湖南省长沙市某中学2025届高三年级下册模拟（二）数学试题（解析版）

湖南省长沙市第一中学2025届高三下学期模拟（二）数学试题

一、选择题（本大题共8个小题।每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的）

1.己知集合A={x|0<x<a},B={X\X2-2X<0}^若BG4,则实数Q的取值范围是（）

A.（0,2）B.（0,2]C.（2,+oo）D.[2,+8）

【答案】D

【解析】【解答】解：已知8={x|x2-2x<0}={x|0<x<2},

因为BE4,Ma>2,则实数Q的取值范围是[2,+8）.

故答案为：D.

【分析】先利用一元二次不等式的解法集合氏再利用集合子集的定义即可求解.

2.若（z—严24）[=[5+巴则2的虚部为（）

A.-1B.1C.-iD.i

【答案】A

【解析】【解答】解：设2=。+6（。/WR）,

由已知，得（a+bi—l）i=一1+i,

.,.-b+(a-l)i=-l+i.

.z=2+i»

Az=2-i,

・・・2的虚部为一1.

故答案为：A.

【分析】根据复数的运算法则结合复数相等的等价条件，从而求出复数z,再根据共桅复数的定义求出复数

z,从而确定复数2的虚部.

3.平面上的三个力打,尸2,53作用于同一点，且处于平衡状态•已知耳=（1,0），I同1=2,（K，豆）=120°，

则同=（）

A.1B.1C.V3D.2

【答案】C

【解析】【解答】解：由题意，得无+丹+网=6，

所以—耳=&+刍,

两边平方得同2=同2十2万再十同2,

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贝帽「=l+2xlx2x(-4)+4=3，

所以I同=V3.

故答案为：C.

一

【分析】先由K+及+百=6变形，结合数量积的运算律，再利用已知条件得出Q的值.

4.国际学生评估项目测试是世界经济合作与发展组织对各国中学生阅读、数学、科学能力评价测试.从

2000年开始，每3年进行一次测试评估.在评估研究时将测试成绩按一定规则转换成等级赋分，赋分范围是

40至100分，如图是2024年的某地口学生参加阅读测试后用赋分数据绘制成的不完整频率分布直方图.根据

B.该地学生成绩的平均数一定个于65

C.该地学生成绩的极差介于40至60之间

D.该地学生成绩没有超过60分的学生所占比例为30%

【答案】C

【解析】【解答】解：对于选项A,分数在［40,50)的频率为0.05,分数在［50,60)的频率为0.15.

分数在［70,80)的频率为0.3,分数在［80,90)的频率为10a,分数住［90,100］的频率为0.1,

由图知,0.15<10a<0.3,

则分数在［80,100)的频率为10Q+0.1,且0.25<10a+0.1<0.4,0.55<10a+0.4<0.7

所以，中位数在［70,80)之间，但不一定大于75,故选项A错误；

对于选项B,由题总可知，分数在［60,70)的频率为0.4-Q,

所以该地学生成绩的平均数为：

x=45x0.054-55x0.15+65x(0.4-10a)4-75x0.3+85x10a+95x0.1=68.5+200a

由图可知aG(0.015,0.03),

所以元=68.5+200aG(71.5,74.5),故选项B错误;

对于选项C,设学生成绩的最低分为九，最高分为m,

则40<n<50,90<m<100,

由不等式的基本性质，可得404小一九三60,

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所以学生成绩的极差介于40至60之间，故选项C正确；

对于选项D,由选项A知，学生成绩没有超过60分的学生所占比例为20%,故选项D错误.

故答案为：C.

【分析】利用频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，利用频率之和等于1,从而得出a的

值，再利用频率分布直方图求中位线的方法，则可判断选项A；利用频率分布直方图求平均数公式，则可判断

选项B；利用极差的定义可判断选项C：利用频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再利

用已知条件可判断选项D,从而找巴说法正确的选项.

5.六名同学排成一排照相，则其中甲、乙、丙三人两两不相邻，且甲和丁相邻的概率为()

A，IB-IC-15D.特

【答案】D

【解析】【解答】解：因为六名同学排成一排照相，共有屋=720中不同的排列方法，

先确定除甲乙丙三人外的位置，共有用=6种方式，

再确定甲在丁的两边有2种方式，

最后将乙丙放入3个空中，(甲旁边不能放入)，有用=6种方式，

则甲、乙、丙三人两两不相邻，且甲和丁相邻，共有：用x2x&=72种不同的排法，

故甲、乙、丙三人两两不相邻，且甲和丁相邻的概率为。=

故答案为：D.

