2026年人教版八年级数学下册 第二十章《勾股定理》应用题专项突破

第二十章勾股定理应用题专项突破2026年春

人教版八年级下册（十题型）

知识归纳:

知识点1：勾股定理应用

勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直

角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加

思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.本专题分类进行巩固解决

以下生活实际问题

类型一、应用勾股定理解决梯子滑落高度问题

类型二、应用勾股定理解决旗杆高度

类型三、应用勾股定理解决小鸟飞行的距离

类型四、应用勾股定理解决大树折断前的高度

类型五、应用勾股定理解决水杯中的筷子问题

类型六、应用勾股定理解决航海问题

类型七、应用勾股定理解决“走捷径”问题

类型八、应用勾股定理解决是否受台风影响问题

类型九、应用勾股定理解决几何图形中折叠问题

类型十、平面展开图-最短路径问题

知识点2：平面展开图-最短路径问题

几何体中最短路径基本模型如下：

圆柱阶梯问题

甲乙丙

长方体

基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直

角三角形，利用勾股定理求解

题型一：应用勾股定理解决梯子滑落高度问题

1.如果梯子的底端离建筑物底部8米，则17米长的梯子可以达到建筑物的高度是（）

A.12米B.13米C.14米D.15米

2.如图，••架靠墙摆放的梯子长10米，底端离墙角的距离为6米，则梯子顶端离地面的距

3.如图，一架施工云梯A8靠在墙（垂直于地面）上，云梯底端月到墙根。的距离为7米，

云梯顶端8到地面的距离为24米，在云梯中点处有一个操作平台连接现招云梯

的底端力向外移动到大处，则QM的长将（）

A.小于12.5米B.大于12.5米C.等于12.5米D.大于等于12.5米

4.如图，一把梯子靠在垂直于水平地面的墙上，梯子48的长为2.5米，梯子的底部离墙

的距离BC为0.7米.若梯子的顶部向卜滑0.4米到〃处，此时梯子的底部向外滑到£处，

求梯子的底部向外滑出多少米？

题型二：应用勾股定理解决旗杆高度

1.如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆

底端5m处，发现此时绳子底端距离打结处约1m.如果设旗杆的高度为xm,那么根据题意

C.X2+52-(X-1)2D.X2+52-(X+1)2

2.如图，学校旗杆上的绳子垂到地面还多2米，将绳子的下端拉到离旗杆底端包C）6米处,

3.如图，一根直立的旗杆高8勿,因刮大风旗杆从点。处折断，顶部夕着地且离旗杆底部/14m.

