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若函数有三个不同的零点，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2)．【分析】（1）求出导数，计算出切点及斜率，写出直线方程即可;（2）利用导数求出单调区间以及极值，要使函数有三个不同的零点，只需满足计算即可.【详解】（1）当时，，．所以，，所以切线l：，即（2）令，得或．当或时，；当时，．∴的增区间为，；减区间为．∴的极大值为，的极小值为．∴，解得：．此时，，所以函数有三个不同的零点，所以．【变式5-1】设函数．(1)若，求函数的单调区间；(2)若函数恰有一个零点，求实数的取值范围．【答案】(1)递增区间为，，递减区间为；(2).【分析】（1）利用导数研究的符号，即可得的单调区间.（2）讨论、、，结合的极值，要使恰有一个零点，有极大值小于0或极小值大于0，即可求参数范围.【详解】（1）由题设，，而，则，由于的关系为：极大值极小值递增递减递增所以的递增区间为，，递减区间为；（2）当时，由（1），极大值，极小值，要使有且仅有一个零点，所以或，解得，所以；当时单调递增，显然有且只有一个零点，符合题意；当时，递增区间为，，递减区间为；极大值，极小值，要使有且仅有一个零点，所以或，解得，所以；综上：.【变式5-2】已知函数在处有极值0.(1)讨论函数的单调性；(2)记，若函数有三个零点，求实数k的取值范围.【答案】(1)增区间，，减区间上单调递减(2)【分析】（1）求得，根据题意列出方程组，求得的值，进而求得函数的单调区间；（2）根据题意得到，求得，由（1）中函数的单调性，求得函数极值，结合题意列出不等式组，即可求解.【详解】（1）解：由函数，可得，因为在处有极值0，可得，即，解得或，当时，，此时函数在R上单调递增，不满足在时有极值，故舍去，故，，所以，可得，∴当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以函数在，上单调递增，在上单调递减.（2）解：由（1），可得，则，由（1）知在和上单调递增，在上单调递减，所以的极大值为，的极小值为，要使函数有三个零点，则须满足，解得，故实数k的取值范围为.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解【变式5-3】已知三次函数的极大值是20，其导函数的图象经过点，.如图所示.(1)求的单调区间；(2)求a，b，c的值；(3)若函数有三个零点，求m的取值范围.【答案】(1)单调递减区间是；单调递增是和.(2)(3)【分析】(1)通过导函数的图象与原函数单调性的联系可得结果；(2)由导函数零点与原函数极值点可建立方程组，从而解得a，b，c的值；(3)由图象可知函数的单调性及极值，函数有三个零点等价于与有三个交点，继而可得m的取值范围.【详解】（1）根据图象可知时，，即单调递减；和时，，即单调递增；故答案为：单调递减区间是；单调递增是和.（2）由已知可得：和是的两个根，由（1）可得的极大值在处取得，故解得：故答案为：（3）由（2）知，的极小值为：结合的单调性可作其草图，如下所示函数有三个零点等价于与有三个交点，所以.故答案为：题型06已知函数的最值求参数【解题思路】已知函数最值求参数的步骤：①求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值.；②通过比较它们的大小,判断出哪个是最大值,哪个是最小值；③结合已知求出参数,进而使问题得以解决.注意分类讨论思想的应用.【例11】若函数的最小值为，则实数（

）A． B． C．4 D．【答案】B【分析】分三种情况，利用导数讨论函数单调性，求出每种情况下的函数最小值，进而确定的值。【详解】因为，所以，由题意，易知，当时，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以在时，取得最小值，即，解得；当时，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以无最小值，故舍去；综上，实数.故选：B.【例12】（多选）函数，的最大值为，最小值为，则（

