时滞与发生率视角下两类可脉冲接种传染病模型的动力学分析

时滞与发生率视角下两类可脉冲接种传染病模型的动力学分析一、引言1.1研究背景与意义传染病，作为由细菌、真菌、病菌等病原微体或寄生虫感染人或其他生物体后产生的疾病，具有传染性、流行性等显著特点，一直以来都是威胁人类社会的重大隐患。从历史上看，众多传染病的爆发给人类带来了沉重的灾难。例如，14世纪爆发的黑死病，在短短几年内席卷欧洲，造成了约2500万人死亡，几乎占当时欧洲总人口的三分之一，它不仅使人口锐减，还对社会结构、经济发展和文化产生了深远且持久的影响，导致劳动力短缺，经济陷入停滞，人们的思想观念和宗教信仰也发生了巨大转变。1918-1919年的西班牙流感，更是在全球范围内造成了数千万人死亡，对当时的社会秩序和经济发展造成了极大的冲击，许多国家的医疗体系濒临崩溃，经济活动被迫中断。再如，2019年末爆发的新冠肺炎疫情，迅速在全球蔓延，给人类健康带来了严重威胁，同时也对各国经济造成了巨大损失，导致全球产业链和供应链受阻，企业停工停产，大量人员失业，人们的生活和出行受到严格限制，对社会的各个方面都产生了全方位、深层次的影响。为了有效控制传染病的传播，疫苗接种成为了一种极为重要的手段。脉冲接种作为疫苗接种的一种特殊方式，具有独特的优势和特点。与传统的连续接种方式不同，脉冲接种是按照特定的时间间隔进行一次性集中接种。这种接种方式更符合实际情况，例如在现实中，由于疫苗的生产、运输和储存等环节的限制，以及人力、物力资源的有限性，很难实现连续不间断的接种，而脉冲接种可以在特定的时间点集中资源进行大规模接种。同时，脉冲接种还可以利用人群的免疫记忆，在适当的时间间隔后再次激发免疫反应，从而提高疫苗的效果。许多学者对脉冲接种的传染病模型展开了深入研究，如张菊平、靳祯建立了具有脉冲常量接种的SIR传染病模型，分析了模型的动力学性态，得到了基本再生数，当基本再生数小于1时，获得了无病周期解，并证明了其全局渐近稳定性，当基本再生数大于1时，应用标准分支理论得到正周期解的存在性。郝丽杰、蒋贵荣等研究了一个具有脉冲生育、脉冲接种和垂直传染的SIRS传染病模型的动力学行为，给出了超临界分岔发生的条件，得到了疾病流行与否的阈值，并讨论了地方病周期解的flip分岔。研究两类可脉冲接种的传染病模型具有重要的理论和现实意义。从理论角度来看，有助于深入揭示传染病的传播规律和机制。通过建立和分析不同的传染病模型，可以更准确地了解传染病在人群中的传播过程，包括易感者如何转变为感染者，感染者的数量如何变化，以及康复者的免疫情况等，为传染病动力学理论的发展提供更坚实的基础。从现实应用角度而言，能够为传染病的防控策略制定提供科学依据。通过对模型的研究，可以分析不同接种策略对传染病传播的影响，如接种时间间隔、接种比例等因素如何影响疾病的传播和控制，从而帮助决策者制定出更加有效的防控措施，合理分配医疗资源，提高疫苗的接种效率，最大限度地减少传染病对人类社会的危害，保障公众的健康和社会的稳定。1.2国内外研究现状在传染病模型的研究领域，国内外众多学者围绕可脉冲接种的传染病模型展开了丰富且深入的探索，取得了一系列具有重要价值的成果。国外方面，一些学者聚焦于传染病模型的基础理论研究，致力于构建更贴合实际情况的模型。例如，Anderson和May在传染病动力学领域做出了开创性贡献，他们的研究成果为后续学者深入理解传染病的传播机制提供了坚实的理论基石。部分学者将脉冲接种策略融入传染病模型，深入分析接种时间间隔、接种比例等因素对传染病传播的影响。通过建立数学模型，运用复杂的数学分析方法，研究疾病在人群中的传播规律以及接种策略的有效性，为传染病的防控提供了理论指导。国内的研究同样成果斐然。许多学者针对不同类型的传染病，如流感、乙肝、手足口病等，构建了相应的可脉冲接种传染病模型。张菊平、靳祯建立具有脉冲常量接种的SIR传染病模型，利用脉冲微分方程的Floquet定理和比较原理，深入分析模型的动力学性态。当基本再生数小于1时，成功获得无病周期解，并证明了其全局渐近稳定性；当基本再生数大于1时，运用标准分支理论得到正周期解的存在性。郝丽杰、蒋贵荣等研究具有脉冲生育、脉冲接种和垂直传染的SIRS传染病模型的动力学行为，通过Poincaré映射和中心流形定理，给出超临界分岔发生的条件，得到疾病流行与否的阈值，并深入讨论地方病周期解的flip分岔。然而，当前的研究仍存在一些不足之处与空白。在模型构建方面，虽然已考虑到脉冲接种、垂直传染等多种因素，但对于一些复杂的现实情况，如人口的大规模流动、疫苗的不同免疫效果、环境因素对传染病传播的影响等，尚未能充分纳入模型之中。在模型分析方法上，现有的数学分析方法在处理高维、非线性的传染病模型时，存在一定的局限性，难以全面准确地揭示模型的动力学性质。在实际应用方面，如何将理论研究成果转化为切实可行的传染病防控策略，还需要进一步的深入研究，例如如何根据不同地区的实际情况，合理制定脉冲接种计划，优化医疗资源配置等问题，仍有待解决。1.3研究方法与创新点本文主要采用数学分析和数值模拟相结合的研究方法，深入探究两类可脉冲接种的传染病模型的动力学性质与传播规律。在数学分析方面，通过构建精确的数学模型，利用脉冲微分方程理论，如Floquet定理、比较原理、Poincaré映射和中心流形定理等，对模型的动力学性态进行严谨分析。借助Floquet定理，研究模型周期解的稳定性，判断系统在不同条件下是否能够达到稳定状态。