（1）求旗杆距地面多高处折断；

（2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25勿的点〃处，有一明显裂痕，若

卜.次大风将旗杆从点〃处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？

C

B

题型三：应用勾股定理解决小鸟飞行的距离

1.如图，学校操场上有两裸树A8和。。（都与水平地面AC垂直），大树A8图8米，树梢〃

到树A8的水平距离OE（OE_LA8）的长度为8米，小树8高2米，一只小鸟从树梢〃飞到

树梢8则它至少要飞行的长度为（）

A.8米B.10米C.12米【）.16米

2.如图，有一只喜鹊在一棵2m高的小树八8上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（8。）为

8m的一棵9m高的人树DM上，喜鹊的巢位于树顶下方Im的C处，当它听到巢中幼鸟的叫

声，立即飞过去，如果它飞行的速度为2.5m/s,那么它要飞回巢中所需的时间至少是（）

A.isB.3sD.6s

3.如图，有两棵树，一颗高6米,另一棵高2米，两树相距5米，一只小鸟从一棵树的树梢

m

题型四：应用勾股定理解决大树折断前的高度

1.如图，一棵大树在一次强台风中折断倒下，倒下部分与地面成30。夹角，倒下后树而还有

5米，这棵大树在折断前的高度为（）

A.10米B.15米C.25米D.30米

2.古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几

何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？

即：如图，AB+AC=25尺，比?=5尺，设4c为x尺，则下列方程正确的是（）

A

Z/Z/Z/ZZZ

CB

222222

A.X+（25-X）=5B.X+5=（25-X）

222222

C.X-（25-X）=5D.X-5=（25-X）

3.“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者

高儿何？”意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵

地，抵地处离竹子底部4尺远，问折断处离地面的高度是（）

A.4.2尺B.3.2尺C.5尺D.4尺

题型五：应用勾股定理解决水杯中的筷子问题

1.如图，一个直径为lOczp的杯子，在它的正中间竖直放一根铁子，筷子露出杯子外1c加，

当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端刚好触到杯口，筷子长度为（）

A.10B.12C.13D.14

2.如图，将一根长为20cm的筷子斜置于底面直径为8cm,高为15cm的圆柱形水杯中，筷子

露在杯子外面的长度为（）

A.3cmB.5cmC.7cmD.17cm

3.如图，一根长18cm的牙刷放置「底面直径是5cm,高为12cm的圆柱体水杯中，牙刷露在

杯子外面的长度为//cm,求〃的范围.

题型六：应用勾股定理解决航海问题

1.如图，在灯塔。的北偏东40。方向8nmi怕处有•轮船4在灯塔。的南偏东50。方向6nmile

处有一渔船8,则48间的距离为()

A.9nmileB.lOnmileC.1InmileD.12nmile

2.如图，甲、乙两艘轮船同时从港口〃出发，甲轮船以12海里/时的速度沿西北方向匀速航

行，乙轮船沿东北方向匀速航行，1小时后两艘轮船相距2()海里，则乙轮船每小时航行—

海里.

3.如图，两艘轮船"和A'分别从港口力出发，轮船必以4海里/时的速度向东北方向航行，

轮船N以3海里/时的速度从港口A出发向东南方向航行，行驶5个小时后，制V两船的距

南

题型七:应用勾股定理解决“走捷径”问题

1.如图是某路口处草坪的一角，当行走路线是/I一。一8时，有人为了抄近道而避开路的拐角

NACBQACB=90°），于是在草坪内走出了一条不该有的捷径路他某学习实践小组通

过测量可知，力C的长纥为6米，式的长约为8米，为了提醒居民爱护草坪，他们想在力，

片处设立“踏破青白可惜，多行数步无妨”的提示牌.则提示牌上的“多行数步”是指多

行米.

B

/

2.如图，有一正方形花圃力比力，其边长为8m.雯雯为了避开拐角走捷径（从点/1到点〃）,

直接从对角线上走出了一条“路”，却踩伤了花草，她实际上仅仅少走的路长为（）

A.(16-8V2)mB.(16-V2)mC.(16-4V2)mD.(8-8^2)m

3.课间休息时，嘉嘉从教室窗户向外看，看到行人为从4处快速到达图书馆8处，直接

从长方形草地中穿过.为保护草地，嘉嘉想在月处立一个标牌「少走■米，踏之何忍？”

如图，若朋=17米,比三8米，则标牌上“■”处的数字是（）

C.10D.11

题型八：应用勾股定理解决是否受台风影响问题

1.如图，铁路MN和公路P。在点。处交会，公路尸。上点A距离点。是270m,与MN这条

铁路的距离是2（X）m.如果火车行驶时，周围250m以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路

MN上沿ON方向以72km/h的速度行驶时，点A处受噪音影响的时间是（）

2.如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向260km的8处有一台风中心，沿8C方向以

15km/h的速度移动，已知城市月到8c的距离49=100km.已知在距台风中心30km的圆形

区域内都会受到不同程度的影响，若在点〃的工作人员早上6:00接到台风警报，台风开始

影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在时间段内做预防工作.

B

3.据报道，台风风力影响半径为250km（即以台风中心为圆心，250km为半径的圆形区域

都会受台风影响）.如图，线段3C是台风中心从。市向3市的大致路线，A是某个大型农

场，且A8/AC.若A,。之间相距300km,A,4之间相距400km.判断农场A是否会

受到台风的影响，请说明理由.