）A．或 B．若，则C．若，可得 D．或【答案】AB【分析】对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，结合函数的最值可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出合适的选项.【详解】因为，，则，当时，则为常值函数，不合乎题意；当时，由可得，由可得，所以，函数在上单调递增，在上单调递减，此时，，则，又因为，，因为，则，解得；当时，由可得，由可得，所以，函数在上单调递减，在上单调递增，此时，，解得，又因为，，因为，则，解得.综上所述，或，AB都对，CD都错.故选：AB.【变式6-1】如果函数在上的最大值是2，那么在上的最小值是.【答案】/-0.5【分析】利用导数求函数单调区间，由最大值得值，结合单调性可求最小值.【详解】，则，令，得或.当时，，则为增函数；当时，，则为减函数.∴当时，取得最大值为a，得，又，.∴在上，的最小值为.故答案为：.【变式6-2】已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，若函数有最小值2，求a的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义求得答案；（2）对求导，得到的单调性，可得，再令，证得，即，可得出答案.【详解】（1）当时，，的定义域为，则，则，，由于函数在点处切线方程为，即.（2）的定义域为，，当时，令，解得：；令，解得：，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，，即则令，设，，令，解得：；令，解得：，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，解得：.【变式6-3】设.当时，在上的最小值为－，求在该区间上的最大值.【答案】【分析】通过导数判断单调性，得到，从而可得，进而可得.【详解】由题，，因为，则其对应判别式为：，令得两根，显然，令，解得或；令解得；所以在上单调递减，在上单调递增.又注意到，当时，有，则在上递增，在上递减.所以在上的最大值为.，注意到，即，所以在上的最小值为，从而在上的最大值为.题型07与函数最值有关的恒成立问题【解题思路】（1）不等式恒成立问题的转化技巧：①或恒成立或；②或)恒有解或）；③恒成立其中）;④恒有解其中).（2）对于函数,若存在,使得或成立,则或.【例13】已知函数(1)当时，求的最小值；(2)若关于x的不等式恒成立，求a的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意写出函数解析式，利用导数研究其单调性，求得其最值；（2）根据函数解析式求得导数，结合分类讨论思想，可得答案.【详解】（1）当时，，则由，得，由，得，则在上单调递减，在上单调递增，故．（2）由题意可得．当时，由，得，由，得，则在上单调递减，在上单调递增，故．因为不等式恒成立，所以，解得．当时，，不符合题意．综上，a的取值范围是．【例14】已知函数在处有极值10．(1)求实数，的值;(2)若方程在区间内有解，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）依题意得，解方程可得的值，最后检验即可；（2）分析在上的单调性，结合极值即可求解的取值范围．【详解】（1）由可得又为极值点，所以，又极值为10，即，则，可得：或，当时，，（不恒为0），在上单调递增，无极值．当时，，，100单调递增极大值单调递减极小值单调递增综上．（2）由（1）知，时，为减函数，时，为增函数，又因为方程在区间内有解，所以实数的取值范围为.【变式7-1】若在上有解，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由变形为，令，从而利用的单调性可得在上有解，参变分离后可得，令，求导后利用单调性即可求解.【详解】因为，所以，令，则，因为在R上都是增函数，所以在R上是增函数，所以在上有解，即，令，则所以当时，，在上单调递增，所以.故选：B【点睛】方法点睛：函数存在性和恒成立问题，构造新函数并利用新函数的性质是解答此类问题的关键，并注意把握下述结论：①存在解；恒成立；②存在解；恒成立；③存在解；恒成立；④存在解；恒成立【变式7-2】已知不等式恒成立，则的取值范围是．【答案】【分析】根据给定条件，分离参数构造函数，求出函数的最大值即得.【详解】当时，不等式，令，，依题意，恒成立，由，求导得，当时，，当时，，因此函数在上单调递增，在上单调递减，则，从而，即，所以的取值范围是.故答案为：【点睛】方法点睛：解决不等式恒成立问题常用分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，恒成立，只需即可；恒成立，只需即可.【变式7-3】已知函数，其中．(1)若函数在处取得极值，求实数a；(2)若函数在上恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，求导得，由条件可得，求得，然后代入检验即可；（2）根据题意，由条件可得在上恒成立，构造函数，求得其最大值，即可得到结果.【详解】（1）因为函数，定义域为，且，由函数在处取得极值，可得，所以，当时，，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，所以当时，取得极小值，综上所述，.（2）函数在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，令，即，又，当时，，所以在单调递减，则，所以，则实数a的取值范围为.【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键.题型08利用导数解决实际问题【解题思路】①分析实际问题中各量之间的关系,找出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式;②求函数的导数,解方程;③比较函数在区间端点和极值点的函数值大小,最大(小)者为最大(小)值;④把所得数学结论回归到数学问题中,看是否符合实际情况并下结论.【例13】已知函数(1)当时，求的最小值；(2)若关于x的不等式恒成立，求a的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意写出函数解析式，利用导数研究其单调性，求得其最值；（2）根据函数解析式求得导数，结合分类讨论思想，可得答案.【详解】（1）当时，，则由，得，由，得，则在上单调递减，在上单调递增，故．（2）由题意可得．当时，由，得，由，得，则在上单调递减，在上单调递增，故．因为不等式恒成立，所以，解得．当时，，不符合题意．综上，a的取值范围是．【例14】已知函数在处有极值10．(1)求实数，的值;(2)若方程在区间内有解，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）依题意得，解方程可得的值，最后检验即可；（2）分析在上的单调性，结合极值即可求解的取值范围．【详解】（1）由可得又为极值点，所以，又极值为10，即，则，可得：或，当时，，（不恒为0），在上单调递增，无极值．当时，，，100单调递增极大值单调递减极小值单调递增综上．（2）由（1）知，时，为减函数，时，为增函数，又因为方程在区间内有解，所以实数的取值范围为.【变式7-1】若在上有解，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由变形为，令，从而利用的单调性可得在上有解，参变分离后可得，令，求导后利用单调性即可求解.【详解】因为，所以，令，则，因为在R上都是增函数，所以在R上是增函数，所以在上有解，即，令，则所以当时，，在上单调递增，所以.故选：B【点睛】方法点睛：函数存在性和恒成立问题，构造新函数并利用新函数的性质是解答此类问题的关键，并注意把握下述结论：①存在解；恒成立；②存在解；恒成立；③存在解；恒成立；④存在解；恒成立【变式7-2】已知不等式恒成立，则的取值范围是．【答案】【分析】根据给定条件，分离参数构造函数，求出函数的最大值即得.【详解】当时，不等式，令，，依题意，恒成立，由，求导得，当时，，当时，，因此函数在上单调递增，在上单调递减，则，从而，即，所以的取值范围是.故答案为：【点睛】方法点睛：解决不等式恒成立问题常用分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，恒成立，只需即可；恒成立，只需即可.【变式7-3】已知函数，其中．(1)若函数在处取得极值，求实数a；(2)若函数在上恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，求导得，由条件可得，求得，然后代入检验即可；（2）根据题意，由条件可得在上恒成立，构造函数，求得其最大值，即可得到结果.【详解】（1）因为函数，定义域为，且，由函数在处取得极值，可得，所以，当时，，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，所以当时，取得极小值，综上所述，.（2）函数在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，令，即，又，当时，，所以在单调递减，则，所以，则实数a的取值范围为.【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键.课后作业一、单选题1．函数的导函数的图像如图所示，以下命题错误的是（

