2026年高考数学复习（全国）第五章 三角函数与解三角形（综合训练）解析版

第五章三角函数与解三角形（举一反三综合训练）

（全国通用）

（考试时间：120分钟；满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、注考证号填写

在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第H卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效c

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题共58分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.（5分）（2026•四川广安一模）若sin偌+a）=|,则cos（2a-胡=（）

A.--B.--C.—D.—

25252525

【答案】B

【解题思路】因为2照+a）—（2a一第二m进而根据诱导公式与二倍角公式求解即可.

【解答过程】因为2（,+a）-（2a一高=兀,

所以cos（2a—等=cos[2（盘+-1rl=cos卜一2仁+a）]

=_COS[2e+a）]=-[1-2sin2位+a）]=-l-2x（|）=-《

故选：B.

2.（5分）（2026•云南红河•模拟预测）在△力中，AC=1,BC=瓜B=\则4为（）

6

AfB.C,强骞D.g或g

【答案】D

【解题思路】利用正弦定理可求出sinA的值，结合角力的取值范围可求得角A的值，然后检验即可.

【解答过程】由正弦定理器=饴得壶=焉印.心多

又因为46（0m）,所以4=第学

经检验：当A=g时，C=/当4=轲，C=p均符合题意.

故选：D.

（分）（•安徽黄山•一模）函数（）（）（）的图象向左平移汨关于州|对称，则

3.52026/%=38$2%+09>06Q

的最小值为（）

A-B-C—D—

60'3J356

【答案】C

【解题思路】写出平移后的解析式g（%）=3cos卜x+g+@）,再根据余弦函数的对称性即可得到g+*=

kn,k6Z,解出即可.

I解答过程］外幻向左平移券解析式为g（x）=3cos［2（%+£）+司=3cos（2%+1+x）,

若其图象关于y轴对称，则］+（p=kn,keZ,

则》=/^一/忆€2,又因为8>0,则当k=1时，3取得最小值，为

故选：C.

4.（5分）（2025•广东广州•模拟预测）当［0,2nW寸，曲线y=sinx与y=3sin（2%-的交点个数为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解题思路】当工€［0,2r时，而出曲线丫=5也、与丫=34］卜工-9的图象即可得解.

【解答过程】当xW［0,2伺时，曲线y=sin%与y=3sin9”—；）的图象如图所示，

由图可知，当工€［0,2n］时,，曲线:/=sinx与y=3sin（2%-3的交点个数为4.

故选：B.

5.（5分）（2026•湖北十垠•一模）在44BC中，内角4,从C的对边分别为Q,力，c.若a=4M=?,sinB+sinC=

咯则be=()

4

A.孚B.20C.16D.”

33

【答案】D

【解题思路】根据正弦定理、余弦定理求解即可.

【解答过程】因为Q=4,4=3所以白=当=$=白

3sin/1sinr史V3

«z

由正弦定理可知，一」=’7=号=%所以sin8=噂b,sinC=4c,

SinBsinCsin^V388

又sinB+sinC=?，所以亨b+?c=苧，所以b+c=6.

由余弦定理知，a2=b2+c2—2bccosA,所以16=/+-2bcxg,即16=/+c?—加.

又七2+c2=(b+c)2—2bc=62-2bc=36—2bc,

所以16=36-2左一儿，所以灰=尊

«5

故选：D.

6.(5分)(2026•河南鹤壁•一模)已知且sin《cos〔a-6)-cos/?sin(夕-a)=，，则.震。二

()

A.-gB,-2C.1D,

【答案】B

【解题思路】先逆用两角和的正弦公式可得sina的值，再根据同角三角函数的基本关系可得cosa的值，最后

利用倍角公式即可得解.

【解答过程】因为sin6cos(a-£)一cos/?sin(^—a)=sin/?cos(a-£)+cos/?sin(a-/?)

=sinI/?+(a-/?)]=sina=p

又aG出口)，

所以cosa=-V1-sin2a

所以]+cos2a_2cos2a_cosa__3

sin2a2sinacosasina4"

故选：B.

7.(5分)(2026•新疆乌鲁木齐•一模)在△力BC中，角4B,C的对边分别为a,b,c,已知4=45。，B=75。,

c=2/3,则△HOC的面积为()

A.V6B.24-V3

C.2V6D.3+V3

【答案】D

【解题思路】根据题意，可得C=60。，再利用正弦定理可得a=2&,根据正弦和角公式得sirB="W

4

再利用面积公式求解即可.

