有关坐标的新定义综合问题【重难点提升】2024人教版七年级数学下册（解析版）

9.4有关坐标的新定义综合问题【重难点提升】

一.解答题(共30小题)

1.在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、)，轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点。到x

轴、y轴的距离相等时，称点。为“角平分线点”.

(1)点A(-3,5)的“长距”为；

(2)若点8(4・2小・2)是“角平分线点”，求。的值：

(3)若点C(-2,3/7-2)的长距为4,且点。在第二象限内，点。的坐标为(9-2b,-5),请判断

点。是否为“角平分线点”，并说明理由.

2.在平面直角坐标系中，对于点A(x,,v),若点8的坐标为(x+ay,a+.v)，其中。为常数，则称点8是

点A的“。倍相关点

例如，点4(1,3)的“2倍相关点”B的横坐标为：1+2X3=7,纵坐标为：2X1+3=5,所以点A的

“2倍相关点”B的坐标为(7.5).

(1)已知点P(-2,3)的《倍相关点”是点。(5,Q，求$+/的值；

(2)已知点M(l,2m)的“・2倍相关点”是点M且点N在)，轴上，求点N到x轴的距离.

3.在平面直角坐标系中，给出如下定义：点0到x轴、)，轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点。到x

轴、)，轴的距离相等时，称点。为“完美点”.

(1)点A(-1,3)的“长距”为；

(2)若点4(4.1,-3)是“完美点”，求〃的值；

(3)若点C(-2,3b-2)的长距为4,且点C在第二象限内，点。的坐标为(9-2〃，-5),试说明：

点。是“完美点

4.在平面直角坐标系中，对于点A(x,y),若点8的坐标为(依+)，，x+6)(其中左为常数且左W0),

则称点5是点4的“2级关联点”.例如：点A(1,4)的“3级关联点”4的坐标为(3X1+4,1+3X4),

即B(7,13).

(1)点(1，2)的“2级关联点”的坐标为：

(2)若点A(2,-1)的“&级关联点”坐标为(9,m),求好加的值;

(3)若点M(«-I,2〃)的“-4级关联点”N位于坐标轴上，求点N的坐标.

5.在平面直角坐标系中，对于点A(x,y),若点8的坐标为(x+什，av+y),其中。为常数，则称点8是

点A的“〃倍相关点”.例如，点A(1,2)的“3倍相关点”8的横坐标为：1+3X2=7,纵坐标为：3

X1+2=5,所以点4的“3倍相关点”B的坐标为(7,5).

(1)已知点M(-4,6)的《倍相关点”是点N($,/),求2s+r的值；

(2)已知点P(l,2m)的“-2倍相关点”是点Q,且点。在y轴上，求点Q到X轴的距离.

6.在平面直角坐标系中，给出如下定义：点。到工轴、)，轴的距离的较大值称为点。的“长距”，点。到x

轴、)，轴的距离相等时，称点。为“龙沙点”.

(1)点A(-1,4)的“长距”为：

(2)若点-2)是“龙沙点”，求a的值；

(3)若点C(-3,332)的长距为4,且点C在第二象限内，点。的坐标为(9・2江-5),试说明：

点。是“龙沙点”.

7.己知点b),当小〃满足2〃=8+。时，称b)为“开心点”.

(1)若点A是开心点，且点A的横坐标为-4,则点A的坐标是，点A到原点的距离

是.

(2)若点M(加，〃?+2)是“开心点”，请判断点M在第几象限？并说明理由.

8.在平面直角坐标系中，对于点P、Q两点给出如下定义：若点P到X,)，轴的距离的较大值等于点Q到达

y轴的距离的较大值，则称P、Q两点为“等距点”.如点P(・2,5)和点Q(・5,-1)就是等距点.

(1)已知点4的坐标是(-3,1),在点G(0,3)、H(3,-3)、/(-2,5)中，点A的“等距点”

是;

(2)已知点B的坐标是(・4,2),点。的坐标是(切・1,〃力，若点8与点。是“等距点”，求点C

的坐标：

(3)若点。(-1,“)与点、E(4,12)是直线/：y=kx-3(jt>0)上的两个“等距点”，求&的值.

9.在平面直角坐标系中，对于点A(x,y),若点B的坐标为(ax+y,x+缈)，则称点8是点A的“a级开

心点”(其中〃为常数，且aWO),例如，点。(I,4)的“2级开心点”为Q(2X1+4,1+2X4),即。

(6,9).

(1)若点尸的坐标为(・1,5),则点P的“3级开心点”的坐标为；

(2)若点P的“2级开心点''是点Q(4,8),求点户的坐标；

(3)若点P(m-I,2/n)的“-3级开心点”产位于坐标轴上，求点尸的坐标.

