菱形的性质和判定（知识解读+例题讲义+随堂检测）原卷版-2024人教版八年级数学下册

第04讲菱形的性质和判定

3"知识导航

第导航1考点清单

考点1：菱形的概念和性质

考点2：菱形的面积

考点3：菱形的判定

考点4：菱形的性质与判定综合

舟导航2重难点

重点：

（1）菱形性质的应用

（2）菱形的判定

（3）菱形性质与判定的互逆应用

难点：

（I）性质混淆：易与矩形对角线性质混淆（菱形对角线垂直，矩形对角线相等）。

（2）判定易错点：忽略判定前提，如直接用“对角线垂直”证菱形，未先证平行四边形。

（3）综合应用：结合对角线性质构造直角三角形，求解边长、角度；添加辅助线（连对角线）转化问题

[?知识梳理

知识点1：菱形的性质

菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

※菱形的性质：（1）具有平行四边形的性质

（2）且四条边都相等

（3）两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分•组对角。

注意：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称相。

7题型精讲

【题型1利用菱形的性质求角度】

【典例1】如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形48C。，中间通过螺杆连接，转

动手柄可改变N8CD的大小（菱形的边长不变）.当N8Q4=26。时,则乙力。（7的度数为（）

A.26°B.52°154°

【变式1】如图,在菱形A9CD中,乙D=132。，则41的度数为（）

A.132°B.66°C.48°D.24°

【变式2】如图,在菱形4BCD中,连接4C，过点B作B01/1C.若乙口4c=36。，则乙08C的度数为（)

A.36°B.54°C.56°D.64°

【变式3】如图,在菱形中,点七为对角线80上的一点，RDE=AB.连接4E,若乙4BC=80。,则

的度数为（）

A.40°B.50°C.70°D.80°

【题型2根据菱形的性质求线段长】

【典例2］如图，在菱形AZ7C。中，AC与。。交于点。，若AC=G,DD=6,则该菱形AZ?CO的周长足（）

B

A.20B.24C.25D.48

【变式1】如图，在菱形4BCD中：AB=6,Z.ADC=120°,则对,角线8D的长是（）

【变式2】如图，在菱形力BCD中，对角线AC与6D相交丁点0,tAC=6,^ABC=60%贝幡。的长为（）

A.3V3B.6V3C.12D.6x/5

【变式3】如图，菱形力BCD的对角线4C,BD相交于点。，过点£＞作D"1AB于点H,连接OH,若4c=8,

菱形/BCD的周长为20,则的长为（）

卜知识梳理

知识点2：菱形的面积（等面积求高）

菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半

题型精讲

【题型3根据菱形的性质求面积】

【典例3】道路上的菱形标志名称为人行横道预告标线，作用是提示驾驶人前方已接近人行横道，应减速慢

行，并需注意行人横过马路.若测得菱形标志力BCD的对角线力C长为1.5m,8D为3m,则该标志的占地

面积为（）

A.2.25m2B.4.5m2C.6m2D.9m2

【变式1】小宇同学和家人去故宫游玩，发现太和殿窗板的三交六碗菱花图案不但非常漂亮，而且还藏着数

学知识一一菱形.喜欢创造性设计问题的她，通过查阅资料，结合图案，很快就命制出一个数学题如下：

在菱形中，LA=60°,AB=2,则菱形718co的面积为（）

A.V3B.4百C.4D.2\/3

【变式2】如图，在菱形A8CD中，AC.BD交于点O,DE1BC于点、E,若AC=8,BD=6,则DE等于（）

【变式3】如图，菱形力BCD的边长为遥，对角线4C,B。相交于点O,且。4=1,则菱形ABC。的面积为

H

A.5B.2V5C.2D.4

知识梳理

知识点3：菱形的判定

※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。

对角线互相亘直的平行四边形是菱形。

四条边都相等的四边形是菱形。

匚'题型精讲

—玲

【题型4添一条件使四边形是菱形】

【典例4】如图,^ABCD,对角线AC,BD交于点O,添加下列条件，能使团力BCD变为菱形的是（)

