高等数学（上册）

高等数学第一章函数、极限与连续高等数学第一章函数、极限与连续01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点初等函数的连续性08高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性16世纪末期，为适应生产实践的需要，人们开始对各种变化过程中量与量之间的关系进行研究，于是产生了函数的概念．函数既是现代数学中最重要的基本概念之一，也是高等数学的主要研究对象．极限是微积分学的理论基础，极限方法是高等数学中研究问题的一种基本方法．本章将着重介绍有关函数、极限和连续的基础知识及基本方法．高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性一、函数的概念定义1如果变量x在其变化范围D内任意取一个值，变量y按照某种确定的法则存在唯一确定的数值与之对应，则称y是x的函数，记为其中，x称为自变量，y称为因变量，D称为函数的定义域．高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性如果x0∈D，则称f（x0）为函数在x0处的函数值，记为或当自变量x取遍定义域D的各个值时，对应的函数值全体组成的数集称为这个函数的值域．函数的对应法则和函数的定义域称为函数的两个要素．两个函数相等的充分必要条件是函数的定义域和对应法则均相同．高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性二、函数的性质定义2设函数y=f（x）的定义域D关于原点对称，如

果对于任意x0∈D，1．函数的奇偶性（1）恒有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数；（2）恒有f(－x)=

－

f(x)，则称f(x)为奇函数．高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性在平面直角坐标系中，偶函数的图形是关于y轴对称的，如图1-1所示；奇函数的图形是关于原点对称的，如图1-2所示．图1-1图1-2高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性例1判断函数

的奇偶性．解

因为函数的定义域为（－∞，+∞），且

所以y=f（x）为奇函数．高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性定义3设函数y=f（x）的定义域为D，区间，如果对于区间I上任意两点x1及x2，有2．函数的单调性（1）当x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2），则称y=f（x）在I上是单调递增函数，如图1-3所示；（2）当x1＜x2时，有f（x1）＞f（x2），则称y=f（x）在区间I上是单调递减函数，如图1-4所示．高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性图1-3图1-4单调递增和单调递减的函数统称为单调函数，I统称为单调区间．高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性定义4设函数y=f（x）的定义域为D，若存在一个常数T≠0，使得对于任意x∈D，必有x±T∈D，且f（x±T）=f（x），则称f（x）为周期函数，T称为f（x）的周期（通常是指最小正周期）．3．函数的周期性定义5设函数y=f（x）的定义域为D，区间

，如果存在一个正数M，使得对于任意x∈I，都有，则称y=f（x）在区间I上有界，也称y=f（x）是I上的有界函数．否则，称y=f（x）在区间I上无界．4．函数的有界性高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性三、初等函数常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等函数是构成初等函数的基础，习惯上称它们为基本初等函数，如表1-1所示．1．基本初等函数高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性表1-1函数定义域值域函数图像主要特征常数

函数y=CR{C}图像经过点(0，C)，且与x轴平行幂函数y=xa{a∈R}由a而定由a而定图像经过点(1，1)在第一象限内当a＞0时，xa为增函数；当a＜0时，xa为减函数指数

函数y=ax(a＞0，且a≠1)R(0，+∞)图像在x轴上方，都经过点(0，1)当0＜a＜1时，ax是减函数；当a＜1时，ax是增函数高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性续表1-1函数定义域值域函数图像主要特征对数

函数y=logax(0,+∞)R图像在y轴右侧，都经过点(1,0)当0＜a＜1时，logax是减函数；当a＞1时，logax是增函数三角

函数y=sinxR(－1,1)奇函数，周期为2π，图形在两直线y=1与y=－1之间y=cosxR(－1,1)偶函数，周期为2π，图形在两直线y=1与y=－1之间y=tanxkπ(k∈Z)R奇函数，周期为π，在

内单调增加高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性定义6设y=f（u）是u的函数，而u=φ（x）是x函数，如果u=φ（x）的值域或值域的一部分包含在函数y=f（u）的定义域内，则称y为x的复合函数，记为y=f[φ（x）]