10.在平面直角坐标系中，给出如下定义：点M到x轴、y轴的距离的较大值称为点M的“长距”，点N

到x轴、y轴的距离相等时，称点N为“完美点”.

(1)若点P(2m-1,-1)是“完美点”求m的值；

(2)若点。(3〃+1,-4)的“长距”为5,且点Q在第三象限内，点。的坐标为(-5,1-2”)，试

说明点。是“完美点”.

11.在平面直角坐标系中，对于点尸(x,若点。的坐标为x+纱)，则称点Q是点。的“。阶智

慧点”(〃为常数，且〃W0).例如：点P(l,4)的“2阶智慧点”为点Q(2X1+4,1+2X4),即点。

(6,9).

(1)点A(・1,・2)的“3阶智慧点”的坐标为.

(2)若点、B(2,-3)的“。阶智慧点”在第三象限，求〃的整数解.

(3)若点C(m+2,1・3m)的“-5阶智慧点”到4轴的距离为1,求〃?的值.

12.点P(a,b)是平面直角坐标系中的一点，若点。的坐标为(ka+b,"幼)(其中女为常数且女WO),

则称点。为点P的的拓点”，例如：点P（L2）的“2拓点”。为（2X1+2,1+2X2）,即点。为（4,

5）.

（1）求点尸（-2,I）的“3柘点”。的坐标；

（2）若点尸（-1,"7）的“4拓点”。的坐标是（-2,〃），求〃机的值.

13.点。（mb）是平面直角坐标系中的一点，若点。的坐标为（ka+b,a+kb）（其中我为常数且止0）,

则称点Q为点尸的“拓点”，例如：点P（l，2）的“2拓点”。为（2X1+2,1+2X2）,即点。为（4,

5）.

（1）求点P（-2,1）的“3拓点”Q的坐标；

（2）若点P的“4拓点”Q的坐标为（-2,7）,求点P的会标.

14.已知当〃?，〃都是实数，且满足2〃?=8+〃时，称点尸（〃［，n+2）为“开心点”.例如：点A（6,6）为

“开心点”.因为当点A的坐标为（6,6）时，加=6,.+2=6,所以〃1=6,〃=4,所2〃?=2X6=12,

B+〃=8+4=12,所以2"?=8+〃.所以点A（6,6）是开心点”.

（1）试判断点8（6,8）是否为“开心点”；

（2）若点、M（a,a-1）是“开心点”，请判断点M在第几象限，并说明理由.

15.在平面直角坐标系中，对于点A（x,y）,若点8的坐标为（ar+y,x+4），则称点8是点A的“。阶开

心点”（其中〃为常数，且〃#（））,例如点尸（1,4）的“2阶开心点”为Q（2X1+4,1+2X4）,即Q（6,

9）.

（1）若点C的坐标为（-2,1）,求点C的“3阶开心点”。的坐标；

（2）若点M（m-1,2m）的“-3阶开心点”N在第一象限，旦到x轴的距离为9,求点N的坐标.

16.在平面直角坐标系中，对于不同的两点M,N,若点M到x轴，），轴的距离的较大值等于点N到x

轴，S轴的距离的较大值，则称点M,N互为“方格点”.

例如：点（3,-4）,（4,-2）互为“方格点”；点（2,-2）,（-2,0）互为“方格点”.

已知点尸（I,-4）.

（1）①点Q（4,-6）（填“是”或“不是”）点尸的“方格点”；

②点。2（-4,4）（填“是”或“不是”）点P的“方格点”；

③点0（-3,5）（填“是”或“不是”）点P的“方格点”；

（2）若点。（m-1,3）与点2互为“方格点”，求小的值；

（3）若点2〃-3）与点3互为“方格点”,求〃的值.

17.在平面直角坐标系，中，已知点M的坐标为（2-32f）,将点M到x轴的距离记作为小，到），轴的

电离记作为d2.

（1）若点M在），轴上，则/=；

（2）若1=3,则力+由=；

（3）若f<0,4=“2,求点M的坐标.

18.在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x,），），若点Q的坐标（ax+y,x+ayy,则称点Q是点P的“

级关联点”（其中。为常数，且aWO）,例如，点P（l,4）的“2级关联点”为Q（2X1+4,1+2X4）,

即Q（6,9）.

（1）若点P的坐标为（-1,3）,则它的“1级关联点”的坐标为；

（2）若点。（x,y）的“3级关联点”的坐标为（7,-3）,求点尸的坐标；

（3）若点Q是点尸（〃L2,3m）的“-2级关联点”，且点Q位于坐标轴上，求加的值.

