福建省莆田市某中学2025-2026学年高三年级上册第二次月考数学试题（含答案）

福建省莆田市第十五中学2025-2026学年高三上学期二次月考

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1,若集合"二卜，9,/},B={9,3”},则满足的实数。的个数为（）

A1B.2C.3D.4

2.设〃，b,CGR,且〃>〃，贝lj()

A.B-rlC.a2>b2D.o'>b，

3.已知xwR,则“上一1|<2”是“（x+l）（x_5）40”的（)

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

(14-x2)sinr

4.函数/(%)=的部分图象大致是()

l-x2

的最小值为()

A.4B.3C.2D.1

6.己知a=log。/,b=0.3°2,c=111兀，则（)

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a

7.已知函数=若不等式/（2-〃2）+/（病一2）《0,则机的取值范围是（）

A.(-co,0]B.[0,+co)C-[0/]D.[1,+OO)

8.已知函数/.(x)=xanx—ax)有两个极值点，则实数石的取值范围是()

A.(-co,o)B.(0,1)C.(0,1)D.(0,+8)

2

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列结论正确的是()

A.-三4兀是第二象限角

B.若a锐角，则2a为钝角

C.若tana=2,则疝"""0=3

sina-cosa

D.若圆心角为g的扇形的弧长为兀，则该扇形的面积为3兀

O

10.已知定义在R上的偶函数"")和奇函数g(x)满足〃2+x)+g(r)=l,则()

A.“X)的图象关于点(2,2)对称B./(E)是以8为周期的周期函数

2024

C.g(x+8)=g(x)D.£/(必一2)=2025

k=\

11已知函数f(x)=4/-3x+a,则()

A./(%)有两个极值点

B./(力的对称中心为(0M)

C.过点作曲线广/㈤的切线有三条

D.若函数的一个零点在(-11)之间，则它所有零点都在(-覃)之间

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知点P(cos与,1)是角。的终边上一点，则cosa=.

13.己知实数，〃，〃满足2"'=5"=10，则,十，的值为.

mn

14.已知函数=f+取+4,且关于“的不等式/&)<0的解集为当「£(0,1)时,

/(%)-乙>0恒成立，则实数k的取值范围是.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(6+7=13分)已知函数/(x)=log2(£-aY+l).

(1)当a=l时,求〃力的最小值；

(2)若“X)在[2,笆)上单调递增，求。的取值范围.

16.(7+8=15)记△45。的内角4,B,C的对边分别为mb,c，且j3asinC=c(l+cosJ).

⑴求/；

(2)若。=2,4ABe的周长为6,求△/BC的面积.

17.(7+8=15分)如图，在直三棱柱A8C-A4G中，AB_LAC,AB=AC=AA].

⑵求直线A力与AC,所成角的余弦值.

18.(7+10=17)已知函数/(x)=(x-l)2e-or,且曲线y=〃力在点(0J(x))处的切线方程

为y=-2x+〃.

(1)求实数。，〃的值；

(2)证明：函数/(外有两个零点.

19.(8+9=17)19.设函数〃[=k+2x—Mx+l)ln(x+l).

⑴当“NO时,/(力之。恒成立，求k的最大值;

⑵设数列hn｝的通项4=1-g+g+…+(-1)"3(〃€N*),证明：出时1>1112+3^.

参考答案

题号12345678910

答案BDAADACBACDBC

题号11

答案AB

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.若集合A={1,9,〃2},3={9,3力，则满足4r|5-

3的实数。的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】利用408=8,如BQA,求出。的值，根据集合元素的互异性舍去不合题意的值，可得答案.

【详解】因为4口8=8,所以BqA,

即3。=1或者3a=a2，解之可得。=；或。=0或。=3,

当〃=g时，A8={9』}符合题意：

当。=0时,A={1,9,0},8={9,0}符合题意;

当〃=3时，A={1,9,9）,8={9,9}根据集合元素互异性可判断不成立。

所以实数。的个数为2个.

故选：B

2.设〃，b,cwR,且。，则（）

A.ac>beB.—<—C.a2>b1D./>

ab

【答案】D

【解析】

【详解】当c=O时，选项力错误；

当。=1/=-2时，选项4错误；

当。=2,〃=-2时，选项C错误:

•・•函数)，=/在R上单调递增，

,当时,尸口

本题选择。选项.

点睛：判断不等式是否成立，主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对手有一定条件限制

的选择题，用特殊值验证的方法更简便.

3.已知xwR,则“卜一1|<2”是“(x+l)(x-5)W0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】解不等式，根据集合间的包含关系可得.

【详解】解不等式,一1|<2得，记A=*l—lvxv3}：

解不等式(X+1)(X-5)40得，-l<x<5,iBB={x|-l<x<5}.

因为所以“卜-1|<2”是“(x+l)(x-5)M0”的充分不必要条件.

