新高考数学解答题核心考点预测：空间向量（解析版）

第10讲空间向量

高考预测一：线线角、线面角、二面角、距离问题

1.如图，在三棱锥。-A3c中，A4_L底面A3C,AC±I3C,”为PC的中点，M为AH中点,PA=AC=2,

BC=\.

(1)求证：A"_L平面尸8C；

(2)求尸M与半曲成角的止弦值；

(3)在线段28上是否存在点N,使得MN//平面ABC,若存在，请说明点N的位置，若不存在，请说明

理由.

【解析】(1)证明：Q4_L底面A8C,

：.PAA.BC,

又•.•4C_L8C,PA(}AC=At

平面幺C，

，.A〃u平面PAC,

：.BCA.AH.

jH为PC的中点，PA=AC,

:.AHLPC.

PC[}BC=C.

.•.A//_L平面P8C；

(2)由题意建立如图所示的空间直角坐标系.A(0,0,0),5(1,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2),

”(0,1,1),M(0,-,-).

22

-.13

A”=(0,L1),AB=(\,2,0),PM=(0,

22

设平面A丽的法向量为〃=(x,y,z),则〃・A8=x+2y=0,取”=(2,7,[).

yn»AH=y+z=0

1

设PM与平面478成角为0,

则sin。=|cos<n,PM>|=.——=汉jZ

|"〃"||P"M|1=-&-般15

（3）假设在线段P3上存在点N,使得/WN//平面A5C.

设PN=3PB,PB=(1,2,-2),

PN=(2,22,-22).

13

MN=PN-PM=(2,2/1一一,-22+-),

22

•.MZV〃平面ABC,平面ABC的法向量为4尸=(0,0,2),

M?VMP=3-4/l=0,解得2=2.

4

二点N是靠近2点的四等分点.

2.如图，在三棱柱ABC-A4G中，AC上3C,ABLBB,,AC=BC=BBi=2,。为AB的中点，且CZ）_L。丹.

（1）求证：BB|_L平面A8C；

（2）求多面体力8。一人罔&的体积；

（3）求二面角的平面角的余弦值.

【解析】解：（1）证明：

•;AC=BC,。为AA的中点.:.CDLAB

又•.•CD_LA4,.•.。。_1平面八8/4,6_1笈与

2

又BB、A.AB,AB[\CD^D

31面ABC.

⑵“多面体。8C-AI81cl=/柱八8C-A181G一丫棱锥AI-ABC

=SgfiC,M■

J

=SMHC-M-Q*5sM依•M

=75M«C-M

o

=10

-T

(3)以C为原点，分别以CB,CG，C4所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图.

则C(0,0,0),8(2,0,0),A(0,0,2),C,(0,2,0),小0,2,2).\D(l,0,1)

设4=(z,y,Z])是面CD4t的一个法向量，

则由卜3。得2十二。

[n]-C\=0〔2乂+24=0

可取〃i=(l,1,-I)

同理设％=(.12，%二2)是面0AG的一个法向量，

且c?=(i,-2,I)GA=(o,0,2)

则由

n1C,D=0

<:

4GA=o

\-2y2+z2=0

2z,-0

取曲=(2,1,0)

.n,•,3VL5

二.cos</1,tu>=|——!~=—1=—=——==---

I〃iIx|%|75x石5

二面角c-OA-G为锐二面角，所以其平面角的余弦值为半.

3.如图，在梯形A6C£>中，AB//CD,AD=DC=CB=\,NABC=60°,四边形AC"E为矩形，平面AbEJ_

3

平面ABC/),CF=\.

([)求证：AC_L平面AC产E；

(H)点M在线段石尸上运动，设平面M4B与平面FC8所成二面角的平面角为8(0,90。)，试求cos，的取

值范围.