【分析】六名同学排成一排照相共有就=720中不同的排列方法，利用分步乘法计数原理和排列数公式，从

而得出满足条件的共有72种排法，利用古典概率公式，从而得到甲、乙、丙三人两两不相邻，且甲和丁相邻的

概率.

6.已知awg,7T),且3cos2a—sina=2,则()

A.cos(jt—a)=|B.£Q九(九一的=辛

C.sin(^—a)=D.cos(^-a)=

【答案】B

【解析】【解答】解：根据二倍角公式：cos2a=1-2sin2a,可得：3cos2a-sina=3x(1-2sin2a)-

sina=2,

解得：sina=-5*或者sina=J,又TT),则sina=J,

乙J4o

对于A选项：cos(ji-a)=—cosa=—Vl—sin2a=—与？,故A选项错误；

对于B选项：—a)=—tana=—=—我+(—弓^)]=?，故B选项正确;

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对于C选项：5)6一a)=cosa=-竽，，故C选项错误；对于D选项：cosg-a)=sina=寺，

故答案为：B.

【分析】本题主要考查三角函数的倍角公式、诱导公式、同角三角函数的关系，根据题意结合二倍角公式及

角a的范围可得sina的值，再根据诱导公式、同角三角函数的关系即可求解.

7.已知函数/(幻=巴上里士，若/(瓶2一m一1)>/(一皿2),则实数机的取值范围()

A.(一;,1)B.(-1,2)

C.(-8,-4)U(1,4-oo)D.(―co,—1)U(2,+8)

【答案】D

【解析】【解答】解：由题意，则/'(X)=1,

因为f(租？—m—1)>/(—/n2),且一zn?<o<1,

所以小？—m—l>l=>mE(—oo,—l)u(2,+oo).

故答案为：D.

【分析】根据题意作出分段函数的图象，再通过数形结合得出实数m的取值范围.

8.在同一平面直角坐标系内，函数y=f(x)及其导函数y=/(x)的图象如图所示，已知两图象有且仅有一

个公共点，其坐标为(0,1),则()

A.函数y=f(x),e”的最大值为IB.函数y=/(%)•靖的最小值为1

C.函数、=写的最大值为1D.函数y=维的最小值为1

ee

第4页

【答案】C

【解析】【解答】解：对于A、B,日题意可知，两个函数图象都在X轴上方，f工何一个为导函数,

则另外i个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为y=/'(%),实线部分为y=f(x),

所以，y=/(x)-ex4-fMex=[f'w+/(X)]->0恒成立，

所以y=/(x).靖在R上单调递增，

则选项A、选项B错误；

对于C、D,因为炉=应贮坐度=运42,

(蟾)

由图象可知，当“€(-8,0)时，y'=fW-f(x)>0，

当％£[0,+8)时，'fW-fW<Qt

Jex

所以y=在％e(一8,0)上单调递增，在X6(0,+8)上单调递减，

所以，函数丫=缓在x=0处取得极大值，也为最大值，且瑞=1，

则选项C正确、选项D错误.

故答案为：C.

【分析】先判断出虚线部分为y=/(X),实线部分为y=f(x),再求导判断出函数y=f(x)•靖在R上的单调

性，则判断出选项A和选项B：再求导判断函数丫=维的单调性，则判断出选项C和选项D,从而找出正确

e

的选项.

二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题

目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得。分)

9.已知函数/。)=5"(2%一》则()

A./(X)的最小正周期为7TB./㈤的图象关于直线"金对称

C./(x)在亭第上单调递减D.f(x)在(0,兀)上有2个零点

【答案】A,C.D

【解析】【解答】解：对于A,因为函数f(x)的最小正周期为竽=小所以A正确:

对于B,因为，(金)=sin(2x0Y)=0—±l,

即/•(%)的图象关于直线％=居不对称，所以B错误;

对于C,当xw(.为时，岑)，

因为正弦函数在6,咨)上单调递减,

第5页

故/■(%)在《，咨上单调递减，所以C正确；

OO

对于D,当工£(0,〃)时，2%€(-雪”马，

OOO

由f(%)=0,得2%--=0或2%-,=兀,

解得无=务或%=居，即/'(%)在(。，兀)上有2个零点，所以D正确.