19.我们规定:若W+B=nab,就称（a,b）为“〃倍理想坐标”，例如因为12+（-1）2=（-2）XIX（-

1）,所以称（1,・1）为“・2倍理想坐标”，因为12+22=2.5X1X2,所以称（1,2）为“2.5倍理想坐

标”.

根据材料，思考下列问题：

（1）（-2,2）“・2倍理想坐标”（填“是”或“不是”）：（3,2）是倍

理想坐标.

（2）当（a,b）在坐标轴上的，若（a,b）为倍理想坐标”，求（小b）的坐标，并指出它是平面

在角坐标系中的哪个特殊位置；

（3）若（a，b）是象限角平分线上的点（原点除外），求（a,〃）是几倍理想点？

20.在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到.1轴、），轴的距离的较大值称为点P的“长儿”，点。到

工轴、），轴的距离相等时，称点Q为“完美点”.

（1）点A（-3,5）的“长距”为:

（2）若点B（4-2a,-2）是“完美点”，求。的值；

（3）若点C（-2,35-2）的长距为4,且点。在第二象限内，点。的坐标为（9-24-5）,试说明：

点。是“完美点”.

21.我们规定：若/+从=〃加就称（办b）为“〃倍理想坐标”，例如因为12+（-1）2=（-2）XIX（-

1）,所以称（1,-1）为“-2倍理想坐标”，因为12+22=2.5X1X2,所以称（1,2）为“2.5倍理想坐

标”.

根据材料，思考下列问题：

（1）（V2,V2）“2倍理想坐标”（填”是”或"不是”）；（2,3）是倍

理想坐标.

（2）当（〃，b）在坐标轴上的，若（〃，b）为“〃倍理想坐标”，求（a,b）的坐标，并指出它是平面

直角坐标系中的哪个特殊位置；

（3）若（a,b）是象限角平分线上的点（原点除外），求（a,b）是几倍理想点？

n+2

22.已知当机，〃都是实数，且满足2川=8+〃时，称〃（切-1,—）为“好点”.

（1）判断点A（3-b,B（4,10）是否为“好点”，并说明理由；

（2）若点M（小2a-1）是“好点”，请判断点M在第几象限？并说明理由.

23.已知有序数对（a,b）及常数人,我们称有序数对（ka+b,a-b）为有序数对（a,b）的'”阶结件数

对”.如（3,2）的“1阶结伴数对”为（1X3+2,3-2）,即（5,1）.

（1）有序数对（2,-1）的“3阶结伴数对"为；

（2）若有序数对（小b）的“2阶结伴数对”为（2,4）,求a,b的值；

（3）是否存在实数k使得有序数对（。，^）（^0）的“A阶结伴数对”是它本身？若存在，请求k的值；

若不存在请说明理由.

24.对于平面直角坐标系中的点P（〃，b）,若点P'的坐标为（〃+妨，ka+b）（其中Z为常数，且�）,

则称点P'为点尸的"属派生点”.例如:P（L4）的“2属派生点”为P'（1+2X4,2X1+4）,即

P'（9,6）.

（1）直接写出点P（-1,6）的“2属派生点”P的坐标.

（2）若点尸的“3属派生点"P'的坐标为（20,36）,请求出点P的坐标.

a

25.在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x,>'）,若点Q的坐标（ax+y,x+ay）f则称点Q是点P的a

级关联点”（其中〃为常数，且。工0）,例如，点P（l,4）的“2级关联点”为Q（2X1+4,1+2X4）,

即Q（6,9）.

（1）若点〃的坐标为（・1，5）,则它的“1级关联点”的坐标为；

（2）若点P（x,y）的“3级关联点”的坐标为（7,-3）,求点P的坐标；

（3）若点P'是点P（〃L2,3m）的“-2级关联点”，且点严位于坐标轴上，求机的值.

26.对于平面直角坐标系xQv中的点4（«,b）,若B的坐标为（s,b+力,其中/为常数，月.fWO,则A、

8互为“，系关联点”,比如:A（2,3）的“2系关联点”为B（2X2,3+2）,即：B（4,5）.

（1）计算点C（-1,2）的“3系关联点”算的坐标;

（2）若点尸（〃?，-2）的“-1系关联点”为Q,且Q点到x轴距离是到），轴距离的一半，求尸点的坐

标.

