第一讲 空间向量及其运算（学生版）

第一讲空间向量及其运算【知识梳理】一、空间直角坐标系及有关概念1．空间直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系，如图所示.2．空间两点间的距离公式、中点公式（1）距离公式①设点，为空间两点，则两点间的距离.②设点，则点与坐标原点O之间的距离为.（2）中点公式设点为，的中点，则.3．空间向量的有关概念空间向量：在空间中，具有大小和方向的量单位向量：长度(或模)为1的向量零向量：长度(或模)为0的向量相等向量：方向相同且模相等的向量二、空间向量的有关定理及运算1.共线向量定理对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数λ，使得推论：对空间任意一点O，点P在直线AB上的充要条件是存在实数t，使（其中）.2.共面向量定理如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使.推论：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使；或对空间任意一点O，有.3.空间向量基本定理如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组，使得.其中，{}叫做空间的一个基底，都叫做基向量.注意：（1）空间任意三个不共面的向量都可构成基底；（2）基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；（3）不能作为基向量.4.空间向量的运算设，则，，，，，，.题型01空间向量的线性运算【解题思路】用已知向量表示未知向量,是向量线性运算的基础类型,解决这类问题,要注意两个方面:①熟练掌握空间向量线性运算法则和运算律；②要注意数形结合思想的运用【例1】如图，在空间四边形中，则（

）A． B． C． D．【例2】如图，四棱锥的底面是平行四边形，若，，，是的中点，则（

）A． B．C． D．【变式1-1】在平行六面体中，，点P在线段上，且，则下列向量中与相等的向量是（

）A． B．C． D．【变式1-2】（多选）如图，空间四边形中，，分别是边，上的点，且，，点是线段的中点，则以下向量表示正确的是（

）A． B．C． D．【变式1-3】在四面体中，分别为的中点，则题型02空间向量的基底问题【解题思路】用基底表示向量的三个步骤：①定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底；②找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果.③下结论:利用空间向量的一个基底可以表示出空间所有向量.表示要彻底,结果中只能含有,不能含有其他形式的向量.【例3】（多选）在四棱台中，空间的一个基底可能是（

）A． B．C． D．【例4】如图，在四面体中，点为底面三角形的重心，为的中点，设，，则在基底下的有序实数组为（

）A． B． C． D．【变式2-1】已知三棱锥，点是的中点，点是的重心（三角形三条中线的交点叫三角形的重心）设，，，则向量用基底可表示为（

）

A． B．C． D．【变式2-2】（多选）已知是空间中不共面的三个向量，则下列向量能构成空间的一个基底的是（

）A． B．C． D．【变式2-3】如图，在梯形ABCD中，，，点为空间任一点，设，，，则向量用，，表示为.题型03空间向量的坐标运算【例5】在轴上且与点和点距离相等的点是（）A． B． C． D．【例6】，，，为坐标原点，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【变式3-1】已知，则（

）A． B．C． D．【变式3-2】已知向量，，，若，则与的夹角为（

）A． B．C． D．【变式3-3】向量，向量在向量上的投影向量坐标是.题型04空间向量的共线问题【解题思路】（1）应用向量的方法判定两直线平行,只需判断两直线的方向向量是否共线.（2）已知向量平行,可设,建立关于参数的方程，尽量选择坐标形式，以达到简化运算的目的.【例7】设向量不共面，已知，，若三点共线，则（

）A．0 B．1 C．2 D．3【例8】如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足，，则下列说法错误的是（）A．当时，点在棱上B．当时，点在线段上C．当时，点在棱上D．当时，点在线段上【变式4-1】已知非零向量，，且、、不共面．若，则（

）．A．B．C．D．【变式4-2】如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．

【变式4-3】已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线．题型05空间向量的共面问题【解题思路】对空间任意四点，可通过证明下列结论来证明四点共面：①；②对空间任意一点；③对空间任意一点.【例9】已知空间向量,若共面，则实数的值为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【例10】已知三棱锥的体积为15，是空间中一点，，则三棱锥的体积是（

）A．7 B．8 C．9 D．10【变式5-1】已知点为所在平面内一点，为平面外一点，若，则的值为（

）A． B． C． D．【变式5-2】已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足．(1)判断，，三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内．【变式5-3】如图，在正四棱锥中，E，F分别为的中点，．

