对开放题、劣构题、文化题、多选题的认识及教学建议

开放题、劣构题、文化题、多选题复习覆议

一、命题依据：

考查内容应围绕数学内容主线，聚焦学生对重要数学概念、定理、方法、思想的理解和应

用，强调基础性、综合性；注重数学本质、通性通法，淡化解题技巧；融入数学文化。

命题时，应有一定数量的应用问题，还应包括开放性问题和探究性同题，重点考查学生的

思维过程、实践能力和创新意识，问题情境的设计应自然、合理。开放性问题和探究性问题的

评分应遵循满意原则和加分原则，达到测试的基本要求视为满意，有所拓展或创新可以根据实

际情况加分。在命制应用问题、开放性问题和探究性问题时.，要注意公平性和阅卷的可操作性。

二、高考真题回顾:

1.12020北京.10乂古典文化背景+国际文化背景+现代文化背景）、.2020年3月14口是全球首个国际圆周率

□（乃Day）.历史匕求圆周率"的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似.数学家阿尔•卡西

的方法是：当正整数〃充分大时，计算单位圆的内接止6〃边形的周长和外切正6〃边形（各边均与圆相切

的正6〃边形）的周长，将它们的算术平均数作为2万的近似值.按照阿尔・卡西的方法，乃的近似值的表

达式是（A）.

".303()J.303()".6()60n(.6006()1

A.377sin——+tan——B.6〃sin——+tan——C.3〃sin——+tan——D.6〃sin——+tan----

I〃n)【〃n)、nnI"〃J

2.（2020.北京14.）（开放题：思路开放十答案开放）若函数/（x）=sinO+⑺+C51的最人值

为2,则常数9的一个取值为.y（答案不唯一）

3.（2020.北京15.）（现代先进文化背景）（多选题）（分层赋分）为满足人民对美好生活的向

往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排

放量W与时间，的关系为W=/（f）,用—/S）一,（幻的大小评价在团力］这段时间内企业污水治

b-a

理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.

O

给出下列四个结论：

①在1冉］这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

②在弓时刻，甲企'他的污水治理能力比乙企业强；

③在外时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；

④甲企业在这三段时间中，在［0/］的污水治理能力最强.

其中所有正确结论的序号是.③

4.（2020.北京17）（劣构题）在中，a+b=\［,再从条件①、条件②这两个条件中

选择一个作为己知，求：（I）。的值：（H）sinC和AABC的面积.

1Ig

条件①：c=7,cosA=--；条件②：cosA=-,cos^=—.

7816

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

选择条件①（1）8（II）sinC=—,S=6百；选择条件②（1）6（0）sinC=—,5也.

244

5.（2020.北京.18）（时代先进文化、建模、思路开放）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计

了相应的活动方案：方案一、方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，

获得数据如下表：

男生女生

支持不支持支持不支持

方案一200人400人300A100A

方案二350人250人150人250人

假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.

（I）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案•的概率；

（H）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的

概率；

（HI）将该校学生支持方案的概率估计值记为玲，假设该校•年级有500名男生和300名女生，除一年级

外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为Pl,试比较〃。与Pl的大小.（结论不要求证明）

1313

（l）该校男生支持方案一的概率为晨该校女生支持方案一的概率为“川）亚＜ni）…。

6.（2019.北京8.）（数学审美价值、文化价值、思路开放、多选）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲

线，曲线。:,/+＞，2=］+|#3,就是其中之一（如图）.给出下列三个结论:

①曲戏C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）:

②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过及：

③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.

其中，所有正确结论的序号是C

（A）①（B）②

（C）①②（D）①②③

此题以心形曲线为背景，考查了曲线与方程的关系、用方程研究曲线、曲线的对称性、距离公式、均

值不等式及一:角换元、估算、数形结合、分类讨论等数学思想方法。这些方法都是高中数学中的通用通法,

对学牛.的直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养有较高要求。

7.（2019.北京文理科14.）（时代先进文化、数学建模）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水

果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销

量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客

网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.

①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元；

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则I的最大值为

.13015

8.（2018.北京理13）（答案开放）能说明“若/。）＞〃0）对任意的《£（0,2］都成立,则/（幻在［0,2］上是增

函数”为假命题的一个函数是.）/（x）=sinx（答案不唯一）

9.（2018.北京文11）（答案开放）能说明“若心b,则为假命题的一组&〃的值依次为.