27.在学习了“数形结合”讨论问题后，某校数学兴趣小组开展“你命我解”互助学习活动.其中有一组

的同学给出了这样一个问题：在平面直角坐标系xQv中，点Q（x-2,哼2）中x,），的值若满足2A-），=4,

则称点Q为“直线点”，请你来解答这位同学提出的问题：

（1）判断点A（3,4）是否为“直线点”，并说明理由；

（2）若点M（a,%-1）是“宜线点”，请通过计算判断点必在第儿象限？

28.对于平面直角坐标系xO.v中的点M（a,b）,若N的坐标为（垢，b+k）,其中k为常数，且上#0,则M、

N互为"系关联点”，比如：M（2,3）的“2系关联点”为N（2X2,3+2）,即：N（4,5）.

（1）（-1，2）的“3系关联点”为:

（2）若点P（〃?，-2）的“-I系关联点”为。（x,y）,且满足x+y=-9,求小的值.

29.在平面直角坐标系X。）、中，给出如下定义：点A到x轴、），轴距离的较小值称为点4的“短距”，当点

P的“短距”等于点。的“短距”时，称P、。两点为“等距点”.

（1）点A（-l,-4）的“短距”为；

（2）若点B（3m・1,-3）的“短距”为2,求〃?的值；

（3）若C（-2,2n-1）,D3,5）两点为“等距点”，求〃的值.

30.已知当小，〃都是实数，且涉足2勿=4+〃时，称尸（血一2,华）为“河南点”.

（1）请任意写出一个“河南点”：：

（2）判断点A（3,4）是否为“河南点”，并说明理由；

（3）若点M（a,2a-1）是“河南点”.请通过计算判断点M在第几象限？

9.4有关坐标的新定义综合问题【重难点提升】

一.解答题（共30小题）

1.在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、），轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点。到x

轴、y轴的距离相等时，称点。为“角平分线点”.

（1）点4（-3,5）的“长距”为5；

（2）若点B（4・2〃，-2）是“角平分线点”，求。的值：

（3）若点C（-2,3h-2）的长距为4,且点。在第二象限内，点。的坐标为（9-24-5）,请判断

点。是否为“角平分线点”，并说明理由.

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）根据“长距”的定义解答即可；

（2）根据“角平分线点”的定义解答即可；

（3）由“长距”的定义求出。的值，然后根据“角平分线点”的定义求解即可.

【详解】解：（1）J.点A（-3,5）到x轴的距离为5,到y轴的距离为3,点2到x轴、y轴的距离的

较大值称为点。的“长距”，

・••点4的“长距”为5.

故答案为：5；

（2）•・•点6（4-勿，-2）是“角平分线点”，

・・・|4-2〃|=|-2|,

・・・4・2a=2或4-2a=-2,

解得a=\或。=3；

（3）•••点C（-2,3/?-2）的长距为4,且点C在第二象限内，

工3〃-2=4,解得b=2,

・・.9-2〃=5,

・••点。的坐标为（5,-5）,

・••点。到x轴、.y轴的距离都是5,

・••点。是“角平分线点”.

【点评】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“角平分线点”.

2.在平面直角坐标系中，对于点A（x,>-）,若点4的坐标为（x+tzy,at+y）,其中。为常数，则称点8是

点A的倍相关点”.

例如，点4（1,3）的“2倍相关点”B的横坐标为：1+2X3=7,纵坐标为：2X1+3=5,所以点4的

“2倍相关点”8的坐标为（7.5）.

1

（1）己知点P（-2,3）的倍相关点”是点。（5,r）,求s+f的值；

（2）已知点M（l,2m）的“-2倍相关点”是点M且点N在），轴上，求点N到入•轴的距离.

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）根据题意，分别求出s和3再计算S+/的值即可；

（2）根据题意，分别求出点N的横坐标和纵坐标，根据“点N在），轴上”，求出〃?的值，点N到x轴的

加离即点N纵坐标的绝对值.

【详解】解：（1）根据题意，得s=-2+]x3=-1,r=1x（-2）+3=L

ooo

・,,74

.，s+t--।।3=3；

（2）设点N的坐标为（p,q）,则p=l-4/〃，q=-2+2/zz,

・••点N的坐标为（1-4m,-2+2〃?），

•・•点N在），轴上，

1

1-4机=0,解得m=4,

3

-

・••点N的坐标为（0,2)6C,

FT

J'3

-尸-

・••点N到x轴的距离2

【点评】本题考杳点的坐标，掌握平面直角坐标系中坐标的特点是解题的关键.

3.在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、），轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点。到x

轴、），轴的距离相等时，称点。为“完美点”.