故答案为：ACD.

【分析】根据已知条件结合正弦型函数的最小正周期公式、正弦型函数的图象的对称性、正弦型函数的单调

性、零点存在性定理，从而逐项判断找出正确的选项.

10.已知A,B,C是抛物线W：V=28x上不同的动点，F为抛物线W的焦点，直线1为抛物线W的准线,

AB的中点为P(m,?i),则()

A.当m=9时，|48|的最大值为32

B.当m=8时,|CP|+|G1的最小值为22

C.当几=5时，直线AB的斜率为卷

D.当衣〃而时，点P到直线1的距离的最小值为14

【答案】A,C,D

【解析】【解答】解：对于A,如图:

设直线A8的方程为x=ty+s,

代入y2=28%,可得：y2—28ty—28s=0,

由4=(-28t)2-4x(-28s)>0,可得7t2+5>0,

fy,4-y9=28t

设4(%21)，8(%2，%)，则y,v__28s'

因为AB的中点为P(9,n),所以必+冷=18,

贝帆+於=28(打+x2)=504,

所以CV]+为)2—2丫1，丫2=784/+56s=504,即14d+s=9,则s=9-14t2,

则|4B|=V1+t2•J(y1+,2)2-4力•丫2=V1+t2-V784t2+112s

=y/1+t2-V784t2+112(9-14t2)=47(1+t2)(-49t2+63)=4l-49(t2-^)2+64

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所以，当产=:时，|A8|取最大值为32,故A正确;

对于B,如图，分别过点P,48作准线的垂线PH,441，8当，垂足分别为“，力I，%,

设交抛物线于点C,

因为|CF|=\CH\f所以|CP|+\CF\=\CP\+\CH\f

由图知,当且仅当P,C,H三点共线时,|CP|+|CH|取得最小值为|PH|,

因为/IB的中点为P(8,〃)，

所以PH为梯形的中位线，且％1+外=16,

则d七时|P”|=2(|4AII+\BB1\)=^X1+X2+14)=15,

即|CP|+|CF|的最小值为15,故B错误；

对于C由选项A,得到｛二；々二篇

112

因为九=5,所以y1+、2=28t=10,解得t=/,

所以，直线AB的斜率为詈故C正确；

对于D,由而〃而，可得直线经过点产，

可设直线/1B的方程为％=ty+7,

代入y2=28x,可得：y2-28ty-196=0,

设久修,％),83，%)，则［y：y22=

仿照选项B作图，

则点P到直线1的距离为:

11

|p川=2(IA&I+因为|)=2(勺+上+14)

第7页

=2(丽资+28^+14)=筋［(y：+yz,-2yly2］+7

=春(784尸+392)+7=14/+14,

则当t=0时，点P到直线I的距离的最小值为14,故D正确.

故答案为：ACD.

【分析】设直线48的方程为、=少+$,将直线AB的方程与抛物线方程联立，从而得出韦达定理式，由

巾=9得出14/+$=9,再由弦长公式得出|48|的值，利用二次函数求最值的方法，从而得出|4阴的最大

值，则判断出选项A；利用抛物线的定义转化ICPI+ICFI，利用三点共线时线段和最小原则，从而得到

\CP\+|CF|的最小值为|P"|,再借助于梯形中位线定理得出|CP|+|C/|的最小值,则判断出选项B；由选项

人的结论可得力+丫2=28£=10,从而求出亡的值，进而得出直线48的斜率，则判断出选项C；由而〃而

判断直线4B过焦点，设直线力8的方程为％=ty+7,联立直线方程和抛物线方程得出韦达定理式，再仿照选

项B作图转化得出|PH|=14£2+14,利用二次函数图象求最值的方法，从而得出PH的最值，进而得出当

而〃血时，点P到直线1的距离的最小值，则判断出选项D,从而找出正确的选项.

