高中数学同步讲义（人教A版选择性必修一）：第04讲 1.3 空间向量及其运算的坐标表示（教师版）

第04讲1.3空间向量及其运算的坐标表示

学习目标

课程标准学习目标

①理解和掌握空间向量的坐标表示及意义

②会用向量的坐标表达空间向量的相关运

利用空间向量的坐标表示，将形与数有机结合，并能进

算

行相关的计算与证明是学习空间向量及运算的关键.也

③会求空间向量的夹角、长度以及有关平

是解决空间几何的重要手段与工具.

行、垂直的证明

思维导图

一发地，如果空间向量的泉底1中，舜是单位向量,

而且这三个向量西两受JLML称这如越底为单位正文基底.在隼住

正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果

p=xe1+ye24-zej,财称有序实数生（x,y,2为向量p的坐标，

定义记作p=Gr,，,z）.其中x,K,珞为p的坐标分量.

■6^—----------------------------------------------------

右手拇指指向X的正方向，右手食指指向y轴的正方向，

空

右手法则O右手中指指向z轴的正方向

间

坐空间向量的坐标匀速与原点的选杼无关，坐标位

标注意°一不同，只会影响计算的繁简，不会影响结果

一般要求—尽量选择问题中涉及到的点落在坐标轴上

＜------------。--------------------------------------------

假谩空间中两个向量；，B满足；=(*l,yu：1)»J-2,：2)*H

a4-b=(X14-X2,户+ji,Zi+zi)

若“，y支两个实数，“；+"，=(心i+rn,+“口+vzO

»a*b=WJ+«HH+g

点尸点

坐

标

当；翔且，却时.E《；，，〉=焉=7芸等等不.

运

算

当aHO时，a〃U=6=Na2"，,n»u)="xi,yi,口声»*：=A»i

E：=〃l

当；的每一个坐标分量都不为零时，有；，6。9一注="

内/1G

a-tb^a>b=0<=>XIXJ+J\><:+£U2=0

知识清单

知识点01：空间向量的正交分解及其坐标表示

1、空间直角坐标系

空间直角坐标系及相关概念

(1)空间直角坐标系：在空间选定i点。和一个单位正交基底亿),6，以O为原点，分别以i,J,k的方向

为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：X轴、)‘轴、Z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建

立了一个空间直角坐标系。Qz.

(2)相关概念：。叫做原点，i,/,我都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为。9

平面、Qyz平面、Ozr平面，它们把空间分成八个部分.

2、空间向量的坐标表示

2.1空间一点的坐标：在空间直角坐标系Oxjz中，为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量。4,

且点A的位置由向量QA唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y,z),使

OA=M+yj+zk.在单位正交基底｛i,，k｝下与向量。4对应的有序实数组(x,y,z)叫做点A在此空间

直角坐标系中的坐标，记作A(x,y,z),其中x叫做点A的横坐标，)’叫做点A的纵坐标，z明做点\的竖

坐标.

2.2空间向量的坐标：在空间直角坐标系0町2中，给定向量作QA=a.由空间向量基本定理，存在唯

一的有序实数组(x,Xz),使。=xi+yj+zk.有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系。町？中的坐

标，上式可简记作a=(x,y,z).

【即学即练1】(2023春•高二课时练习)已知｛，；//｝是空间的一个单位正交基底，向量)=-5，+22用坐标

形式可表示为.

【答案】(-5.0.2)

【详解】因为｛，"可是空间的一个单位正交基底，则有。=F+2A=(-5,0,2).

所以向量力=-5z+2k用坐标形式衣示为(-5,0,2).

故答案为：(-5,0⑵

知识点02：空间向量运算的坐标表示

设岸(勺叼%)》=(%%%),空间向量的坐标运算法则如下表所示:

运算坐标表示

加法4+/?=(〃]+々，叼+侬丐+4)

减法

a-b-(a-bv/一仇，内一娼

数乘2a3),XGR

数量积ab-。力1+生h+a3b3

知识点03：空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示

1、两个向量的平行与垂直

a二(q,a2,a3),b=(beh2,Z?3)

%=他

平行(a||b)a贴w0)=Q=劝=<a2=Ab2(2GR)

%二g

垂直(a_L〃)aA-boa-b=0<^>岫+a2b2+a4=0(a,b均非零向量)

q=g

特别提醒：在⑷仇〃工0)=<=中，应特别注意，只有在b与三个坐标平面都不平行时，才

、%二劝3

a,a.a..a.

