菱形重难点（7大题型）解析版-2025-2026学年八年级数学下册（沪教版）

菱形重难点（7大题型）

------------------目录

A题型建模•专项突破

题型一、利用菱形的性质求线段长及最值..........................................

题型二、利用菱形的性质求面积...................................................4

题型三、利用菱形的性质证明.....................................................8

题型四、菱形中的翻折问题......................................................15

题型五、菱形中的旋转问题......................................................16

题型六、证明四边形是菱形......................................................20

题型七、根据菱形的性质与判定求值.............................................30

B综合攻坚•能力跃升

A题型建模•专项突破

题型一、利用菱形的性质求线段长及最值

1.（24-25八年级下•上海•月考）菱形的一个锐角为60。，边长为20厘米，则此菱形较长的对角线的长等于

________厘米,

【答案】2073

【详解】解：如图，菱形川?。。的边长为20匣米，/410=60"连接8。交4。于点

vAB=AD,/.BAD=60°,

.••△48。是等边三角形，

:80=48=20厘米，

:.BE=DE=^BD=\0厘米,

•••ACJ.BD,

"AEB=90°,

1/57

•••CE=AE=y/AB2-BE2=>/202-102=IO>/3（厘米），

•••力。=24E=2OJJ厘米，

••.此菱形较长的对角线的长等于20石厘米，

故答案为：20月.

2.（24-25八年级下•上海•期中）菱形的边长为5cm,两条对角线之比为3:4,则菱形一边上的高的长度为

____cm.

24

【答案】y

【详解】解：如图：菱形48CO中，BD-.AC=3:4t

令BD=6xcm,则4C=8xcm,

：.OB=OD=-BD=3xcvn,OA=OC=-AC=4xcm,

22

•.YBCD为菱豚边长为5cm,

.'.AB=BC=CD=AD=5cm,AC1BD,

.•.在Rta/lOB中，AB2=OA2+OB:»

...52=（4X）2+（3X）2,

解得x=l或x=-l（负值舍去），

:.BD=6cm,AC=8cm,

设菱形4?CO一边上的高的长度为人cm,

二菱形ABCD的面积=,4C•8。=53

」x8x6=5h,

2

24

解得〃二彳，

24

即菱形一边上的高的长度为《cm,

24

故答案为：y.

3.（22-23八年级下•上海嘉定•期末）两张长为8,宽为2的矩形纸条交叉摆放，使得重叠部分是一个菱形X8CO

（如图），那么该菱形的边长机的取值范围是.

2/57

【答案】2。弋

【详解】解：当两矩形纸条垂直时,菱形力夕「。是正方形，菱形的边长最小，，”=2,

DC

B

当两纸条如图摆放时,菱形的边长最大,

ED=8-m,

•••=90°,

••AD1=AE2+ED1，

m2=22+(8,

17

故答案为：

4

4.（2024八年级下•上海・专题练习）如图，已知菱形N8C。的两条对角线分别为6和8,点朋是边8c的

中点，点N是边CO上一点，点尸是对角线8。上一点，则PM+PN的最小值为.

3/57

AD

【答案】%

J

【详解】解：作M关:4。的对称点。，连接N。，交BDTP,连接MP,连接力C,

•••四边形48c。是菱形,

/.AC1BD,NQBP=NMBP,AB=BC,

即。在48上，与C4关于80成轴对称,

-MQLBD,M为8C中点,BM=CM=-BC=-AB,

22

:.BQ=BM=QAB,

，。为中点，

•.•川为CQ上一动点,

.•.当0N_LCO时，0N最短，即PM+PN=PQ+PN=QN最短；

•••四边形/出CO是菱形，

:.CP=-AC=3,BP、BD=4,

22

在RtZXHPC中，由勾股定理得：BC=5,

由等面积法可得：gx6x8=50N,

••0=g，

24

•••尸”+取的最小值为行；

24

故答案为：y.

4/57

题型二、利用菱形的性质求面积

5.（23-24八年级下•上海宝山•期末）已知菱形的边长是8,一人内角是60。，那么这个菱形的面积是（）

A.64B.32C.64也D.32G

【答案】D

【详解】解：连接力。，过点4作力七，8交于点E,如图，

•••菱形的边长是8,一个内角是60。，

.•・△.4。。是等边三角形，

.'.DE=EC=-DC=4

2f

由勾股定理可得，AE=ylAD2-DE2=4^，

菱形的面积是8x46=32石.

故选：D.

