离心率的范围 -高考数学二轮专项复习

微重点1离心率的范围

[考情分析]圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此

类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁.

考点一利用圆锥曲线的定义求离心率的范围

例1(1)己知尸是椭圆再=15>6>0)的一个焦点，若过原点的直线与椭圆交于4B两点,且N

/户8=120。，则椭圆离心率的取值范围是()

喈一)B.(O,同

*1)D.(0"]

答案C

解析设椭圆左、右焦点分别为K,F,连接B力，F\B,

由椭圆及直线的对称性知，四边形力为平行四边形，

且乙4依=120。，NE4H=60。，

在△力旧中，

\FF\F=|JF|2+MQ|2.2y|cosNFAFi

=(\AF+\AF^-3\AF]-\AFx\.

・•・(M/l+MP|)2-|户/川2=3|力刊|

(("出SI?

当且仅当|时等号成立，

可得//l+MK|)2W|EFR

即出W4i,则「之与

QL

又椭圆的离心率e£(0,1),

・••椭圆的离心率1).

(2)已知*,B分别为双曲线C的左、右焦点，点。是右支上一点，且NQPBW，设NPF、F?=8,当双

曲线C的离心率取值范围为(与，国)时，。的取值范围为()

A.（。，同B©£）

C.D（2I）

答案B

在

r_____

解析在""中，由eWE就鬻R（十）一sin。

_V3_1

2COSG+0）,

因为0G件.6）,

所以cosG+e）eg，y）,

所埠同》5

所以e的取值范围为管，胃

［规律方法］此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于dc

的不等式或不等式组求解，耍注意椭圆、双曲线离心率自身的范围.

跟踪演练1（2024・荆州模拟）已知Q,B是椭圆和双曲线的公共焦点，?是它们的一个公共点，且/

BPFi=^,则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（）

答案A

解析如图，设椭圆的长半轴长为0,离心率为白，双曲线的实半轴长为S,离心率为历

则根据椭圆及双曲线的定义，得PB|+|PB|=2m,|PQHPB|=2a2,

所以『人1=（71I«2,\PF-^=a\-a2/

设|FE|=2c,NRP乃苫，

则在中，由余弦定理，

得4/=（。1+。2）2+（。1-Q2）2-2（ai+Q2）（m-a2）cosg,

化简得城+3ag=4c2,即:屋-4,

又*0,e2>o,4=1^^2jJ1=2V3-^,

所以白4,则m2零，当且仅当牡，即0邛“考时，等号成立，所以椭圆和双曲线的离心率乘

积的最小值为今

考点二利用圆锥曲线的性质求离心率的范围

例2（1）椭圆「哈1（々>6>0）上存在一点P满足HP_LBP,a,B分别为椭圆的左、右焦点，则椭圆

的离心率的取值范围是（）

A.（0,1]B.（0,第

叱，1）D.停,1）

答案D

解析当点尸位于短轴的端点时，NRPF?最大,

不

\F\OFyx

要使椭圆白昌1（。>6>0）上存在一点P满足FxPVFiP,

只要ZRPF2最大时大于等于5即可，

即当点尸位于短轴的端点时，/。吟,

所以sinNOPH午si后，

又椭圆的离心率e£（0,1）,

所以椭圆的离心率的取值范围是偿，1）.

⑵已知P为椭圆曲、1他乂》0）上一点，R,尺为椭圆焦点，且厂问|=3尸&|，则椭圆离心率的取值范围

是（）

A（0-I]B.&1）

C®1]嗝，1）

答案D

解析由尸为椭圆*言1（。泌>0）上一点，\PF^\PF2\=2a.

又|PR|=3|P“2|,所以PBIU，

又a-cWJPBIWa+c,即Q-cW/Wa+c.

a-c<^,

即a2

「a十G

偌Wc,即兵e<l.

［规律方法］利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角，通径，三角形中的边角关系，曲线上的点到焦点

距离的范围等，建立不等式(不等式组)求解.

跟踪演练2已知双曲线意。1(心0,h>0)的左、右焦点分别为E,B，若双曲线上存在点尸，使

:统则该双曲线的离心率的取值范围为()

A.(l,1+V2)B.(1,1+V3)

C.(l,1+V2］D.(l,1+V3］

答案A

解析若点尸是双曲线的顶点，焉父焉话无意义，故点尸不是双曲线的顶点，在向中，由正

弦定理得

\PFl\_\PF2\

sin/P"2Plsin/PP"%'

?a_c.\PFi\_c

乂sinzP^iF2sin/PF2广1，''吐21a，

即.・・/>在双曲线的右支上，

由双曲线的定义，得|PRHPB|=2m

・•・?尸巳|-|户外|=2即即俨刑告,

由双曲线的几何性质，知|P尸2|>c-d，普EPc2-2ac-a2<0,

：.e2-2e-\<0,解得-&+l〈ev&+l,又e>l,

・•・双曲线离心率的取值范围是(1,I+V2).