【解答过程】•••4=45。，X=75、,C=18U。-45。-75。=60、

•••a=4sinX=4sin450=2>/2,

■:sinB=sin(45°+30°)=弓乂"+。乂；=恒心，

•••S^ABC—gacsinB=1x2V2x2\/3x=3+V5.

故选：D.

8.(5分)(2026•四川攀枝花•一模)已知函数/(%)=巡sin2x-2sin2x+l,则下列说法中正确的是()

A.y=/(%)的最小正周期为2n

B.y=f(%)在区间［0,手上单调递增

C.y=f(x)的图象向左平移！个单位长度后关于歹轴对称

O

D.若y=/a)在区间(0,m)(m>0)上恰有一个零点，则实数”的取值范围是借，詈)

【答案】C

【解题思路】利用三角恒等变换将已知函数化为y=加m(3无+8)的形式，再结合该函数的性质逐项分析判

断即可.

［解答过程］/(x)=V3sin2x—2sin2x+1=\/3sin2x+cos2x

=2(苧sin2M+|cos2x)=2sin(2x+

选项A：最小正周期T=g=7T,故A错误；

选项B：求f(x)=2sin卜无+J的单调递增区间：

令一；+2/nrW2%+；工？+2/cn,kEZ,解得—三+kn4%W；+kmkWZ,

26236

所以区叫咽包含［o*(递增)和七图(递减)，故B错误:

选项c：y=f(x)的图象向左平移!个单位长度后得到：

y=2sin(2(%+看)+=2sin(2%+/)=2cos2x,

y=2cos2x为偶函数，图象关于y轴对称，故C正确；

选项D：令/(%)=0,即2sin卜工+£)=0,

则2x+?=/cir,/<eZ,即％=—三+"，/<GZ,

6122

当A=1时，x=^；当k=2时，％=詈；

若在区间(0,m)上恰有一个零点，则居VmW需，

所以实数m的取值范围为瑞vmW詈，故D错误.

故选：C.

二'多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.(6分)(2026•贵州贵阳•模拟预测)已知见/?为锐角，sina二等,sin(a-/?)=-噜，则()

.4^3「•c7企c*■”1

AA.sinn2a=-B.cos2a=——C.sin。=——D.tana=-

55l10l7

【答案】ABC

【解题思路】选项A：由二倍角公式求解判断:选项B,由二倍角公式求解判断；选项C：由sin/?=sin[a-(a-

夕)]求解判断；选项D：由tan/?=翳求解判断.

【解答过程】因为。,0为锐角，所以0<仇〈*0<6〈枭所以-广"£<》

选项A：sin2a=2sinacosa=2x卷x?=%所以选项A正确；

选项B:cos2a=1-2sin2a=-正确；

选项C：cos(a—/?)>0,因为sina=%，所以cosa=—sin2a=

因为sin(a-/?)=一噂，所以cos(a-/?)=Jl-sin2(a-/?)=邛^,

sin.=sin[a-(a-/?)]=sinacos(a-/?)-cosasin(a-£),

=等、嚓一£x(一甯=第，所以选项C正确；

选项D：因为sin/?=¥，所以cos/?==多所以匕邛=^^=7,D错误，

故选：ABC.

10.(6分)(2026•贵州六盘水•模拟预测)已知函数/'a)=2cos(3%+w)(3>O,|0|v])的部分图象如图

A./(%)的最小正周期为7T

B./㈤的对称轴方程为％=-S+MkWZ

1laLa

C./(Y)=-V3

D.若关于x的方程f(x)=m(m£R)在(04)上有两个根，则mW(-2,-％)

【答案】ABD

【解题思路】根据给定的函数图象，结合五点法作图求出函数/(%)的解析式，再借助余弦函数的图象性质逐

项求解判断.