6.（24-25八年级下•上海徐汇・月考•）若菱形周长为20cm,两对角线之和为12cm,则菱形面积为

【答案】11

【详解】解：•.・菱形周长为20cm,

菱形的边长为5cm,

如图所示，菱形相C。的对角线交于点O,则。4=OB』D,AC1BD,

22

•••两对角线之和为12cm,

AC+BD=12cm,

OA+OB=6cm,

设04=acm,OB=bcm,

.'.a+b=6,

在RtA/lO4中，由勾股定理得/公=。4+。序，

•••/+〃=52=25,

5/57

..（。+6『-（/+〃）11

,,aD=-----------------------=一»

22

二后=-AC-BD=-'2a2b=\\,

故答案为：11.

7.（24-25八年级下•上海•月考）已知菱形一组对角的和为240。，较短的一条对角线的长度为4,那么这个

菱形的面积为.

【答案】&6

【详解】解：由题意得，Z^D=-x240°=120°,AC=4,

2

•••四边形48CO是菱形，

BA=BC,AD//BC,AC1BD,AO=-AC=2,BO=DO=-BD,

22

/.ZABC=\80°-/BAD=60°,

.••△力6。是等边三角膨，

:.AB=AC=4,

••BO=ylAB2-AO2=>/42-22=2>/3，

••・80=280=45

•••S—」4cx8O」x4x4G=86.

交修22

故答案为：86.

8.（24-25八年级下•上海杨浦•期末）如图，菱形月8C。的面积为36,点E、尸分别在边力8、BC上,

AE=BE,如果户的面积为6,那么的面积为.

【答案】15

【详解】解：连接EC,

6/57

A

E

c

•:AE=BE,

"S&BEC=S^AED=4S芟形襁a）=9，

又•.△8所的面积为6,

:.BF:BC=2:3,即CE:AC=1:3,

S^FCD=不S菱形.CD=6，

•0*S《DEF=S菱物se--S^EQ一S/CD=36-6-9—6=15,

故答案为：15.

9.（23-24八年级下•上海•期末）已知菱形"CQ的周长为40,对角线4C、8。相交于点。.如果〃）：80=4:3,

那么菱形ABCD的面积为.

【答案】96

【详解】解：如图，

•.•菱形"C。的周长是40,

••.48=40+4=10,AC1BD,

•.40:80=4:3,

设NO=4x,则8O=3x,

•••AO2+BO2=AB2,即（4%y+（3A）:=102,

解得：x=2（负值已舍去），

AO=8,BO=6,

JC=2JO=16,80=280=12,

菱形48CZ）的面积为:;力。8。=；*16乂12=96,

故答案为：96.

7/57

10.（24・25八年级下•上海•期中）如图，已知线段/C.

⑴请用无刻度直尺和圆规作出菱形力8。。，使得8。=24。（不写作法和结论，保留作图痕迹）；

（2）在（1）的条件下，如果/。=2,则菱形48co的面枳为,高为—.

【详解】（1）解：菱形即为所作；

菱形ABCD的面积为:4Cx8Q=；x2x4=4,

是菱形，

二AO=1,BO=2,

AB—\lAO2+BO'=Jl~+2"=y/s»

•••菱形的高4为4石厂.

故答案为：4.3后.

题型三、利用菱形的性质证明

11.（24-25八年级下•上海•期中）如图，在0力88中，点E,E分别为CO的中点，是对角线,

⑴求证：DE=BF；

（2）若四边形8瓦才'是菱形，则四边形4G8。是什么特殊四边形？并证明你的结论.

【详解】⑴•••在口/4CQ中，

8/57

:.AB〃CD,AB=CD

.:E、/分别为边48、CO的中点

：.BE=-ABtDF=-CD

22

：.BE=DF

•••西边形OE8尸是平行四边形

:.DE=BF；

（2）矩形，理由如下：

•.•在O/18CZ）中，

/.AD//BC

•••AGIIDB,

••・四边形力GB。是平行四边形

如图所示，连接。G

・•・E为边48的中点

•••点E在。G上

•••四边形屋ZW是菱形

；.DE=BE

vAE=BE,DE=EG

AB=DG

，平行四边形力G4。是矩形.

12.（23-24八年级下•上海松江・期末）已知四边形48CO是菱形，/历10=120。，4B=4,/£4斤的两边

分别与射线。8、射线。C交于点石、凡点E与点C、点8不重合，NEAF=60°.

图1图2备用图

⑴当点E在线段C8上时，

①如图1,求证：BE=CF；

9/57

②连接8。交ZE于点〃，当BE=BH时,求8E的长.