）

A．是函数的最小值B．是函数的极值C．在区间上单调递增D．在处的切线的斜率大于0【答案】A【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．【详解】根据导函数图象可知当时，，在时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，故C正确；易知是函数的极值，故B正确；因为在上单调递增，则不是函数的最小值，故A错误；因为函数在处的导数大于0，即切线的斜率大于零，故D正确.故选：A．2．若函数在处取得极小值，则（

）A．4 B．2 C．-2 D．-4【答案】A【分析】先由，求得的值，再代入导函数，根据函数的单调性，进行验证.【详解】由题意可得，则，解得.当时，，当或时，，则在，单调递增，当时，，则在单调递减，所以，函数在处取得极小值，此时.故选：A3．函数在区间上的最大值是（

）A．0 B． C． D．【答案】C【分析】对函数求导利用函数导数的单调性求函数极值，在计算端点值，比较得出最大值.【详解】因为，所以，令或，又，所以当时，，所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递减，所以函数有极大值，又，所以函数在上的最大值为：，故选：C.4．如图，某几何体由两个相同的圆锥组成，且这两个圆锥有一个共同的底面，若该几何体的表面积为，体积为V，则的最大值为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】设其中一个圆锥的底面半径为r，高为h，由表面积为可解得取值范围，再由体积公式列出的表达式，通过换元法和求导即可求出的最大值.【详解】设其中一个圆锥的底面半径为r，高为h，则，则，解得，∴，，令，设，求导，令，解得，当，，函数单调递增；当，，函数单调递减；∴，∴的最大值为．故选：A．5．已知函数在处取得极值5，则（

）A． B． C．3 D．7【答案】A【分析】求出函数的导数，得到关于,的方程组，解出即可．【详解】函数，则，因为在处取极值5，所以，解得：，经检验满足题意.故.故选：A6．若方程有解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分离参数为，构建新函数，再求新函数的值域即可作答.【详解】因，则有，，令，则，时时，在上递增，在上递减，时，，即值域为，方程有解，即有解，必有，所以实数的取值范围是.故选：B二、多选题7．已知函数的定义域为R，函数的导函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（

）A．函数的单调递减区间是B．函数的单调递增区间是，C．处是函数的极值点D．时，函数的导函数小于0【答案】BD【分析】综合应用函数的单调性与导函数的关系即可解决.【详解】根据导函数的图象，对于A项，在上，，可得函数的单调递减区间是，故A错误；对于B项，在上，，在上，可得函数的单调递增区间是，，故B正确；对于C项，是的变号零点，且时，，当时，，故是函数的极大值点，是的不变号零点，不是函数的极值点，故C错误；对于D项，，故D正确.故选：BD.8．下列函数中，存在极值点的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】根据极值的定义以及导数符号对选项一一验证即可.【详解】对于A，，定义域为，其导数，则函数在和上单调递增，没有极值点，故A错误；对于B，在定义域上单调递减，没有极值点，故B错误；对于C，，定义域为，其导数，再时，，函数单调递减，再时，，函数单调递增，则当时，函数取得极小值，故C正确；对于D，，定义域为，其导数，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，则当时，函数取得极小值，故D正确；故选：CD.9．已知函数的最大值为3，最小值为，则的值可能为（

）A． B． C． D．【答案