（1）点A（-1,3）的“长距”为3；

（2）若点-3）是“完美点”，求。的值；

（3）若点C（-2,35-2）的长距为4,且点C在第二象限内，点。的坐标为（9-2江-5）,试说明：

点。是“完美点”.

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）根据“长距”的定义解答即可；

（2）根据“完美点”的定义解答即可；

（3）由“长距”的定义求出〃的值，然后根据“完美点”的定义求解即可.

【详解】解：（1）根据题意，得点人（-1,3）到x轴的距离为3,到1y轴的距离为I,

・••点A的“长距”为3.

故答案为:3；

(2)•・•点4(4〃-1,-3)是“完美点”，

A|4a-1|=|-3|,

-1=3或4。-1=-3,

解得。=1或Q=—义；

(3)•・•点C(-2,36-2)的长距为4,且点C在第二象限内，

.••38-2=4,

解得〃=2,

A9-2/?=5,

・••点。的坐标为(5,-5),

・•・点D到x轴、y轴的距离都是5,

・••点D是“完美点”.

【点评】本题主要考查了点的坐标，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“完

美点”.

4.在平面直角坐标系中，对于点A(x,y),若点8的坐标为("+)，，x+妙)(其中&为常数且左H0),

则称点8是点4的“2级关联点”.例如：点八(I,4)的“3级关联点”B的坐标为(3X1+4,1+3X4),

即B(7,13).

(1)点(1,2)的“2级关联点”的坐标为(4,5)；

(2)若点4(2,-1)的“。级关联点”坐标为(9,m),求人用的值；

(3)若点M(«-I,2a)的“-4级关联点”N位于坐标轴上，求点N的坐标.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)根据“2级关联点”的计算方法列式即可求解；

(2)根据“上级关联点”的计算方法列式即可求解；

(3)根据“-4级关联点”的计算，求出点N的坐标表示，再根据点在坐标轴上的特点即可求解.

【详解】解：(1)根据题意可得，IX2+2=4,1+2X2=5,

・••点(I,2)的“2级关联点”的坐标为(4,5),

故答案为：(4,5)；

(2)根据题意可得，2・k=m,

k+m=5-3=2：

(3)根据点M(a-I,2a)的“-4级关联点”得，横坐标为：-4(a-1)+2〃=4-2m纵坐标为：a

-1-8a=-\-la,

・••点N的坐标为(4-2m-1-7〃)，

•••N位于坐标轴上，

・•・当点N在x轴上时，-1-7a=0,

解得，a=—

・・・N（乎，0）；

当点N在），轴上时，4-2a=0,

解得，。=2,

:,N（0,-15）,

综上所述，点N的坐标为（乎，0）或（0,-15）.

【点评】本题主要考查的是点的坐标，理解“k级关联点”的含义和计算方法，掌握点的坐标规律，解

一元一次方程的方法是解题的关键.

5.在平面直角坐标系中，对于点A（x,y）,若点B的坐标为（x+”，or+y）,其中。为常数，则称点8是

点4的“。倍相关点”.例如，点A（I,2）的“3倍相关点”B的横坐标为：1+3X2=7,纵坐标为：3

X1+2=5,所以点A的“3倍相关点”8的坐标为（7,5）.

（1）己知点M（-4,6）的g倍相关点”是点N（5,Z）,求2s+/的值；

<2）己知点产（1,2,〃）的“-2倍相关点”是点Q,且点。在），轴上，求点。到入轴的距离.

3

【答案】（1）2；（2）

【分析】（1）根据题意可求出§、/的值，然后代入即可得出答案；

（2）根据题意可求出〃，的值，然后求出点P的纵坐标，再求出点Q的坐标即可得出答案.

【详解】解：（1）■:s=-4+；x6=-1,r=1x（-4）+6=4,

・・・2s+/=2X（-1）+4=2.

（2）♦・♦点Q在），轴上，

・••点。的横坐标为0，

•・•点Q是点P的2倍相关点”，

A1+（-2）X2"?=（）,

解得：〃?=/,

:.点P的纵坐标为2X1

・••点Q的纵坐标为IX（-2）+；=-会，

・••点Q到x轴的距离为|一||=

【点评】本题主要考查点的坐标，理解题意是解题的关键.

6.在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、），轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x

轴、）轴的距离相等时，称点。为“龙沙点”.

（1）点A（-1,4）的“长距”为4；

（2）若点8（4a-1,-2）是“龙沙点”，求。的俏:

(3)若点C(-3,3A・2)的长距为4,且点C在第二象限内，点。的坐标为(9-2b,-5),试说明:

点。是“龙沙点”.

【答案】⑴4；(2)。=孤。=/(3)说明见解析.