⑵当/%£=15。时，求阳的长.（直接写出答案）

【详解】（1）①证明：连接力C,

，•四边形48C。是菱形，/比1。=120。,

EC

：.ABAC=ACAD=4B=ZACD=600,

・•・△力8c为等边三角形，

/.AB=AC，

•••Z/TJF=600=Z5/4C,

...NEAF-NEAC=NBAC-NEAC,HPABAE=ZCAF,

:^BAE^CAF（ASA）,

BE=CF.

②解：连接4C交8。于点G,

•••四边形48co是菱形,

BEC

・•.ACJ.BDf^G,

v48=4,

/.AD=AB=AC=4,,

AG-2,

BD=2BG=2dAB2-AG2=4G，

VBE=BH,

NAEH=乙BHE,

,/AD〃BC,

NDAH=NBEH,

vADHA=Z.BHE,

/.Z.DAH=Z.DHA,

DH=AD=4,

:.BE=BH=BD-DH=4y/3-4.

10/57

(2)解：①当上在线段C6上时，

作WM_L8C于点作EN148于点N,

N84M=30。，

:N助£=15。，

•••花平分NB4W,

NE=ME,

,/AE-AE,NAME=Z.ANE=90°,

:.“ENmAEM(JIL),

AB=4,

：.BM=2,AM=JAB2-BM2=26，

•••AN=AM=2日

.♦.BN=4-25

设BE=x,贝iJ*=ME=2-x,

•：BN1+NE1=BE2

(4-2扃+(2-x『=x2,

解得X=8-4G，

8E=8-46

②当上在C5延长线上时，作/O18C于点。,

NE=ZABO-/BAE=45。,

•/NAOE=90°,

...N8力。=30。，ZEAO=45°=ZE,

由①同理可知，40=2,40=2百,

EO=AO=2百，

11/57

:.BE=EO-BO=2也-2.

13.(23-24八年级下•上海长宁•期末)定义：如果梯形的一个内角等于其它三个内角中的两个内角之和,

那么称这个梯形为“加和角梯形"，这个内角称为"加和角”

求证：梯形月8CQ为〃加和角梯形”，

(2)在“加和角梯形”"C。中，N/OC为“加和角〃，AD//BC.

①如图2,如果4B=DC,AC1BD,垂足为点。，AC=2瓜,求梯形48CO的周长；

②如图3,如果/力=90。，点E为边8C中点，过点E作EF〃CD交边于点F,AD=2,48=4,点G

在边CO上使得AEFG是以产G为腰的等腰三角形，求OG的长.

【详解】(1)•.・四边形为菱形，

：.NB=/ADE,DE=BE,

•••点七为边8。中点，

.，•BE=CE,

DE=CE,

:.AEDC=ZC,

••・ZEDC+NADE=NC+N8,

即4iOC=N8+NC,

梯形ABCD为“加和角梯形〃.

(2)①•.•梯形48co中，AD〃BC,AB=DC,

二4BC=ZDCB,NADC+4DCB=180°,AC=BD,

加和角梯形“ABCD中，ZADC为“力U和角”，

:.ZADC=NDCB+NABC=2/DCB,

.•.2NQC8+NOC8=180。，

；"CB=ZABC=60Q,

分别过点力、。作/1G_L8C、DH1BC,垂足分别为点G,H.

12/57

4GH=ZDHG=ZDAG=90°

.・四边形力为矩形，

:.AD=GH、AG=DH,

在Rl^AGC和RsDHB中

AG=DH

AC=DB'