考点三利用几何图形的性质求离心率的范围

例3(1)(2024・成都模拟)已知直线/：1+2,若椭圆C：。■y=］仅>1)上的点到直线/的距离的最大值

与最小值之和为2鱼，则椭圆。的离心率的取值范围是()

Ae同B©,1)

c.(。,孚喑一)

答案A

解析将/：尸+2代入椭圆C：^f/=l(t7>l),消去y,可得(1+々2)%2+4屋"3/=0,

由已知直线与椭圆相离或相切，BPJ=16«4-4(1+tz2)-3672<0,解得/W3,即

设椭圆上任一点P（〃cos仇sin0）,

则P到直线/的距离为公加。sej加2|」、屈饕e+w）+2|,

v2V2

TlvaWH,

22

.Va4-l+2+2-Va+l=2V2,符合题意,

*双

则椭圆C的离心率J1一向‘

\,l<a^V3,e的取值范围为（0,J］.

22

（2）（2024•浙江五校联考）已知双曲线5Y£V=l（a,%>0）上存在关于原点中心对称的两点4B,以及双曲线

上的另一点C,使得△/4C为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（）

A.（V2,4-oo）B.（V3,+oo）

C.（2,+oo）D.铝，+8）

答案A

解析由题意可知，双曲线的渐近线方程为尸gx,

设点,4(x,y),

因为△48C为正三角形,

所以。力J_OC,S.\0C\=V3\0A\,

则可取C(V5y，-V3x),

俨y2-1

前菸一1，

则《

丝-丝=1

整理得人3a2+川笆

年国埠Q”3b2。2,

解得炉>*即可得泉2,则吟昼企

所以该双曲线离心率的取值范围是（或，+8）.

［规律方法］利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关系.

跟踪演练3椭圆/哈］（0<*1）的左焦点为凡4为上顶点，8为长轴上任意一点，且6在原点O的

右侧，若△尸的外接圆圆心为P（〃?，〃），H〃什心0,椭圆离心率的取值范围为（）

A.(。，T)B.(o,0

呜1)D©,1)

答案A

解析由题意，得力(0,b),设BQ,0)(/>0),F(-c,0)(00),/XF/B的外接圆的方程为了2+卢丹+&+尸=0,

(b2+bE+F=0,

则｛c2—cD+尸=0,

3+第+尸=o,

(D=-t+c,

解得］r_-b2+ct

【七=—:—，

所以的外接圆圆心为，噤），

所以‘产"/>0,BPbt-bc+b2-tc>0,即S-c）«+6）>0,

因为什力>0,所以Qc>0,即足解那，

所以

所以0<栏.

专题强化练

（分值：52分）

一、单项选择题（每小题5分，共30分）

1.若椭圆上存在点P,使得P到椭圆两个焦点的距离之比为2：1,则该椭圆的离心率e的取值范围是（）

A.殍,1）B（0,f]

叫1）D0,1]

答案C

解析由题可设点P到椭圆两个焦点的距离分别为2m,明

所以2〃?+/〃=2见得到m=|见

又〃众a-c,所以92a-c,得到c2家,

所以e岩，又入〈I,故上内1.

22

2.已知椭圆鸿=1(心/)>0)的左、左•焦点分别为n，B，以线段4月为直径的圆与椭圆有四个交点，则椭

圆离心率的取值范围为()

A停1)B停1)

C.&1)嗝，1)

答案A

解析因为以线段Q乃为直径的圆与椭圆有四个交点，所以

即必02,,排<202,所以招，即右邛，又因为051,所以椭圆离心率的取值范围为得，1).

3.已知双曲线C：捺寻15>0,枕>0)的右焦点为网c,0),其渐近线与圆(x-c)2+产。有公共点，则双曲线。

的离心率的取值范围为()

A.(l,V3]B,[V3,+oo)

C.(l,f]D.偿，+8)

答案c

解析由*0得bxi@=0,即为双曲线的渐近线的方程，不妨取Zu飞尸0,

l〈eW当，

，双曲线C的离心率的取值范围为(1，y].

4.已知平行四边形/8C。内接于椭圆。：*=1(〃>6>0)，且49力。斜率之积的取值范围为(一；，-1),

则椭圆0离心率的取值范围是()

A&？)B停用

C0?)D.&|)

答案A

解析由题意，D,8关于原点对称，设。的，/),B(-xo,-yo),A(x,y),

y-yoy+yo^y2-yo

x吧蚩生兰

2X2-XQ1a^1

X-XoX+XQX-XQ

・・・e的取值范围为6，y）.