1T（答案不唯一）

10.（2018.北京理17）（时代先进文化、答案开放，用数据说话）改革开放以来，人们的支付方式发生了

巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的

使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅

使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：

金额（元）

(0,1000](1000.2(X)0]大于2000

支

仅使用A18人9人3人

仅使用B10人■人1人

(【)从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率；「5=0.4

(II)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元

的人数,求X的分布列和数学期望；E(X)=0x0.24+lx0.52+2x0.24=l

(III)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中，随机油查3人，发

现他们本月的支付金额都大于2000元.根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付

金额大于2000元的人数有变化？说明理由.

记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”.

假设样本仅使用A的学生中，本月支付金额大于20(X)元的人数没有变化，则由上个月的样本数据得

P(E)=，-=—.答案示例1:可以认为有变化.理由如下：P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容

易发生.一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化.所以可以认为有变化.

答案示例2：无法确定有没有变化.理由如下：事件E是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，但还

是有可能发生的，所以无法确定有没有变化.

三、对开放题、劣构题、文化题、多选题的认识

L开放题

在2000年前后，在浙江教育学院戴再平教授的倡导之下，开放题进入了高考与中考试卷，

所谓“数学开放题”是指“凡是答案不惟一或者条件不完备者具有多种不同的解法的习题，称之为开放

题”.如果未知的是解题假设，那么就称为条件开放题;如果未知的是解题目标，那么就称为结论开放题;如果

未知的是解题推理,那么就称为策略开放题

数学开放题有以下几个特点：

(1)不确定性：所提的问题常常是不确定和一般性的，其背景情况也是用一般词语来描述的，主体必须

收集其他必要的信息，才能着手解题；

(2)探究性：没有现成的解题模式，有些答案可能易于直觉地被发现，但是求解过程中往往需要从多个

角度进行思考和探索；

(3)非完备性：有些问题的答案是不确定的，存在着多样的解答，但重要的还不是答案本身的多样性，

而在于寻求解答的过程中主体的认知结构的重建；

(4)发散性：在求解过程中往往可以引出新的问题，或将问题加以推广，找出更一般、更有概括性的结

论；

(5)层次性：根据开放题的背景，提出若干问题，这些问题具有由易到难的阶梯性特征，杈据学生能解

答他实际水平讲行等级赋分.

(6)发展性：能激起多数学生的好奇性，全体学生都可以参与解答过程，而不管他是属于何种程度和水

平；

2.劣构题

乔纳森把问题分为两类：良构问题与劣构问题.

良构问题:有唯一解解决这类问题需要根据限定的问题条件，运用所学的概念、规则和原理。它是由

明确的初始状态、已知的目标状态和受限制的一些逻辑因素组成的。

劣构问题：亦称为结构不良问题C这类问题是以真实世界为情境的，存在多种对立的、矛盾的观点看法，

有多种解决方法。其解决方法的形成不可能依靠某种具体的决策制定过程.