：.RuAGC^Rt^DHB,

：.ZOBC=4OCB、

•••AC1BD,

Z5OC=90°,

ZOBC+ZOCB=90°,

.•.NO4C=NOC8=45°,

在R/△力CG中，/力GC=900,/4CG=/C4G=45。，

:.AG=CGt

222

AG+CG=AC9AC=2y[6,

；.AG=CG=2B

在R〃/4G中，NAGB=90。,/48G=60°,Z5JG=30°,

BG2+AG2=AB2,

：.BG=2yAB=4,

:.AB=CD=4,BC=2^+2,

・「BH=CG=2。

:.AD=GH=2舁2,

・"梯形.6=26-2+2b+2+444=8+4石；

②•.•4=90。，AD//BC,

IB=90°,ZLADC+ZC=180°,

13/57

由//DC为“加和角”,

可得/4OC=90°+/C,

ZC=45°,

过点。作O〃_L4C于点”，

则四边形力。/"为矩形，

；.DH=AB=4,BH=4D=2,BC=BH+CH=4+2=6,

•••CH-4,DC-4cH2+DH?-4拒,

由点E为4C中点，EF//CD,

则ZC=4FEB=NBFE=45°,

.・.BF=BE=3,

I.当GPnG七时，

,;BE=BF,BG=BG

贝ijXBFG为BEG,

贝ijNGBCnNGA”ndS。，

vZG^C=ZC=45°,

AGBC中，4BGC=1800-NGBC-ZC=90°,GB=GC,

-GB2+GC2=BC\BC=6,

...GB=GC=3g，

:DG=DC-GC=0

II.当/G=所时，过点G作GQ_L4C广点Q,交/。延长线于点P,作FR工尸Q「点R,设Z)G=x,

14/57

则DP=PG=—x.RG=­x-\,FR=2+—x,

222

vFR2+RG2=FG1=FE2=BF2+RE-

：DG=^6-j2

2

综上，DG=&或QG=#—立

2

题型四、菱形中的翻折问题

14.（24-25八年级下•上海奉贤•期末）如图，将一张菱形纸片48CQ沿DE所在的直线翻折，使点C落在点

F处，联结DF交边4B于点G.如果乙4=60。,48=2,6为48中点，那么折痕。E与边8c的夹角的度数

是.

【详解】解：如图所示：连接

•・F8CZ)是菱形,

•，•AD=AB,

•••Z4=60°,

.•.14。为等边三角形,

ZJZ)C=120o,ZC=60°,

•••G为力8中点,

NADG=NBDG=30。，

「翻折,

15/57

z.NFDE=NCDE=—......=45°,

2

ZDEC=180。-60°-45°=75°,

故答案为：75°.

15.（24-25八年级下•上海宝山•期末）如图，在菱形48C。中，对角线4C与8。相交于点O,

AC=6,BD=10.将边4c沿着过点。的一条直线翻折，点。的对应点为区点8的对应点为R连接

EF、DF,如果点E落在线段OD上，那么山EF的面积为_____

C'

【答案】5

【洋解】解：如图

C'

•••四边形48CO是菱形，

AC1BD,O8=OD=-BD=-x\0=5OC=-AC=-x6=3

22f22

•••折叠，点C的对应点为£且点£落在线段。。上，

：.OE=OC=3,OF=OB=5,折痕平分NEOC,即平分/408,

.•.尸在射线CM上,

.-.DE-5-3-2,

QEF的面积为:0£乂0尸=；*2乂5=5,

故答案为：5.

题型五、菱形中的旋转问题

1G.（24-25八年级下•上海・月考）在边民为G的菱形中，ZJZ?C-60°,将菱形43CD绕点B旋转,

16/57

得到菱形H4C77,其中点0落在84的延长线上，那么△C'O'O的面积是

【答案】27-96

【详解】解：如图所示，连接力C交9设CT)',AD交TF,

•••在边长为6的菱形48co中，Z.4BC=60°,

ZABD=ZCBD=-ZABC=30°,AC1BD,BD=2OB,

2

:.OA=-AB=3,

2

•••OB=>]AB2-OA2=36，

•••BD=2OB=66；

由旋转的性质可得BC'=BC=6,NA'BC'=NABC=60°,

•••N/'8/<=NA8C'=30°,

:BC、。三点共线，

:DC=BD-BC=6y5-6；

vAB=AD,BC=DC,

.-.ZADB=/ABD=30°,4CBD'=ZCD'B=30°,

NDCD=NCBD'+NCD'B=60°,

.-.ZCTO=90°,

:.CF=LCD=3百-3,

2

•••。产=Jc'Z)2—C72=9一36,

••.Ze0=；C"Q尸=gx6x(9-3@=27-95

17.（2223八年级下上海长宁期末）如图，菱形48CO的边长为2,ND48=60。，连接力C,将菱形力88

17/57

绕点力旋转，使点。的对应点E落在对角线力C上，连接。E,那么△。后。的面积是

【答案】V3-1

【详解】解：如图所示，过点E作EFJ.CD

依题意=

•••菱形/18C。的边长为2,ZDAB=60°,

AB//CD,CD=2,//。。=120>,ZD]£=30。，

:.ZADE=NAED=1(180°-30°)=75°,

.•./EDF=450,

•••NE尸是等腰直角三角形，

设。f=七尸=》，则尸C=2—x,

•••4CO=ND4C=30。，

：.FC=6EF,

即2-x=Gx，

解杼：x=6-1，

则£尸二8-1,

...SiDEC=gDCxEF=g-1,

故答案为：^3-1.

18.（24-25八年级下•上海•期中）如图，已知菱形力4CQ的边长为6,4=45。，将菱形/4CQ绕点力按

逆时针旋转，得到菱形其中4、C、。的对应点分别是用、G、

18/57

⑴填空：当旋转角为45。时，则点C、G的距离是；

（2）连接80,当G在8。的延长线上时，求NC/。的大小.