【解答过程】观察函数/(乃的图象，函数/(%)的最小正周期7=4[,一(一期="，则3=与=2,

由/倍)=-2,得2•驾+3=n+2",々WZ,而画V,解得k=0,9=%

因此/(x)=2cos(2%+：),

6

对于A,/(%)的最小正周期为n,A正确；

对于B,由2%+9=%兀上£2,得f。)的对称轴方程为％=-3+?,AEZ,B正确：

o】N2

对于C,/(9)=2cos(2x=+m)=2sing=1,C错误；

4466

对于D,当％W(0,日)时，2x+^6(^，^),函数/(x)在(0,普)上单调递减，函数值从旧减小到一2,

Z6oo1Z

在(胃胃)上单调递增，函数值从-2增大到一百，当且仅当m€(-2,-6)时，

直线y=m与函数f(x)在(0,“上的图象有两个交点，即/(%)=m在(0,，)上有两个根，DJE确.

故选：ABD.

11.（6分）（2026•新疆•模拟预测）在中，内角力，B,C的对边分别为a,b,c,若b=3,4=微，

△4BC的面积为竽，则（）

A.c=2B.a=V7

C.△48C是钝角三角形D.UnFtanC>1

【答案】ABD

【解题思路】A选项，由三角形面枳公式得到方程，求出c=2：B选项，由余弦定理得到方程，求出。=夕；

C选项，△48C中最大角为8,cosF=^>0,故8为锐角，故公｛8C为锐角三角形；D选项，计算出

14

tanB=3V3,tanC=今D正确.

【解答过程】A选项，由面积公式可得^bcsinA=誓，口%x3csin]=竽，解得c=2,A正确；

B选项，由余弦定理得cos/="：一"，即：+：一：=[,解得Q=V7,B正确；

CtDC4

C选项，由于b>Q>c,故△/BC中最大角为B,

8$8=咚也=名衿=噂>0,故B为锐角，故△/也为锐角三角形，C错误：

2ac2V7x214

D选项，由于cos8=^,故sinB=Jl-（^）=3F，故tanB=3遥，

又侬。=号=,=苧,故而。々―（第丁呼,

故tanC=得，故tanFtanC=3V3x>1»D正确.

故选：ABD.

第II卷（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（5分）（2026•陕西榆林•二模）已知驾誓=2,则tan,+力=___________.

cosO+smO\4/-------------------------

【答案】-2

【解题思路】法1：由已知等式整理得到sin。=3cos。，法2：应用齐次式法有臀J=2,进而求得tan。=3,

1+tanJ

再应用和角正切公式求值.

【解答过程】法1：因为瞥尝=2,所以sin0=3cos。，即tan。=3,

cos6+sin6

所”以…匕4(。+力ir\=5tan0+tan京7=三3+1=一2；

法2：因为鬻箫=2,所以染总=2,即tan。=3,

(C1T\tane+tan；3+1

所以tan■+L力=7^^=石=-2o；

故答案为:-2.

13.（5分）（2025•河北衡水•模拟预测）在△/1BC中，若sin/1=2cosfi,则co$/=.

【答案】半

【解题思路】先由正弦定理得SiM4=|,再由同角的三角函数关系式得cos2/l=|,再由大边对大角定理得力

为锐角，进而得到答案.

【解答过程】由正弦定理得上二匹；，又"二丁C,得sin8=；sin4①，

smBsin/l22

再由sinA=2cosB,得cosB=gsin/l②，

①②代入sii^B+COS2F=1,得:siM力+:siM4=1,得siMA=',

所以cos2/l=|,即cosA=晋或COS力=-言.

又因为4C=,BC>8C,由大边对大角得8>4所以4为锐角，

所以C0S/1=半.

故答案为：等.

14.（5分）（2026•广东佛山•一模）若函数f（x）=sin3X（3>。）在区间值3口］上至少有2个零点,则3的

最小值是.

【答案】：

【解题思路】根据正弦函数性质列不等式求解即可.

【解答过程】函数/（%）=sinoxt零点满足3%=/nr,keZ,即T二个，keZ,

因为3>0且Xe［TT,3TT］,所以k为正整数，

因为函数/（%）=sincox（o）>0）在区间m,3n］上至少有2个零点,

所以ITW蛆工3n即①<k<33至少有两个正整数解，

0）

为保证区间［3,3句至少包含两个正整数，该区间须至少能覆盖一对连续的正整数〃和AI1,

所以葭金;1，即容43WA,为使该不等式有解，须满足心空，

得“对，又kWZ*,所以%in=l，当k=l时，所以作3工1,即3的最小值为

4«5«5

故答案为：|.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.(13分)(2026陕西西安模拟预测)己知函数f(x)=sin2x+sin(2x+卬)(0V3V》/'(())=苧.