11.已知函数f(x)=sinx一仇七f'(冥)是其导函数.若存在勺,工2G(0,万)且工1<与，满足/■(%i)=f(冷)，则

()

A.f(Xi)>f(X2)B.xxx2>1c.>1D./(%!)+/(x2)<2

【答案】A,B,D

［解析］【解答】解：因为f(x)=cosx-

数形结合得到在(0,兀)内y=cosx,y=1的大致图象为如图所示：

所以fb)<0(%W(0,兀))，则/Qi)>/。2)，故A正确；

由f(/)=/(%2)>得COSM--=COSX]~,

贝咚jl=COSXi—cosx2=cos(空_矢A)一cos(中+号1)=2s加中s出写1

由题意，则合户€(0,另，

所以合1<2审1S勿中〈不一八

X2X1乙乙

x>0,sinx<x,则算1%2>1，故B正确；

因为/'(与)+/(x2)=sinxA+sinx2-lnxAx2<sinxA+sinx2<2,故D正确；

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因为/(/)八必)V<1，故C错误•

故答案为：ABD.

【分析】先求导函数，再根据函数图象结合函数的单调性，则判断出选项A；根据角之间的关系式和两角和

与差的余弦公式以及角的取值范围，从而化简得出与外>1,则判断出选项B；再利用对数函数的单调性，

则判断出选项D；再结合基本不等式求最值的方法，则判断出选项C,从而找出正确的选项.

三、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)

12.已知数列｛%｝•的前几项和为Sn，且斯+2+%.2%+i=0(neN*).若+dis+a19=12,则

529=•

【答案】116

【解析】【解答】解：•・•Q"2+4-2每+1=05WN)・・,2%+1=On+%+2，J・｛a。为等差数列，+

a19=+。29=2a[5，

,:Q11+。15+。19=12,Q15=4,

:.S29=1掌29x29=29al5=29x4=116.

故答案为：116.

【分析】先利用等差数列的定义和递推公式变形，从而判断出数列｛册｝是等差数列，再利用等差数列的性质

得出等差数列第15项的值，根据等差数列求前n项和公式，从而得出S29的值.

13.某校象棋社团开展竞赛活动，匕赛中双方有一人获胜或者双方和棋则比赛结束.根据以往比赛结果，在一

局比赛中，甲战胜乙的概率是i,两人和棋的概率是i,则乙战胜甲的概率是_________;甲乙两人比赛2

Zo

局，每局胜方记3分，负方记。分，和棋双方各记1分，则甲得分不少于2分的概率是.

【答案】*g

【解析】【解答】由题意，在一局比赛中，甲战胜乙的概率是1,两人和棋的概率是1,

Zo

则乙战胜甲的概率是;

由甲、乙两人比赛2局，每局胜方记3分，负方记。分，和棋双方各记1分，

设中得分不少于2分为事件A,则事件A表示乙胜或中负且中乙和，

可得P(4)=可x可+C：x可x4=5»

所以甲得分不少于2分的概率是p⑷=—p(才)=1一|=卷,

故答案为：/；匕。

【分析】由题意，在一局比赛中，甲战胜乙的概率是1,两人和棋的概率是1,再利用对立事件求概率公

式，得出乙战胜甲的概率，由甲、乙两人比赛2局，每局胜方记3分，负方记0分，和棋双方各记1分，设

第9页

甲得分不少于2分为事件A,则事件彳表示乙胜或甲负且甲乙和，再利用二项分布求概率公式结合对立事

件求概率公式，从而求出甲得分不少于2分的概率。

14.已知正四面体4BCD的棱长为2、泛，动点P满足P/P+PB?=。。2+2。2,用所有这样的点p构成的平面

截正四面体，则所得截面的面积为.

【答案】2

【解析】【解答】解：建系如图：

设四个顶点为(-1,-1,1)<(一1,1,一1"(1,一1,一1),每条棱长均为2近,

设动点P(x,y,z),

则「炉=(x—l)2+(y-l)2+(z—I)2,

PB2=(x+l)2+(y+l)2+(z—I)2,

PC2=(x4-I)2+(y-l)2+(z+l)2,

PD2=(%—l)2+(y+l)2+(z+I)2,

PA2+PB2=2x2+2y2+2z2-4z+6,

PC2+PD2=2x2+2y2+2Z2+4Z+6,

因为+PB?=PC2+PD2,

所以z=0,即所有满足条件的点P构成的平面为z=0平面Joy平面)，

又因为48,。,。为正方体的顶点，且该正方体的中心为原点，

由图形的对称性可得棱AC交于(0,1,0),

棱4。交于(1,0,0),棱8c交于(一1。0),棱8D交于(0,-1,0),

截面四边形的顶点为(0,1,0),(1,0,0),(—1,0,0),(0,-1,0),

在xoy平面上形成一个菱形，其对角线的长度为2,故面积为2.