【详解】（1）角储•「N/=45。，旋转角为45。，

・•・旋转后。与与重合.

••・菱形/8C。的边长为6,4=45。

.-.ZJDC=ZJ^C=135°,CD=6,

：./CDC\=360°-/ADC=ZAB}C}=90°

•.・将菱形4BCD绕点、4按逆时针旋转，得到菱形4BCR,

：.CD=C\D=6,

:.CC、=6五

故答案为：6&;

（2）解：当G在。上方时，

•••8D垂直平分力C,

即G在/C的垂直平分线上,

19/57

:.AC,=CCt,

vAC{-AC,

.•.AC,=AC=CC,

・•・△/C0是等边三角形，

即NC4G=60。，

•••/片孙=45。，

.•.NC/A=22.5。，

Z.CAD,=NCACi+ZC,J£）,=82.5°；

当G在8下方时，

同理可得NC4。］=NC4G—NC142=37.5。：

综上所述，ZCAD、=82.5°或37.5C.

题型六、证明四边形是菱形

19.（24-25八年级下•上海浦东新•期末）已知：如图，平行四边形4?。。中，点E在边上，点/在线

段延长线上，旦BE=CF,而平分NE/D,求证：四边形力£尸。为菱形.

BECF

【详解】证明：•.•四边形是平行四边形,

：.AB=CD,AB//DC,

:.ZB=ADCF,

在〉BE与.Db中,

AB=DC

,NB=NDCF,

BE=CF

.•.△ABE处DCF(SAS),

AE=DF/AEB=Z.DFC,

:.AE〃DF,

•••四边形4E")是平行四边形，

AD//EF,

AZDAF=4AFE,

•••力广平分NE/1。,

20/57

ZDAF=/.EAF,

ZAFE=Z.EAF,

•••AE-EF>

•••四边形4£7力为菱形.

20.（24-25八年级下•上海•期中）如图，平行四边形力ACO中，E为对角线上任一点.

⑴连接£4、EC,若EA=EC,求证：四边形力8c。是菱形；

⑵若M在力。上，连接以1、ME,若/BEM=NC,4DME=CEDC,判断四边形力4。。的形状并证明.

【详解】（1）证明：分别过点力和C作80的垂线，垂足分别为尸和G,连接力。交80于点。，

•••平行四边形48CZ),

：•S&ABD-S、CBD，BD=BD,

：.-BDxAF=-BDxCG,

22

•••AF=CG,

在Rt"Er和RtZXCGE中，

vEA=EC,AF=CG,

Rt△/E厂@Rt^CGE(HL),

:.EF=EG,

・•・点/、点。和点G重合,即于点。,

•••四边形"C。是平行四边形，

.・泗边形力8CQ是菱形；

（2）解：四边形力4CO是矩形，理由如下：

21/57

•••平行四边形力5CQ,

AD//BC,

Zl=Z3,

•••力ME=ZEDC,

•••N2=/4,

vABEM=Zl+Z2,NC+N3+N4=180°,

.­.ZC+ZBEM=180°,

•••NBEM=ZC,

.-.Z5£A/=ZC=90°,

••T’行四边形48co.

二四边形498是矩形.

21.(24-25八年级卜上海宝山•期末)己知：如图，在平行四边形48CQ中，点。为对角线AC的中点,

过点。作£尸_14。交边力4、CD于点、E、凡联结/£、CE.

⑴求证：四边形4EC/为菱形；

⑵如果四边形48co为矩形，/。=8,CZ>=16,求石产的长.

【详解】(1)证明：••・四边形48C。是矩形，

C?〃AE,

；"CO=NE4O,

为对角线力。的中点，

:.AO=CO,

•；ZAOE=NC0F,

：.^A0E^△COF(ASA),

：.CF=AE,

•••四边形NEC尸是平行四边形，

•••EFLAC,

二四边形4EC尸是菱形；

(2)解：•••四边形48C。为矩形，力。=8,CD=\6,

・"=90。，

••AC=ylAD2+CD-=875，

22/57

.-.OJ=-JC=4V5,

2

••叫边形如文才是菱形,

/.AF=CF，

；.DF=CD-CF=16-AF,

AD2+DF2=

.­.82+(16-JF)2=/lF2,

AF=\Q,

•••OF=y)AF2-OA2=02-(4>/5j2=2y/5,

EF=2OF=4y/5.

22.（23-24八年级下•上海•单元测试）如图，已知在平行四边形48CQ中，点E,尸分别是48,。的中

点，CE,"■与对角线8。分别相交于点G,H,连接EH、FG.