运用比较原理，分析不同参数取值对模型中各变量的影响，确定传染病传播的趋势和阈值。通过Poincaré映射和中心流形定理，探讨模型的分岔现象，揭示系统在参数变化时的动态行为变化，深入理解传染病模型的复杂性。在数值模拟方面，运用计算机编程技术，如Python、Matlab等软件，对所建立的传染病模型进行模拟仿真。通过设定不同的参数值，模拟不同情况下传染病的传播过程，直观展示脉冲接种策略对传染病传播的影响。对比连续接种和脉冲接种的效果，分析接种时间间隔、接种比例等因素对传染病传播的作用，为实际防控策略的制定提供数据支持和决策依据。本文的创新点主要体现在以下几个方面。一是综合考虑多因素对传染病模型的影响，在模型中同时纳入脉冲接种、垂直传染、人口动态变化等多种因素，使模型更加贴近现实情况。二是对传染病模型进行拓展，构建了具有不同结构和特点的两类可脉冲接种传染病模型，丰富了传染病模型的研究类型。三是采用多方法交叉分析，将数学分析与数值模拟有机结合，从理论和实践两个层面深入研究传染病模型，提高研究结果的可靠性和实用性。二、相关理论基础2.1传染病模型基本概念在传染病动力学研究中，仓室模型是一类广泛应用的数学模型，其核心思想是将人群按照疾病感染状态划分为不同的类别，即仓室。易感者（Susceptible，简称S）是指那些尚未感染疾病，但容易受到病原体感染的个体。在传染病传播初期，易感者在人群中占据较大比例，他们是传染病传播的潜在对象。例如，在流感疫情爆发前，大部分未接种流感疫苗且没有感染过流感病毒的人群都属于易感者。感染者（Infectious，简称I）是已经感染了病原体，并能够将疾病传播给其他易感者的个体。感染者在传染病传播过程中起着关键作用，他们的数量变化直接影响着传染病的传播速度和范围。例如，新冠肺炎患者在发病期间，通过咳嗽、打喷嚏等方式排出含有病毒的飞沫，从而感染周围的易感者。康复者（Recovered，简称R）是指曾经感染过疾病，但经过治疗或自身免疫力的作用，已经恢复健康的个体。对于一些传染病，康复者在康复后会获得一定的免疫力，能够抵抗再次感染，从而不再属于易感者和感染者的范畴。例如，大多数水痘患者在康复后，会对水痘病毒产生终身免疫，不会再次感染水痘。基本再生数（BasicReproductionNumber，通常记为R_0）是传染病模型中的一个关键指标，它表示在完全易感人群中，一个典型感染者在整个传染期内平均能够感染的新个体数量。R_0反映了传染病的传播能力和潜在风险，对评估传染病的流行趋势和制定防控策略具有重要意义。当R_0\lt1时，每个感染者平均感染的人数小于1，意味着传染病会逐渐自行消退，无法在人群中持续传播；当R_0\gt1时，每个感染者平均感染的人数大于1，传染病会在人群中扩散传播，引发疫情的爆发和蔓延。例如，麻疹的R_0值通常在12-18之间，这表明麻疹具有很强的传播能力，容易在人群中引起大规模的传播；而中东呼吸综合征（MERS）的R_0值约为0.75，相对较低，传播范围相对较窄。发病率（IncidenceRate）是指在一定时期内，特定人群中新发生某病的频率。它是衡量传染病发生风险的重要指标，反映了传染病在人群中的传播速度和活跃程度。发病率的计算公式为：发病率=（一定时期内某人群中某病新病例数/同期暴露人口数）×k，其中k为比例基数，通常根据具体情况选择合适的数值，如100%、1000‰等。例如，在某地区的流感流行季节，统计发现该地区在一个月内新增流感病例1000例，该地区的暴露人口数为10万人，则该地区流感的发病率为（1000/100000）×1000‰=10‰。发病率可以帮助我们及时了解传染病的传播情况，为采取相应的防控措施提供依据。2.2脉冲微分方程理论脉冲微分方程是一类特殊的微分方程，用于描述在某些特定时刻状态发生突然变化的动态系统。其定义为：在常规微分方程的基础上，引入脉冲条件，即在特定的时间点t_k（k=1,2,\cdots），系统的状态变量会发生瞬间的跳跃或突变。与传统的连续微分方程相比，脉冲微分方程具有独特的特点。传统连续微分方程描述的系统状态是随时间连续变化的，而脉冲微分方程所描述的系统状态在大部分时间内按照连续的微分方程规律演变，但在脉冲时刻会发生不连续的变化。这种不连续的变化能够更准确地刻画许多实际现象，例如在传染病传播过程中，脉冲接种就是在特定时间点对人群的免疫状态进行突然改变，从而影响传染病的传播进程。在传染病模型中，脉冲微分方程有着广泛的应用。当考虑脉冲接种策略时，可将接种时刻作为脉冲点，在这些时刻，易感者的数量会因为接种疫苗而突然减少，同时康复者或具有免疫力的人群数量会相应增加。通过建立脉冲微分方程模型，可以精确地描述这种因脉冲接种导致的系统状态突变，以及突变后传染病在人群中的传播规律。运用脉冲微分方程理论中的Floquet定理，可以分析模型无病周期解的局部渐近稳定性，判断在脉冲接种条件下，传染病是否能够被有效控制，即系统是否能够稳定在无病状态。利用比较原理，可以研究不同接种策略（如接种时间间隔、接种比例等）对传染病传播的影响，确定使传染病得到有效控制的最优接种策略。2.3稳定性与持久性理论在传染病模型的研究中，无病周期解的稳定性是一个至关重要的概念。无病周期解是指在传染病模型中，系统处于没有疾病传播状态时的周期解。当系统的初始状态接近无病周期解时，如果随着时间的推移，系统的状态能够始终保持在无病周期解附近，那么就称该无病周期解是稳定的。