高考数学复习训练：椭圆 分层训练 （解析版）

专题20椭圆

【练基础】

一、单选题

1.（2023•内蒙古赤峰•统考模拟预测）设人、尸2为椭圆C：噂+（=1的两个焦点，M为C上一点.若死为

等腰三角形，则△加£6的内切圆半径为（）

A.也或述B.柜或亚

5555

C.巫或汉叵D.拽或迈

5555

【答案】D

【分析】讨论加点的位置，结合椭圆的几何性质求出的面枳，利用（「为三角形内切圆半径,

/为三角形周长），即可求得答案.

【详解】由题意知椭圆。：工+大=1,则其长半轴4=6,短半轴6=2石，焦距2c=8,

3620

当M点位于椭圆的短轴端点时，不妨设为A点，|AGR8G|=V?寿=6

设△MF；6内切圆半径为「，则；“21AF；|+鸟|)=8石,

即L(2x6+8)=86Jr=—；

25

当M点不在椭圆短轴端点时，根据椭圆的对称性，不妨假设在第一象限内,

此时|岫|>|MF21,此时|M5IVAF21=6,由4MF\Fz为等腰三角形,

可知IMK1=1耳5|=8,则|MF21=2a—|M耳1=12—8=4,

XMF\鸟的面积为S=JX4XV82-22=4715,

则卜（2|"用+|"❷|）=4后,即?（2乂8+4）=4而,.」=^^,

综合可得△加七居的内切圆半径为拽或名叵,

55

故选：D

2.（2023・全国•高三专题练习）已知椭圆C：，+，=1（。>0⑦>0）的右焦点和上顶点分别为EA,且焦距等于4,

心的延长线交椭圆于点A,OFOB=5^则椭圆C的离心率为（）

A.姮B.巫C.述D.。

5555

【答案】A

【分析】根据题意得出直线A5的方程，联立方程组，利用韦达定理求出点8的横坐标，再结合丽・丽=5即可求

出。的值，进而求出椭圆的离心率.

【详解】由题意可知：4。力），尸（2,0）,则直线A8的方程为：y=-^（x-2）,

设8（x「X）将直线方程与椭圆方程联立,整理化简可得:

(4+a~)x2-4a2x=0,则芯+0=%=

4+a

----------5

又因为OF・O8=2玉=5,所以演二5，

则有心二=2，解得：所以。=岖，又。=2,

4+/233

c_2V15

所以椭圆。的离心率为"=二"^^=飞".

故选：A.

3.（2023•全国・深圳中学校联考模拟预测）已知一个离心率为5，长轴长为4的椭圆，其两个焦点为片，K，在椭

圆上存在一个点P,使得/626=60。，设△耳尸入的内切圆半径为广，则厂的值为（）

A.正B.立C.—D.立

6323

【答案】D

【分析】在△/>/记中，利用余弦定理求得|他卜|叫|=4,再由L^=g|P用忖周・sin60=?（|S|+|P段+忻图）

求解.

答案第2页，共36页

【详解】解：因为椭圆的离心率为长轴长为4,

所以〃=2,c=l,

在△心巴中，由余弦定理得：用名『=归用2+归国2—2归用.|刊讣8§6（1,

=（附|+|明）2-3比卜|明，

解得|P周.|%|=4,

所以5“初=；附卜|”|力】60。="（.|+|尸段+|£用），

乙乙

—x4x—•=—rx（4+2）»

222v7

解得「=且，

3

故选：D

4.（2022.四川雅安•统考一模）已知椭圆C9+，=1（0<0<2）的左焦点为区直线），=履伏/0）与C交于点M,

Q

N.若Z7"；N=120',阿闻怜用二:，则椭圆C的离心率为（）

A.|B.巫C.正D.如

2223

【答案】B

【分析】由椭圆的对称性可知：四边形M片N5为平行四边形，结合楣圆的定义并在AM”巴中利用余弦定理求出关

于c的值，进而可求出离心率.

【详解】设椭圆C的右焦点为尸2,如图，连接MfN5，

因为。为MM"6的中点，所以四边形M6N名为平行四边形，

所以|M用=|”|,|N£|=|M/讣由椭圆的定义可得：|M£|十|M引=勿,

QQ

又因为用=个所以眼/讣四周二针

•Jn

又因为NM£N=120。，所以/人加的=60。，

在△耳M6中，由余弦定理可得：忻为2=|"6「+|"司2一2|“用.也叫85/用必工=（|加£|+四可）2-3|加用力3国,

也即4c2=4/_8,因为/=4,所以《2=2,所以椭圆的离心率6=?=后=等，

故选：B.