北

Bf

V

C

题型九：应用勾股定理解决几何图形中折叠问题

1.如图，RtAABC,4=90°,将VA8c沿£>£翻折,使得点C与点〃重合.若/W=6,AC=8,

则折痕。足的长为()

44

2.如图所示，E为长方形ABC。的边上的一点，将长方形ABC。沿直线OE折叠，使顶

点C恰好落在人8边上的点尸处.已知A£>=8cm,8E=3cm则图中阴影部分的面积为

()

A.10B.20C.30D.40

3.如图所示，折叠长方形--边力〃，点〃落在玄边的点F处,已知BC=10厘米，力Q8厘米.

(1)求郎与用的长.

题型十：平面展开图-最短路径问题

1.如图，有一个圆柱形玻赭杯，高为10cm,底面周长为12cm,在圆柱的下底面的内壁A处

有一只蚂蚁，它想吃到在杯内离杯上沿2cm的点E处的一滴蜂蜜，则蚂蚁到达蜂蜜的最短

距禽（

A

A.2x/6TcmB.12cmC.4>/rjcmD.10cm

2.一个台阶如图所示,阶梯每一层高20cm，宽25cm,长120cm,一只蚂蚁从力点爬到B点

的最短路程是（)

A.120cmB.150cmC.180cmD.210cm

3.如图，氏方体的棱AB长为3,棱BC长为5,棱防长为2,〃为CG中点，一只蚂蚁从点

力出发，在长方体表面沿如图所示的路径到点P处吃食物,则它爬行的最短路程是

H

G

P

C

4.如图，在一个长为2米，宽为1米的长方形草地上，堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧

棱平行且长于草地宽40,木块的上下底面是边长为。.4米的正三角形，一只蚂蚁从点/I处

到C处需要爬行的最短路程是米.

DC

AB

【答案】

第二十章勾股定理应用题专项突破2025-2026学年

人教版八年级下册（十题型）

知识归纳:

知识点L勾股定理应用

勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直

角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加

思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.本专题分类进行巩固解决

以下生活实际问题

类型一、应用勾股定理解决梯子滑落高度问题

类型二、应用勾股定理解决旗杆高度

类型三、应用勾股定理解决小鸟飞行的距离

类型四、应用勾股定理解决大树折断前的高度

类型五、应用勾股定理解决水杯中的筷子问题

类型六、应用勾股定理解决航海问题

类型七、应用勾股定理解决“走捷径”问题

类型八、应用勾股定理解决是否受台风影响问题

类型九、应用勾股定理解决几何图形中折叠问题

类型十、平面展开图-最短路径问题

知识点2：平面展开图-最短路径问题

几何体中最短路径基本模型如下：

BQB\---------司B

圆柱阶梯问题

丙

长方体

基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直

角三角形，利用勾股定理求解

题型一：应用勾股定理解决梯子滑落高度问题

1.如果梯子的底端离建筑物底部8米，则17米长的梯子可以达到建筑物的高度是（）

A.12米B.13米C.14米D.15米

【答案】D

2.如图，一架靠墙摆放的梯子长10米，底端离墙角的距离为6米，则梯子顶端离地面的距

【答案】A

3.如图，一架施工云梯靠在墙（垂直于地面）上，云梯底端/I到墙根。的距离为7米，

云梯顶端8到地面的距离为24米，在云梯中点处有•个操作平台连接OM,现招云梯

的底端力向外移动到4处，则OW的长将（）

A.小于12.5米B.大于12.5米C.等于12.5米D.大于等于12.5米

【答案】c

4.如图，一把梯子靠在垂直于水平地面的墙上，梯子团的长为2.5米，梯子的底部离墙

的距离BC为0.7米.若梯子的顶部向下滑0.4米到〃处，此时梯子的底部向外滑到£处,

求梯子的底部向外滑出多少米？

22

【解答】解；由勾般定理得；^=7AB-BC=72.52-0.72=2-4（米），

・••切=力。-4g2.4-0.4=2（米），

•:DE=AB=2.5米,

•*-^=VDE2-CD2=L5（米），

・・・跖=四-8。=1.5-。.7=0.8（米），

・•・梯子的底部向外滑出0.8米.