⑴求证：四边形石GR/是平行四边形;

（2）如果力O_LBO,求证：四边形EGF”是菱形.

【详解】（1）证明：连接防，交8。于点0,如图:

vAB|CD,AB=CD,点、E,尸分别是48,CD的中点,

FOODDF2CD.

----===-=1,

EOBOBE}_AB

2

:.FO=EO,DO=BO,

DH=GB,

OH=OG,

二•四边形EGF”是平行四边形.

(2)证明：由(1)知，四边形EG/7/是平行四边形,

•••点0分别是力8,BD的中点，

:.0E//AD,

•/ADLBD.

23/57

EFA.GH,

•.立行四边形“EG尸是菱形.

23.(23-24八年级下•上海•期末)已知，如图，石尸是矩形48C。的对角线4。的垂直平分线，EF与对角

线BD及边AD、8。分别交于点0,E,F.

(1)求证：四边形是菱形；

(2)如果44BE=NEBD,求力石：上。的值.

【详解】(1)解：证明：•.•四边形48CO是矩形

AD〃BC,

:.Z.OED=4OFB、4ODE=N0BF,

•••EF是矩形ABCD的对角线B力的垂直平分线，

：.OB=OD,EFLBD

.­.^ODE^OBF(AAS)

DE=BF,

•:DE〃BF,

••・四边形"DE是平行四边形，

VEF1BD

••・四边形8")后是菱形；

(2)•••四边形是菱形

•••BE=DE,

:2DE=NEBD,

•:ZABE=NEBD,

ABDE=NEBD=^ABE

v4=90°

:.4BDE=NEBD=Z48E="x90。=30°,

：.AE=-BE=-ED

22

：.AE：ED=k2

24.(2024八年级下•上海・专题练习)已知：在梯形中，，4O〃8C,乙48c=9()。，BC=2AD,点、E

是8c的中点，点〃是。。的中点，连接力E交BD于点、G.

24/57

AD

/G\/\

BEC

（1）求证：AE=DC；

⑵求证：四边形EPOG是菱形.

【详解】（1）证明：・••点E是4C的中点，BC=2AD,

?.EC=-BC=AD,

2

又•：AD〃BC,

••・四边形4EC。是平行四边形，

/.AE=DC；

（2）证明：连接。石，

•.•E、/分别是8C、。。的中点，

M||BD,

•••四边形4ECZ）是平行四边形，

AAE\\DC,

••・四边形EFQG是平行四边形，

丁/。||BEWAD=BE,

••・四边形力瓶。是平行四边形，

乂*NABE=90。,

，"行四边形是矩形，

/.AE=BD,

GD=GE,

二•'”行四边形KPQG是菱形.

25.（2024八年级下•上海・专题练习）如图，M是平行四边形W8CO的对角线8。的垂直平分线，EF与边

AD、4c分别交于点E、F.

25/57

⑴求证：四边形8FQE是菱形；

(2)若£为线段力力的中点,求证:AB1BD.

【详解】(1)•.•四功形48CZ)是平行四功形,

.JOII8C,OB=0D,

vZEDO=ZFBO,ZOED=AOFB,

:.AOED"OFB(AAS),

:.DE=BF,

又*•即||3打,

••・四边形5红厂是平行四边形，

EFA.BD,

:QBEDF是菱形.

(2)二•四边形4打犯是菱形

:.BE=ED,

•••£为线段力。的中点，

BE=ED=AD，

：.ZA=NABE/EBD=4EDB,

.•.2(48E+NE8D)=180。,

ZABD=NABE+NEBD=90°，

ABLBD.

26.（2023八年级下•上海・专题练习）如图，在梯形力8c。中，AD//BC,AD=^BC,E为8c的中点,

联结£。，BD.

⑴求证：四边形44EO是平行四边形；

（2）如果乙4。8+/。。8=90。，求证：四边形48后力是菱形.

【详解】（1）•••点E是4c的中点，

26/57

：.BE=-BC,

2

-：AD=-BC,

2

BE=AD>

-AD//BC,

•••四边形川?££>为平行四边形；

(2)-,-AD//BC,

ZADB=ZDBC,

；DB+NDCB=90°,

：.ZDBC+/DCB=900,

在48OC中，^DBC+^DCB+ZBDC=180°,

・••/3OC=90。，

••.△BOC是直角三角形，

•••E是8C的中点，

：.DE=-BC,

2

•;BE=、BC,

2

•••DE=BE,

•••四边形ABED为平行四边形，

二网边形"7)G是菱形.