22

5.（2023•黑龙江•黑龙江实验中学校考一模）已知椭圆C：二+[=16>/>>0）的左、右焦点分别为E（-c,0）,K（c,

a~b~

0）,若椭圆C上存在一点M使得的内切圆半径为;，则椭圆C的离心率的取值范围是（）

（31（41「3、「4、

A.0,-B.0,-C.-,1D.-,1

\，」VL。/z

【答案】A

【分析】利用的面积相等，得到帆J=g£,得到管消去儿整理化简求出离心率的取值范围.

【详解】△“耳鸟的面积为g田国

因为△川£人的内切圆半径为]，所以△//，；6的面积可表示为12。+2c）•].

所以；'2小区|=：（2。+2。）5,所以|为|=g.

因为区区力，所以w1”.

两边平方得:

而从=/一/，所以（等）心/一02,整理得：5c2+2ac-3/W0,

z*2

因为离心率e=-，所以5/+2e—3K0,解得：0<e<^.

a5

故选：A

6.（2023・云南昆明•昆明--中校考模抵预测）画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一

个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴、短半轴的平方.和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆.若椭圆

,+£=1的蒙日圆为%"2=]0,则该椭圆的离心率为（）

A.在B.-C.\D.在

3333

【答案】A

【分析】由题可得6+从=10,然后利用离心率公式即得.

【详解】由题可得6+从=10,

・・・/=4,即椭圆为二+匚=1,

64

答案笫4页，共36页

故选：A

7.（2023秋・广东广州两三广州市第七中学校考阶段练习）已知椭圆C:二+二=1（。的左、右焦点分别为匕,

alr

尸2,上顶点为A,直线与C的另一个交点为8.若入，则C的离心率为（）

A.域B.亚C.-D.-

5555

【答案】B

【分析】由斗鸟8求出8点坐标，代入椭圆方程，可求得离心率.

【详解】左、右焦点分别为小尸2,上顶点为A,・・.|AK|=|A勾=*设忸用=〃，则忸周二2〃-门,

由根据勾股定理，有顾2='8+叫2,即（〃+〃）2=/+（2〃_〃）2

77

解得〃=1”，即忸用

9

由A（0,b）,£（—c,0）,恒用=〃，忸胤=乎，氏耳,4三点共线,

・•・8（-沁为，代入椭圆方程，有W（净），化简得£■］，

JJ-----z-----1------z----=1a，

a2b2

所以椭圆离心率为e=£=正.

a5

故选：B

8.（2022・湖南永州•统考一模）己知椭圆uE+1=l（a>〃>0）⑥居分别为其左、右焦点，过工作直线/_Lx轴交椭圆。

crb

于AB两点，将椭圆所在的平面沿x轴折成一个锐二面角，设其大小为a,翻折后4B两点的对应点分别为4,所,

记NA耳B'二夕.若4cos〃=cosa+3,则椭圆。的离心率为（）

A.理B.*C.gD-

【答案】A

【分析】求出［4闾=忸，周===且/4入8=。，在△4E",“VK9中分别使用余弦定理得

到2佟］(1-cosa)=2(2a-吗(l-cos/?),利用题干条件化简得到"1=2”生，求出与二，从而求出离心率.

\a)a)aaa3

【详解】将x=c代入C:=+£=1(。”〉0)中，解得：y=±—,

a"h"a

所以|A'周=怛q=?,|4司=忸凰=2”与，且乙4万*=。,

则在△川鸟8%4£"中分别由余弦定理得，

/L2>2/>2>2

148T=2-(l-cosa),|A7T广=22tz--I(1-cos/?),

/,2y/.2Y

所以2—(I-cosa)=22a-----(l-cos/?)

Xaa

又由4cos//=cosa+3得：4(cos/7-1)=cosa-1,

所以生二2。一2，即±二2,所以==］_±=_L,即离心率为由.

aaa~3a"a~33

故选：A.