(1)求伊

(2)求函数/(x)的最小值和单调增区间.

【答案】(1)9=£

(2)/(%)最小值为一百；单调增区间为［kir—%如1+，，kGZ

【解题思路】(1)把/'(())=当代入函数解析式，求出sin。再结合租的取值范围求解；

(2)求出/(工)的解析式，利用正弦型函数的性质求函数/(%)的最小值和单调增区间.

【解答过程】(1)•••/(0)=/,贝JsinO+sin©=0+sin@=?,故sintp=/，

又0<0<5，:9二?.

(2)/(%)=sin2x+sin(2x+=sin2x+sin2xcos^+cos2xsin^

=|sin2x+ycos2x=V3俘sin2x+|cos2x)=V3sin(2x+*

••・函数/(X)最小值为一V3,当2%-！=2kix-^,keZ即X=Mr-弓时取得最小值.

6L3

令2ATT—；W2x+；W2ATT+三，A£Z,解得kir—；WxWkir+gk£Z；

26236

・•・函数f(x)的单调增区间为M+kez.

16.(15分)(2026•四川绵阳•一模)记△ABC的内角46,C的对已分别为Q,b,c,已知c=2a,且sinC=cosA.

(1)求sinC；

(2)若b=V5,求a.

【答案】(l)sinC=*；

(2)a=1或Q=J.

•3

【解题思路】(1)根据正弦定理及同角三角函数基本关系可得;

(2)直接由余弦定理解三角形可得.

【解答过程】(1)因为c=2a,由正弦定理得sinC=2sin4即sin4=gsinC,

再由cos?l=sinC及基本关系式得弓sinC)2+sin2C=1,得sinC=卓或sinC=—卓，

因为0<4Vn,sin4>0,所以sinC=-言(舍去)，即sinC=誓.

故sinC=等.

(2)由(1)知sinC=竺，所以cos4=sinC=合，

再由余弦定理。2=/+c?-2儿•cos/l,且b=而，c=2a,

得a2=5+4a2—4a-V5•警，3a2—8a+5=0,解得a=1或a=

OJ

当a=l时，c=2a=2fb=V5,此时82=。2+。2,△ABC为直角三角形，符合题意；

当a=?时，c=2a=^,b=V5,此时。2>必+/，△回。为钝角三角形，符合题意；

JJ

故a=1或a=

J

17.(15分)(2026•陕西榆林•二模;在△ABC中，内角48,C的对边分别为Q,瓦c,已知Q+b=ll,c=7,cos/l=

1

~7'

⑴求a的值：

(2)求sin(4-C)的值.

【答案】(1)。=8

【解题思路】(1)结合已知条件，用余弦定理得到关于a的二次方程求解；

(2)法一，由正弦定理求出sin。，得到cosC,由cosA得到sin4代入sinQ4-C)求解；法二，由余弦定理

求出cos。，得到sinC,由cos力得到sin/1,代入s\n(A—C)求解.

【解答过程】⑴在△4BC中，因为a+b=ll,所以b=ll-a,由c=7,cosH=-/

及余弦定理得：a2=(11-a)2+72-2(11-a)x7x(-

解得a=8.

(2)解法I：由cos力二一；，得siiL4=?.由正弦定理，:二三得，得二三，

77sinAsmC隹sinC

即sinC=.

因为Q>C,则所以。是锐角，C=3则cosC=g

所以sin(4-C)=sinAcosC-cosAsinC=^x^-f-^)x^=—.

72\7/214

解法2：由Q=8,得b=3.由余弦定理得cosC="+"J'=)；：二=；,

ZabZX8X3L

所以sinC=y,

又由cos71=-1，得sin/1=警，

所以sin(>4—C)=sin24cosc—cosAsinC=竿x1x=等.

18.(17分)(2026•湖北孝感•一模)已知函数/(x)=cos(2x+@)(0<</?<TT),且/(0)=：.

(1)求y=/幻在点(0,)处的切线方程：

(2)瘠函数y=/(%)的图象向右平移々个单位得到函数y=g(x)的图象，求函数y=g(x)在[。图上的值域.

【答案】(l)y=-V5x+g

⑵卜别

【解题思路】(1)根据条件先求解出8的值，然后求解出厂(幻，结合x=