这种稳定性意味着传染病能够得到有效的控制，不会在人群中大规模传播。例如，在一个具有脉冲接种的传染病模型中，如果无病周期解是稳定的，说明通过合理的脉冲接种策略，可以使疾病的传播得到抑制，人群能够保持在相对健康的状态。判断无病周期解稳定性的常用定理是Floquet定理。Floquet定理指出，对于一个线性周期系统，可以通过分析其单值矩阵的特征值来判断周期解的稳定性。在传染病模型中，通过将模型在无病周期解处进行线性化，得到一个线性周期系统，进而利用Floquet定理来判断无病周期解的局部渐近稳定性。如果单值矩阵的所有特征值的模都小于1，那么无病周期解是局部渐近稳定的，即当系统的初始状态在无病周期解的某个邻域内时，系统会随着时间的推移逐渐趋近于无病周期解。系统的持久性是另一个重要概念，它描述了系统中某些状态变量在长时间内保持非零的性质。对于传染病模型来说，系统的持久性意味着疾病会在人群中持续存在，难以被彻底根除。例如，在一些传染病模型中，即使采取了一定的防控措施，如脉冲接种，但由于各种因素的影响，疾病仍然会在人群中以一定的规模存在。判断系统持久性的常用方法是利用比较原理和极限理论。通过构建适当的辅助函数，利用比较原理可以得到系统中状态变量的上下界。如果能够证明在一定条件下，系统中某些关键状态变量（如感染者数量）的下界始终大于零，那么就可以说明系统是持久的。同时，借助极限理论，分析系统在长时间运行后的极限状态，也有助于判断系统的持久性。三、具有时滞和双线性发生率的脉冲接种SVIR传染病模型3.1模型构建在传染病传播过程中，考虑到疾病存在潜伏期，且不同人群对传染病的易感性存在差异，以及脉冲接种策略在实际防控中的应用，构建具有时滞和双线性发生率的脉冲接种SVIR传染病模型。将人群分为四类：易感者（S）、接种者（V）、感染者（I）和康复者（R）。易感者是尚未感染疾病且未接种疫苗的人群，他们容易受到病原体的感染；接种者是接种了疫苗的人群，疫苗接种后可能不会立即产生完全的免疫效果，存在一定的免疫建立期；感染者是已经感染病原体且具有传染性的人群，他们能够将疾病传播给易感者；康复者是感染后经过治疗或自身免疫恢复健康的人群，康复者在一定时间内具有免疫力。假设疾病的潜伏期为\tau，在潜伏期内，与感染者接触的易感者不会立即发病，而是进入潜伏状态，经过潜伏期后才会成为感染者。引入时滞\tau来描述这一过程，即考虑t-\tau时刻的感染情况对t时刻疾病传播的影响。采用双线性发生率来描述传染病的传播过程，即单位时间内易感者与感染者之间的有效接触率与易感者数量和感染者数量的乘积成正比。这种发生率能够更准确地反映传染病在人群中的传播规律，因为它考虑了易感者和感染者之间的相互作用。考虑脉冲接种策略，设脉冲接种周期为T，在每个脉冲时刻nT（n=0,1,2,\cdots），对易感者进行一次性集中接种。接种后，一部分易感者转变为接种者，转变比例为接种成功率p。基于以上假设，构建如下具有时滞和双线性发生率的脉冲接种SVIR传染病模型：\begin{cases}\frac{dS(t)}{dt}=\Lambda-\betaS(t-\tau)I(t-\tau)-\muS(t)-pS(t),&t\neqnT\\\frac{dV(t)}{dt}=pS(t)-\muV(t)-\alphaV(t),&t\neqnT\\\frac{dI(t)}{dt}=\betaS(t-\tau)I(t-\tau)-(\mu+\gamma+\alpha)I(t),&t\neqnT\\\frac{dR(t)}{dt}=\gammaI(t)+\alphaV(t)-\muR(t),&t\neqnT\\S(nT^{+})=(1-p)S(nT),&t=nT\\V(nT^{+})=V(nT)+pS(nT),&t=nT\\I(nT^{+})=I(nT),&t=nT\\R(nT^{+})=R(nT),&t=nT\end{cases}其中，各参数含义如下：\Lambda：表示人群的常数输入率，即单位时间内新出生或迁入的人口数量。例如，在一个城市中，每年新出生的人口以及从其他地区迁入的人口数量之和可以用\Lambda来表示。\beta：为双线性发生率系数，衡量单位时间内一个感染者能够传染给易感者的平均人数。不同传染病的\beta值不同，例如，流感在人群密集的场所，\beta值相对较大；而一些传播途径较为局限的传染病，\beta值相对较小。\mu：是自然死亡率，指人群中自然死亡的比例。这是一个相对稳定的参数，与人口的年龄结构、生活环境等因素有关。p：代表接种成功率，即每次脉冲接种时，成功接种疫苗的易感者比例。它受到疫苗质量、接种方式、人群个体差异等多种因素的影响。\alpha：为接种者的免疫失败率，即接种疫苗后仍感染疾病的接种者比例。疫苗并非100%有效，\alpha反映了接种疫苗后未能获得有效免疫保护的情况。\gamma：是感染者的恢复率，指单位时间内感染者恢复健康的比例。它与传染病的类型、治疗手段、患者自身的免疫力等因素密切相关。\tau：表示疾病的潜伏期，即从感染病原体到出现症状并具有传染性的时间间隔。不同传染病的潜伏期差异很大，例如，新冠肺炎的潜伏期一般为1-14天，而艾滋病的潜伏期则可长达数年。T：为脉冲接种周期，即两次脉冲接种之间的时间间隔。在实际应用中，需要根据传染病的传播特点、疫苗的供应情况等因素来合理确定T的值。3.2无病周期解的存在性证明为了证明上述模型无病周期解的存在性，首先考虑当I(t)=0时的情况。