，其中u称为中间变量．2．复合函数高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性例2指出下列函数的复合过程．解

（1）

是由

，

复合而成的．（2）

由y=eu，u=－x2

复合而成的．（3）是由

，

，

复合而成的．（1）（2）（3）高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性定义7由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算构成，并且能用一个解析式表示的函数，称为初等函数．3．初等函数高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性一、数列极限定义1在某一法则下，当n（n∈N+）依次取1,2,3，…，n，…时，对应的实数排成一列数这列数就称为数列，记作{xn}．数列中的每一个数称为数列的项，第n项

称为数列的一般项或通项．高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性定义2对于数列{xn}，如果当n无限增大时，数列的一般项xn无限地接近于某一确定的数值a，则称常数a是数列{xn}的极限，或称数列{xn}收敛于a，记作

或

；如果数列没有极限，则称数列是发散的．其中，“lim”代表极限，极限符号下面的“

n→∞”表示项数无限增大．高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性例1讨论下列数列的变化趋势，说明极限是否存在．若存在，请写出它们的极限．解

（1）

的项依次为

，当n无限增大时，xn无限接近于0，所以，

．（2）的项依次为0,1,0,1，…，当n无限增大时，xn总是在0和1两数中跳动，不趋近于某一个常数，所以，该数列的极限不存在．（1）（2）（3）高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性解

（3）xn=10为常数数列，无论n取怎样的正整数，xn始终为10，所以，．常数列{C}的极限就是这个常数本身，即

．

高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性二、函数的极限根据变量x的不同变化过程，函数的自变量有以下几种不同的变化趋势．为了方便起见，规定：（1）如果x的绝对值无限增大，则称x趋向于无穷大，记为x→∞；如果x＞0且无限增大，则称x趋向于正无穷大，记为x→+∞；如果x＜0且|x|无限增大，则称x趋向于负无穷大，记为x→－∞．显然，

x→∞包含x→+∞及x→－∞这两种趋势．（2）如果x无限接近于x0

，则称x趋向于x0

，记为x→x0

；如果x从x0的左侧无限接近于x0

，则称x从x0的左侧趋向于x0，记为x→x0－；如果x从x0的右侧无限接近于x0，则称x从x0的右侧趋向于x0，记为x→x0+．高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性定义3如果当x的绝对值无限增大，即x→∞时，函数值f（x）无限趋近于某一个确定的常数A，那么A就称为函数f（x）当x→∞时的极限，记作1．当x→∞时，函数f（x）的极限或类似地可定义和高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性例2求极限．解因为当x的绝对值无限增大时，

无限接近于0，所以函数

无限接近于常数2，即

．高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性例3求．解函数

的图形如图1-6所示，观察可以发现：当

时，曲线

无限接近于直线

y=0；而当

时，曲线无限增大，不趋于一个确定的常数，所以

不存在．图1-6高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性定理1的充分必要条件是

．定理2若

成立，则

．2．当x→x0时，函数f（x）的极限定义4设函数y=f（x）在点x0的附近有定义（在x0处可以无定义），如果存在一个常数A，当x无限趋于x0（x≠x0）时，函数f（x）的值无限趋近于A，那么A就称为函数f（x）当x→x0时的极限，记作或高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性根据定义，容易得出下面的结论：（c为常数）；如果当x从x0的左边趋于x0（通常记作x→x0-）时，f（x）无限接近某常数A，则常数A称为函数f（x）当x→x0时的左极限，记作

或

．

如果当x从x0的右边趋于x0（通常记作x→x0+）时，f（x）无限接近某常数A，则常数A称为函数f（x）当x→x0时的右极限，记作

或

．左极限与右极限统称为单侧极限．高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性定理3当x→x0时，f（x）以A为极限的充分必要条件是f（x）在点x0处的左、右极限存在且都等于A，即．例4设