5.（2024・长沙模拟）焦点在x轴的椭圆中截得的最大矩形的面积的取值范围是。川，1b2],则椭圆离心率的

取值范围是（）

儿降写B愣,殍]

C榨,写D榨,写

答案C

22

解析设椭圆的标准方程为步步1（。泌>0）,

不妨设矩形ABCD的对角线力。所在的直线方程为产质（假设Q0）,

联立p+'=l，

（y=kx,

则中，

解得F喘为，产兽,

所以矩形AI3CD的面积为S=4|皿带生记竺<熠=2曲

卜+a卜E2%2k

当且仅当号时取等号，

因为焦点在x轴的椭圆中截得的最大矩形的面积的取值范围是L〃，&2],

所以尹W2"W汜则为WaW孔噜2。唔2,

徐鹏/）42<*,02）,

仁V竺

解得归色

W-49,

即e的取值范围为［苧，殍］.

6.双曲线C：^=1(«>0,6>0)的左、右焦点分别为尸，B,左、右顶点分别为4,力2,B为虚轴的上端

点，若直线8乃上存在两点P«=l,2)使得小P」/2Ea=l，2),且过双曲线的右焦点B作斜率为1的直线

与双曲线的左、右两支各有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是()

A..y/3<e<\l5B.\/2<e<V5

C暗e<bD.&〈e呼

答案D

解析直线8月上存在两点P,(i=l,2)使得小。」42噂=1,2)等价于以线段为直径的。。与直线8B

相交，

由已知。。：好+产=屋，1BF1\黑=1,

即bx+cy-bc=O,

.be)

即b2c2<a2(b2+c2),

即(c2P2)(,2<*(2/_42),

即$-3$+l<0,

又y”

解得i2苧，

a2

又过双曲线的右焦点B作斜率为1的直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，

则刎，

a

・•・可>1,解博>传

a'a

综上，双曲线离心率的取值范围是鱼y竽.

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

7.(2024•邯郸调研)已知双曲线C：3-分1，则()

x+o5-A

A)的取值范围是(-6,3)

B.C的焦点可在x轴上也可在y轴上

C.C的焦距为6

DC的离心率e的取值范围为（1,3）

答案AC

解析对于A,・・,安5l表示双曲线，

A-f-OD-Xr

.,・（2+6）（30>0,解得-64<3,故A正确；

对于B,由A项可得-6</3,故，.历>0,3-2>0,

・・・C的焦点只能在x轴上，故B错误；

对于C,设。的焦距为2c（c>0）,则°2=2+6+3・2=9,

，c=3,即焦距2c=6,故C正确；

对于D,离心率e扁，

V-6<A<3,.\0<VTT6<3/

的取值范围是（1,+8）,故D错误.

8.（2024•河南TOP20名校联考）已知椭圆Q：亲。15>6>0）的左、右焦点分别为B,B,将八上所有点的

横坐标与纵坐标分别伸长到原来的々（Q0,后1）倍得到椭圆八，则下列说法正确的是（）

A.若/>0,则匕

B.若八,八的离心率分别为Q,62,则32

C若八，八的周长分别为G,Q,则C24

D.若八的四个顶点构成的四边形面积为"匕则Q的离心率为2（衣-1）

答案AB

解析设点（K”为椭圆乃上任意一点，则由题意知。：管’

\y—汽y.

代入椭圆八的方程得案离=1.

KCiKD

所以椭圆公的方程为嚼卷（。泌>0）.

kakb

因为心Q0,/>0,所以%空，所以A正确；

aa+t

由已知得，e\巫正,G金竺王N所以B正确;

由已知得，其相似比为1:k.

所以，W，所以C2=4G,

因为Q0,的，所以c错误；

设。=必二"，因为八的四个顶点构成的四边形的面积为*,

所以京〃26与，所以2"气2,

所以lay/a2-c2=c2,所以e4+4e2-4=0,

所以g2--4+^-4X（-4）2（V?_］）（负值舍去），所以口错误.

三、填空题（每小题5分，共10分）

9.己知a,B分别为椭圆然=1（5>。）的左、右焦点，若直线上存在点p使△朋B为等腰三角形,

则椭圆离心率的取值范围是.

答案停，1）

解析△尸为等腰三角形，只可能尸尸2|=回尸2|,

即|PB|=2c,

又因为点P在直线尸^上，gp|PF2|=2c>y-c=>3c2>672=>e2>|=>e>y,

又因为椭圆的离心率e£（o,1）,

所以e的取值范围为（弓，1）.

10.（2024・聊城模拟）已知双曲线