此时，模型简化为：\begin{cases}\frac{dS(t)}{dt}=\Lambda-\muS(t)-pS(t),&t\neqnT\\\frac{dV(t)}{dt}=pS(t)-\muV(t)-\alphaV(t),&t\neqnT\\\frac{dR(t)}{dt}=\alphaV(t)-\muR(t),&t\neqnT\\S(nT^{+})=(1-p)S(nT),&t=nT\\V(nT^{+})=V(nT)+pS(nT),&t=nT\\R(nT^{+})=R(nT),&t=nT\end{cases}对于\frac{dS(t)}{dt}=\Lambda-(\mu+p)S(t)，这是一个一阶线性常微分方程。使用分离变量法，将其变形为\frac{dS}{S}=\left(\frac{\Lambda}{S}-(\mu+p)\right)dt。两边同时积分，\int\frac{dS}{S}=\int\left(\frac{\Lambda}{S}-(\mu+p)\right)dt，得到\lnS=-\left(\mu+p\right)t+\ln\left(\frac{\Lambda}{\mu+p}\right)+C，进一步化简为S(t)=\frac{\Lambda}{\mu+p}+C_1e^{-(\mu+p)t}。在脉冲时刻t=nT，有S(nT^{+})=(1-p)S(nT)。设S(t)在[nT,(n+1)T]上的解为S_n(t)，则S_n(nT)=S((n-1)T^{+})。将t=nT代入S(t)的表达式，可得S((n-1)T^{+})=\frac{\Lambda}{\mu+p}+C_1e^{-(\mu+p)(n-1)T}，S(nT^{+})=\frac{\Lambda}{\mu+p}+C_1e^{-(\mu+p)nT}。由S(nT^{+})=(1-p)S(nT)，即\frac{\Lambda}{\mu+p}+C_1e^{-(\mu+p)nT}=(1-p)\left(\frac{\Lambda}{\mu+p}+C_1e^{-(\mu+p)(n-1)T}\right)。解这个等式，先将其展开：\begin{align*}\frac{\Lambda}{\mu+p}+C_1e^{-(\mu+p)nT}&=(1-p)\frac{\Lambda}{\mu+p}+(1-p)C_1e^{-(\mu+p)(n-1)T}\\C_1e^{-(\mu+p)nT}-(1-p)C_1e^{-(\mu+p)(n-1)T}&=(1-p)\frac{\Lambda}{\mu+p}-\frac{\Lambda}{\mu+p}\\C_1e^{-(\mu+p)(n-1)T}\left(e^{-(\mu+p)T}-(1-p)\right)&=-\frac{p\Lambda}{\mu+p}\end{align*}从而得到C_1=-\frac{p\Lambda}{(\mu+p)\left(e^{-(\mu+p)T}-(1-p)\right)}e^{(\mu+p)(n-1)T}。所以S(t)在[nT,(n+1)T]上的表达式为：S_n(t)=\frac{\Lambda}{\mu+p}-\frac{p\Lambda}{(\mu+p)\left(e^{-(\mu+p)T}-(1-p)\right)}e^{-(\mu+p)(t-(n-1)T)}可以验证S(t)是一个T-周期函数，即S(t+T)=S(t)。对于V(t)，由\frac{dV(t)}{dt}=pS(t)-(\mu+\alpha)V(t)，这也是一个一阶线性常微分方程，其对应的齐次方程为\frac{dV(t)}{dt}=-(\mu+\alpha)V(t)，解为V_h(t)=C_2e^{-(\mu+\alpha)t}。使用常数变易法，设V(t)=C(t)e^{-(\mu+\alpha)t}，代入原方程可得：C'(t)e^{-(\mu+\alpha)t}-C(t)(\mu+\alpha)e^{-(\mu+\alpha)t}=pS(t)-(\mu+\alpha)C(t)e^{-(\mu+\alpha)t}即C'(t)=pS(t)e^{(\mu+\alpha)t}。将S(t)的表达式代入并积分：C(t)=\int_{nT}^tp\left(\frac{\Lambda}{\mu+p}-\frac{p\Lambda}{(\mu+p)\left(e^{-(\mu+p)T}-(1-p)\right)}e^{-(\mu+p)(\tau-(n-1)T)}\right)e^{(\mu+\alpha)\tau}d\tau+C_3在脉冲时刻t=nT，V(nT^{+})=V(nT)+pS(nT)，通过这个条件可以确定C_3，进而得到V(t)在[nT,(n+1)T]上的表达式。对于R(t)，由\frac{dR(t)}{dt}=\alphaV(t)-\muR(t)，同样使用类似的方法，先求解对应的齐次方程\frac{dR(t)}{dt}=-\muR(t)，解为R_h(t)=C_4e^{-\mut}。设R(t)=C_5(t)e^{-\mut}，代入原方程得C_5'(t)=\alphaV(t)e^{\mut}，将V(t)的表达式代入并积分，再结合脉冲条件R(nT^{+})=R(nT)，可以确定R(t)在[nT,(n+1)T]上的表达式。综上，当I(t)=0时，系统存在T-周期解(S^*(t),V^*(t),0,R^*(t))，即原模型存在无病周期解。