能写成U=k=广•例如，若b与坐标平面x。）'平行，则仇=0,这样/■就没有意义了•

【即学即练2】（2023春•四川成都,高二四川省成都列五中学校考阶段练习）已知两个空间向量。=（〃「4,2）,

8=。2-1）,宜洲b，则实数〃，的值为.

【答案】-2

【详解】因为-=（血一4,2）,6=（1,2,-1）,且方“,

m=2

所以〃=/1的即（〃?,-4,2）=2（12-1）,即一4=2"解得4=5=一2.

2=-2

故答案为：-2

2、向量长度的坐标计算公式

若a-（aea2,%），则I〃1=Jla『==也；十疗十如，g|J।a|={a：+%?+“

空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的

体对角线的长度

3、两个向量夹角的坐标计算公式

a-b_岫+a、b、+a3a

设片⑷%a%,4）,则8s<g>=耐百不赢+优+专

【即学即练3］（2023春•高二课时练习）已知向量。二（乂1,2）,。=（1,），,-2）,d=（3,l,z）,a；/b，blc.

⑴求x,y,z的值；

⑵求向量a+c与〃+c所成角的余弦值.

x=-l

【答案】⑴b二-1

呜

【详解】（1）；。=（苞1,2）,力=。,），,一2）,c=（3,l,z）,blc，

因为〃〃力，设存在实数义，使得a=/l〃，

x=2fx=-l

所以\=^y,则・y=T

2=22=-1

因为bc=3+y-2z=0,则z=l.

x=-\

一•所以=

z=I

(2)由⑴知占=(-1,1,2),/>=(1,-1,-2),■=(3,1,1),

/.fl+c=(2,2,3),Z?+c=(4,0,-1),

(4+c)@+c)=2x4+2x0+3x(-1)=5,

|a+c|=x/22+22+32=x/17,\b+c\=^42+0+(-1)2=V17,

/,\(〃+c)•伍+c)5

•••cos(a+c,h+c)=-----p——=—.

'/|«+c||/?+cr|*

向量a+c与…所成角的余弦值为

4、两点间的距离公式

已知AQ,如zj,4(%,%，Z?),则dAB=|AB\=，(七一司『+(*一y『+(々一()

题型精讲

题型01空间向量的坐标表示

【典例1](2023秋•北京丰台,高二北京市第十二中学校考期末)在空间直角坐标系中，已知三点

0(000),41,2,1),8(1,-1,0),若点C在平面Q48内，则点C的坐标可能是()

A.(-L-1,3)B.(3,0,1)C.(1,1,2)D.(1,-1,2)

【答案】B

【详解】由04=(1,2,1),05=(1,-1,0),

显然。4，08不共线，

根据向量基本定理可得OC=/lO4+〃O8=(/l+〃,2/l-〃,2),

故C点坐标为(2+小22-A),

经验算只有B选项符合条件，

此时4=1,”=2,

故选:B

【典例2】(多选)(2023•全国•高二专题练习)如图，在正三棱柱4BC-ABC中，已知M8C的边长

为2,三棱柱的高为L8C4G的中点分别为。,R,以。为原点，分别以OCD4,。〃的方向为*轴C轴、z

轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是()

4

A.A(0,6,1)B.c,(1,0,1)

C.9=(0,-国)D.4A=(G,J5,-1)

【答案】ABC

【详解】在等边中,AB=2,BD=\,所以AO=G，则4（0,，,0），A仅,△l），G（L0,l）,R（0,0,l）,

々(—1,0,1),则AR=(0,-6,1)，&A=(I,6,T).

故选：ABC

（典例31（2023春讷蒙古呼伦贝尔福二校考开学考试）已知点44T2）,以2,-3,0），点C满足8c=2CA，

则点C的坐标是,

_5士、

【答案】匠一33

【详解】设C（x，y，z）,。为坐标原点.由点。满足BC=2CA，得OC—04=2（04—0。，可得

OC=：(2。4+OB)=1[(8,-2,4)+(2-3,0)]=(,则点C的坐标是(?