(1)证明：B，E，G，F四点共面．(2)记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，求的值．题型06空间向量的数量积运算【解题思路】在几何体中求空间向量的数量积，首先要充分利用向量所在的图形,将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；其次利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积；最后利用数量积的定义求解即可.注意挖掘几何体中的垂直关系或者特殊角.【例11】在正四面体中，棱长为2，且是棱中点，则的值为（

）A． B．1 C．3 D．7【例12】已知正方体的棱长为2，球是正方体的内切球，点是内切球表面上的一个动点，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【变式6-1】已知正四面体的棱长为2，点，分别是，的中点，则的值为．【变式6-2】正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2（如图），P，Q分别为棱AB，AD的中点，则（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【变式6-3】平行六面体中，，，，则；若动点在直线上运动，则的最小值为.题型07空间向量的垂直问题【解题思路】（1）判断两直线是否垂直,关键是判断两直线的方向向量是否垂直,即判断两向量的数量积是否为0.；（2）已知向量垂直,则,建立关于参数的方程，尽量选择坐标形式，以达到简化运算的目的.【例13】已知空间中三点.(1)已知向量与互相垂直，求的值；(2)求以为邻边的平行四边形的面积.【例14】点，，，若在线段上，且满足，则点的坐标为．【变式7-1】已知空间中三点，，.设，.(1)求和；(2)若与互相垂直，求实数的值.【变式7-2】已知点，，，向量.(1)若，求实数的值；(2)求向量在向量方向上的投影向量.【变式7-3】如图，在棱长为的正方体中，是的中点，是的中点，是的中点.(1)试建立适当的坐标系，并确定、、三点的坐标；(2)求证：.题型08空间向量的模长问题【解题思路】（1）可以选择合适的基底，然后先对其进行平方算出对应的值，最后开根；（2）可以建立恰当的空间直角坐标系，写出向量的坐标，结合模长公式进行计算【例15】已知空间三点，，，则以、为邻边的平行四边形的面积为（

）A． B． C． D．【例16】如图，在三棱锥中，，，，，为的中点，为的中点，为的重心，与相交于点，则的长为（

）A． B．1 C． D．【变式8-1】已知空间中三点，，.(1)求；(2)求中边上中线的长度.【变式8-2】已知空间中三个单位向量两两夹角均为60°．OA的中点为M，BC的中点为N，则．【变式8-3】如图，已知四棱锥中，四边形是边长为4的菱形，.(1)若四棱锥是正四棱锥，求四棱锥的体积；(2)若平面，求的长.题型09空间向量的夹角问题【解题思路】尽量建立恰当的空间直角坐标系，写出向量的坐标，结合夹角公式进行计算【例17】已知空间向量，，满足，，且，则与的夹角大小为（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【例18】（多选）在棱长为1的正方体中，是线段上一点，则可以为（

）A． B． C． D．【变式9-1】如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且.求：

(1)的长；(2)直线与所成角的余弦值.【变式9-2】为了测量一斜坡的坡度，小明设计如下的方案：如图，设斜坡面与水平面的交线为，小明分别在水平面和斜坡面选取，两点，且，到直线的距离，到直线的距离，，则斜坡面与水平面所成角的大小为．【变式9-3】已知向量，，，若向量与所成角为锐角，则实数的范围是.课后作业一、单选题1．在空间直角坐标系中，已知点，若三点共线，则的值为（

）A． B． C．10 D．132．对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（

）A．若且，则 B．C．若，且，则 D．3．已知四棱柱的底面是平行四边形，点E在线段DC上满足，，则（）A．- B． C． D．4．如图所示的四棱锥中，底面为正方形，且各棱长均相等，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A．1 B． C． D．5．如图，在空间四边形中，若向量，，点E，F分别为线段的中点，则的坐标为（

）A． B．C． D．6．已知空间向量，则“四点共面”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件二、多选题7．在正方体中，下列结论中正确的是（

）A．四边形的面积为 B．与的夹角为C． D．8．如图，在三棱锥中，两两垂直，且.给出下列四个命题，其中正确的命题是（

）A． B．C．与的夹角为 D．三棱锥的体积为9．已知三棱锥，则下列选项正确的是（

）A．若，则在上的投影向量为B．若是三棱锥的底面的重心，则C．若，则四点共面D．设，则构成空间的一个基底三、填空题10．已知向量，，且与平行，则.11．如图，在正方体中