二、多选题

22

9.(2023•福建福州•统考二模)已知曲线C:工+£—=1()

42〃?2一4

A.若ni>&,则C是椭圆

B.若_&<〃?<&,则C是双曲线

C.当C是椭圆时，若帆越大，则。越接近于圆

D.当C是双曲线时，若帆越小，则。的张口越大

【答案】BD

【分析】对于AC,举反例即可判断；对于B,判断2m2一4的符号即可；对于D,由曲线是双曲线，可得2〃?2一4<0,

整理成标准方程，得到对应的&Ac,即可判断.

【详解】对于A,m=2满足〃?>&,

22

代入曲线。中，得土+2L=|,即/+丁=4,

44

表示以(0,0)为圆心，半径为2的圆，故A错误；

对于B.当々5<小<血时，-4<2/n2-4<0，

所以4(2病-4)<0,故。是双曲线，故B正确;

答案第6页，共36页

对于c：当时，方程为：+4=i,

为焦点在x轴上，长轴长为4,短轴长为2夜，焦距为2虚的椭圆，离心率为正，

2

当网时，方程为？+：=1,

1148

为焦点在）'轴上，长轴长为4拉，短轴长为4,焦距为4的椭圆，离心率为孝，

所以当帆二后和制二指时，两个椭圆一样圆，故c错误；

22

对丁D,当曲线0：二十一^—=1为双曲线时，2//一4<0，

42m2-4

22__________________

整理成二■一7'彳=1，则a=2,b=44-2后,c=\ls-2m2，

44-2m'

当帆越小，则。=应二斤越大，因为顶点不变，此时焦点离顶点越远，图象的张口就越大，故D正确.

故选：BD.

10.（2023・全国♦模拟预测）已知"分别为椭圆。:/+m=11>〃>0）的左、右焦点，过6的直线与C交于A/3

两点，若|4网=4忸用，忸闾=:|A周厕（）

4

A.tanZ.AF-,B=—

-3

B.椭圆。的离心率为g

C.若椭圆。的短轴长为2,则椭圆。的方程为：+），2=1

D.直线科；的斜率的绝对值为当

【答案】AC

【分析】设出|班上孙（加>0）,根据等式关系，分别求出|明,|前怛周伍再根椭圆定义即可得〃=3蛆将“居B

中各个边长用机表示,可发现6B是直角三角形，根据直角三角形中正切值的计算公式即可判断选项A正误;根据

/居AB=90,在中，由勾股定理即可得离心率，判断选项B正误;根据离心率及短轴长为2,即可得选项C正误;

直线项的斜率即为tanN叫忆根据离心率可找到2°=3&加,在△班玛中，由余弦定理可得次/叫耳=哈,进而

可得tanN8人耳,从而判断选项D正误.

【详解】解:由题知|AB|=4忸用，忸用=g|A段，

不妨设忸用=〃7,（〃2>0）,则|人却=4m,即慎用=3〃2,

由椭圆的定义可知:忸闾+|M|=2a,|M|+|M|=2a,

所以|明|=加一肛|A周=2a-3m,

因为I叫|二g|A国，即2a-〃?=g（2a-3间,解得。二3九

所以忸图=5却伤|=3,明显然忸用『=|A玛f+jABf,

所以“利是以为直角的直角三角形，所以tan4劭=局lABl=藐4m=34,故选项A正确;

因为|A图=|A用=3〃?=。且/入48=90,

所以在A46鸟中，由勾股定理知：（2c）?=/+/,

解得a=&c,故离心率e=巫，故选项B错误；

2

由于6=立■，因为2Z?=2,可得.=血,力=1,c=l,

2

2

故椭圆方程为：5+.y2=l,故选项C正确；

根据对顶角相等可知N3入片等于直线BF2的倾斜角，

由于e=立,〃=怎，所以出国=2-缶=3后〃，

2

在△町名中，忸周二5〃?,忸制二〃?,所以由余弦定理可得:

cosNMF=」周R㈣2一画『_（3-4"5〃?『一加_逑

2「2.忻周・忸周2-3\f2m-5m10

班，所以选项D错误.