故答案为：住-甘

【变式1】（2023秋•高二课时练习）如图，在空间直角坐标系中，正方体A8CD—AAGA的棱长为L

4骂=；4与，则8G等于

【答案】c

【详解】由题，在空间直角坐标系中，正方体A8CD—A8CA的棱长为1，B尸A4则3(1,1,0),E(l^A),

4

31

BE=OE-OB=(\,-A)-(\A,0)=(0,--A),

44

故选C

【变式2](2023春•高二课时练习)若A(3,2,4)、8(12-8),点C在线段A3上，且扃=)，则点。的

坐标是.

【答案】(Qi：

【详解】解：•・•点4(324)、8(12—8),C为线段A3上一点，且揭二|，

2•

所以AC=§A8,A8=(-2,0,-12)

设点C的坐标为(x,y,z),则AC=(x-3,y-2,z-4),

x-3=--

3

2

则(“一3办，一2,z—4)=((—2,0,72),即彳y-2二0,

z-4=-8

5

x=-

3(5、

解得小，=2,即C不2,-4；

故答案为：

题型02空间向量的坐标运算

【典例1】(2023春•高二课时练习)已知向量：=(4,2,-4)，1=(2,-1,1)，7=(-1,5,1)，求：

⑴2。3小

⑵菽；

⑶4(Z>+C).

【答案】(1)(2,7,T1)(2)2(3)4

【详解】(1)由；=(4,2,-4)，为=(2,—1,1)得2"31=2(4,2,-4)—3(2,—1,1)=(2,7,—11)

(2)«.^=(4,2,-4)(2,-1,1)=8-2-4=2

(3)。•(8+c)=a力+a・c=2-4+10-4=4

【典例2】(2023春•高二课时练习)如图，在长方体。ABC-O'AZTC中，(M=3,。。=4,0/7=2,

⑴写出沙，C,A,8'四点的坐标：

⑵写出向量A'B,AC',AC的坐标.

【答案】⑴点W(3,0,2),点9(3,4,2),点C(0,4,0),次(0,0,2)

(2).4^=(0,4,0)；5^=(0,0,-2)：AC'=(-3,4,0)；AC=(-3,4,2).

【详解】(1)点以在z轴上，且0疗=2,

所以点ZX的坐标是(。，。,2).

同理，点C的坐标是(0,4,0).

点才在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A,O,ZX,

它们在坐标轴上的坐标分别为3,0,2,所以点A的坐标是(3,0,2).

点"在工轴、1y轴、z轴上的射影分别为A,C,次，

它们在坐标轴上的坐标分别为3,4,2,所以点夕的坐标是(3,4,2).

(2)A*=OC=(0.4,0)；

B'B=-OD'=(0,0.—2)；

A!C=A'D'+D'C=(-3,0,0)+(0,4,0)=(-3,4,0)；

AC=AO+OC+CC=(-3,0,0)+(0,4,0)+(0,0,2)=(-3,4,2).

【变式1】(2023春•福建宁德•高二校联考期中)已知a=(2,3「1),〃=(-2,1,4),c=(2,A,2|,若”，b,

c三向量共面，则实数九等于()

A.4B.5C.6D.7

【答案】D

【详解】因为。=(2,3,-1),^=(-2,1,4),。=(2,42),且〃，b，c三向量共面,

设c=ma+nb，则(2,Z2)=(2〃?,3〃?,一〃?)+(—2〃,4〃),

2=2m-2nm=2

gp-2=3m+n,解得〃=1.

2=-tn+4/2九=7

故选：D

【变式21(2023秋福二课时练习)己知点4(240)、8(133),且满足2AQ=,则。点的坐标为()

A•件到B.停用C.停L0)D.(1,0,1)

【答案】B

【详解】设点。(x,y,z),由2AQ=QB,则2(x—2,y—4,z)=(l-x,3-y,3-z),

5

x=

2(x-2)=l-x3

所以，2(j'-4)=3-y,解得卜=II济上-/511]

J\JJ/

2z=3-z

故选:B.