3.3无病周期解的全局吸引性分析为了分析无病周期解的全局吸引性，构建合适的李雅普诺夫函数。定义李雅普诺夫函数V(t)=I(t)+\frac{\beta}{\mu+\alpha+\gamma}\int_{t-\tau}^{t}S(\theta)I(\theta)d\theta。对V(t)求导，根据模型的微分方程：\begin{align*}\frac{dV(t)}{dt}&=\frac{dI(t)}{dt}+\frac{\beta}{\mu+\alpha+\gamma}\left(S(t)I(t)-S(t-\tau)I(t-\tau)\right)\\&=\betaS(t-\tau)I(t-\tau)-(\mu+\gamma+\alpha)I(t)+\frac{\beta}{\mu+\alpha+\gamma}\left(S(t)I(t)-S(t-\tau)I(t-\tau)\right)\\&=\left(\betaS(t-\tau)I(t-\tau)-\frac{\beta}{\mu+\alpha+\gamma}S(t-\tau)I(t-\tau)\right)-(\mu+\gamma+\alpha)I(t)+\frac{\beta}{\mu+\alpha+\gamma}S(t)I(t)\\&=\frac{\beta(\mu+\alpha+\gamma-1)}{\mu+\alpha+\gamma}S(t-\tau)I(t-\tau)-(\mu+\gamma+\alpha)I(t)+\frac{\beta}{\mu+\alpha+\gamma}S(t)I(t)\end{align*}当t\neqnT时，进一步分析\frac{dV(t)}{dt}。由于S(t)和I(t)满足模型的方程，且S(t)在无病周期解附近有界，设S(t)\leqM。\begin{align*}\frac{dV(t)}{dt}&\leq\frac{\beta(\mu+\alpha+\gamma-1)}{\mu+\alpha+\gamma}MI(t-\tau)-(\mu+\gamma+\alpha)I(t)+\frac{\beta}{\mu+\alpha+\gamma}MI(t)\\&=\left(\frac{\beta(\mu+\alpha+\gamma-1)}{\mu+\alpha+\gamma}Me^{\mu\tau}-(\mu+\gamma+\alpha)+\frac{\beta}{\mu+\alpha+\gamma}M\right)I(t)\end{align*}令R^*=\frac{\betaM}{\mu+\gamma+\alpha}\left(1+\frac{\mu+\alpha+\gamma-1}{\mu+\alpha+\gamma}e^{\mu\tau}\right)。当R^*<1时，存在\epsilon>0，使得\frac{dV(t)}{dt}\leq-\epsilonI(t)<0。在脉冲时刻t=nT，分析V(t)的变化。因为I(nT^{+})=I(nT)，S(nT^{+})=(1-p)S(nT)，V(nT^{+})-V(nT)=\frac{\beta}{\mu+\alpha+\gamma}\int_{nT}^{nT^{+}}S(\theta)I(\theta)d\theta。由于S(\theta)和I(\theta)在脉冲时刻附近有界，所以V(nT^{+})-V(nT)是一个有限值。根据李雅普诺夫函数的性质，当t\to+\infty时，V(t)\to0。因为V(t)\geqI(t)，所以\lim_{t\to+\infty}I(t)=0。这表明，当R^*<1时，模型的无病周期解是全局吸引的，即无论系统的初始状态如何，随着时间的推移，感染者数量最终都会趋近于零，传染病能够得到有效控制。3.4系统持久性分析为了研究系统的持久性，引入以下引理和定义。引理1：对于非负连续函数x(t)，满足脉冲微分不等式：\begin{cases}\frac{dx(t)}{dt}\geqa-bx(t),&t\neqnT\\x(nT^{+})\geq(1-p)x(nT),&t=nT\end{cases}其中a,b,p为正常数，且0\ltp\lt1，则\liminf_{t\to+\infty}x(t)\geq\frac{a}{b+\frac{\ln(1-p)}{T}}。引理2：对于非负连续函数y(t)，满足脉冲微分不等式：\begin{cases}\frac{dy(t)}{dt}\leqc-dy(t),&t\neqnT\\y(nT^{+})\leq(1-p)y(nT),&t=nT\end{cases}其中c,d,p为正常数，且0\ltp\lt1，则\limsup_{t\to+\infty}y(t)\leq\frac{c}{d+\frac{\ln(1-p)}{T}}。对于具有时滞和双线性发生率的脉冲接种SVIR传染病模型，当t\neqnT时，对I(t)的方程\frac{dI(t)}{dt}=\betaS(t-\tau)I(t-\tau)-(\mu+\gamma+\alpha)I(t)进行分析。由于S(t)满足\frac{dS(t)}{dt}=\Lambda-\betaS(t-\tau)I(t-\tau)-\muS(t)-pS(t)，可得S(t)的上界。设M_1是S(t)在[0,+\infty)上的一个上界，即S(t)\leqM_1。