所以tanNBFF]

277

故选:AC

11.（2023•浙江•校联考模拟预测）已知椭圆1+£=1的左、右焦点分别为耳,鸟，点。在椭圆上且在x轴上方，若P%

2516

的中点用在以原点。为圆心，。匕为半径的圆上，则（）

A.点P在第一象限B.居的面积为8&

C.0E的斜率为2拉D.直线和圆V+y2=8相切

【答案】BCD

4

【分析】对于A,设椭圆的上顶点为B,kRFi=-<kPFi，即可解决；对于B,求得耳工为等腰三角形即可解决;

对于C.由&叼=冲1/"Z°=黑1,即可解决；对于D,过。作O”_LM£于，，求得|O”|=2近即可解决；

【详解】由题知，椭圆盘+[=1，焦点在％轴上，〃=5/=4,c=3,

2516

答案笫8页，共36页

所以|QM|=3,|P周=6,忸居|=6,

所以|P&|=4,

所以£用=/归用jP52_」4136-4=8夜,故B正确;

2

因为。［的中点为M,

所以|朋司=2,过。作于“，|0"|二g卜工2g.j36-4=2a，故D正确:

,2

因为OM=O耳=3,〃4=1,

所以，为中点，％%=tan/"£°=跟=2&,故C正确;

4

设椭圆的上顶点为B,人叫=§＜k吗,

所以点P在第二象限，故A错误；

12.（2023•全国•唐山市第十一中学校考模拟预测）已知耳，工为椭圆?="。＞3）的左、右焦点,P为平面上

一点，若所•喈=o,则（）

A.当P为「上一点时,乃的面积为9

111

B.当P为「上一点时，西j+府j的值可以为不

C.当满足条件的点/，均在「内部时，则「的离心率小于正

2

D.当点。在「的外部时，在「上必存在点M,使得西•瓯=0

【答案】ACD

［分析］设=①，PF1=〃，根据椭圆定义得m+〃二为，根据丽尾=0得＞+/，两式联立可得=j8,根据

=4C2nui

113

直角三角形的面枳公式即可得选项A的正误;将以上结论代入国+西中可求得。=5与。〉3矛盾，由于

丽・至=0,所以点尸在以斗鸟为直径的圆上，半径为C,若点尸均在「内部，只需c<〃,解出离心率范围即可，若点。在

「外部，只需此时该圆与椭圆一定有交点，在交点处满足月=。，可得选项D正误.

【详解】解:由题知「二+二=1（。>3）,所以力=3,/=々2一9,

«29v7

因为尸为「上•点，且尸『喈二0,

所以为直角三角形，

设=〃?,PF2=n,

在鸟中，由勾股定理可得/+/=4/①，

由椭圆定义可知：/〃+〃=2a②，

②式的平方减①式可得：

2mn=4a*—4c2=4b2=36,

所以=g=9,

故选项A正确；

若向+向=1因为'加印8，

11I1m+n2a1

所以西+国=7+7=百=而=大

解得〃=1|<3（舍），

故不存在,即选项B错误；

因为居•月&=0,则点P在以6鸟为直径的圆上，

所以该圆的圆心为原点,半径为J

若P均在「内部时，则只需〃即可，

即从>。2,即/一。2>。2,

化简可得e2<"解得

22

故选项C正确；

由于点P在以《鸟为直径的圆上，

且半径r=c、<4,

当尸在「的外部时有r=c>"

所以该圆与椭圆一定有交点，

记交点为M.则该点既在圆上又在椭圆上，

答案第10页，共36页

所以有嘀.」延=0成匕

故选项D正确.

故选:ACD

三、填空题

13.（2023•宁夏银川•校联考一模）椭圆C：J+的左，右焦点分别为匕，%上顶点为A（O,1）,

离心率为孝，直线尸质+〃纸＞0）将分成面积相等的两部分，则机的取值范围是_________.

【答案】1一骂

I1，

【分析】根据已知条件求得〃力，根据直线），=6+〃2（攵＞0）与X轴的交点的位置进行分类讨论，由此列不等式来求

得出的取值范围.

b=T

【详解】依题意，|£二*，解得a=VIc=l,

a2

a2=b2+c2

所以椭圆C的方程为]+丁=1,

由于|04|=|。用=|。用二I,\AF]\=\AF2\=何耳中|=2,

所以AAf；玛是等腰直角三角形，

所以&不=，/乂&=1，

直线人人的方程为x+y=l,直线AFt的方程为y=x+1,

设直线y="+〃?仕＞0）与人用的交点为D,与x轴的交点为E,

①当E与6重合时，gx2x%=；xl,%二：,则巧产g,

0=-k+m

所以11,，解得攵="?=?.