A.AB=CDB.AC=BDC.Z.ABC=90°D.AC1BD

【变式1】如图，四边形力BCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（）

A.AB=CDB.AD=ECC.AB=BCD.AC=BD

【变式2】已知四边形ABCD的对的线AC,3。互相垂直，则下列条件能判定四边形48。。为菱形的是（）

A.DA=DCB.AC=BDC.AB||DCD.AC,BD互相平分

【变式3】如图，点、D,E,r分别在△力8c的边上，EDIIAB,AE=AF,添加一个条件，使四边形力EDr

是菱形.

【题型5菱形的判定】

【典例5］如图，在团4BCD中,连妾4C"B=AC,过点。作47的平行线与BA的延长线相交于点£求证:

四边形力CDE是菱形.

【变式1】如图，在回4BCD中，点”分别在4D,8C上，且BE平分N/1BC.若。E=",连结求证:

四边形力8/£是菱形.

A

BFC

【变式2】如图，在△MC中，4B=BC,点。为47的中点，连接B0并延长至点D,使得08=。。，连接力。、

CD.求证：四边形ABC0是菱形.

【变式3】如图，平行四边形力BCD中已知£、F分别是BC、4。的中点，月SB14C.求证：四边形AECr是

菱形.

【题型6菱形的性质与判定综合】

【典例6】如图，在四边形力8CZ）中，ABWCD,AB=AD,对角线AC,BD相交于点O,4c平分4B4D,过

点C作CE1AB交88的延长线于点E,连接。£

⑴求证：四边形/1BC0是菱形；

⑵若AB=6,BD=4,求0E的长.

【变式1】在四边形4BCD中，4DIIBC,点£在BC边上，AE=AD,过点。作DFIIAE,交BC的延长线于点心

⑴求证：四边形HEE。为菱形；

⑵连接力凡DE交于点G,若AD=5,DG=遥，求AF的长.

【变式2】如图，平行四边形力BCD的对角线力C,BD相交于点0,过点。作。EIL4C,过点C作CEII8D,DE与CE

交于点E,0E=CD.

(1)求证:团力BCD是菱形；

(2)若。E=3/CAE=30。，求8。的长.

【变式3】如图，在四边形A8C0中，ABWCD,过点。作立力0。的角平分线交力8于点E,连接"交。E于点O,

AC1BC,RADWCE.

⑴求证：四边形4ECD是菱形；

(2)若力。=10,4ACD的周长为36,求CB长.

、「随堂检测

1.菱形4BCD的周长为24cm,那么菱形的边长是（）

A.4cmB.5cmC.6cmD.8cm

2.下列关于菱形的说法正确的是（）

A.菱形的四个内角一定相等B.菱形的对角线一定相等

C.菱形的四条边都相等D.菱形的周长和面积一定相等

3.如图所示，在菱形中，对角线AC,8。相交于点0,若AC=6,BD=8,则菱形/BCD的面积为（）

A.12B.15C.20D.24

4.如图，在菱形A8G）中，对角线4c与8D相交于点O,0E1A3,垂足为点E,若NB0E=30。，BO=2,

则40的长为（）

A.2B.2V3C.4D.4A/3

5.如图，在平面直角坐标系中，菱形4BC。的顶点。在原点处，顶点力在y轴上，已知点B的坐标为（4,8）,则

点C的坐标为（）.

A.(4,3)B.(4,5)C.(3,4)D.(4,4)

6.如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个面积为

4K的四边形，当44BC=6Q。时，则纸条的宽度是（

C.2V3D.V6

7.小佳同学在整理菱形的判定方法时，将知识整理成如图所示，请帮她在横线上填上一个适当的条件，该

条件可以是.

五

种

平行四边形,

8.如图，在即48。。中，AB=9cm,FC=4cm.将C8沿b4方向平移得到EF