，讨论当x→0时，函数f（x）的极限是否存在．解因为

，

，所以

，由定理3得，

不存在．高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性例5设

，试判断

是否存在．解先分别求f（x）当x→1时的左、右极限：

．因为

，所以

存在，且

．高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性一、无穷小1．无穷小的定义定义1如果当x→x0（或x→∞）时，函数f（x）的极限为0，即

（或

），则称函数f（x）当x→x0（或x→∞）时为无穷小．高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性注意：（1）当我们说f（x）是无穷小时，必须指明自变量x的变化趋势．例如，函数x－1是当x→1时的无穷小，而当x趋向其他数值时，x－1就不是无穷小．（2）不能把一个绝对值很小的常数说成是无穷小，因为这个常数在（x→x0或x→∞）时，极限为常数，并不为零．（3）常数中只有零可作为无穷小．高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性2．无穷小的性质性质1有限多个无穷小的代数和仍为无穷小．性质2有限多个无穷小的乘积仍为无穷小．性质3有界函数与无穷小的乘积是无穷小．推论常数与无穷小量之积仍为无穷小量．高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性例1证明

．证由于

，且

（sinx为有界函数），根据性质3，有

．高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性二、无穷大定义2如果当x→x0（或x→∞）时，函数f（x）的绝对值无限增大，则称函数f（x）当

x→x0（或x→∞）时为无穷大，记作

或

．高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性三、无穷大与无穷小的关系定理1如果，则

；如果

，且

，则

．高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性定理1设

，则（1）；（2）

；（3）

；（4）

．高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性例1求

．解．例2求

．解因为

，所以

．高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性例3求

．解当x→3时，分子及分母的极限都是0．但在x→3的过程中，由于x≠3，即x－3≠0，故分子与分母可约去公因式x－3，得

．例4求

．解当x→1时，函数的两项均为无穷大，不能用差的运算法则，但可先通分，再求极限．

．高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性例5求

．解先用x3同除分子及分母，然后取极限，得

．例6求

．解先用x3同除分子及分母，然后取极限，得

．高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性例7求

．解分子、分母同除以分母的最高次幂x3，得

．由例5～例7可得出下述结论：设a0≠0，b0≠0，m，n为自然数，则高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性例8求

．解因为当x→+∞时，

和

两项均为无穷大，所以不能用差的极限运算法则，但是可以先有理化，再求极限．

．例9求

．解因为，所以

．高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性一、极限列表考察当x→0时

的变化趋势，如表1-3所示．表1-3x0.9003160.9935860.9995980.9999740.999993从表1-3可以看出，当x→0时，

的值无限趋近于1，即

．高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性例1求

．解

．例2求

．解令u=2x，则．当x→0时，u→0．于是有

．高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性例3求

．解

．例4求

．解因为

，所以

设

，则当

时，

，所以．高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性二、极限列表考察当x→∞时，函数

的变化趋势，如表1-4所示．表1-4x1010010001000010000010000002.593742.704812.716922.718152.718272.71828x－10－100－1000－10000－100000－10000002.867972.731992.719642.718422.718302.71828高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性从表1-4中可以看出，当x→－∞及x→+∞时，

的值无限趋近于e=2.71828…

，即如果令

，则当x→∞时，t→0，公式还可以写成综合起来，得到以下两个公式：高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性例5求

．解令

，则

．于是

．也可直接计算，即

．高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性例6求

．解令－x=t，则当x→∞时，有t→∞．所以

．例7求

．解

．高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性例8求

．解

高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性定义1设α，β是自变量的同一变化过程（x→x0或x→∞）中的无穷小量，且α≠0．（1）若

，则称β是比α高阶的无穷小，记作β=o（α），此时也称α是比β低阶的无穷小；（2）若

，则称β与α是同阶的无穷小；特别地，若c=1，即

，则称β与α是等价的无穷小，记作β~α．高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性例1比较当x→0时，无穷小