题型03空间向量数量积(坐标形式求空间向量的数量积)

【典例1](2例3秋•北京丰台福二北京市第十二中学校考期末)若向量。=(1,=c=(1JI),

满足条件(。-4)•力=-1,则2=()

A.-1B.-2C.1D.2

【答案】B

【详解】根据向量的运算可得：

(c-«)=((),2,1-2),

所以(c-a)包=0x1+2x(-2)+(1-4)x1

=-4+1—Z=—3—2,=—1,

所以a=一2,

故选：B

【典例2】(2023春•高二课时练习)己知向量。=(3,5,T),。=(2,1,8).求ab.

【答案】-21

【详解】由向量。=(3,5,-4),。=(2,1,8),

可得a»=3x2+5xl+(T)x8=6+5-32=-21.

【变式1](2023秋•广东深圳,高二统考期末)已知向量a="4,x),*=(-2,2,3),若贝口。二

()

A.-3B.3C.-1D.6

【答案】B

【详解】由题意知，2a-8=(4,0,2x-3)

由(2«-力小=1,f^4x(-2)+0x2+(2x-3)x3=l,

解得x=3.

故选：B.

【变式2】(2023秋•天津•高二统考期末)已知空间向量4=(1,2,末)，)=(2,-1,1),c=(2,0,3),则a-3+c)=

()

A.-10B.3丛C.(4,-2,-12)D.(5,0,-15)

【答案】A

【详解】J+三q—lM，

.,.a{/?+c=4xl-lx2-3x4=-10,

故选:A

题型04空间向量数量积(坐标形式求空间向量数量积的最值范围问题)

【典例1】(2023秋•湖北•高三校联考阶段练习)在长方体ABC。-Aqcq中，朋=5,4)=A8=4,

M,N,2分别是棱CQ,BC,CC上的点，且GM=MD1,CJ="C,CN=：C8,Q是平面ABC。

54

内一动点，若直线。©与平面MNP平行，则。4QA的最小值为（）

441宜…八89「16

A.B.17C.—D.—

25525

【答案】A

【详解】以。作坐标原点，DA,DC,。。所在直线分别为x轴，），轴，z轴，建立空间直角坐标系,

则R（0,0,5）,N（l,4,0）,M（0,2,5）,P（0,4,2），4（4,4,5）,

设平面MPN的法向量为m=(x,y,z),

n-MN=(x,y,zy(\,2,-5)=x+2y-5z=0

则〈一

nMP=(x,y,z)-(0,2,-3)=2y-3z=0

令？=3,则z=2,x=4,故〃=(432),

设Q(s/O)，则〃Q=(s/,—5),

因为直线。。与平面MNP平行，所以AQ〃=(s/,-5)(4,3,2)=4s+3/—10=0,

QB.QD.=(4-5,4-r,5)(-^-r,5i=？-4,v+r2-4r+25,

因为4s+3,=10,所以sJ0,

10-3;

故QB】QD=s2-4s+产一4,+25=-\0+3t+r-4r+25

x~4~

252441

+---,

16125；25

3S441

故当，=关时，QBrQR取得最小值,最小值为言.

4J乙J

故选:A

【典例2】（2023春•山东烟台•高二山东省烟台第一中学校考开学考试）正四面体A8CD的棱长为2,

动点尸在以8c为直径的球面上，则的最大值为（）

A.2B.2GC.4D.4x/3

【答案】C

【详解】设。C的中点为“，以"为原点建立如图所示的空间坐标系，

：.AP-AD=—x-^-z+2,

33

P在以M为球心，以1为半径的球面上,

A2+y2+z2=1,

则直线竽”半z+2一i与单位圆相切时'截距取得最小值,

,解得〃?=0或=4

，八0的最大值为4.

故选：c

【典例3】(2023•江苏•高二专题练习)在空间直角坐标系。I*中，A(123),B(2J,2),P(l,l,2),点

。在直线OP上运动，则当Q1Q取得最小值时，|OQ卜.