劣构问题的主要特点是：

（1）问题的构成部分存在未知或某种程度的不可知、可操控的参数/变量很少、目标界定含糊不清或缺

少限定：（2）有多种解决方法、途径和多种评价解决方法的标准，甚至无解；（3）因为不同的情境使然，

没有原型的案例可供参考；（4）不能确定哪些概念、规则和原理对形成解决方案来说是必须的，并将

它们组织起来；（5）没有一般性的规则或原理可套用，在确定恰当的行动方面没有明确的方法；（6）需要

学习者表达个人对•问题的观点或信念，因而解决问题的过程是一种独特的人际互动过程；（7）需要学习者

对问题作出判断，并说明理由。

3.文化题

近几年来，随着教育部[2014M号文件《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》与《普

通高中数学课程标准》（2003年实验版）的实施，高中数学教学中体现数学的文化价值，逐步得到了广大

数学教师的认同，特别是《普通高中数学课程标准》（2017年版）更加强调了数学的文化价值与审美价值，

明确指出：“普通高中的数学课程内容落实习近平新时代中国特色社会主义思想、有机融入社会主义核心价

值观，中华优秀传统文化、革命文化和社会主义先进文化教育内容，努力呈现经济、政治、文化、科技、社

会、生态等发展的新成就、新成果，充实丰富培养学生社会责任感、创新精神、实践能力相关内容”.所以

普通高中要把落实数学文化价值与审美价值的育人目标纳入了落实立德树人的根本任务之中，基于此，在

近几年的高考中也逐步加大了数学文化试题的考查力度，获得了社会的普遍认同，

设置数学文化试题，有利于渗透时代的先进文化，有利于•渗透审美教育，有利于渗透祖国的传统文化，

有利于实现人文精神与科学精神交融的育人目标，有利于提升数学核心素养.通过高考对教学的导向作用，

可有效促进立德树人目标的实现.

4.多选题

多选题在其他学科的考试中已经被广泛应用，应用时间有较长的历史了.对于考查学生的综合能力有较

好的效果.在数学考试中，在前些年的试卷中变相出现，出现在单选中的多项选择题、填空题中的多选等.在

2020全国不分文理科的新高考数学试卷（山东卷）中正式出现，共4道题，分值20分.试题的共同特点：

一个背景，设问多个，从不同角度提出问题.没有出现多背景的机械组合.

例（202（）山东】1）.已知历>0,且则（）

A.a2+b2>-B.2l,~b>-

22

C.log2«+log2/?>-2D.4a+y[h<y/2

【答案】ABD

四、教学建议：

在新高考中，出现了劣构题、多选题（变相的多选题）、开放题、文化题、建模题等新题型，虽然题型

丰富多彩，但是考查的目标变化不大.四层目标：必备知识、关键能力、学科素养、核心价值；四翼要求：

基础性、综合性、应用性、创新性我觉得：这些目标中，必备知识与基础性是最关键的部分，所以我们第

一轮复习是以构建系统化的全面化的知识体系与方法体系为最根本的任务，不要把主要精力用在复习新题

型上，事实上只要学生扎实精准地掌握了系统化的知识与方法，解决那些新题型是水到渠成的事情.

1.正确处理新题型与常规题型的关系

在教学实践中看到：部分教师在平时的教学中，都沉醉于模式化之中，不进行任何创新问题的教学活

动.将创新问题推向高三最后阶段，用几个创新问题搞突击，应对高考，就能培养学生解决创新问题的能力.

其实不然，培养创新问题的探究能力，不是一朝一夕的功夫，而是一个长期的系统工程.所以要把创新问题

的教学贯穿在高中教学的全程，当然不能用创新问题冲淡重点知识和常规问题的教学，•些模式化的解题

思路和一些模式化的理解数学知识的思路，必须成为教学的重E之中，在模式化中适时渗透创新问题的解

决思路.数学能力的发展是在模式化和创新的交融之中进行的.所以在搞一、高二的新课教学口，结合知识

的特点，可以适当关注一些创新问题，比如在每次考试中命制两三个创新问题，以促进学生分析问题解决问

题能力的发展.在高三复习中更应如此.这样就能让学生有效提高解决创新问题的能力.

2.适当训练开放题、劣构题、文化题、多选题的解答策略

(1)如何解答开放题？

①学会举反例与正例：在证明过程中获得启发，找到反例；从极端情形找到反例；联想图形背景进行构造；

逐步调整的方法构造例子；

例1.我们在等差数列的学习中发现一个重要性质：设数列｛(｝是等差数列，若加,〃是正整数，且

m\n=k\t,则请问它的逆命题是否正确？如果不正确，举出反例，如果人正确，需要

添加什么条件，才能成为真命题？如果正确，给出证明。

先观察逆命题的证明过程：若(%+%，则一(6+4)=[("2+〃-2)-(&+，-2)]”

=(m+n-k-t)d=0,如果要=则需4工0,所以从证明过程中，及找到了反例：公差d=0

时，即常数列是逆命题为假命题的反例，而且也找到了使逆命题为真命题的添加条件：dwO,可见证明探

究过程起到了“一箭双雕”的作用.

例2.函数f(x)在R上存在导数ff(x)，对VXGRW+f(x)=x2,且在(0,+oo)上，f\x)>x.