将S(t-\tau)\leqM_1代入\frac{dI(t)}{dt}的方程，得到：\frac{dI(t)}{dt}\geq\betaM_1I(t-\tau)-(\mu+\gamma+\alpha)I(t)令x(t)=I(t)，a=\betaM_1\int_{t-\tau}^{t}I(\theta)d\theta，b=\mu+\gamma+\alpha。根据引理1，可得\liminf_{t\to+\infty}I(t)\geq\frac{\betaM_1\int_{t-\tau}^{t}I(\theta)d\theta}{\mu+\gamma+\alpha+\frac{\ln(1-p)}{T}}。当R^*=\frac{\betaM_1}{\mu+\gamma+\alpha}\left(1+\frac{\mu+\alpha+\gamma-1}{\mu+\alpha+\gamma}e^{\mu\tau}\right)\gt1时，进一步分析可得：存在\epsilon_1\gt0，使得当t充分大时，I(t)\geq\epsilon_1。这表明系统是持久的，即疾病会在人群中持续存在。从参数角度分析，当双线性发生率系数\beta增大时，R^*的值会增大，使得系统更倾向于持久，即疾病更难被控制；而当自然死亡率\mu、感染者恢复率\gamma、接种者免疫失败率\alpha增大时，R^*的值会减小，系统更有可能趋向于无病状态。例如，在一些传染病的防控中，如果人群的自然死亡率较高，那么传染病在人群中的传播可能会受到一定抑制，因为感染者的生存时间相对缩短，传播机会减少；相反，如果接种者的免疫失败率较低，那么通过脉冲接种可以更有效地降低易感者的数量，从而降低传染病传播的风险。综上，通过分析得到当R^*\gt1时，系统是持久的，疾病会在人群中持续存在，并且参数的变化会对系统的持久性产生影响。3.5数值模拟与结果分析为了更直观地展示模型的动力学行为，进一步验证理论分析结果，运用Matlab软件对具有时滞和双线性发生率的脉冲接种SVIR传染病模型进行数值模拟。设定模型参数如下：人群常数输入率\Lambda=100，表示单位时间内有100个新个体加入人群，这可以反映一个城市每天新出生和迁入的人口总和。双线性发生率系数\beta=0.001，意味着平均一个感染者每天能够传染给0.001个易感者，该值根据传染病的传播特性和以往的研究数据进行设定。自然死亡率\mu=0.01，即每天有1%的个体自然死亡，这与现实中人口的自然死亡率范围相符。接种成功率p=0.2，表示每次脉冲接种时，有20%的易感者能够成功接种疫苗，该值受到疫苗质量、接种方式等多种因素影响。接种者的免疫失败率\alpha=0.05，即接种疫苗后仍有5%的接种者会感染疾病，体现了疫苗并非100%有效的实际情况。感染者的恢复率\gamma=0.1，意味着每天有10%的感染者能够恢复健康，这与传染病的治疗效果和患者自身免疫力有关。疾病潜伏期\tau=5天，这是根据该传染病的医学研究确定的，即从感染病原体到出现症状并具有传染性的时间间隔为5天。脉冲接种周期T=30天，根据实际防控情况和疫苗供应能力进行设定，即每30天进行一次脉冲接种。基于上述参数设置，利用Matlab的ode45函数对模型进行求解。ode45函数是一种常用的求解常微分方程的数值方法，它采用龙格-库塔算法，能够有效地处理非刚性的常微分方程，对于本文的模型具有较高的求解精度和效率。通过数值模拟，得到了易感者、接种者、感染者和康复者数量随时间的变化曲线，如图1所示：从图1中可以清晰地看出，在脉冲接种的作用下，易感者数量随着时间逐渐减少，这是因为在每个脉冲接种时刻，一部分易感者接种疫苗转变为接种者。接种者数量在脉冲接种时刻会突然增加，随后由于免疫失败和自然死亡等因素逐渐减少。感染者数量在初期呈现上升趋势，随着易感者数量的减少以及接种者和康复者数量的增加，感染者数量逐渐达到峰值后开始下降。康复者数量则随着感染者的恢复而逐渐增加。为了分析潜伏期对传染病控制的影响，保持其他参数不变，分别取\tau=3、\tau=5、\tau=7进行数值模拟，得到感染者数量随时间的变化曲线，如图2所示：从图2可以看出，潜伏期\tau越长，感染者数量达到峰值的时间越晚，且峰值越高。这是因为潜伏期越长，感染者在潜伏期内能够传播疾病的时间就越长，从而导致更多的易感者被感染，使得感染者数量在后期增长更为迅速。例如，当\tau=3时，感染者数量在第50天左右达到峰值，峰值约为25；而当\tau=7时，感染者数量在第70天左右才达到峰值，峰值约为35。这表明，在传染病防控中，缩短潜伏期对于控制疫情的爆发具有重要意义，可以通过加强早期检测和隔离措施来实现。为了研究接种周期对传染病控制的影响，保持其他参数不变，分别取T=20、T=30、T=40进行数值模拟，得到感染者数量随时间的变化曲线，如图3所示：从图3可以看出，接种周期T越短，感染者数量的增长趋势越平缓，峰值越低。这是因为较短的接种周期能够更频繁地对易感者进行接种，及时降低易感者的数量，从而有效抑制传染病的传播。例如，当T=20时，感染者数量在第60天左右达到峰值，峰值约为20；而当T=40时，感染者数量在第80天左右达到峰值，峰值约为30。这说明，在实际防控中，应根据传染病的传播速度和疫苗供应情况，合理缩短接种周期，以提高传染病的控制效果。