【答案】±^/1V6

33

ucai

【详解】解:因为点1在直线O尸上运动,OP=(1,1,2),

所以设Q(/J,2f),

=(l-r)(2-r)+(2-r)(l-r)+(3-2r)(2-2z)

=6f2-16/+IO,

所以当,=黑"时,0A•”取得最小值,此时

2x63\333/

所以=W

故答案为：巫

3

【变式1](2023秋•河南郑州•高二郑州市第九中学校考阶段练习)已知空间直角坐标系0-个2中，

mil

04=0,2,3),05=(24,2),OP=(1,1,2),点Q在直线OP上运动，则当QV。取得最小值时，点Q的坐

标为()

A-(1曲B.传瑞C.与翡)D.停辅

【答案】C

【详解】设。(*y,z),

由点Q在直线OP上，可得存在实数2使得OQ=/iOP,

即(x,y,z)=1(1,1,2),可得Q(%2,22),

所以QA=(l—/l,2—43—2团,。4=(2—41—4,2—2/1),

则QAQB=(\-2)(2-2)+(2-2)(1-Z)+(3-22)(2-2Z)=2(3Z2-82+5),

根据二次函数的性质，可得当4=§4时，取得最小值-?(，此时448

故选：C.

【变式2](2023秋•上海徐汇♦高二南洋中学校考期末)已知是长方体外接球的一条直径，点尸在

长方体表面上运动，长方体的棱长分别为1、1、币,则QM.PN的取值范围为.

【答案】[-2,0]

【详解】因为MN是长方体外接球的一条直径，长方体的棱长分别为1、1、V7

设P(x,y,z)(0<x<l,0<y<V7,0<z<l),则M(0,0,0),NQ,币,1、.

PMPN=(-x-y-z)(\-x^-yA-z)

=x2-x+y2-\f7y+z2-z

(1、，，，1、，9

=(x--)-+(y--—)-+(z--)-

因为“―32+()，_，)2+。_32_(之0+0+；_(=_2,

当x=Ly=也,z=0时取等号，此时点P在4BC。平面内,

2•2

乂(X_g)2+()」f)2+(Z_g)2_：W；+：+；_\=0

当X=o,y=o,Z=。时取等号，此时点2在人BCD平面内.

即所求的范围是[-2,0].

故答案为：卜2,0]

题型05空间向量的模(坐标形式求空间向量的模(距离，长度))

【典例1】(2023春•江苏南京•高二南京市第五高级中学校考期中)已知向量ci=(-12l),〃=(3,x/),

且〃，人，那么w等于()

A.x/ioB.2石C.VnD.5

【答案】C

【详解】因为d=(T,2J),1=(3,苍1),且下工人

所以-lx3+2x+lxl=0,即x=l,所以Z?=(3,l,l),

所以忖=斤不用=而，

故选:C.

【典例2】(2023春•高二课时练用)如图，在棱长为1的正方体4Gq中，E,尸分别为R。，

“的中点，G在棱8上，且CG=*A，为GG的中点.求1向.

8

【详解】如图，建立空间直角坐标系。一xyz,。为坐标原点,

,c(o,l,o),C,(0,1,1),5,(u,l),G(0,训，“(％；)

FH「合3

UUUT

FH

【典例3】(2023秋•山东日照•高二统考期末)已知々=(2,1,3),人=(<2,力，且〃_L〃，则w-“

【答案】屈

【详解】因为〃人，所以一8+2+3工=0,解得x=2

所以a_/〉=(6,Tl),卜一同=136+1+1=屈.

故答案为：底

【变式1](2023秋•上海长宁•高二上海市延安中学校考期末)己知A3=(a,»,a-1),AC=(2a,〃+2,-4),

Ul»

且AB±AC,则BC为.