【解析】解：(/)证明：在梯形A8C。中，

\AH//CD,AD=DC=CB=\,ZABC=60°,

：.AB=2

AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cos60°=3

AB2=AC2+BC2

.\BC1AC

•.・立面ACFEJL平面ABC。，平面ACFEC平面"C£)=AC,BCu平面4BC£)

/.AC_L平面ACFE

(〃)由(/)可建立分别以直线C4,CB,b为x轴，y轴，z轴的如图所示空间直角坐标系,

令FM=4(0效兑G),则C(0,0,0：I,A(G,0,0),8(0,1,0),M(A,0,1)

/.A3=(-G,l,0),8W=(4-1,1)

设4=(x,y,z)为平面M4B的一个法向量，

由/(.他=()得上瓜+y=0

=0[Ax->'+z=0

取x=l,贝卜(二(1,6,6一/I),

电=(L。，。)是平面PCH的一个法向量

4

I〃1•电I1_]

/.cosO

71+3+（^-2）2xl厨+4

.•魄此x/3.,.当2=0时、cos。有最小值立，

7

当人6时，C。，。有最大值;.

COS0€,—].

4.如图，在几何体A3CD所中，底面CDE/是平行四边形，AB//CD,AB=\,CD=2,DE=2后,。尸=4,

O8JL平面CDE/LCE与DF交于点、O.

（I）求证：08//平面4b；

（H）若平面CA厂与平面QA厂所成的锐二面角余弦值为噜，求线段/M的长度.

【解析】（I）证明：取b的中点M,连接OW,AM.

又点O为。尸的中点，

:.0M//-CD,又ABIICD,AB=\,CD=2.

=2

/.AB!!0E.

/.四边形ABOM为平行四边形,

5

:.OBf/AM.

又。平面ACE,AMu平面Ab,

.•.03〃平面Ab；

(H)解：8=2,DE=2«=CF,DF=4,

CD2+DF2=DE2.

NCDF=90。,:.CD±DF.

乂。8_1_平面a无户，以/D,CD,所在直线分别为X轴，)，轴，Z轴建立空间直角坐标系.

可得：0(0,0,0),C(0,-2,0),F(-4,0,0),B(0,0,t),A(0,-1,/),

£M=(0,-1,t),DF=(-4,0,0),CA=(0,1,T),E4=(4,-1,t).

设平面ADP的法向量为"i=(N,x，zj,则〃?•力人=/〃♦。尸=0,

可得:J-y,+/Z,=°,取m=(0,f,1).

〔-4内=0

设平面AC厂的法向量为〃=(%，/，z?)，则〃・C4=〃・E4=0,

可得"％+弓=°,取〃=.,2/,-2).

[4超-y2+fz?=o

;平面。尸与平面D4尸所成的锐二面角余弦值为我，

10

,,|用也||2r-2|x/30

.•Jcos<m,n>|=---------=,,­..—=------,

I加14〃IVr2+l*x/r2+4r2+41°

解得r=2或立.

5

由平面CAF与平面A4厂所成二面角为锐二面角，因此取，=2=08.

6

2

5.在四棱锥P-ABC。中，底面A5CD是直角梯形，AB//CD,ZABC=90°,AB=PB=PC=BC=2CD=2,

七为PC的中点，平面P8C_L平面ABCD.

(/)求以与8E成角的余弦值

(1)求平面ADP与平面8C9所成的锐二面角的大小；

(III)在棱收上是否存在点M使得CM〃平面功？若存在，求也的值；若不存在，说明理由

PB

【解析】解：(/)取8c的中点O,连接PO,

•;PB=PC,;.POLBC,

平面夕BC_L平面人AC/),平面PACC平面/WC/)=4C,

POu平面PBC,

.•.PO_L平面A8CD；

如图所示，以O为原点，所在的直线为K轴，

在平面AI3CD内过O垂直于BC的直线为y轴，

OP所在的宜线为z轴，建立空间直角坐标系O-QN；

7

由直角梯形中，AB=PB=PC=BC=2CD,

可得P(0,0,G),。(-1,I,0),A(l,2,0),

C(-l,0,0),E(-1,0,争，

/.PA=(\,2,一百)，BE=(-|>0,与);