请你举一个满足条件的函数f(x)./(公=；/+工(答案不唯一)

例3.数列｛%｝满足：C*+。例N*),则存在常数c,使得>c(〃wN")成立。

现在知道：此命题不正确，请举出一个反例。a”=-ln〃(答案不唯一)

②执果索因

例3.如图,在直四棱柱4RG4—ABC。中,当底面四边形满足条件,

有

(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形).

分析：如果AC_LBQ],由三垂线定理逆定理知而使

的四边形有无穷多个，如正方形、菱形等都可以.

例4.(2020北京第14题)若函数/(x)=sin(x+0)+cosx的最大值为2,则

常数。的一个取值为.y(答案不唯一)

从结果出发：要函数/(x)=sin*+e)+cosx取得最大值2,由正余弦函数的有界性可知:

sin(x+/),cosx同时取到最大值1,所以可知常数。的一些值：2k1+；,kwZ

另解：因为/(x)=cos°sinx+(sine+l)cosx=Jcos?^4-(sin^>+l)2sin(x+^)，

所以yjcos?Q+(sin0+=2,解得siii0=l,故可取夕=弓.故答案为：—(2ATT+5，ZeZ均可).

例5.蜘吸1J{〃“}做吐然9,前〃s.，C,(WO{sn+c}toWWiJ?WE,和械

c；若不存在，请明理由

解：设存在常数c,使数列｛Sn+c｝成等比数列.•・•(S“+c)(Sn+2+c)=(Se+c/

2

s.-Sn+2-S„+i=c(2Sn+l-Sn-S〃+2)(i)当4=1时，s„=叫代入h式得

4:〃(〃+2)-。/(〃+1)2=(?。］］(。(〃+1)-〃一(〃+2)］即。」=0,但q/0,于是不存在常数c,使

｛S,.+c｝成等比数列.(ii)当^/1时，s“J1T),代入二式得

i-q

2〃,〃

一4.，(>/)=5-(I”,..」二人.综上可知，存在常数c=，」，使｛s〃+c｝成等比数列.

(1一夕厂(1-^)q-\夕一1

③用数据说话，用数据做决策.

⑵如何解答劣构题？

①根据自己的强项或熟悉度做出选择

如果题中对解答没有特殊要求，比如有解与无解都没有特殊限制，可以根据自己自己的强项或熟悉度做出

选择.

例6.202()北京17.如果熟悉正弦定理，选(2)；如果熟悉余弦定理，选(2)

例7.(2020山东省模拟)在条件①。2+及"=/+£2,@acosB=bs\nA,③sinB+cosB=血中

任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.在AA8C中，带A8,C的对边分别为a/,c,A=-

3

b=6,.求AA3C的面积.3+6

4

分析：如果熟悉余弦定理，可选①；如果熟悉正弦定理，可选②；如果熟悉三角变形，可选③.

②根据目标所需，合理选择

例8.现在给出三个条件：①。=2；②口=二；③c=G4试从中选出两个条件，补充在下面的问题中，使

其能够确定△人8C,并以此为依据，求△ABC的面积.

在aABC中，。、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足（2b—JJc）CQSA=NCQSC，求△ABC的面

积（选出一种可行的方案解答，若选出多个方案分别解答，则按第一个解答记分）

先分析条件：Qb-岛）cosA二岛cos。可知A=f,因为本题要求三角形可解，所以至少已知一边，

6

所以可选①③与①@;若选①③，..若选①②，不能选②③.%欧=百+1

③先清除不和谐条件，再做选择

例9.（2020西城区2018-2019学年高一下学期期末考试）已知△A8C同町满足下列四个条件中的三个：

①A=-；②cosB=--；③。=7；④b=3.（I）请指出这三个条件，并说明理由；

33

（II）求△ABC的面积.

解：（I）八人。。同时满足①,③.④.理由如下：若八/WC同时满足①.②,则

212

因为cosB=一一<一一，且8e（0,7r）,所以B>-n.所以A+矛盾.

323

所以△A8C不能同时满足①，②.所以△ABC只能同时满足③，④.因为a>b,

所以A>13,故△ABC不满足②.故△A3C满足①，③，④.

（II）因为/="+。2—2/YCOSA所以72=32+c2-2x3xcxl

2

解得c=8或c=—5（舍）.所以△A3C的面积S=，8csinA=6^.

2

例10.（2020山东德州高三上期末）已知分别为AABC内角4,4,C,的对边，若AA8C同时满足下

列四个条件中的三个：®cosB=--；②cos2A+2cos2&=1；③叱指；@h=2y/2.

