2025中考复习讲义 《圆》考点汇编圆含2025中考真题

圆，作为平面几何的核心内容之一，始终是中考数学考查的重点与难点。其知识点繁多，综合性强，常常与三角形、四边形等内容结合，形成具有一定区分度的题目。本讲义旨在系统梳理圆的核心考点，结合最新中考动态，帮助同学们夯实基础、掌握方法、提升能力，从容应对中考挑战。一、圆的基本概念与性质（一）圆的定义与相关概念1.圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所经过的封闭曲线叫做圆。这个固定的点O叫做圆心，线段OA叫做半径。*集合观点：圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合。2.弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最长的弦。3.弧、半圆、优弧、劣弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。大于半圆的弧叫做优弧（用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（用两个字母表示）。4.等圆与等弧：能够重合的两个圆叫做等圆。在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。（二）圆的对称性1.轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。2.中心对称性：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。圆绕圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，即圆具有旋转不变性。（三）垂径定理及其推论*垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。*题设：①直径（或过圆心的直线）；②垂直于弦。*结论：③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。*推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。*注意：被平分的弦不能是直径，因为两条直径互相平分但不一定垂直。*核心应用：利用垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理计算弦长、半径、弦心距等。（弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形）（四）圆心角、弧、弦之间的关系*定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。*推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。*关键：“同圆或等圆”是前提条件，没有这个条件，结论不成立。（五）圆周角定理及其推论*圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。*推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。*推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。（此推论是“直径”和“直角”之间的桥梁，常用来构造直角三角形解题）*推论3：圆内接四边形的对角互补。（对角和为180°）二、与圆有关的位置关系（一）点和圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则：*点P在圆外⇔d>r；*点P在圆上⇔d=r；*点P在圆内⇔d<r。相关概念：*不在同一直线上的三个点确定一个圆。（三角形的外接圆、外心）*三角形的外心：三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。（二）直线和圆的位置关系设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则：*直线l和⊙O相离⇔d>r⇔无公共点；*直线l和⊙O相切⇔d=r⇔有唯一公共点（切点）；*直线l和⊙O相交⇔d<r⇔有两个公共点（交点）。1.切线的判定和性质*切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。*证明思路：①连半径（有公共点时）；②证垂直（证明直线与半径垂直）。*若直线与圆无明确公共点，则过圆心作直线的垂线，证明垂线段长度等于半径。*切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。*推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。*核心应用：见切线，连半径，得垂直。2.切线长定理*切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。*切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。*结论：①切线长相等；②圆心和这点的连线平分两切线的夹角（即角平分线）。（三）圆和圆的位置关系（选学，部分地区考纲要求）设两圆的半径分别为R和r（R>r），圆心距为d，则：*两圆外离⇔d>R+r⇔无公共点；*两圆外切⇔d=R+r⇔有唯一公共点（切点）；*两圆相交⇔R-r<d<R+r⇔有两个公共点；*两圆内切⇔d=R-r⇔有唯一公共点（切点）；*两圆内含⇔d<R-r⇔无公共点（当d=0时，两圆同心）。三、与圆有关的计算（一）圆的周长与面积*圆的周长：C=2πr=πd*圆的面积：S=πr²（二）弧长与扇形面积*弧长公式：l=(nπr)/180（n为圆心角的度数，r为圆的半径）*扇形面积公式：S扇形=(nπr²)/360=(1/2)lr（l为扇形的弧长，r为扇形所在圆的半径）（三）圆锥的侧面积与全面积*圆锥的侧面展开图：是一个扇形。*扇形的半径=圆锥的母线长（l）*扇形的弧长=圆锥底面圆的周长（2πr）*圆锥的侧面积：S侧=πrl（r为底面圆半径，l为母线长）*圆锥的全面积：S全=S侧+S底=πrl+πr²四、辅助线作法总结（“圆”来如此）1.见半径、直径：常联想半径相等、直径所对圆周角是直角。2.见弦：作弦心距（垂直于弦的半径或直径），构造垂径定理的基本图形（直角三角形）。3.见切线：连圆心和切点，得切线垂直于半径。4.证切线：*有公共点：连半径，证垂直。*无公共点：作垂线，证半径。5.见圆周角：联想同弧所对的圆心角或圆周角。6.解决与圆有关的计算问题：常构造直角三角形（如：垂径定理、直径所对圆周角、切线性质等），利用勾股定理或三角函数求解。7.涉及圆内接四边形：联想其对角互补的性质。五、真题演练与考点解析（精选2025年中考典型真题为例）（一）考点：垂径定理与计算例1(2025·某地中考)如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，则⊙O的半径为（）A.4cmB.5cmC.6cmD.8cm分析：本题直接考查垂径定理的应用。过O作OC⊥AB于C，则OC=3cm，AC=AB/2=4cm。在Rt△AOC中，OA²=AC²+OC²=4²+3²=25，故OA=5cm。选B。点评：垂径定理构造的直角三角形是解决弦长、半径、弦心距问题的“金钥匙”。（二）考点：圆周角定理及其推论例2(2025·某地中考)如图，点A、B、C在⊙O上，若∠AOB=100°，则∠ACB的度数为（）A.40°B.50°C.80°D.100°分析：∠ACB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角。根据圆周角定理，∠ACB=1/2∠AOB=50°。选B。点评：直接应用圆周角定理，关键是找到同弧所对的圆周角和圆心角。（三）考点：切线的判定与性质综合例3(2025·某地中考)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为D。求证：AC平分∠DAB。分析：要证AC平分∠DAB，即证∠DAC=∠CAB。连接OC，因为CD是⊙O的切线，所以OC⊥CD。又因为AD⊥CD，所以AD∥OC。因此∠DAC=∠ACO。又因为OA=OC，所以∠CAB=∠ACO。所以∠DAC=∠CAB，即AC平分∠DAB。点评：“见切线，连半径”是本题的关键辅助线，利用切线性质得到垂直关系，进而通过平行和等腰三角形性质完成角的转化。（四）考点：扇形面积与圆锥的结合例4(2025·某地中考)一个圆锥的侧面展开图是半径为6，圆心角为120°的扇形，求该圆锥的底面半径。分析：圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长。扇形弧长l=(120π×6)/180=4π。设圆锥底面半径为r，则2πr=4π，解得r=2。点评：明确圆锥侧面展开图（扇形）的弧长与圆锥底面周长的关系是解决此类问题的核心。六、复习建议1.夯实基础，吃透概念：对圆的定义、性质、定理、公式要准确理解和记忆，明确它们的题设与结论。2.把握联系，形成网络：将圆与三角形、四边形等知识联系起来，形成知识网络，综合运用。3.突出重点，突破难点：垂径定理、圆心角与圆周角定理、切线的