【分析】(1)根据“长距”的定义，即可；

(2)根据“龙沙点”的定义,则14a・1|=12|,即可求出a的值;

(3)根据“长距”的定义，先求出的值，再根据“龙沙点”的定义，即可.

【详解】解；(1)•・•点P到x釉、)，轴的距离的较大值称为点P的“长距”，

・••点A(・1,4)到x轴的距离为：1；A(-1,4)到y轴的距离为4,

・,•点A(-1,4)的“长距”为4.

故答案为：4；

(2)•・•点。到x轴、)，轴的距离相等时，称点。为“龙沙点”，

・•・当点B(4a-1,-2)是“龙沙点”,|4^-1|=|-2|,

：,4a-1=±2,

当4a-1=2,解得：a=1；

1

当

湖

3解

一--a=--•

4•

(3),・•点C(・3,3b-2)的长距为4,

・・・|3b-2|=4,

9

解得：〃=2或力=一个

•・・C在第二象限内，

A3Z?-2>0,

:.b=2,

・：点。的坐标为(9-28，-5),

・••点。(5,-5)>

V|5|=|-5|,

...点。是“龙沙点”.

【点评】本题考查了点的坐标，掌握“长距”和“龙沙点”的定义是关键.

7.已知点尸(a,b),当小〃满足2〃=8+。时，称P(a,b)为“开心点”.

(1)若点4是开心点，且点4的横坐标为-4,则点I的坐标是一(・4,2),点A到原点的距离是

2A/5_.

(2)若点"(/〃，〃?+2)是“开心点”，请判断点M在第儿象限？并说明理由.

【答案】(1)(-4,2)；2V5；(2)在第一象限，理由见解析.

【分析】（1）根据尸（a,b）坐标，代入2"=8+。中，求出。的值;

（2）直接利用“开心点”的定义得出机的值进而得出答案.

【详解】解：（I）•••点A是开心点，且点A的横坐标为-4,

・••点人的纵坐标：1x（8-4）=2,

...点A的坐标是（-4,2）,

・•・点A与原点的距离J（—4/+22=2V5.

故答案为：（-4,2）；2^/5；

（2）点M在第一象限.

理由如下：

•:M（m,m+2）是“开心点”，

A2X（，〃+2）=8+〃?，

整理得：2m-m=4,

故〃?+2=4+2=6,

・・・M（4,6）,

故点M在第一象限.

【点评】此题主要考查了点的坐标，正确掌握“开心点”的定义是解题关键.

8.在平面直角坐标系中，对于点尸、Q两点给出如下定义：若点P到工，），轴的距离的较大值等于点。到x,

y轴的距离的较大值，则称P、Q两点为“等距点”.如点夕（-2,5）和点Q（-5,-1）就是等距点.

（I）已知点A的坐标是（-3,I）,在点G（0,3）、H（3,-3）、1（-35）中，点A的“等距点”

是G,H；

（2）已知点8的坐标是（・4,2）,点。的坐标是（〃广1,加），若点8与点C是“等距点”，求点。

的坐标；

（3）若点。（-1,h）与点E（4,念）是直线/：y=6-3（女>0）上的两个“等距点”，求k的值.

【答案】⑴G、H；

（2）（-4,-3）或（3,4）；

（3）1或2.

【分析】（1）先分析出直线上口勺点到x、y轴距离中有3的点，再根据“等距点”概念进行选择即可；

（2）根据“等距点”的定义解答即可；

（3）将71（-1,八）、72（4,/代入）=依-3（Jt>0）得”=-k-3,也=44-3.由Q0,依据“等

田点”定义可得关于左的不等式，即可解答本题.

【详解】解：（1）•・•点4（-3,1）到X、），轴的距离中最大值为3,点G（0,3）、4（3,-3）到到工、

y轴的距离中最大值为3,

・••与4点是“等距点”的点是G、H,

故答案为：G、H；

（2）由题意，可分两种情况：0|/n-1|=|-4|,解得加=-3或5（不合题意,舍去）；

@|m|=|-4|,解得加=-4（不合题意，舍去）或〃?=4,

综上所述，点C的坐标为（-4,-3）或（3,4）；

（3）VD（7,1）、E（4,/2）是直线/上的两点，

t\=-k-3,&=4k-3.

•・•&>（）,

；・|-k-3|=A+3>3,4k-3>-3.

依据“等距点”定义可得：

当-3V4&-3V4时，&+3=4,解得4=1,

・；k=l时，4h3=lV4,

・M=1；

当软-3>4时，jli3=4Ar-3,解得入=2.

综上所述，Z的值为1或2.