—=­k+m3

U2

②当E在。，耳之间时，＜1,

所以3年用x%=1,

x+)'=l.k+m,k+m\-m

由，)，++〃hy押l/je得％=可，/

由），=依+〃］令y=0,得/=一7，

K

所以|跖|=1+9,所以［1+?卜岩=1,

K\A/I"TK

整理得人=-^—，由&=-->0解得:</〃<2.

\-2in\-2in32

③当E在£左侧，则。〈女<1,0<|炉—1|<1,

3

设直线y="+机(&>0)与M的交点为P,

y=kx+mk.-in

由，解得巧,=

y=x+\

因为S./w>=；xl=；,

乙乙

所以白（1一机冈与一泪=3，（1-〃?）x|富一达

乙1|I十KK1

2（l-/n）2=|Z:2-l|,所以碗（1—,

所以1-,/??>!-,

22

所以]_变<〃?<[.

23

故答案为：1--

【点睛】求解椭圆的方程，关键点是根据」知条件求得d〃，c,〃，"c,是3个未知数，需要3个条件，其中一个条件

是/=/+。2,另外的两个条件由题目给出，如本题中的A点坐标以及离心率，通过解方程组可求得4/，*进而

求得椭圆的方程.

答案第12页，共36页

2n

14.（2023•安徽•统考一模）已知直线:与椭圆£=+二=1（"〃>0）交于M,N两点，线段MN中点。在直线4-1

a~b~

上，且线段MN的垂直平分线交x轴亍点。卜土,。｝则椭圆E的离心率是.

【答案】立

2

%

序kb2'。.b'

-

［分析］利用点差法证明二级结论kyN-kop=~,再结合&MN/，Q=T,则两式相比可得资=1•，即F-/，

a~5a....-

x«+4

代入与=-1即可求出离心率.

【详解】设MQ,*）,N（%,%），D小，%），其中x0=T，显然点P在椭圆内，

记坐标原点为。，直线，，OP，PQ的斜率分别为勺仆，，&m，&，<?，易知三条直线斜率均存在，

2K

+

1$厅

^

¥Z;两式相减整理可得小云:索二卜寮八

H

+F

17

即……》又巾37所以两式相比可得圻*

A

■_♦，代羽…整理可4T

即丁一1

3

故答案为：巫.

2

15.（2023•四川•校联考模拟预测）P为椭圆：+?=1上一点，曲线日+小1与坐标轴的交点为A,B,C,

若|A4|+pB|+pC|+|叫=4遍，贝”至心轴的距离为.

【答案】噜

【分析】首先表示出A,B,C,。的坐标，依题意可得|汽什|叫=26，即可得到尸为椭圆二+£=1上一点,

56

联立两椭圆方程，求出产,即可得解.

【详解】解：不妨设A（-2,0）,8（2,0）,C（O,-1）,D（O,1）,

则A,8为椭圆,+/=1的焦点，所以|力+归川=2",

又I%|+1即+1PC|+1pq=4"，所以IPC+1叫=2#,

2G=2>/6

a=瓜

且|CD|=2<|0C|+pq,所以尸在以C、。为焦点的椭圆上，且。=1所以，

b=>/5

c2=a2-b2

所以尸为椭圆工+乡=1上一点,

56

工J=1L

由，6、\，解得则3=等

x~y~,131113

—4--=1

156

故尸到X轴的距离为运.

13

故答案为：叵

13

16.(2023•陕西西安・统考一模)在生活中，可以利用如下图工具绘制椭圆，已知O是滑杆上的一个定点，。可以在

滑杆上自由移动，线段|OA|=|AO|=3,点E满足荏=2而，则点E所形成的椭圆的窝心率为

结合几何关系求出椭圆方程即可求解作答.

【详解】由|4。1=3,A户=2加得1人臼=2,以点。为原点，直线。。为x轴建立平面直角坐标系，如图,

过七作PC_LO。于C,交。4的延长线于P,过A作A4_L”于8,有轴,

而|OA|=|AQ|,即NE48=NAO£)=NAZ)O=NE48,则点B是夕七的中点，且有|AP|=|AE|=2,

因此|OP=5,|庄|二2|BE|二4|EC|,gp|PC|=5|EC|,设E(x,y),有P(x,5y),

于是/+(5y)2=25,整理得点七的轨迹方程为f+V=i,该椭圆长半轴长〃=5,短半轴长6=1,

所以点石所形成的椭圆的离心率e=5.

a5

答案第14页，共36页

故答案为：巫

5

【点睛】思路点睛•：求解轨迹方程问题，设出动点坐标，根据条件求列出方程，再化简整理求解，还应特别注意:

补上在轨迹上而坐标不是方程解的点，剔出不在轨迹上而坐标是方程解的点.