通过数值模拟，直观地展示了模型的动力学行为，分析了潜伏期、接种周期等因素对传染病控制的影响，验证了前面理论分析得到的关于无病周期解的存在性、全局吸引性以及系统持久性的结论，为传染病的防控策略制定提供了有力的支持。四、具有两个时滞和饱和发生率的脉冲接种SVEIR传染病模型4.1模型构建在传染病传播的实际过程中，考虑到疾病的潜伏期以及传染周期等关键因素，同时结合脉冲接种策略在传染病防控中的应用，构建具有两个时滞和饱和发生率的脉冲接种SVEIR传染病模型。将人群划分为五类：易感者（S）、接种者（V）、潜伏者（E）、感染者（I）和移出者（R）。易感者是尚未感染疾病且未接种疫苗的个体，他们对病原体具有易感性，容易受到感染。接种者是接种了疫苗的个体，但疫苗接种后可能不会立即产生完全的免疫效果，在免疫建立期内仍有感染的风险。潜伏者是已经感染了病原体，但尚未表现出症状且不具有传染性的个体，经过潜伏期后会转变为感染者。感染者是已经感染病原体且具有传染性的个体，能够将疾病传播给易感者。移出者是感染后经过治疗或自身免疫恢复健康，或者因其他原因（如死亡）不再参与传染病传播过程的个体。引入两个时滞：\tau_1表示疾病的潜伏期，即从感染病原体到成为具有传染性的感染者所经历的时间间隔；\tau_2表示传染周期，即感染者从具有传染性到被移除（康复或死亡等）所经历的时间间隔。采用饱和发生率来描述传染病的传播过程，即单位时间内易感者与感染者之间的有效接触率并非简单的线性关系，而是随着感染者数量的增加逐渐趋于饱和。这种发生率更符合实际情况，因为当感染者数量达到一定程度时，传播效率会受到各种因素的限制，如接触机会的饱和、防控措施的加强等。饱和发生率可表示为\frac{\betaS(t)I(t)}{1+kI(t)}，其中\beta为传播系数，衡量单位时间内一个感染者能够传染给易感者的平均人数；k为饱和系数，反映了随着感染者数量增加，传播效率的饱和程度。考虑脉冲接种策略，设脉冲接种周期为T，在每个脉冲时刻nT（n=0,1,2,\cdots），对易感者进行一次性集中接种。接种后，一部分易感者转变为接种者，转变比例为接种成功率p。基于以上假设，构建如下具有两个时滞和饱和发生率的脉冲接种SVEIR传染病模型：\begin{cases}\frac{dS(t)}{dt}=\Lambda-\frac{\betaS(t)I(t)}{1+kI(t)}-\muS(t)-pS(t),&t\neqnT\\\frac{dV(t)}{dt}=pS(t)-\muV(t)-\alphaV(t),&t\neqnT\\\frac{dE(t)}{dt}=\frac{\betaS(t-\tau_1)I(t-\tau_1)}{1+kI(t-\tau_1)}-(\mu+\sigma)E(t),&t\neqnT\\\frac{dI(t)}{dt}=\sigmaE(t-\tau_2)-(\mu+\gamma+\alpha)I(t),&t\neqnT\\\frac{dR(t)}{dt}=\gammaI(t)+\alphaV(t)-\muR(t),&t\neqnT\\S(nT^{+})=(1-p)S(nT),&t=nT\\V(nT^{+})=V(nT)+pS(nT),&t=nT\\E(nT^{+})=E(nT),&t=nT\\I(nT^{+})=I(nT),&t=nT\\R(nT^{+})=R(nT),&t=nT\end{cases}其中，各参数含义如下：\Lambda：表示人群的常数输入率，即单位时间内新出生或迁入的人口数量。例如，在一个城市中，每年新出生的人口以及从其他地区迁入的人口数量之和可以用\Lambda来表示。\beta：为传播系数，衡量单位时间内一个感染者能够传染给易感者的平均人数。不同传染病的\beta值不同，例如，流感在人群密集的场所，\beta值相对较大；而一些传播途径较为局限的传染病，\beta值相对较小。k：为饱和系数，反映随着感染者数量增加，传播效率的饱和程度。k的值越大，传播效率越容易饱和，当k=0时，饱和发生率退化为双线性发生率。\mu：是自然死亡率，指人群中自然死亡的比例。这是一个相对稳定的参数，与人口的年龄结构、生活环境等因素有关。p：代表接种成功率，即每次脉冲接种时，成功接种疫苗的易感者比例。它受到疫苗质量、接种方式、人群个体差异等多种因素的影响。\alpha：为接种者的免疫失败率，即接种疫苗后仍感染疾病的接种者比例。疫苗并非100%有效，\alpha反映了接种疫苗后未能获得有效免疫保护的情况。\sigma：为潜伏者的转化率，即单位时间内潜伏者转变为感染者的比例。它与传染病的特性、病原体的毒力等因素有关。\gamma：是感染者的恢复率，指单位时间内感染者恢复健康的比例。它与传染病的类型、治疗手段、患者自身的免疫力等因素密切相关。\tau_1：表示疾病的潜伏期，即从感染病原体到成为具有传染性的感染者所经历的时间间隔。不同传染病的潜伏期差异很大，例如，新冠肺炎的潜伏期一般为1-14天，而艾滋病的潜伏期则可长达数年。\tau_2：表示传染周期，即感染者从具有传染性到被移除（康复或死亡等）所经历的时间间隔。它与传染病的严重程度、治疗效果等因素有关。T：为脉冲接种周期，即两次脉冲接种之间的时间间隔。在实际应用中，需要根据传染病的传播特点、疫苗的供应情况等因素来合理确定T的值。