与

阶数的高低．解因为

所以与是等价无穷小，即．当x→0时，还有下列常用等价无穷小的关系：高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性定理1设

．（1）若

存在，则

；（2）若

，则

．这说明，在求两个无穷小之比的极限时，分子、分母可分别用它们的等价无穷小代替，这样可以简化某些极限运算．高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性例2求．解当x→0时，

，所以

．

例3求

．解当x→0时，

，所以

．

高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性一、函数的连续性1．函数的增量自变量从初值x0变为终值x时，终值与初值的差x－x0称为自变量x的增量（通常也称为改变量），记作Δx．增量Δx可正可负．设函数y=f（x）在点x0的某邻域内有定义，当自变量x在该领域内由x0变到x0+Δx时，函数y相应地由f（x0）变到f（x0+Δx），称f（x0+Δx）－f（x0）为函数的增量（或改变量），记作Δy或Δf（x）．高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性函数增量的几何意义如图1-7所示．图1-7高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性2．函数连续的定义定义1设函数y=f（x）在点x0的某一个邻域U（x0，

δ

）内有定义，若或则称函数y=f（x）在点x0处连续．点x0称为函数y=f（x）的连续点．令x0+Δx=x，则当Δx→0时，x→x0，故即因此，函数y=f（x）在点x0处连续的定义又有如下叙述．高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性定义2设函数y=f（x）在点x0的某一个邻域U（x0，

δ

）内有定义，若

，则称函数y=f（x）在点x0处连续．例1证明函数

在

处连续．证因为

，

所以

在

处连续．

高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性3．左连续和右连续定义3若，则称函数y=f（x）在点x0处左连续．

若

，则称函数y=f（x）在点x0处右连续．定理1函数y=f（x）在点x0处连续的充分必要条件是函数y=f（x）在点x0处左连续且右连续，即高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性例2讨论函数

在x=1处的连续性.解因为

，

，

且

，所以

存在，且

．由定理1知，函数y=f（x）在x=1处连续．

高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性4．函数在区间上的连续性若函数f（x）在开区间（a，b）内各点处均连续，则称f（x）在开区间（a，b）内连续．若函数f（x）在开区间（a，b）内连续，且在x=a处右连续，在x=b处左连续，则称f（x）在闭区间[a，b]上连续．连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线．例如，函数y=sinx在区间（－∞，+∞）上是连续的．类似地，基本初等函数在其定义域内也都是连续的．高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性二、函数的间断点1．间断点的定义定义4设函数f（x）在点x0的某去心邻域内有定义，如果函数y=f（x）有下列三种情形之一：

（1）在x=x0处没有定义；

（2）在x=x0处有定义，但

不存在；

（3）在x=x0处有定义，且

存在，但

，则称函数f（x）在点x0处不连续或间断，点x0称为函数f（x）的不连续点或间断点．高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性例3讨论函数在x=0处的连续性．解因为f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），故

在x=0处间断．但因

，故如果补充定义f（0）=1

，则得到函数

，该函数在x=0处是连续的．高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性2．间断点的类型通常，间断点可分成两类：第一类间断点和第二类间断点．

如果x0是函数f（x）的间断点，但左极限

及右极限

都存在，那么x0称为函数f（x）的第一类间断点．不是第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点．

第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点．第二类间断点通常有无穷间断点和振荡间断点等．高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性例4讨论函数在点x=0处的连续性．解函数f（x）在x=0处有定义，f（0）=1，

而

，所以x=0为函数f（x）的第一类间断点．高等数学函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点0102030405060708初等函数的连续性高等数学01020304050607函数极限无穷小与无穷大极限的运算两个重要极限无穷小的比较函数的连续与间断点08初等函数的连续性一般说来，如果

存在，但函数f（x）在点x0处没有定义，或者虽有定义，但f（x0）≠A，则称点x0为函数f（x）的可去间断点．此时若补充定义或改变函数f（x）在点x