故答案为：2.

［分析】设四个顶点为4(1,1,1),8(-1,一1,1),一1),D(l,-1,一1),根据PA?+PB2=PC2+PD?得到截

面方程，再结合菱形面积公式得出所得截面的面积.

四、解答题(本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.在△48C中,内角4B,C的对边分别为a,b,c,且满足sim4(si几4-sEC)=siMj+c)-s讥2c.

(1)求&

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(2)若P为边AC上一点(异于端点)，£BPC=2”,求常"的取值范围.

【答案】(1)解：在△48C中，因为力+8+。=4，

22

所以si?M(siziA-sinC)=sinB—sinCf

得到siMA-sinAsinC=sin'B—sin2c,

由正弦定理,可得次一ac=廿一c2,

则次+c2-b2=acx2xi,

由余弦定理，得cos8=>+c2-/二工,

2ac2

因为BE(0,/),

所以B=*

(2)解：在△48C中，

因为48PC=244,

所以乙=则飓=掰，

rGlrGl

由正弦定理，得黑=黑麴=嚓不L舞卷，

\PC\stnZ-PBCstng-Tl)sin(^-A)

则14Pl_、"cos『+sizL4_、"+tam4_28

|PC|^cosA-sinA43-tanA43-tanA"

又因为“BC=?-i4,

所以4E(。5),

则tcm4e(O,V5),

结合函数性质，可得-1+,W(l,+8),

/3-tanA

所以，盟的取值范围为(1,+8).

【解析】【分析】(1)利用正弦定理角化边的方法，再结合余弦定理和三角形中角B的取值范围，从而得出

角B的值.

(2)利用正弦定理和角平分线定理，则将嚼J用三角函数表示，再利用两角和与差的正弦公式利同角三角函

lrGl

数基本关系式，从而得出罂|=-1+黯再利用角A的取值范围和正切型函数求值域的方法，从而得

>J3-tanA

出解的取值范围.

(1)在△A8C中，因为i4+8+C=7T,

所以si??4(si77/1—sinC)=sin2R—9/n2C,

得到si/4-sinAsinC=sinzB-sinzC^

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据正弦定理可得Q2一QC二反一c2,则层2_2l

+cz)=acx2x乙

由余弦定理得cosB=Q2+C2-/=1，

2ac2

因为86(0,兀)，所以8=9

⑵在△4BC中，因为/BPC=2乙4,

所以乙人8。=乙4,则黑=倍"，

lrGlrcl

由正弦定理.得照=弊韶=驾H=噂块，

\PC\stnZ-PBCsin(^—A)sm怎一4)

则|4P|_\"cos4+si7h4_H+£GM_+28

'|PC|^cosA-sinA43-tanA43-tanA

又因为“BC=9-4,所以4c(0,分则皿L4€(0,43),

结合函数性质可得一1+贪源e(1,+oo),故畏[的取值范围为(1,+9).

16.一个不透明的盒子中装有规格完全相同的3个小球，标号分别为L2,3,现采用有放回的方式摸球两次，

每次摸出1个小球，记第一次摸到的小球号码为3第二次摸到的小球号码为7.

(1)记”+/>i•一为事件4求PG4)；

(2)完成两次摸球后，再将与前面3个球规格相同的4号球和5号球放入盒中，并进行第三次摸球，且

将第三次摸到的小球号码记为K号码ijk中出现偶数的个数记为X,求X的分布列及数学期望.

【答案】(1)解：两次摸球，摸出的小球号码ij的所有情况共C[xC[=9种,

其中,满足“i+j>i•/的情形有:

当i=l时，/=1,2,3；

当i=2时，/=1；

当i=3时，/=1,

共5种情况，

则P⑷=|

(2)解：由题意，可得X的可能取值为0,1,2,3,

111

c2c2c312_C；6"+C；C；以_20_

=--=P4

则P(X=0)11145(X*

C3C3C545

111

C^^2

11-

=奈P(x--

P(X=)一C111

33545

所以，X的分布列为:

X0123

第12页

44112

p

1594545

41126

1X-+2X-+3X

则E(X)=Ox2+94--

5455

【解析】【分析】（1）根据已知条件和组合数公式以及古典概率公式，从而得出P（4）的值.