【答案】V26

【详解】•・A3=（«2〃M—1）,AC=（"H2,-4）,且4BJ.4C，

AH-AC=2a2+2b（b+2）-4（a-1）=0,

BPa2+b2-2a+2b+2=（a-\y+（b+\）2=0,解得〃=1/=-1

又6C=AC-A6=（2,l,T）一（L-20）=（l,3,-4）

/.|BC\=^l2+32+（-4）2=726

故答案为：>/26

题型06空间向量的模（根据空间向量的模求参数）

【典例1】（2023•全国•高二专题练习）已知向量。=（0,-1,1励=（4,1,0）,囚+6卜回，且义>0,则4=

■

【答案】3

[详解]因为。=（0,—1/）,〃=（4』,0）,卜4+4=回，

所以+/?=（4』一九2），

可得16+（1-义）2+万=29,

因为4>0,解得2=3,故答案为3.

题型07空间向量的模（坐标形式求空间向量模的最值（范围）问题）

【典例1】（2022•高二课时练习）己知正方体0的棱长为4,点E是棱CG的中点，动点P

在正方形内（包括边界）运动，且平面8OE,则PC长度的取值范围为（）

A.[5,6]B.[472,6

C.[竽,6]D.[275,6]

【答案】C

【详解】以。为原点，以D4，DC，。。的方向为X，卜Z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系

D-xyz.则。（0,0,0）,>4（4,0,0）,5（4,4,0）,0（040）,〃（0,0,4）,4（404）,耳（4,4,4）,0（044）,E（0,4,2）,

取AA的中点为从连接用〃，D\H.

在正方体A8CO—A/GR中，/珥=。口且/珥//OQ1,所以四边形防门。为平行四边形，所以8。〃4口.

又B£u面H8Q,8。。面"4"，

所以3。//面H8Q.

同理可证：DE//面HBR.

又DBcDE=D,所以平面4。用〃平面BOE.

因为以4〃平血以龙，所以点P只能在线段〃片上运动.易知〃(4,。,2),设〃夕=4”隹(0W4W1),

”线=(0,4,2),则”P=(o,4424,OP=O”+狼=(4,0,2)+(0,4422)=(4,442+2%),

CT=DP-DC=(4,4A,2+22)-(0,4,0)=(4,42-4,2+22),

阿=16+16(4-1)2+4(2+if=20储-242+36.

32144I.(2

当/=：时，|CP|取得最小值1-；当义=0时，|CP|取得最大值36.

1,/c

故PC长度的取值范围为-y-,6.

故选：C

【典例2】(2023•高二课时练习)如图，在直三棱柱ABC—4B'C中，AB=BC=BB，=2,ABA.BCtD

为A8的中点，点E在线段C'。上，点/在线段39上，求线段后厂长的最小值.

【详解】依题意，BA、BC、8E'两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系,

B'

则8(0.0,0),0(0,1,0),B(0,0,2),C(2,0,2),则0c=(2,-1,2),3*=(0,0,2),

设DE=/DC'，&[OJ],则E(2/U-42/l),

设尸(0,0,z),0<z<2,则E尸=(-2Z4-l,z-2；l).

若线段4的长最小，则必满足E/_L88'，则E尸下夕=0，可得z=22,即石尸=(一2人/1一1,0),

因此，|EF|=J".+(2—=J5万—24+]=/芈,

当且仅当%=:时等号成立，所以线段E/长的最小值为雪.

J。

【典例3】(2023•全国•高三专题练习)已知单位空间向量与09满足勺4=°，6%=3,若空

间向量。满足〃4=。仁=半，且对于任意实数人3。一呼-*2|的最小值是2,贝!-相|QwR)的最小

2

值是.

【答案】也

2

【详解】以“，4方向为X,'轴，垂直于q，0方向为z轴建立空间直角坐标系，则弓二(1,0,0),/=(0,1,0)

由勺％=44=(可设”品凸)，由e；是单位空间向量可得弓=§,；,?，

当工=,，=半，卜―平一)匐的最小值是2,所以4=±2

3,3叵43&A.五八

〃一&3=（--―-一耳，2—--A）

-箝(乎苧+Q-冬尸=6-5&-13,

卜一鸡|=

当人竽时，卜-&3|(北/?)最小值为日.

故答案为：立.

2

【变式1】(2023春•上海宝山•高二统考期末)已知〃、〃是空间互相垂直的单位向量，且同=8,

cd=cb=2瓜,则卜-ma-nb|豹最小值是.