题型二：应用勾股定理解决旗杆高度

1.如图，小明将升旗的绳子拉到旅杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆

底端5nl处，发现此时绳子底端距离打结处约hn.如果设旅杆的高度为xm,那么根据题意

A.(x-l)2+52=x2B.(x+l)2+52=x2

C.X2+52=(X-])2D.X2+52=(X+1)

【答案】D

2.如图，学校旗杆I:的绳子垂到地面还多2米，将绳子的下端拉到离旗杆底端仍。）6米处,

【答案】8

3.如图，一根直立的旗杆高8加,因刮大风旗杆从点。处折断，顶部6着地且离旗杆底部A4m.

（1）求旗杆距地面多高处折断；

（2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25勿的点〃处，有一明显裂痕，若

下次大风将旗杆从点〃处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？

（2）6米.

【解答】解：（1）由题意可知：/I介仁8米,

90°,

又•."8=4米，

・・・力。=3（米），BC=3（米），

故旅杆距地面3米处折断；

（2）如图，

•・•。点距地面4H3-1.25=1.75（米），

・"g8-1.75=6.25（米），

=VBZD2-AD2=6（*L

•••距离杆脚周围6米大范围内有被砸伤的危险.

题型三：应用勾股定理解决小鸟飞行的距离

1.如图，学校操场上有两裸树AB和（都与水平地面AC垂直），大树A8高8米，树梢〃

到树的水平距离OE（OE_LA4）的长度为8米,小树高2米,一只小鸟从树梢〃飞到

树梢8,则它至少要飞行的长度为（）

A.8米B.10米C.12米D.16米

【答案】B

2.如图，有一只喜鹊在一裸2m高的小树A8上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（/W）为

8m的-一棵9m高的大树DM上，喜鹊的巢位于树顶下方Im的C处，当它听到巢中幼鸟的叫

声，立即飞过去，如果它飞行的速度为2.5m/s,那么它要飞回巢中所需的时间至少是（）

A.1sB.3sC.4sD.6s

【答案】C

3.如图，有两棵树，一颗高6米，另一棵高2米，两树相距5米，一只小鸟从一棵树的树梢

【答案】向

题型四：应用勾股定理解决大树折断前的高度

1.如图，一棵大树在一次强台风中折断倒下，倒下部分与地面成30。夹角，倒下后树高还有

5米，这棵大树在折断前的高度为（）

A.10米B.15米C.25米D.30米

【答案】B

2.古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高儿

何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？

即：如图，AB+AC=25尺，BC=5尺，设AC为x尺，则下列方程正确的是（）

C.X2-（25-X）2=52I）.X2-52=（25-X）2

【答案】B

3.“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者

高儿何？”意思是：一根竹子，原高一丈（一丈二10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵

地，抵地处离竹子底部4尺远，问折断处离地面的高度是（）

A.4.2尺B.3.2尺C.5尺I).4尺

【答案】A

题型五：应用勾股定理解决水杯中的筷子问题

1.如图,一个直径为10cw的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子露出杯子外1加,

当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端刚好触到杯口，筷子长度为（）

A.10B.12C.13D.14

【答案】C.

2.如图，将一根长为20cm的筷子斜置于底面直径为8cm,高为15cm的圆柱形水杯中，筷子

露在杯子外面的长度为（)

B.5cmC.7cmD.17cm

【答案】A

3.如图，一根长18cm的牙刷放置于底面直径是5cm,高为12cm的圆柱体水杯中，牙刷露在

杯子外面的长度为*m，求〃的范围.

【答案】5<//<6

【详解】解：当牙刷垂直于底面放置时，〃最大，此时/?=18-12=6(cm)

当牙刷与杯底直径及杯高构成直角三角形时〃最小，如图,

在RtaABC中，根据勾股定理得/W=〃C2+BC2=VJ否&=13

.•./z=18-13=5（cm）

「./?的范围是：5</?<6.