（2）利用已知条件，先确定随机变量X的取值，再结合独立事件乘法求概率公式和组合数公式，从而求出

每个X的值对应的概率，从而可得随机变量X的分布列，进而得出随机变量X的数学期望.

（1）两次摸球，摸出的小球号码ij的所有情况共煜xC』=9种，

其中，满足•尸的情形有：

i=10\,\-1,2,3；i=2时，j=1：1=3时，/=1；共5种情况，

5

故

、.

1=-

p(「9

（2）X的可能取值为0,1,2,3,

111

cc6122O4

223U

---=P--=-

则P(X=0)C1C1C145C1C1459

33535

c；c；c；+c；cM+c；c"；_11PCY_3)_」C；8_2

P(X=2)==，P(X-3)-,*「5,

C七W45

故X的分布列为:

X0123

4112

P

154545

故E(X)=0xA+lxg+2x芸+3x1=意

17.已知圆Q:%2+y2=i,。为坐标原点，过Ci上任意一点P（%c，%）。0工0）作圆的切线，•

⑴若］与椭圆J：A¥=1相交于两点，证明：

（2）若［与椭圆。2：4+4=1相交于48两点，恒有。A_LOB,判断。2是否过定点？请说明理由.

【答案】（1）证明：因为圆的:d+产=1在点Pa。，y0）的切线i的方程为殉工+为，=1,

又因为邸+羽=1，圆心直线的距离谚［y2=1，

所以勺工+兀丫=1为切线方程：

与椭圆。2：%2+3y2=4联立，

消去y可得(3襦+%)%2-6x0x+3-4%=0,

设力（％1，y）8（/2，区），

第13页

由韦达定理可知：X1+x2=

1一和勺1一%0%2_1-（勺+%2）殉+%/2蛤

所以为为=

y。沏yl

又因为

6四+3就-4%就—%（1-4篇）

1-3+=1-

x2）x0+xtx2xi

3胞+%3欧+光3%o+光

1-4部

所以yp2=

3哈+%

3-441—4痣=4一4阂+必）

所以x/2+yp2==0,

3福+%3超+园3留+%

所以。从1OB.

22

（2）解:设椭圆0点+方=1，

因为过点P的圆的切线方程为4x+yoy=I,

d2X2+a2y2=a2b2

联立

1,

xox+yoy=

22

得z222\222

nby+X)Xbyo

k007o

4B

2a2%o

与+不一次舄+产羽

则

Q2-Q2b2y3

"2"

.修a2x2+b2y2

所以羽，1丫2=（1一%0%1）（1-％0%2）=1-XQ（X1+%2）+\%1%2,

由。力1OB,

得羽（的%2+为力）=°•即%+1-XO（X1+%2）+XoXi%2=0,

又因为就+羽=1，

所以％击2一%0（工1+=2）+1=0，

所以a：a2b2羽—2a2解十］=°,

b2yl+a2xlb2yl+a2xl

第14页

(a2+b2-a2b2\yi

化简可得J------匕2=o,

b2y1+a?x1

所以(Q2+b2—Q2b2)%=o,

又因为上式对任意的y0€卜1,1］均成立，

所以小+居一o2b2=0,

贝嘘+j=l,

22/

所以，椭圆七春+方=1必过定点（1,1）,（1»-1),(-1，1)，(—1，-1)，

【解析】【分析】（1）由圆的切线方程求解方法，从而得出圆g:/+y2=i在点P。。，%）的切线1的方程,

再将切线方程与椭圆方程联立，则结合书达定理得出工62+丫1力=°，再利用两向量垂直数量积为0的等价

关系和数量积的坐标表示，从而证出。41。8

（2）联立切线方程和椭圆方程，再结合韦达定理和修＞2+无力二°，从而化简得到（次+川一。2b2）羽=0,

进而得到Q2+b2-Q2b2=0,则专+j=l,从而判断出椭圆C2必过定点（1，1），（1，T），（-1，1），

-1,-1).

