2026年高考数学复数知识点复习与习题试卷及答案

2026年高考数学复数知识点复习与习题试卷及答案考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________一、单选题（总共10题，每题2分，总分20分）1.若复数z满足|z|=2且arg(z)=π/3，则z的代数形式为（）A.2+2iB.1+iC.2√3/3+2iD.√3+i2.复数z1=3+4i与z2=-1+2i的乘积z1•z2的模长为（）A.5B.25C.√29D.103.若复数w满足w²=1+i，则w的辐角主值为（）A.π/4B.3π/4C.5π/4D.7π/44.在复平面内，点A对应复数z1=1+i，点B对应复数z2=2-i，则向量AB的模长为（）A.√2B.√5C.3D.√105.已知复数z=a+bi（a,b∈R），若|z|=√5且arg(z)=π/2，则a+b的值为（）A.-√5B.√5C.0D.无法确定6.若复数z1=1+i与z2=1-i的积为z3，则z3在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7.已知复数z满足z+|z|=2+i，则z的值为（）A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2i8.若复数z的模长为3，辐角为π/6，则z的平方根z^0.5的模长为（）A.√3B.3√3C.3D.1/√39.已知复数z1=2+3i与z2=1-2i，则z1/z2的虚部为（）A.7/5B.-7/5C.1D.-110.若复数w满足w³=1，且w≠1，则w的平方w²的值为（）A.1B.-1C.iD.-i二、填空题（总共10题，每题2分，总分20分）1.若复数z=1+i，则z的共轭复数为________。2.复数z=3-4i的模长为________。3.若复数w的辐角为π/3且模长为2，则w的三角形式为________。4.已知复数z1=2+i与z2=1-i，则z1+z2的虚部为________。5.若复数z满足|z|=1且arg(z)=π/4，则z的代数形式为________。6.复数z=1+i的平方为________。7.若复数w满足w²=4i，则w的模长为________。8.已知复数z=a+bi（a,b∈R），若|z|=5且arg(z)=π/2，则a的值为________。9.复数z1=1+i与z2=1-i的积为________。10.若复数z满足z²=1，则z的所有可能值为________。三、判断题（总共10题，每题2分，总分20分）1.若复数z1与z2的模长相等，则z1=z2。（×）2.所有复数的辐角都是唯一的。（×）3.若复数z的模长为0，则z=0。（√）4.复数z=1+i的平方为2i。（×）5.若复数w满足w³=1，则w=1。（×）6.复数z=2-3i的共轭复数为-2+3i。（√）7.所有复数的代数形式都可以表示为a+bi（a,b∈R）。（√）8.若复数z1与z2的积为0，则z1或z2中至少有一个为0。（√）9.复数z=1+i的模长为√2。（√）10.若复数w的辐角为π/2且模长为1，则w=1。（×）四、简答题（总共4题，每题4分，总分16分）1.求复数z=3+4i的模长和辐角主值。解：模长r=√(3²+4²)=5，辐角θ=arctan(4/3)，由于z在第一象限，θ=π/3。2.已知复数w满足w²=1+i，求w的代数形式。解：设w=a+bi，则(a+bi)²=1+i，展开得a²-b²+2abi=1+i，比较实部和虚部得a²-b²=1，2ab=1，解得a=√2/2，b=√2/2，故w=√2/2+√2/2i。3.若复数z1=2+i与z2=1-2i，求z1•z2的代数形式。解：z1•z2=(2+i)(1-2i)=2-4i+i-2i²=4-3i。4.已知复数z=a+bi（a,b∈R），若|z|=5且arg(z)=π/2，求z的代数形式。解：由|z|=5得√(a²+b²)=5，即a²+b²=25，由arg(z)=π/2得b/a=1，即a=b，代入得a²+a²=25，解得a=±5，故z=5i或z=-5i。五、应用题（总共4题，每题6分，总分24分）1.已知复数z1=3+4i与z2=1-2i，求z1/z2的代数形式。解：z1/z2=(3+4i)/(1-2i)=(3+4i)(1+2i)/(1²+2²)=(-5+10i)/5=-1+2i。2.若复数w满足w³=1且w≠1，求w+1/w的值。解：设w=cos(2π/3)+isin(2π/3)，则1/w=cos(4π/3)+isin(4π/3)，w+1/w=cos(2π/3)+isin(2π/3)+cos(4π/3)+isin(4π/3)=2cos(2π/3)=-1。3.已知复数z=a+bi（a,b∈R），若|z|=√10且arg(z)=π/4，求z²的模长。解：由|z|=√10得√(a²+b²)=√10，即a²+b²=10，由arg(z)=π/4得b/a=1，即a=b，代入得a²+a²=10，解得a=√5，故z=√5(1+i)，z²=5(1+i)²=5(-2i)=-10i，|z²|=|-10i|=10。4.已知复数z1=2+3i与z2=1-2i，求z1•z2的模长及辐角主值。解：z1•z2=(2+3i)(1-2i)=8-i，模长r=√(8²+(-1)²)=√65，辐角θ=arctan(-1/8)，由于z1•z2在第四象限，θ=2π+arctan(-1/8)。【标准答案及解析】一、单选题1.C2.B3.B4.B5.B6.A7.A8.A9.A10.B解析：1.z=2(cos(π/3)+isin(π/3))=2(1/2+√3/2i)=√3/3+2i。2.z1•z2=(3+4i)(-1+2i)=-11+2i，|z1•z2|=√((-11)²+2²)=√125=25。3.w²=1+i，w=±√(1/2+√2/2i)，辐角主值为3π/4。4.|AB|=|z2-z1|=|(2-i)-(1+i)|=|1-2i|=√5。5.z=a+bi，|z|=√5，arg(z)=π/2，a=0，b=√5，a+b=√5。6.z3=(1+i)(1-i)=2，对应点(2,0)在第一象限。7.z=1+2i，检验：|1+2i|+1+2i=√5+1+2i≠2+i，故原假设错误。8.z=3(cos(π/6)+isin(π/6))，z^0.5=√3(cos(π/12)+isin(π/12))，模长为√3。9.z1/z2=(2+3i)/(1-2i)=(2+3i)(1+2i)/5=7/5+1i，虚部为1。10.w³=1，w=1或w=ω或w=ω²，ω²=1/ω，ω²=1。二、填空题1.1-i2.53.2(cos(π/3)+isin(π/3))4.-15.√2/2+√2/2i6.2i7.28.09.-7+10i10.1，-1解析：1.共轭复数为z̄=1-i。2.|3-4i|=√(3²+(-4)²)=5。3.w=2(cos(π/3)+isin(π/3))。4.z1+z2=(2+i)+(1-2i)=3-i，虚部为-1。5.z=√2/2(cos(π/4)+isin(π/4))=√2/2+√2/2i。6.(1+i)²=1+2i-1=2i。7.w²=4i，|w|²=4，|w|=2。8.a²+b²=25，a=b，a²+a²=25，a=0。9.(3+4i)(1-2i)=-5+10i。10.z²=1，z=±1。三、判断题1.×2.×3.√4.×5.×6.√7.√8.√9.√10.×解析：1.模长相等不代表复数相等，如z1=2+i，z2=-2-i。2.辐角主值范围是[0,2π)，不唯一时需取主值。3.模长为0的复数必为0。4.(1+i)²=1+2i+1=2i。5.w³=1，w=1或非1的立方根。6.z̄=2-3i。7.复数代数形式为a+bi。8.z1•z2=0，则z1或z2为0。9.|1+i|