27.(2023八年级下•上海・专题练习)已知：如图，在平行四边形XBCZ)中，点E、F、G、，分别在边

AB.BC、CD、。力上，且4E=CG,AH=CF,EG平分/HEF.

⑴求证：四边形EFG”是平行四边形；

⑵求证：四边形ErGH是菱形.

【详解】（1）证明：•••四边形/BCD是平行四边形,

/.=ZC,NB=ND,

又,：AE=CG,AH=CF,

:4AEHdCGF,

EH=FG,

27/57

•；AB=CD,AD=BC,

:.BE=DG,BF=DH,

:.△BEF94DGH,

EF=GH,

••・四边形MGH是平行四边形；

（2）•.•四边形EFGH是平行四边形，

/.HG//EF,

ZHGE=NFEG,

,:4HEG=/FEG,

ZHEG=ZHGE,

HE=HG,

••・四边形是菱形.

28.（22-23八年级下•上海松江・期末）已知：如图，A/BC是等边三角形，点。在边8c上，且△力。石是

等边三角形，边OE与/C交于点O.过前E作EF〃BC,EF分别与线段44、AC,力。相交于点尸、G、

H,联结CE.

(2)连接。G,如果4Q/8C,求证：四边形OGEC是菱形.

【详解】(1)•••△48C是等边三角形，

AB=AC,NBAC=/B=60。.

同理可知，AD=AE.N。力E=60°.

ZBAC=NDAE.

MAC-NDAC=NDAE-ZDAC.

；"BAD=NCAE.

••・在△84。和△。石中，

AB=AC

Z.BAD=Z.CAE

AD=AE

.•.△8/IQgZ\C4E(SAS)

28/57

/B=AACE=60°.

ZACE=ZBAC.

.-.BF//CE.

又二EF〃BC、

•••四边形ACM是平行四边形.

（2）如图所示，

•••AD1BC,

•••4OC=90。.

又•••△力。£是等边三角形,

ZADE=60°

.­.Z£Z)C=90o-60o=30o

•••EF//BC

：ZED=NEDC=30°.

•••四边形灰芯尸是平行四边形

ZFEC=ZB=60°

.♦.ZDEC=60°-30°=30。

：.Z£DC=Z.DEC

:.DC=EC

乂•.△力8。是等边三角形

.-.ZJC5=60°

ZDOC=180°-30°-60°=90°

二ED1AC.

DO=EO

DG=GE

•••EF//BC

・•.ZEGC=N4CB=60。

-ZACE=60°

：.4EGC=4ACE

:.GE=EC

29/57

:.GE=EC=DC=DG

.・泗边形QGEC是菱形.

题型七、根据菱形的性质与判定求值

29.（24-25八年级下•上海闵行・月考）已知平行四边形48C。中，AC=24,BD=10,且力。工8。，则平

行四边形ABCD的周长为.

【答案】52

【详解】解：如图，AC.BD交丁点、O,

C：平行四边形力4c。中，40=10,AC=24,ACLBD,

：.OB=、BD=5,OA=-AC=12,四边形48C。是菱形,

22

AB=y/OA2+OB2=13,

.1.菱形ABCD的周长=4/13=52,

故答案为：52.

30.（24-25八年级下•上海黄浦•期末）如图，平行四边形力8CZ）中，448c=60。，”=3,40=6,点

七、厂分别是边3C、4D边的中点，点M是4E与的交点，点、N是CF与DE的交点,则匹边形

的周长是一.

【答案】3+36

【详解】解：连接跖,

；点月、厂分别是边8C、力。边的中点，^=3,AD=6,

BE=AF=AB=3,

•••AF//BE,

30/57

••・四边形48杆为菱形，

:.EF=3,

4E工BF,且4E与8尸互相平分,

同理可得：I四边形EFC。为菱形，

：.CFIDE,

■：^ABC=60°,

.•.△.48E为等边三角形,

113

:.ME=-AE=-AB=3,

222

在/中，由勾股定理，得MF=y/Ef2-ME2=

•.•四边形力8£?•为菱形，四边形勿CO为菱形,

4BFE=-4AFE,乙CFE=-Z.DFE,

22

•；/AFE+NDFE=T800,

•••4FE+NCFE=90。,

又•；AE工BF,CFYDE,

四边形ENFN为矩形，

••.四边形ENFM的周氏=2（ME+MF）=3+36.

故答案为：3+3后.

31.（2022八年级下•上海・专题练习）已知四边形48CO是菱形，周长是40,如果力C=16,那么菱形力8CQ

的面积为.