（1）圆g：%2+y2=i在点pa。，％）的切线I的方程为劭%+兀、=1,

因为：郎+*=1,圆心直线的距离舄3=1,即/x+y°y=i为切线方程;

与心:好+3y2=4联立消去y可得（3就+%—与0%+3—4羽=0,

6%

设4（卬yj,F（X＞力）由韦达定理可知:%1+%2=

23篇+%'•GM=

所以yy.=1一勺4,1一统2=1-（勺+%2）%0+勺％21,

12y。y。用

364年苏二%（一4啕

而1-(%1+X)X+XXXQ=1-

2OT23福+%—3福+%，

所以32=白趣，所以衿+2=蒲林+蒲费=一察第）=。

所以。41OBx

（2）设椭圆C2：刍+3=1,又过点P的圆Ci的切线方程为孙工+中央=1.联立

ab

b+vV-A，得+Q2就）%2—2。2刈％+。2_。2肥羽=0,设4a「yj,8（0，丫2）则

xox十y（）y-L-

L,r-2a2勺

|a2x1+byl

Ia2—a2b2y?

打必二二2N；

IQ2%W+匕y2

第15页

所以九为、2=（1-％0%1）（1-工0%2）=1-XO（%1+X2）+X^XtX2.

由。4JL08,得%（%1%2+丫1丫2）=0.即+1_%0（M+%2）+x0xlx2=°，又郎+羽=1.所以％1%2一

X0（^l一工2）+1=0.

a2—a2b2yg2a2%g+1=。.化简可得俨"一")久0,所以3+启-。2户)犬=0

所以22

by1+axl7%+Q2监

又上式对任意的九十1,1］均成立.故次+庐—Q2b2=0,即也+/=1.所以椭圆苴=1必过定点

(1,1),(1,-1),(-1,1),(-1,-1).

18.已知函数/(%)=(%—2)—一］—a%?+2ax.

(1)当Q=e时，求/(x)的单调性；

(2)若函数f(x)在％=1处取得极小值，求实数Q的取值范围.

2

【答案】⑴解:当Q=e时，/(%)=(x-2)e，T—ex+2ex,

则/(%)=(x—l)e，T—2e(x-1)=(x—l)(ex-1—2e),

令人功=0，解得x=1或x=2+En2,

令八幻V0，解得1V%V2+ln2,

所以f(x)在(1,2+仇2)上单调递减；

令/(x)>0，解得％<1或x>2+ln2,

则/(%)在(一8,1),(2+m2,+8)上单调递增,

综上所述，函数/1(%)在(一8,1),(2+伉2,+8)上单调递增，

在(1,2+仇2)上单调递减.

(2)解：由/(%)=(%—2)ex~1—ax2+2ax>

求导得/(%)=(%-l)e'T-2a(x-l)=(x-l)(e"i-2a).

①当a<0时，ex~x-2a>0恒成立，

令/'(幻<0,解得％VI，即fW在〔一8,1)上单调递减；

令fa)>o，解得％>1,即/(%)在a,+8)上单调递增，

故a40时，函数/(%)在x=1处取得极小值，符合题意；

第16页

②当0<QV之时，

令f'(x)=O，解得勺=1,%2=1+/n(2a),且不>外，

当1+m(2a)<x<1时，/(x)<0-

则函数/(x)在(1+"(2Q),1)上单调递减；

当时，/(x)>0>则函数“X)在(L+8)上单调递增，

所以函数/'(X)在欠=1处取得极小值，符合题意；

③当a=：时，令/4)=0，解得/=》2=1，

此时外,)>0恒成立且/a)不恒为0,则/'(》)单调递增，

故函数/■(%)无极值，不符合题意；

④当a>2时，令/■4)=0，解得力=1，%2=1+/(2a),且与<x2

当％VI时，/(%)>0»则函数fG)在(一8,1)上单调递增；

当1<x<1+仇(2a)时，/(x)<0-

则函数f(x)在(1,1+/n(2a))上单调递减，

所以函数/(x)在x=1处取得极大值，不符合题意，

综上所述，实数Q的取值范围是

【解析】【分析】(1)当Q=e时，对函数求导后分解因式，再根据导数的正负判断原函数的单调性.