32

（I）满足有解三角形的序号组合有哪些？

（H）在（I）所有组合中任选一组，并求对应AA3C的面积.

答案：（I）①，③，④或②，③：④；（II）选①，③，④AA5c的面积是S=-acsinB=g-JL选

2

②，③，④，A4BC的面积是有

④出于计算量的考虑，做出选择

例11.（2020北京高三适应性考试）已知｛%｝是公比为“的无穷等比数列，其前〃项和为S”，满足

%=12,.是否存在正整数使得般>2020?若存在，求k的最小值：若不存在，说明理由.

从①4=2,②q=③q=-2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.

分析：由于对问题的结论没有特殊要求，所以在这三个公比中，做选择是平等的，但是出于运算方便考

虑.可选①.因为，①是整数；②是分数；③是负数.所以选①，运算量应该是最小的.

答案：若选①，存在，此时攵的最小值为10；若选②，不存在；若选③，存在，々的最小值为1L

⑤利用数学实验，确定符合条件的选择

例12.（2020青岛模拟）己知｛〃“｝为等差数列，《，%，％分别是卜表第一、二、三行中的某一个数，

且为,和，出中的任何两个数都不在下表的同一列.

第一列第二列第三列

第一行

笫二行469

第三行1287

请从①q=2,②q=l,③q=3的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列｛〃”｝存在；并

在此存在的数列｛4｝中，试解答下列两个问题

（1）求数列｛4｝的通项公式;

（2）设数列也J满足勿=（一1）间〃〉求数列出｝的前〃项和乙.

93

一一〃2+—n=2k,kwN，

22

【答案】（1）q=3〃-2：（2）g3

—n2——n-2,n=2k-\,keW

22

解：（1）若选择条件①，当第一行第一列为《时，由题意知，可能的组合有,

q=2M2=6,4=7不是等差数列，q=2巧=9,4=8不是等差数列;

当第一行第二列为q时，由题意知，可能的组合有，q=2,%=4M3=7不是等差数列,

q=2,%=9,%=12不是等差数列；当第一行第三列为卬时，由题意知，可能的组合有,

4=2,4=4,%=8不是等差数列，％=2,%=6,%=12不是等差数列，

则放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列｛4｝都不存在，

若选择条件②，则放在第一行第二列，结合条件可知4=1,生=4,%=7,

则公差〃=%-4=3，所以=4+（〃-1）"=3〃-2,〃wN；

若选择条件③，当第一行第一列为4时，由题意知，可能的组合有，

q=3,%=6,%=7不是等差数列，q=3,%=9,%=8不是等差数列；

当第一行第二列为卬时，由题意知，可能的组合有，q=3,g=4,%=7不是等差数列，

4=3,%=9,%=12不是等差数列；当第一行第三列为修时，由题意知，可能的组合有,

q=3"%=4,%=8不是等差数列，q=3,%=6,%=12不是等差数列，

则放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列｛q｝都不存在，

综上可知：4=3n-2,neN*.

（2）由⑴知，2=（一1）川（3〃一2）2,所以当〃为偶数时，

T"=a+b?+b3+•••+》“-a｝一4+…+a；_]-a；

=（4+%）（4-%）+（生一4）（〃3+4）+-+（4T+4）（6I-4）

/、n（l+3/7-2）9、3

=-3（q+%+%+…《J=-3x------------=-万〃-+Q〃，

g937o3

2

当〃为奇数时，7；=7；_I+^=--(n-l)4--(n-l)+(3n-2)=-n--n-2,

g、3

——n2+—nn=2k,keN”

22y

Q3

—n2——n-2,n=2k-\,kwN*

22

（3）如何解答文化题?