【点评】本题主要考查了“等距点”的定义，此题属于阅读理解类型题目，读懂“等距点”的定义是解

题的关键.

9.在平面直角坐标系中，对于点人（x,y）,若点8的坐标为（ov+y,x+ay）,则称点4是点A的“a级开

心点”（其中。为常数，且。毛。），例如，点P（l,4）的“2级开心点”为Q（2X1+4,1+2X4）,即。

（6,9）.

（1）若点。的坐标为（-1,5）,则点。的“3级开心点”的坐标为（2,14）；

（2）若点P的“2级开心点”是点Q（4,8）,求点尸的坐标；

（3）若点PCm-1,2小）的“・3级开心点”产位于坐标轴上，求点*的坐标.

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论.

（2）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论.

（3）根据关联点的定义和点P（/H-1,2〃?）的“-3级开心点"P'位于坐标轴上，即可求出P'的坐

标.

【详解】解：（1）3X（-I）-5=2；-1+3X5=14,

・•・若点P的坐标为（・1,5）,则它的“3级开心点”的坐标为（2,14）.

故答案为：（2,14）；

（2）设点P的坐标为（x,），）的“2级开心点”是点。（4,8）,

.（2x+y=4

tt[x+2y=8

解得

・••点P的坐标为(0,4)；

(3)•:点PCm-1,2/n)的“-3级开心点”为P'(-3(m-1)+2m,in-1+(-3)X2M,

①P'位于x轴上，

：,m~1+(-3)X2w=0,

解得：〃?=一［,

/--3(w-I)+2m=莽，

,16

:.P'(一,0).

5

②P'位于)，轴上，

-3(-1)+2〃？=0，

解得：机=3

：.m-1+(-3)X2〃？=-16,

・•・?(0,-16).

综上所述，点P'的坐标为(=,0)或(0,-16).

【点评】本题考查点的坐标，“关联点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决

问题.

10.在平面直角坐标系中，给出如下定义：点M到x轴、)，轴的距离的较大值称为点M的“长距”，点N

到x轴、y轴的距离相等时，称点N为“完美点”.

(1)若点尸(2/n-1,-1)是“完美点”求用的值；

(2)若点Q(3〃+l,-4)的“长距”为5,且点Q在第三象限内，点。的坐标为(-5,1-2〃)，试

说明点。是“完美点”.

【答案】(1)小=1或切=0；(2)是，理由见详解.

【分析】(1)根据“完美点”II勺定义解答即可；

(2)由“长距”的定义求出〃的值，然后根据“完美点”的定义求解即可.

【详解】解：(1)•・•点P(2m・l,-1)是“完美点”，

1|=|-1|,

：.2m-1=1或2m-1=-1，

2in=2,

解得：“2=1,

2m=0,

解得：机=0,

故111=1或“7=0：

(2)•・•点。(3〃+1,-4)的长距为5,且点。在第三象限内,

.*.3/1+1=-5,

解得n=-2,

工1-2〃=5,

二点。的坐标为(-5,5),

・•.点。到.1轴、y轴的距离都是5,

工点。是“完美点”.

【点评】本题主要考查了点的坐标，掌握题目里定义的“长距”与“完美点”是关键.

II.在平面直角坐标系中，对于点P(x,y),若点Q的坐标为：如+y,x+0)，则称点。是点夕的“。阶智

慧点”(〃为常数，且〃W0).例如：点P(1,4)的“2阶智慧点”为点Q(2X1+4,1+2X4),即点Q

(6,9).

(1)点A(-1,-2)的“3阶智慧点”的坐标为(・5，・7).

(2)若点B(2,-3)的“。阶智慧点”在第三象限，求〃的整数解.

(3)若点C(m+2,1-3M的“-5阶智慧点”到x轴的距离为1,求〃?的值.

【答案】⑴(-5,-7).

(2)I.

、1-1

(3)一或一.

48

【分析】(1)依据“。阶智慧点”的定义，结合点的坐标进行计算即可得出结论；

(2)依据点8(2,-3)的％阶智慧点”在第三象限，即可得到关于。的不等式组，进而得到。的整

数解：

(3)点C(，〃+2,1-3m)的“-5阶智慧点”到x轴的距离为1,即可得到关于〃?的方程，进而得到m

的值.

【详解】解：(1)点A(-1,-2)的“3阶智餐点”的坐标为(-3-2,-1-6),即坐标为(-5,-

7).

故答案为：(-5,-7).

(2),1点、B(2,-3),

・••点9的‘％阶智慧点”为(2a-3,2-3a).