四、解答题

，2

17.(2023•内蒙古呼和浩特•统考一模)已知椭圆£+>1(“>〃>0)的一个焦点为尸(2,0),且椭圆经过点加",-1).

⑴求椭圆的标准方程；

(2)设儿是x轴上的两个动点，且直线AM、AM分别交椭圆于点P、。(均不同于M),证明：直

线PQ的斜率为定值.

【答案】⑴工十二=1

62

(2)证明见解析

【分析】(1)将"(6,-1)代入椭圆的方程，化简求值即可.

(2)联立直线PQ和椭圆的方程，然后将IAMR8MI转化为右户+如。=0,化简即可得到直线P。的斜率为定值.

【详解】(1))由已知c=2,得/一廿=4①，

设椭圆方程二十工=1,代入点〃(6，-1)得=+&=1②，联立①©,

a'b~\，ab”

解得"=6,护=2,所以椭圆方程为上+F=1.

62

(2)由题可知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为)，=代+，〃.

设点P(8,yJ,。(孙％)，

■T21T

联立不+昼=得，（3公+1）/+6依次+3加2—6=0,满足△>（）时,

y=kx+ni

-6hn3nr-6

有％+冬=

诉？卬”赤T

由14M可得&"+心。=0,

Ji+1先+1八kx.+m+\kxy+m+1八

即B=°,即箕5+不方=°,

化简得23%+9〃+1-6々）（玉+天）-26（，〃+1）=。,

代入韦达定理，可得3®2+3A(〃?+2)+瓜m+1)=0,

乂点”(6,-1)不在直线。。上，因此6％+/〃+1/0,

所以女+6=（）,即攵=-虫，故直线PQ的斜率为定值-义■.

33

18.（2023・河南・统考模拟预测）已知椭圆/=1（〃小0）的右焦点F（LO）,点乎J在椭圆。上.

（1）求椭圆。的标准方程；

⑵过点P（2,l）的直线/与椭圆C交于A,B两点.若用=2万，Ag=205（2>0）,求|而|的最小值（。是坐标原

点）.

【答案】（l）］+,2=i

⑵①

2

【分析】（1）根据椭圆定义求出〃，再由焦点得。，即可得解；

（2）设出点的坐标，利用向量得坐标间关系，代入点差法所得等式，可求出%+为=1,即Q是直线工+）」1=（）上

动点，再由点到直线距离求最小值即可.

【详解】（1）由题意，椭圆的焦点为（±1,0）,c=l,

22

由椭圆定义知2〃=-1)+(1-0)++心（9°）;2五

所以4=JJ,>=C=1,

所以椭圆的标准方程为［+）1=1.

（2）由题意知4和1,设4百,%），3。2，、2），。（%，%）・

&-Axj=2(1—Z),%+2X=(1+%)%,

由序=%而，而=4/（几>0）,得且2

yt-2y2=l-Ay+2%=(1+团%・

A"，

又A,8都在椭圆上，所以岑+….

（X］一/142）（玉十丸工2）

两式作差，得+（%-4y2）（>+%”）=I一无•（*）

2

x-2x=2(1-2)

把?'..代入(*)式，得(占+/马)+(乂+外2)=1+4

[y}-Zy2=1-A

又由

答案第16页，共36页

所以七+X）=1•

所以o到直线x+y—1=0的距离］=二=^=".

VI2+122

经检验，此时垂足Q（—）在椭圆内部.

所以国的最小值为4.

【提能力】

一、单选题

19.（2。22•四川遂宁•四川省遂宁市第二中学校校考模拟预测）已知抛物线。：），2=2网。>0）与椭圆0：

E+g=l（a>〃>0）共焦点，。与C?在第一象限内交于户点，椭圆的左右焦点分别为月,入，且户名,打用，则椭

a~b~

圆的离心率为（）

A.V3-1B.V2-1C.4-273D.3s

【答案】B

2（序\2

【分析】根据徐i工£工得到P（C,ht），然后将点P代入抛物线方程得到2pc、=-,根据共焦点得到〃=2c,最后

a"

联立求离心率即可.