故选：A

4.函数二日子詈的部分图象大致是()

A.a八*「殳

一ix

【答案】A

【解析】

【分析】由/(力二，可得〃T)=-/(x)，函数〃力为奇函数，排除B、D项，再由八2)<。

排除C项，即可得到答案.

【详解】由函数/（x）=G+♦）：n'定义域为（―8,一］）。（_11）=（］,+8）,

I-X

[14-(-x)2]sin(-x)(1+x2)sim-_z、

有.f（T）=FL”⑺,

l-(-x)2

所以函数/（x）为奇函数，其图象关于原点对称，可排除B、D项;

又由〃2户隼詈:一臂可排除c项,

所以函数/（力的图象为选项A.

故选：A.

5.若14。43,则，+7匚的最小值为（）

a4一。

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【解析】

【分析】利用“乘1法”即得.

【详解】因为所以4-〃>0,

当且仅当j=二时，即。=2时取等号,

a4-«

所以』+一一的最小值为1.

a4-«

故选：D.

6.已知a=log().23，b=03°2>c=\mt,则()

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a

【答案】A

【解析】

【分析】根据指数函数与对数函数的图像与性质，借助中间值法即可比较大小.

【详解】由对数函数的图像与性质可得

a=log023<log02l=0,

力=0.3°2£(()/)，

c=ln7i>lne=l»

所以a<bvc,

故选：A.

7.已知函数f(x)=l若不等式/(2—〃?)+/"-2)WO,则机的取值范围是()

A.(-00,0]B.[0,+CO)C.[0,1]D,[1,4-GO)

【答案】C

【解析】

2

【分析】分析/(A)=1--^―的奇偶性与单调性,再求解不等式即可.

e+1

【详解】/(幻=1-/=故〃r)==4=E=-/(x).故/(另为奇函数.

建"+1e'x+1。+11+eix

又函数)，=*+[为增函数故为2减函数故〃用=]_=^为2增函数

故/(2一⑼+f[nr-2)<0^/(2-w)<-7[nr-2)=/(2-//r)

即2-"7«2-m2=>〃?("7-1)40,解得ow〃7«l

故选：C

8.已知函数F(x)=x(lnx-ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是()

A.(—8,())B(0.3C.(0,1)D.(0,+8)

2

【答案】B

【解析】

【详解】函数f(x)=x(Inx-ax),则F(x)=lnx-ax+x(--a)=lnx-2ax+l,

x

令F(x)=lnx-2ax+l=0得lnx=2ax-1,

函数f(x)=x(Inx-ax)有两个极值点，等价于f(x)=lnx-2ax+l有两个变号零点，

等价于函数y=lnx与y=2ax-1的图象有两个交点，

在同一个坐标系中作出它们的图象(如图)

当a=^时，直线y=2ax-1与y=lnx的图象相切，

由图可知，当OVa<g时，y=lnx与y=2ax-1的图象有两个交点.

则实数a的取值范围是(0,弓).

9.下列结论正确的是()

4兀

A.一7是第二象限角

B.若a为锐角，则2。为钝角

八--riSina+cosa_

C.若tana=2,则------------=3

sin。-cosa

D.若圆心角为:的扇形的弧长为兀，则该扇形的面积为3兀

6

【答案】ACD

【解析】

【分析】直接利用象限角的定义，三角函数关系式，扇形面积公式的应用判断A、8、C、。的结论.

【详解】解：对于A：因为-¥=-24+=所以一岁与乡的终边相同，而军为第二象限角，所以

33333

—丁为第二象限角，故A正确；

3

对干3：若a为锐角，则2a为锐角、直角或钝角，故8错误；

g工厂必.ChhiSina+cosatana+1助厂p班

对于C：若tana=2,则----------=--------=3,故C正确；

sina-cosatana-1

对于。：若圆心角为gft勺扇形的弧长为笈，利用/=解得R=6,

6

故该扇形的面积为S=T•4・6=3〃，故。正确.

故选：ACD.

10.已知定义在R上的偶函数〃力和奇函数g(x)满足f(2+x)+g(-x)=l,则()

A.的图象关于点(2,2)对称B.是以8为周期的周期函数

2024

c.g(x+8)=g(x)D.£/(软-2)=2025

【答案】BC

【解析】

【分析】根据函数奇偶性以及表达式〃2+x)+g(—x)=l,可得/(2+x)+/(2—x)=2,则图

象关于点(2,1)对称，故A错误；化简f(2+x)+f(2r)=2可得〃8+/)=〃力,故B正确;又

2024

鼠”=/(2+犬)-1,可得g(8+x)=g(x),故C正确；利用赋值法可求得£/(4k-2)=2024,故D

*=|

错误.