题型六：应用勾股定理解决航海问题

1.如图，在灯塔。的北偏东40。方向8nmiIe处有一轮船力，在灯塔。的南偏东50。方向6nmile

处有一渔船8,则4S间的距离为()

A.9nmileB.lOnmileC.1InmileD.12nmile

【答案】B

2.如图，甲、乙两艘轮船同时从港口。出发，甲轮船以12海里/时的速度沿西北方向匀速航

行，乙轮船沿东北方向匀速航行，1小时后两艘轮船相距20海里，则乙轮船每小时航行—

海里.

【答案】16

3.如图，两艘轮船"和M分别从港口A出发，轮船必以4海里/时的速度向东北方向航行,

轮船八『以3海里/时的速度从港口A出发向东南方向航行，行驶5个小时后，』邠两船的距

南

【答案】25海里.

【解答】解：连接轨V'如图,

南

•・•两船行驶的方向是东北方向和东南方向，

在RtAWV中,444X5=20（海里），4V=3X5=15（海里）,

根据勾股定理得MNWAM+AMW202+152=25（海里）・

答：两船的距离是25海里.

题型七：应用勾股定理解决“走捷径”问题

1.如图是某路II处草坪的一角，当行走路线是月一~8时，有人为了抄近道而避开路的拐角

46（乙4%=90。），于是在草坪内走出了一条不该有的捷径路科某学习实践小组通

过测量可知，/亿'的长约为6米，比’的长约为8米，为了提醒居民爱护草坪，他们想在A,

9处设立“踏破青白可惜，多行数步无妨”的提示牌.则提示牌上的“多行数步”是指多

行米.

B

【答案】4.

2.如图，有一正方形花面力缩，其边长为8m.雯雯为了避开拐角走捷径（从点力到点〃）,

直接从对角线上走出了一条“路”，却踩伤了花草，她实际上仅仅少走的路长为（）

A.(16-8^)mB.(16-V2)mC.(16-4V2)mD.(8-872)m

【答案】A.

3.课间休息时，嘉嘉从教室窗户向外看，看到行人为从力处快速到达图书馆4处，直接

从长方形草地中穿过.为保护草地，嘉嘉想在力处立一个标牌：''少走■米，踏之何忍？”

如图，若/切=17米，BC=8米,则标牌上“■”处的数字是（）

C.10D.11

【答案】A.

题型八：应用勾股定理解决是否受台风影响问题

1.如图，铁路MV和公路PQ在点。处交会，公路夕。上点A距离点。是270m,与MN这条

铁路的距离是200m.如果火车行驶时，周围250nl以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路

MN上沿Q/V方向以72km/h的速度行驶时，点A处受噪音影响的时间是（）

A.15秒B.13.5秒C.12.5秒D.10秒

【答案】A

2.如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向260km的4处有一台风中心，沿BC方向以

15km/h的速度移动，已知城市力到BC的距离AZ)=100km.已知在距台风中心30km的圆形

区域内都会受到不同程度的影响，若在点〃的工作人员早上6:(X)接到台风警报，台风开始

影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在时间段内做预防工作.

【答案】20:0024:00

3.据报道，台风风力影响半价为250km(即以台风中心为I员I心，250km为半径的圆形区域

都会受台风影响).如图，线段8c是台风中心从C市向8市的大致路线，A是某个大型农

场，且48sAe.若A,。之间相距300km,A,"之间相距400km.判断农场A是否会

受到台风的影响，请说明理由.

北

【答案】解:会受到台风的影响.

理由：如图，过点A作AO18C,垂足为O.

在RtZXABC中，

AB1AC,AB=400km.AC=300km,

，BC=\lA82+AC2=“GO?+3(X)2=500(5)

VADJ.BC,

.\-BCAD=-ABAC,

22

…ABAC400x300…八\

/.AD=-----------=-------------=240(km).

BC500''

*/AD<250km,

・•・农场A会受到台风的影响.

题型九：应用勾股定理解决几何图形中折叠问题

1.如图，RtAABC,NA=90。，将VABC沿。石翻折,使得点。与点8重合.若AB=6,AC=8,

则折痕OE的长为()

15