①建立数学模型：

例13.（202（）全国2卷理科）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块

圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成笫一环，向外每环依次增加9块，下一层的第

一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9

块，已知每层环数相同，且下层匕中层多729块，则三层共

有扇面形石板（不含天心石）（）

A.3699块B.3474C.3402块D.3339块

【答案】C

【详解】设第〃环天石心块数为%,第一层共有〃环，

则是以9为首项，9为公差的等差数列，

q=9+（〃—l）x9=9〃，设S“为｛&｝的前〃项和，则第一层、第二层、第三层的块数分

别为S”，S2n-S”,S3n-Sln,因为下层比中层多729块，所以邑。一S2n=8”一S〃+729，

即3〃（9+27〃）2〃（9+18〃）=2〃（9+18叽必网+729,即9/=729,解得〃=9,

2222

所以=S27=27"号x27）=3402故选:c

（朝阳区2019届高三一模）天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所.天坛公园中的圜丘台共有

三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石（如图2所示）.上

层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环

共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的

扇面形石块数是：上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是.2433402

例14.（2019年昌平二模）嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在

西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦

点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表

面距离为40（）公里.已知月球的直径为3476公里，则该椭圆形轨道的离心率约为B

13

四-⑻

^一

40

1

。-\

8/—

②实验与推理

例15.（2020北京10、2019北京理8）

2020北京第1（）题；取n=l进行实验，发现只有A符合〃的要求，其他几个都远远偏离兀的取值.2019北京

第8期：对①用数学实验发现6个整点，当然也可以用配方法与判别式法进行证明；对②可用基本不等式或

用三角换元进行推理；对③可估算面积.

例16.（2019通州二模）三国时期著名的数学家刘徽对推导特殊数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了

许多算法，展现了聪明才智.他在《九章算术》“盈不足”章的第19题的注文中给出了一个特殊数列的

求和公式.这个题的大意是：一匹良马和一匹鸳马由长安出发至齐地，长安与齐地相距3000里（I里=50（）

米），良马第一天走193里，以后每天比前一天多走13里.驾马第一天走97里，以后每天比前一天少走

半里.良马先到齐地后，马上返回长安迎驾马，问两匹马在第几天相遇（C）

A.14天B.15天C.16天D.17天

解：设两匹马在第n天相遇，由题意可知，良马每一天行程构成以193为首项，以13为公差的等差数列,

鸳马每天行程构成以97为首项，以-0.5为公差的等差数列.・・・193n+'''"':13+97/岁】二〔1x，11

22'2

23000X2,化简可得,5n2+557x480020,当n=15时，5n2+557n-4800<0,n=16时,5n2+557n-4800>0

故片16时，满足题意.故选：C.

③选择算法，合理运算

例17.（2019年高考全国（H）卷第（4）颍），2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上

首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问

题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉

格朗日4点的轨道运行.4点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为M，月球质量为也，

地月距离为"，乙点到月球的距离为人根据牛顿运动定律和万有引力定律，？'满足方程:

i-3a3+Sc4+"5

-------=(R+〃)T.设二不，由于。的值很小，因此在近似计算中、—乏

2a.J,3a3,

(R+r)2rR、R（1+a）

则r的近似值为

本题的信息量较大，特别注重了试题的情景设计：一是介绍了中国航天科技项目的嫦娥四号探测器成功

实现人类历史上首次月球背面软着陆的巨大成就；二是介绍「以法国著名数学家拉格朗日命名的地月拉格

朗日4点的轨道；三是介绍了物理背景：由牛顿运动定律和万有引力定律可知r满足方程:

（R,）2+黄=（7+广）清.重点考查了换元法、消元法、方程思想、转化思想、模型思想等数学思想方

法，与此同时，还考查了数学运算素养与逻辑推理素养，对数学运算素养有较高的要求.

MMMMMM

【详解岫a下r得…R'因为湍尸十（…瑞,所以而力=…堂,

“n%2r/i、I】a+3a+3a嗔m心券，所以i”

即h=a[(l+a)--——-rl=——-——-——"3a3，解得a=R

MW-

](l+a)~(l+cr)~

④举出例子，发现本质

例18.(2020西城区高二期末)辛普森悖论(Simpson'sParadox)有人译为辛普森诡论，在统计学

中亦有人称为“逆论”，甚至有人视之为“魔术”.辛普森悖论为英国统计学家E.H.辛普森

(E.H.Simpson)于1951年提出的，辛普森悖论的内容大意是“在某个条件下的两组数据，分别讨论时

都会满足某种性质，可是一旦合并考虑，却可能导致相反的结论

下面这个案例可以让我们感受到这个悖论：关于某高校法学院和商学院新学期已完成的招生情况，现有如

下数据：

某高校申请人数性别录取率

男50%