⑵对函数求导后，对0VQV)，Q=［。二的情况进行讨论，再利用导数判断函数的单调性，从

而得出函数f(k)在％=1处的极小值，进而得出实数a的取值范围.

(1)当Q=e时，/(x)=(%-2)ex-1-ex2+2ex,

则/(%)=(x—l)e*T—2e(x-1)=(x-l)(ex-1—2e)»

令r'(x)=o，解得％=1或%=2+ln2.

令fa〕V0,解得1VX<2+加2,所以/(%)在(1,2+仇2)上单调递减；

令/⑴>0»解得x<1或%>2+m2,即/(%)在(-8,1),(2+历2,+8)上单调递增.

综上,函数/'(X)在(一8,1),(2+仇2,+8)上单调递增，在(1,2+仇2)上单调递减.

(2)由/(%)=(%—2')ex~1-ax2+2ax求导得/'(%)=(x—l)ex-1—2a(x—1)=(%—l)(ex-1—2a),

①当aW0时，e》T-2a>。恒成立，

令/(x)<0，解得xvl,即/(x)在［一8,1)上单调递减；

令/a)>o,解得%>i,即/(外在a,+8)上单调递增，

故。时，函数7'(>)在丫=1处取得极小值，符合题意：

1

②当0VQV/时，令/'(%)=0，解得勺=1,x2=+Zn(2a),且小>%2，

第17页

当1+m(2Q)<X<1时，/(x)<0.函数f(x)在(1+仇(2a),1)上单调递减；

当为>1时，/(x)>0，函数f(x-)在(1,十8)上单调递增，

所以函数/(x)在％=1处取得极小值，符合题意.

(3)当a=义时，令f'(x)=0，解得力=%2=1，此时/(x)N0恒成立且/'(%)不恒为0，

乙

八幻单调递增，故函数/(%)无极值，不符合题意.

④当时，令f'(x)=0，解得=L%2=1+Zn(2a),且％1<必，

当x<l时，f'M>0,函数f(幻在［一8,1)上单调递增；

当1VxV1+m(2a)时，/(x)<0-函数f(x)在(L1+仇(2a))上单调递减，

所以函数/"(%)在％=1处取得极大值，不符合题意.

综上，实数Q的取值范围是

19.已知四面体48CD.

(1)若该四面体为正四面体，球。与其四个面都相切，证明：该四面体与球。的体积之比等于它们的表面

积之比；

(2)设点G是满足港+而+前+诟=。，过点G的平面。分别与直线48,AC,4。交于点P,Q,R,且

而=入超而=痴乙而=%而,证明:/

(3)若空间内一点”满足。7谓+匕而+c配+d丽=6(a,b,c,d均为实数，且全不为0),证明：

^H-BCD'^H-ACD'^H-ABD'YH-ABC=1讣闻：Id：|d|.

【答案】(1)证明：设正四面体ABC。的棱长为a,其内切球的半径为厂,

如图：过4作AFJ_底面BCD,则F为△BCD的中心,

连接09并延长交8。于",

2

所以4尸=，4。2一。尸2=Jq2_(孚)=孚,

故正四面体的体积为：

、任a72.

=gs〉8C。X4F=-X空02x—=12af

第18页

又因为匕=3,4心S.B8=4X偿•「SABCD），则r=普，

所以，内切球的体积为g=攀=萼乂（闻'=叁域，

，33\12/216

*鸣=竽，

V

2VOTTCl-3〃

-21^-

设正四面体以及球的表面积分别为Si,S2,

S1_4x*a2_总a，_6/3

则S2=篇厂=可制）2=*，

所以丹=4

（2）证明：由■+旗+沅+而=6,

可得+(AB-AG)+(AC-AG)■}■(AD-AG)=0,

解得冠=^(AB+AC+AD),

因为G,P,Q,R四点共面，

所以4d=xAP+yAQ+zAR,(%+y+z=1),

乂因为Q=/li而，而=%而，而=凡而，

所以而=x^AB+yA24C+z为葡，

则；Ui=yA2=z%=/，结合％+y+z=1,

所以6+卷+卷=1，

则十+}+2=4.

A1A2A3

(3)证明：先证明Q+b+c+d工0,

假设Q+b+c+d=0,则Q=_(b+c+d),

代入丽5+bHB+cHC+