【详解】对于A,由题意f(r)=〃x),g(r)=-g(x)，且g(0)=0,

又f(2+x)+g(-x)=l,gp/(2+x)-^(x)=l(i),

用r替换/(2+力+4—)=1中的“，得“2-%)+g(%)=l②,

由①+②得/(2+X)+/(2—X)=2,所以/(x)的图象关于点(2,1)对称，故A错误；

对于B,由/(2+力+/(2-x)=2,可得/(4+x)+/(-x)=2,即

〃4+力=2-/(_)=2-""，

所以/(8+x)=2-/(4+x)=2-[2-"x)]=/(x),

所以/(x)是以8为周期的周期函数，故B正确；

对干C,由①可得g(x)=/(2+x)—l,则g(x+8)=/(2+x+8)-l=/(2+x)—l=g(xj,

所以g(x+8)=g(x),故C正确;

对于D,因为f(4+x)+f(r)=2,7")为偶函数，所以/(4+力+/(力=2,

令上=2,则有/(6)+f(2)=2,

令工=10,则有/(14)+〃10)=2,

令工=18,则有〃22)+〃18)=2,

9

令工=8090，则有f(8094)+/(8090)=2,

2024

所以Z/(4Z—2)=/(2)+/(6)+/(10)+/(14)+/(I8)+"22)+・・T/(8090)+〃8094)

«=I

=2J+2+2_+・一+2/=2x1012=2024

1012t

故选：BC.

11已知函数〃%）=4丁一31+〃，则（）

A./（力有两个极值点

B.的对称中心为（0,。）

C.过点（1,〃-3）作曲线y=/（力的切线有三条

D.若函数的一个零点在（-1,1）之间，则它所有零点都在（-1/）之间

【答案】AB

【解析】

【分析】求得r（x）=12/-3,利用导数求得函数/（x）的单词区间，结合极值点的概念，可得判定A正

确：根据），=4d—3］为奇函数，结合函数的图象变换，可得判定B正确；作出/（x）的大致图象，结合函

数的性质，可判定C错误；根据函数/（x）的单调性，结合图彖，列出不等式组，即可求解.

【详解】对于A中，由函数/（力=4/一3工+。，可得/'（力二12/-3,令/'（x）=0,可得x二士;，

当二＜—g时，/（犬）＞04（力单调递增；

当—时，r（工）＜oj（x）单调递减；

当时，/（X）＞OJ（X）单调递增，

所以/（无）在工=-：处取极大值，在戈=；处取极小值，所以A正确；

对于B中，因为函数y=4V-3大为奇函数，关于（0,0）对称，

所以函数/（“关于（0,。）中心对称，所以B正确：

对于C中，作出/（工）的大致图象，如图所示，

当工＜0时，“X）为上凸函数，/（另在拐点（（）,〃）处的切线为y=-31+。，

它与x=1恰交干尸

当》）0时，/（X）为上凹函数，=々-1,P（1,々一3）,

Iz，

过P只能作了（%）的两条切线412,所以C错误;

对于D中，由A知函数“X）在18,一g（1A

-,+a）上单调递增;上单调递减;

（2）

要使“X）有零点，则只需；，解得—1W4W1,

f-J=«-l<0

当。=1时，“X）大致图象如下

可得/（X）有一个零点口）之间，但另一零点T任（一1,1）,所以D错误

12.已知点P（cos3~,l）是角。的终边上一点，则cosa=

【答案】-正

5

【解析】

【分析】先求出cos?的值，再根据三角函数的定义计算即得.

G1

【详解】点尸（cos^J）即2（一耳,1）,

1

2_^5

依题意,

5.

故答案为:-好.

5

13.已知实数加，〃满足2"'=5"=10，则,+'的值为

mn

【答案】1

【解析】

【分析】通过指对互化，结合对数换底公式完成计算.

【详解】因为2"'=5"=10,所以加=log210,〃=log510,

所以'+'=1/+丁、=馆2+馆5=馆10=1,

mnlog210log51（）

故答案为：1.

14.已知函数/（x）=Y+法+4,且关于x的不等式/（x）v0的解集为（LM.当xe（（M）时,

/（工）一辰>0恒成立，则实数A的取值范围是.

【答案】（一8,0]

【蟀析】

【分析】首先根据韦达定理求〃，再根据根据参变分离，转化为最值问题，求实数k的取值范围.

【详解】由题意可知，/+法+4<0的解集为（1,4）,

则方程/+/江+4=0根为1和4,所以1+4=-力，即〃=一5,

即〃x)=V-5X+4,

4

所以f(x)-米＞0。攵＜/+——5,X£(O,1)恒成立,

X

A4A

即----5,XE(0,1),

\Jmin

44

当上£(0,1)时，y=xH----5单调递减，x+—5＞0,

XX

所以左40.

故答案为：(一8,0］

四、解答题

15.(6+7=13)己知函数-以+1).