...\PA.BE\N/6

.,Jcos<PDA,BDEr>=---------=—,

\PA\x\BE\4

PA与BE成角的余弦值为—；

4

(II)由OP=(1,-1,6),DA=(2,1,0),

设平面的法向量为m=*,y,z),

m»DP=0

ni-DA-0

即”+6z=0,

\2x+y=0

令1=1,得，〃=(1,—2,—\/3)；

取平面8cp的一个法向量〃=(0,1,0)

in*ri亚

：.cos<tn,n>=-------=----

\m\x\n\2

/.平面A/)P与平面所成的锐二面角为三:

4

8

(HI)设尸M=4PB,则M(2,0,x/3-x/32),CM=(2+1,0,6-旧),

若CM//平面^4£),则CM・〃?=/l+l—0(6—&)=(),解得4=1,

2

即丝=J.时，满足CM〃平面出Q.

PB2

6.如图，三棱柱A4C—A4G中，侧面阴GC为NC34=6()。的菱形，AB=AC].

(1)证明：平面AdC_L平面

(2)若AB上BC，直线筋与平面8BCC所成的角为30。，求直线A4与平面人石。所成角的正弦值.

【解析】证明：(I)连接8G交8c于。，连接40,

侧面为菱形，.•.8C_LQG，

AB=AC,,。为3G的中点，..AOLBC,

又BC「|AO=O,「.BCJ.平面力gC

BQu平面BBCC；.平面AgC_L平面AB。♦

(2)由AB_L8C，BOfAfiQBO=B,gC_L平面ABO,AOu平面A8O,

/.AOLB.C

从而OA,OB,04,两两互相垂直，以O为坐标原点，。3的方向为x轴正方向，建立如图所示空间直角

坐标系。一町?，

9

・「直线AB与平面BBC。所成的角为30°,.•./ABOuSO0，

设40=1,则80=6，又NC网=60。，.•.△C84是边长为2的等边三角形

.•.4(0,0,1),B庄,0,0),4(0,1,0),C(0,-1,0),

画=(OJ-1),B1C=(0,-2,0),A禺=43=(近0,-1)，

设〃=(x,y,2)是平面A4c的法向量，则上居=&-z=0,

=-2y=0

令〃=(i,o.x/5),

设直线AB,与平面A^C所成的角为。.

则sin0=|cos<AB},n>|=—.

.•・直线AB.与平面A^C所成角的正弦值为手.

7.如图所示的几何体中，为三棱柱，且人4,平面ABC,四边形A8CD为平行四边形,

AD=2CD,ZADC=60°.

(【)若A4,=AC,求证：AG1平面A4c。；

(H)若CD=2,AA,=2AC,二面角C-A/)-G的余弦值为更，求三棱锥G-AC。的体积.

D

10

【解析】证明：(I)若A4,=4C,则四边形ACGA为正方形，则4G，AC，

\AD=2CD,ZADC=60°,A4CZ)为直角三角形，则AC_LC。，

・；_L平面ABC,.•.。£>_1_平面4。64，则CO^AC，

-A{CQCD=C,AG_L平面ABC。；

(H)若cr>=2,・；ZADC=60。，/.AC=2y/3f

则AA=2AC=2G/l,建立以C为坐标原点，CD,CB,CC分别为x,y,z轴的空间直角坐标系如图:

则C(0,0,0),0(2,0,0),A(0,2x/3,0),C,(0,0,2vLI),A((),2百，2^/1),

则4。=(2,-2x/3,-2x/3A),CD=(2,0,0),。人=(0,2^,0),

设面CA。的一个法向量为〃?=(1,0,0).

则〃“人D=2x-2&y-2&z=0,m.CD=2x=0,

则上=0,y=-Az,令z=1,则y=-4,则〃?=(0,-2»1)

设面HOC；的一个法向量为/?=*,)，，z)

“•AD=2x-2x/3y-2>/32z=0»n*Cy\==0»

则y=0,2x-2>/32z=0»令z=1,则％=62，

则〃=(&,0,1),

二■二面角C—\D-C的余弦值为--»

X4

fn»n1夜

cos<tn,n>=------=/=——，

1〃川〃|JI+KVFT至74

即(1+力)(1+3万)=8,

得几=I,

即AA,=AC,

则三棱锥G-ACO的体积V=匕FGC=-8,AC•例=1X2X1X273X2X/3=4.