又•・•(2a-3,2-3。)在第三象限,

.pa-3<0

*(2-3a<0，

23

解得-<a<-,

32

•・Z取整数，

6Z—1；

（3）•点C（m+2,1-3加），

・•・点C的“・5阶智慧点”为（・8m-9,16/H-3）.

•・•点C的”-5阶智慧点”到x轴的距离为1,

工|16机-3|=1，

，16/〃-3=1或16〃？-3=-1.

解得7n=*或m=宗

【点评】本题考查点的坐标，解题的关键是理解阶智慧点”的定义，灵活运用不等式、方程来解决

问题.

12.点P（a,b）是平面直角坐标系中的一点，若点。的坐标为（ka+b,a+kb）（其中女为常数且A#0）,

则称点。为点P的“左拓点”，例如：点尸（1，2）的“2拓点”。为（2X1+2,1+2X2）,即点。为（4,

5）.

（1）求点P（-2,1）的“3拓点”。的坐标；

（2）若点尸（-1,加）的“4拓点”。的坐标是（-2,〃），求〃〃?的值.

【答案】（1）点。的坐标为（・5,1）；

（2）14.

【分析】（1）根据题意可得：点。的坐标为（3X（-2）+1,-2+3X1）,然后进行计算即可解答；

（2）根据题意可得：-1X4+〃?=-2,-1+4加=〃，然后进行计算即可解答.

【详解】解：（1）由题意得：3X（-2）+1=-6+1=-5,-2+3X1=-2+3=1,

・••点Q的坐标为（-5,I）；

（2）由题意得：-1X4+〃?=-2,-1+4〃?=〃，

解得：机=2,〃=7,

.,."?〃=2X7=14.

【点评】本题考查了点的坐标，解一元一次方程，准确熟练地进行计算是解题的关键.

13•点P（a,h）是平面直角坐标系中的一点，若点Q的坐标为（ka+b,a+kb）（其中人为常数且kWO）,

则称点。为点P的“拓点”，例如：点尸（I,2）的“2拓点”。为（2X1+2,1+2X2）,即点。为（4,

5）.

（1）求点〃（・2,1）的“3拓点”。的坐标；

（2）若点P的“4拓点”Q的坐标为（-2,7）,求点P的义标.

【答案】（1）（-5,1）；

（2）（-1,2）.

【分析】（1）根据已知条件中的新定义，列出算式进行计算，然后求出点Q的坐标即可：

（2）设P（x,y）,根据已知条件中的新定义，列出关于工，y的方程组，解方程组求出x,y即可.

【详解】解：⑴V-2X3+1=-6+1=-5,-2+3X1=-2+3=1,

・••点P（-2,1）的“3拓点”。的坐标为（・5,1）；

(2)设P(x,)，)，

•・•点P的“4拓点”。的坐标为(-2,7),

(4x+y=-2@

•,x+4y=7@'

由②得：x=7-4)，③，

把③代入①得：4(7-4y)+y=-2,

28・16y+y=-2，

-15尸-30,

y=2,

把y=2代入③得：x=-1,

・••方程组的解为：二1%

工点P(-1,2).

【点评】本题主要考查了点的坐标，解题根据是理解已知条件中的新定义和熟练掌握利用加减或代入消

元法解二元一次方程组.

14.已知当〃?，〃都是实数，且满足2〃?=8+〃时，称点户(加，n+2)为“开心点”.例如：点A(6,6)为

“开心点”.因为当点A的坐标为(6,6)时，6=6,“+2=6,所以机=6,〃=4,所2/n=2X6=12,

S+〃=8+4=12,所以2/〃=8+”.所以点A(6,6)是开心点”.

(1)试判断点B(6,8)是否为“开心点”;

(2)若点M(a,a-1)是“开心点”，请判断点M在第几象限，并说明理由.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)根据8点坐标，代入(加，〃+2)中，求出〃?和〃的值，然后代入26=8+〃检验等号是否

成立即可；

(2)直接利用“开心点”的定义得出。的值进而得出答案.

【详解】解：(1)点B(6,8)不是“开心点”，理由如下，

当B(6,8)时，阳=6,〃+2=8,

此时m=6>〃=6,

所以2〃?W8+〃，

所以8(6,8)不是“开心点:

(2)点M在第一象限，

理由如下：

•・•点M(小1)是“开心点”，

/.m=a,n+2=a-1,

却〃?=〃，n=a-3>

代入2m=^+n有2〃=8+"-3,

解得。=5,

:.M（5,4）,

故点M在第一象限.

【点评】此题主要考查了点的坐标，正确掌握“开心点”的定义是解题关键.

15