【答案】4

【详解】a,b是空间相互垂直的单位向量，

设。=(1,。.0),b=(0,1,0),设c=(x,y,z),

又c.a=c.b=2\f6，/.x=y=2瓜，

又|c|=y|x2+y2+z2=J24+24+Z?=8,

z2=16，

•*-c=(2>/6,2>/6,z),其中[2=16，

c-ma-nb=(25/6-m,276-n,z),

「.k-ina-nb^=J(2遥-/〃)"+(2y6-〃)"+z?=^(2\/6-m)2+(2\[6-n)2+16>4，

当且仅当m=n=276时取得等号，

邛一〃心一词的最小值是4.

故答案为:4.

【变式2】(2023•上海•高三专题练习)已知Q4,OB,OC是空间两两垂直的单位向量，

IILUUULilliIKM1

OP=xOA+yOB+zOCt且x+2y+4z=l,则|OP-。4-081的最小值为.

【答案】组

21

【详解】由题意可设04=(1,0,0),OB=(0,1,0),OC=(0,0,1),

由x+2y+4z=l,得x=l-2y—4z,

OP-xOA+yOB+zOC-(x,y,z)：

O尸一。4_O8=(H，z),

所以10尸一0A_OB\=yl(x-\)2+(y-\)2+z2

=^(2y+4z)2+(y-l)2+z2

=^5y2+\7z2+\6yz-2y+\

17Q

（当且仅当），=”，2=-擀时等号成立），

所以|0。一0月一04|的最小值为^1.

21

故答案为：汉史.

21

【变式3］（2023虹苏福二专题练习）已知。=（0/T,2/-1）"=（，+2,2"）,则卜-的最小值为

【答案】理/；质

【详解】解：^=（0,l-r,2/-l）,/?=（z+2,2j）,

G+|)2>0,

当且仅当，=-|时等号成立，即卜-0的最小值为华

故答案为:华.

题型08空间向量的夹角问题（坐标形式）

【典例1】（2023秋•山东临沂•高二校考期末）已知空间向量。=（1.0,1）,8=（□,〃），且〃力=3,则向

量。与。的夹角为（）

R兀2n5冗

C.TD.T

【答案】A

【详解】•「a•〃二1十0十〃=3，解得〃=2,则人一（1,1,2）,

\a\=J1+O+1=\/5,忖=Ji+1+4=V6,

「ab3G

设向量。与力的夹角为。，则8d丽二诟r三

。40,兀］,.•.夕=?,即4与6的夹角为

o6

故选：A.

【典例2】(2023春•江苏•高二南师大二附中校联考阶段练习)若向量。=(1,41)力=(2,-1「2),且。与

〃夹角的余弦值为也，则义等于()

6

A.-V2B.V2C.一夜或夜D.2

【答案】A

【详解】因为。=(1,41)为=(2,—1,-2),

所以〃•/?=2—2—2=—2>同=J2+万，M]=>/4+1+4=3,

又小与〃夹角的余弦值为9，4乃=闷忖80«,〃)，

所以—％=,2+万x3xX2,解得/12=2,

6

注意到-2>0，即A<0,所以4=—y/2■

故选：A.

【典例3】(2023秋•高二课时练习)已知空间三点41,1,1),B(-l,0,4),C(2,—2,3),则AB与C4的

夹角。的大小是.

【答案】120°

【详解】由题意,空间三点41,1,1)，8(—1,0,4),C(2,—2,3),

则AB=(-2,-1,3),CA=(-l,3,-2),

ABCA_(-2)x(-l)+(-l)x3+3x(-2)_1

所以=&2)2+(_)2+3々(-3+3、(-犷=-5,

又因为。引0,180],所以6=120.

故答案为：120

【典例4】(2023秋•河南周口•高二统考期末)已知向量。=(-4,2,4)石=(-6,3,-2).

⑴求团；

(2)求向量〃与〃夹角的余弦值.

【答案】(1)1万1=6

⑵。

12

【详解】(1)因为万=(-4,2,4),所以|万|=户再再不=屈=6.

(2)因为万=(-4,2,4),1=(-6,3,-2),所以55=(-4,2,4)•(-6,3,-2)=24+6-8=22,

又因为141=6,|万|="(-6)2+3z+(-2)2=7,所以cos«W=%^=^.