2

,2（序\

【详解】结合抛物线及椭圆的定义可得3。,幺）在抛物线上，故2pc=—,且p=2c,

a\a）

r412

/.4c2=-^=>2c=—=>a2-c2=2ac=>e2+2e-\=0=>e=j2-\.

（Ta

故选：B.

20.（2022秋•河北保定•高三河北省唐县第一中学校联考期中）若2</〃<8,椭圆C：工+二=1与椭圆D：—+^-=1

rn2tn8

的离心率分别为，，%,则（）

A.4勺的最小值为由B.勺勺的最小值为:

22

C.4•0的最大值为由D."•生的最大值为:

22

【答案】D

【分析】根据2Vm<8,求得两个椭圆的离心率，然后利用基本不等式求解.

【详解】解：因为2<〃?<8,

当且仅当加=4时，等号成立，

故4仁的最大值为!，无最小值.

故选：D

21.（2022・河北•模拟预测）设月、F?分别是椭圆£+£=1（。>/,>0）的左、右焦点，〜为椭圆上的一点，若

a-b-

附[jp尸]的最大值为卷,则椭圆的离心率的取值范围是（）

A.LeviB.-<^<1

33

C.0<<?<—D.0<—

【答案】A

【分析】结合椭圆的定义和均值不等式得到当且仅当|P周=|。时等号成立，进而根据归段《〃-"+4可得

2

从而结合离心率的范围即可求出结果.

【详解】根据题意可知|P用二为一|尸用尸周e[a—CM+C],

I叫二俨见二1工।2

附『十8归周2（24-|PK『+8|叫29|pF|+&L_4j8。’当且仅当归周时等号成立，所以

2M

2''cl

-aela-c.a+c],即一〃2〃-c,所以-W—<1,即一4e<l,

3LJ33a3

故选：A.

22.（2022•全国•清华附中朝阳学校校考模拟预测）已知椭圆和双曲线有相同的焦点耳、鸟，它们的离心率分别为，、

々，点尸为它们的一个交点，且N耳产行=与，则e：I封的范围足（）

【答案】C

【分析】设椭圆的长半轴长为外,双曲线的实半轴长的,焦距2c.结合椭圆与双曲线的定义，得1巴"=%+%,

答案第18页，共36页

31

IP6|=4,在△耳尸乃中,根据余弦定理可得到q,g,与c的关系式，进而可得7+^=4,设。=/△=/，则

e\e2

有所以:<乙<I,构造函数/*）=£",a<x<i,利用导数求出函数的值域即可.

乜744x-34

【详解】解：设椭圆的长半轴长为可，双曲线的实半轴长外，焦距2c•，点尸为第一象限交点.

则|P甲+IP玛1=2%,\PF.\-\PF,\=la2,

解得IP"1=6+生，\PF2^aK-a2i

如图:

在用中,根据余弦定理可得:

22

|月6|=|PF]f+\PF2|-2|Pf]IIPEI-cosy,

31

整理得4/=3a：+W，g|J—+—=4,

e\e2

设，i=q2/2=e；,则有0<(<1</2，；+；=4，

*1l2

134f-3t3

所以/=4-：=」^,即有‘2=刀、>1,所以7<乙<1,

hZIA判一54

所以4+4％+4"+七=4苫

4X2-2X3,

设f(x)=-------，一<x<1,

4.r-34

16x2-24A+6

则f(x)=

(4x-3)2

令/3=0,得玉=今叵,%2=柠£，

3

所以/⑴<（）在xe（丁1）上恒成立，

3

所以/（x）在xw（二/）上单调递减，

4

3

当x趋于二时，/*）趋于y，当工趋于1时，/（1）趋于2,

4

所以f(*)>2,

即：<+<?2>2.

故选：C.

22

23.（2022•全国•高三专题练习）已知椭圆C:£+£=lQb>0）,直线x与椭圆C交于4,ZT两点，。为原点，

若三角形AOB是等腰直角三角形，则椭圆C的离心率为（）

A.也B.在C.此D.巫

4224

【答案】D

【分析】将x=£代入C中，求得A3坐标，利用三角形A08是等腰直角三角形，求得。，〃的关系，从而求得离心

率.

【详解】将xj代入c中，得《空｝好,一乎>由题意得小修

故选：D.

（

24.2022・全国•高三专题练习）己