(1)当〃=1时，求/("的最小值：

(2)若/(可在［2,+8)上单调递增，求。的取值范围.

3

【答案】(1)log-

2-4

(5、

(2)-8,一

I2)

【解析】

【分析1(1)当〃=1时，分析函数/(x)的单调性，可求得函数/(x)的最小值；

(2)利用复合函数的单调性可知，内层函数〃=/—必+i在R,+8)上为增函数，且〃口面>。，可得出

关于实数。的不等式组，由此可解得实数。的取值范围；

【小问1详解】

-1-

当〃=1时，/(x)=log2(A-x+=log2x——+—,

对任意的xwR,［x-^\+3>0恒成立，此时，函数/(x)的定义域为R,

(n(\\

因为内层函数〃一x+i的减区间为一a,增区间为q,+8,

外层函数丁二10g2〃为增函数，

由复合函数的单调性可知，函数f(x)的减区间为增区间为

故/(八口=吗)=嗝.

【小问2详解】

令一以+1，因为外层函数>=log2〃在定义域上为增函数，且函数/(X)在［2,+8)上单调递增，

则内层函数〃=V-at+1在［2,+8)上为增函数，且winin>0,

-<25

即2,解得a<一.

14-2。+1>()乙

因此，实数4的取值范围是卜町|).

16.(7+8=15)记△/国:的内角力，B,C的对边分别为a,b,c,且右於山。=“1+co》).

(1)；

(2)若4=2,^ABC的周长为6,求△//(7的面积.

【答案】(1)A=-;

3

⑵S,、ABC3

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理将边亿为角，再结合三角函数的性质求解用A；

(2)先根据周长求出b+c的值，再利用余弦定理求出be的值，最后根据三角形面积公式求解..

【小问1详解】

解：利用正弦定理化简己知条件

已知VSasinC=c(l+cosA),

由正弦定理得V5sinAsinC=sinC(l4-cosA).

又Ce(0,兀)»sinC^O,得V5siiiA—cosA=1,

由辅助角公式，即sin(A-V)=^・

因为A£(0,n),可得A—Z=S

66

解得A=Z;

3

【小问2详解】

解：由(1)得A=2・

3

由a=2,△ABC的周长为6,得b+c=4.

由cosA=­J

2bC2'

所以b?+c2-4=be即(b+c)2-4=3be,

故bc=4,

所以SAARC=gbcsinA=1x4Xy=V3.

17.(7+8=15分)如图，在直三棱柱ABC—A耳G中，AB1AC,AB=AC=AAl.

⑴求证：AC_L平面ABC”

⑵求直线与AC｝所成角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）y.

【解析】

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明4C'_LA4,4C'_LAG，再根据线面垂直判定定理证明线

面垂直即可；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解.

【详解】（1）由题意以A为坐标原点，分别以人优人C.AA所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所

示，设人8=1,则43=AC=AA=1,

则A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),C,(0.1,1),A(0,0,1),

所以京=(0,1,7),丽=(1,0,0),离=(0,1,1),

所以率1•而=0,而•莺=1-1=0,

所以m_LA反即ACJ_48，AC_LAC，

又因为ABcAC1=4,ABu平面ABC［，AC】u平面ABC1,

所以AC_L平面A8G.

(2)由⑴知，48=(1,0,-1),A^*=(0,1,1),所以|4*|=0，|属卜四，A从崎=T

记直线A4与AG所成角为。，则

1

cos9=^os(A反AG)卜

胭国■2，

故直线4B与AG所成角的余弦值为；.

18.(7+10=17)已知函数/。)=&-1)2廿一以，且曲线y=/(x)在点(0,/a))处的切线方程为

y=-2x+b.

(1)求实数。，〃的值；

(2)证明：函数/(此有两个零点.

【答案】(1)。=1

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据导数的几何意义计算即可求解；

(2)利用转化的思想将原问题转化为函数g(x)=(x-1尸-二■有两个零点，利用导数研究函数g(x)的单

e

调性，结合零点的存在性定理即可证明.

【小问1详解】

由题意可得/'(幻=(V-l)e'，由切线方程可知其斜率为-2,

「/((0。)==-2/则a=1

所以《

b=l；

【小问2详解】

由/(X)=0可得(工一1)2廿一%=0,所以(工-1)2-±二().

e

函数/(x)有两个零点即函数g(x)=1产-三有两个零点.

e

g'(x)=(x-l)2+2)，

当r<l时,g'(x)<0,g(x)单调递减：当丫>1时.短*)>(),g(x)单调递增.

又以0)=1>0,^(1)=-1<0,t?(2)=l-4>0,

ee

所以g(O)g⑴<0,g⑴g⑵<0.

由零点存在定理可得也e(0,1)使得g(%)=0,叫c(1,2)使得g(z)=0,

所以函数/*)有两个零点.

19.(8+9=17)19.设函数/(x)=W+