故”与/;夹角的余弦值为患.

【变式1】(2023•江苏淮安•江苏省吁胎中学校考模拟预测)若向量〃=(1,40),〃=(2,-1,2),且的

夹角的余弦值为：，则实数义等于().

444

A.0B.--C.0或-；D.0或一

333

【答案】C

.(I,b2—A+O2A

【详解】由题意得8s＜。力＞=丽=而充斥向=§,解得石。或石一屋

故选:C.

【变式2](2023春•甘肃白银•高二校考阶段练习)在空间直角坐标系中，已知。=(22-1),^=(-1,3,1),

则。、〃夹角的余弦值是.

【答案】姮/上而

1111

【详解】因为。=(2,2,-1),方=(7,3,1),由空间向量的夹角公式可得,

,a,b2x(-l)+2x3+(-l)x1

cos<a、b>=7-rr-i=­/——/.Vn

V4+4+1xV1+9+1~TTf

所以…夹角的余弦值是小,

故答案为：当

【变式3】(2023秋•吉林辽源•高二校联考期末)已知向量。=(2,-1,2),力=(1,4,1).

(1)求心一耳的值;

⑵求向量a+〃与〃夹角的余弦值.

【答案】(1)3公：

⑵-半

3

【详解】(1)a=(2,T,2),

2；/=(4,-2,4),2：-力=(3,—6,3),

・•・《一鼻心+(-61+32=3限；

(2)设l+2〃与“一人的夹角为0，则cos8=\---rpi-r

a+2b•a-Z?

«4-22?=(4,7,4),a+2Z?=9,H(l,—5,1)，1-0=36,

_4xl+7x(-5)+4xl_-27_6

COS0

9x3g-27x/3-3

「•向量a+2b与T夹角的余弦值为-乎.

题型09空间向量的投影向量（坐标形式）

【典例1】（2023春•江苏宿迁•高二统考期中）已知向量。二（0」,1）,^=（1,1,0）,则向量力在向量。上

的投影向量为（）.

A.（0,—1,—1）B.（—1»0,—1）

【答案】C

abaOxl+lxl+lxO

【详解】向量〃在向量。上的投影向量为口而=------2------

故选:C.

【典例2】（2023春•江苏徐州•高二统考期中）已知A（IJO）,8（030）,C（2,2,2）,则向量居在AC上

的投影向量的坐标是（)

机（MS）

r11n

，，"

*C6"63>

【答案】D

【详解】因为A（IJO）,8（0,3,0）,C(2,2,2),

所以A8=(—l,2,0),AC=(l,l,2),

所以„=J(—1『+22+()2=石,|AC|=Vl2+l:+22=76,

A8AC=(-l)xl+2xl+0x2=l,

1

ABACAC1AC-AC-

所以向量AB在AC上的投影向量是|AQ6

|74fi|.pc||AC|~V6底

所以向量八8在AC上的投影向量的坐标是

故选:D.

【变式1】（2023•全国•高二专题练习）己知。=（0,1,1）力二（0,0,1）,贝儿在〃上的投影向量为（）

A.(1,0,0)B.(0,0,1)C.(0,1,0)D.|0,1i

【答案】B

【详解】因为々=(0,1,1),〃=(o,o,i),所以k|=五*1,

所以c°s(a〃)=箭=¥，

b叵

所以“在力上的投影向量为K|cos《⑷咽=>/^亍(0,0，1)=(0,04)

故选：B

【变式2](2023秋•广东广州•高二秀全中学校考期末)已知。=(0/,1),〃=(010),则〃在。上的投影

向量为()

A.1B.—C.(0,1,0)D.(。，；，；、

【答案】C

【详解】解:因为£=(0,1,1),)=(0,1,0),所以H=&，W=1,

所以COS的=藻=多

b

所以〃在方上的投影向量■为卜|cos•M=嬷X?oJ0)=(0,1,0)

故选：C

题型10空间向量的平行关系(坐标形式)

【典例1】(2023•江苏•高二专题练习)已知”(1,2,—y),b=(xj,2),且2〃〃,-〃