3232

11

3

8.如图，在三棱锥S—ABC中，SC_L平面ABC,SC=3,AC±BC,CE=2EB=2,AC=-,CD=ED.

2

(I)求证：OE_L平面SCD；

(n)求二面角A—so—c的余弦值;

(HI)求点A到平面SCO的距离.

以c为原点建立空间直角坐标系，

由题意得：A(-,0,0),C(0,0,0),D(\,I,0),E(0,2,0),S((),0,3),

2

(I)证明：DE=(-1,1,()),CD=(1,1,0),CS=(0,0,3),

12

...£>E・CO=-1+1+0=0,£>E・CS=O+O+O=O,

即D£_LCO,DELCS,

CDQCS=C,

.•.OE_L平面SCO；

（1【）解：由（I）可得OE=（T,1,0）为平面SC/）的一个法向量,

设平面SAO的法向量为n={x,y,z）,

i3

而AO=（-一，1,0）,4s=（--，0,3）,

22

1八

iAC八一X+V=0

\n»AD=02,

则《，即〈”，

［小A5=0-2X+3Z=0

2

不妨设x=2,可得〃=（2,1,1）,

易知二面角A—SO—C为锐角，

因此有IcosvOE,n>\=^~2^tP\=—,

V2.V66

即二面角A-SD-C的余弦值是6金;

6

313

（山）解：AC=（-二，0,0）,AD=（--,I,0）,AS=（--,0,3）,

222

作4H_L平面SCO,垂足为，,

313

设=x4C+）/。+zAS=（-//一/），一/z,y,3z）,且x+y+z=l,

由A〃_LCO,AH1CS,得:

1

313八x=—

一一X——V——Z4-y=04

222-

3

9z=0，解得

>，=7

x+y+z=1

z=0

3及

/.AH0）,\AH|=—,

444

O5

即点A到平面SCD的距离是—.

4

9.如图，在直三棱柱4枚7-4与0中，BA1BC.

(1)若BA-叫,求证；入/_1_平面A，。；

13

（2）若BA=BC=BB1=2,M是棱8C上的一动点.试确定点M的位置，使点M到平面4BC的距离等

【解析】（1）证明：当84=8与时，AB.A.A.B.

又•••8。，明，BC工BB、,且加。4耳=4,

5C_L平面用.

而A毋u平面人叫，/.AB,±BC.

AB,J.A/

/.由｛_L8C,

\B[\BC=B

得到A4_L平面A3C.

（2）解.：如图所示，建立空间直角坐标系，

可得有关点的坐标为C（0，0，2）、5,（0,2,0）、A（2，2,0）,

设M（0,0,h）.设平面入片。的法向量为〃=（〃/,卬），

则〃_LCB1,n±A.B,.

CB.=((),2,-2),=(-2,0,0),

且=0,/?・4q=0,

2v—269=0CD=V„

，取3=U=1,

-2//=0〃=0

得平面AM。的一个法向量为〃=（o,i,D,

且|川=0,又MB；=（0,2,-h）,

于是点M到平面4&C的距离d=I〃；：：IJ0x°当2-4|=*n力=],或〃=3（舍）

14

所以，当点M为棱的中点时，点M到平面A4C的距离等于孝.

10.如图，四棱锥P-A3C£＞的底面A8CD是边长为2的正方形，PA=PB=3.

(1)证明："AD=NPBC；

(2)当直线E4与平面PCD所成角的正弦值最大时，求此时二面角P-A8-C的大小.

【解析】(1)证明：分别取A8,8的中点E,F,连接正，EF,PF,

因为24二尸8,所以

又因为A8//CD,所以CD_LPE,

又因为8_LM,PE(}EF=