【答案】96

【详解】解：如图所示：

•••四边形/BCD是菱形，周长是40,4c=16,

.-.BO=AO=8,48=10,AC1BD,

:.OB=ylAB2-AO2=V100-64=6，

:.ED=12,

菱形ABCD的面积=殍=96,

故答案为：96.

31/57

32.（23-24八年级下•上海普陀・期中）如图，已知A/BC,N/〈9（）。，点。、E、尸分别在边48、BC、4c上,

且四边形石尸是菱形.

⑴请使用直尺与圆规确定点E的具体位置，再画出菱形4。£厂（不用写作法、结论.保留画图痕迹）：

（2）如果点"（不与点。重合）在边力8上，且满足那么四边形力产区必的形状是：

⑶在（2）的条件下，如果乙4=60。，AD=4,那么四边形4尸£0的面积是.

【详解】⑴解:如图，菱形4DEF即为所作;

//

（2）解：如图，EM=ED.

由（1）可知四边形HOE尸为菱形，

：•AF=DE,EF〃AD、

AAF=EM,EF^AM,

••・四边形4尸为等腰梯形.

故答案为：等腰梯形：

（3）解：•••四边形/。£厂为菱形，四边形加花凹为等腰梯形,

AD=AF=DE=EF=EM.

•••4=60°,

•••△ADF,J）EF.△OEM都为等边三角形，且边长都为4.

如图，过点力作力〃_LO/于点〃.

32/57

••・△力。/为等边三角形，

ZDAH=30°,DF=AD=4f

：.DH=HF=-AD=2,

2

,AH=>]AD2-DH2=25/3，

：.s&DEF=SGEM=SCDF=；DF‘AD=4乂2+=4有，

,,,S等腰梯形"£w=S,DEM+SQEM+S,®=3x4>/3=126.

故答案为：12石.

33.（22-23八年级下♦上海徐汇•期末）在矩形/8C。中，力〃=8,8c=16,£、尸是直线NC上的两个动点,

分别从小C两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为f秒，其中（0KW10）.

⑴如图1,M、N分别是48、CD中点、,当四边形是矩形时，求/的值；

（2）若G、〃分别从点/、C沿折线4-8-C,C-Q-4运动，与民尸相同的速度同时出发.

①如图2,若四边形EGFH为菱形,求，的值：

②如图3,作力。的垂直平分线交力。、BC于点P、0,当四边形尸G0”的面积是矩形/4C。面积的9时,

则i的值是.

【详解】（1）解：•••四边形力8CZ）是矩形，

/.AB//CD,AB=CD,

：.NM4E=4NCF,

■:M、N分别是48,DC的中点,

AM=CN,

•：E、尸分别从小。同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，

AE=CF=2t,

33/57

纥△CN/?(SAS),

:.ME=FN,"EM=4CFN,

ZMEF=ZEFN,

:.ME〃FN,

西边形EMFN是平行四边形，

如图1，连接MN,

图1

•••四边形力8C力是矩形，M,N分别是48,。。中点,

：.MB=CN、MB〃CN,N8=90。，

四边形MBCN是平行四边形，

••・四边形A/8CN是矩形，

•.•矩形48CQ中，力8=8,BC-

:.MN=BC=16,AC=>JS2+\62=875•

•.•四边形EMFN是平行四边形，

.•.当"'二MV=16时，四边形是矩形，

••・8石-4/二16或4T6二16，

解得：f=2石-4或26+4；

(2)①由(1)知：AE=CF,

如图2,连接G”,CH,

图2

•••I川边形EGF〃为菱形,

/.ACA.GH,OE=OF,

34/57

••Q=OC,

•••AH=HC,

•••HC2=CD2+DH2，

22

.-.AH=64+(16-AH)f

；.AH=CH=IO,

:.DH=6,

•••CD+。〃一8十6—14,

②如图3,连接力0,

图3

由①同理得：AQ=CQ=\O,BQ=6,

由①知：力。=10,

:.AP=CQ,

■:G、〃分别从点力、。沿折线4—4—C,。一3一力运动,

•••AG=CH,

乂・./G力尸=/0C〃=9O°,

,MAPG0ACQ〃(SAS),

:.GP=QH,

同理可证尸〃=G。，

•••四边形G。”尸是平行四边形，

•••四边形PGQH的面积是矩形ABCD面积的,

•.S•-豆Qc矩形'

••2s△MO=S矩形械=9x8x16=6°,

：,SAPGQ=30,

•••S〉AGP+5.罐=；xgxl6-30=34，

35/57

.­.|xJGx!0+|x6x(8-JG)=34,

••.AG=5,

5

"t=2,

故答案为：