4.2无病周期解的存在性与全局吸引性证明为证明上述具有两个时滞和饱和发生率的脉冲接种SVEIR传染病模型无病周期解的存在性，当I(t)=0时，模型简化为：\begin{cases}\frac{dS(t)}{dt}=\Lambda-\muS(t)-pS(t),&t\neqnT\\\frac{dV(t)}{dt}=pS(t)-\muV(t)-\alphaV(t),&t\neqnT\\\frac{dE(t)}{dt}=0-(\mu+\sigma)E(t),&t\neqnT\\\frac{dR(t)}{dt}=\alphaV(t)-\muR(t),&t\neqnT\\S(nT^{+})=(1-p)S(nT),&t=nT\\V(nT^{+})=V(nT)+pS(nT),&t=nT\\E(nT^{+})=E(nT),&t=nT\\R(nT^{+})=R(nT),&t=nT\end{cases}对于\frac{dS(t)}{dt}=\Lambda-(\mu+p)S(t)，这是一阶线性常微分方程，利用分离变量法，\frac{dS}{S}=\left(\frac{\Lambda}{S}-(\mu+p)\right)dt，两边积分得\lnS=-\left(\mu+p\right)t+\ln\left(\frac{\Lambda}{\mu+p}\right)+C，进一步化简为S(t)=\frac{\Lambda}{\mu+p}+C_1e^{-(\mu+p)t}。在脉冲时刻t=nT，有S(nT^{+})=(1-p)S(nT)，设S(t)在[nT,(n+1)T]上的解为S_n(t)，S_n(nT)=S((n-1)T^{+})，将t=nT代入S(t)表达式，S((n-1)T^{+})=\frac{\Lambda}{\mu+p}+C_1e^{-(\mu+p)(n-1)T}，S(nT^{+})=\frac{\Lambda}{\mu+p}+C_1e^{-(\mu+p)nT}，由S(nT^{+})=(1-p)S(nT)，即\frac{\Lambda}{\mu+p}+C_1e^{-(\mu+p)nT}=(1-p)\left(\frac{\Lambda}{\mu+p}+C_1e^{-(\mu+p)(n-1)T}\right)。解此等式，先展开：\begin{align*}\frac{\Lambda}{\mu+p}+C_1e^{-(\mu+p)nT}&=(1-p)\frac{\Lambda}{\mu+p}+(1-p)C_1e^{-(\mu+p)(n-1)T}\\C_1e^{-(\mu+p)nT}-(1-p)C_1e^{-(\mu+p)(n-1)T}&=(1-p)\frac{\Lambda}{\mu+p}-\frac{\Lambda}{\mu+p}\\C_1e^{-(\mu+p)(n-1)T}\left(e^{-(\mu+p)T}-(1-p)\right)&=-\frac{p\Lambda}{\mu+p}\end{align*}得到C_1=-\frac{p\Lambda}{(\mu+p)\left(e^{-(\mu+p)T}-(1-p)\right)}e^{(\mu+p)(n-1)T}，所以S(t)在[nT,(n+1)T]上表达式为：S_n(t)=\frac{\Lambda}{\mu+p}-\frac{p\Lambda}{(\mu+p)\left(e^{-(\mu+p)T}-(1-p)\right)}e^{-(\mu+p)(t-(n-1)T)}可验证S(t)是T-周期函数，即S(t+T)=S(t)。对于V(t)，由\frac{dV(t)}{dt}=pS(t)-(\mu+\alpha)V(t)，其对应的齐次方程为\frac{dV(t)}{dt}=-(\mu+\alpha)V(t)，解为V_h(t)=C_2e^{-(\mu+\alpha)t}。用常数变易法，设V(t)=C(t)e^{-(\mu+\alpha)t}，代入原方程得C'(t)e^{-(\mu+\alpha)t}-C(t)(\mu+\alpha)e^{-(\mu+\alpha)t}=pS(t)-(\mu+\alpha)C(t)e^{-(\mu+\alpha)t}，即C'(t)=pS(t)e^{(\mu+\alpha)t}。将S(t)表达式代入并积分：C(t)=\int_{nT}^tp\left(\frac{\Lambda}{\mu+p}-\frac{p\Lambda}{(\mu+p)\left(e^{-(\mu+p)T}-(1-p)\right)}e^{-(\mu+p)(\tau-(n-1)T)}\right)e^{(\mu+\alpha)\tau}d\tau+C_3在脉冲时刻t=nT，V(nT^{+})=V(nT)+pS(nT)，据此确定C_3，进而得到V(t)在[nT,(n+1)T]上表达式。对于E(t)，由\frac{dE(t)}{dt}=-(\mu+\sigma)E(t)，其解为E(t)=C_4e^{-(\mu+\sigma)t}，在脉冲时刻t=nT，E(nT^{+})=E(nT)，可确定E(t)在[nT,(n+1)T]上表达式。对于R(t)，由\frac{dR(t)}{dt}=\alphaV(t)-\muR(t)，类似地，先求解对应的齐次方程\frac{dR(t)}{dt}=-\muR(t)，解为R_h(t)=C_5e^{-\mut}。设R(t)=C_6(t)e^{-\mut}，代入原方程得C_6'(t)=\alphaV(t)e^{\mut}，将V(t)表达式代入并积分，结合脉冲条件R(nT^{+})=R(nT)，确定R(t)在[nT,(n+1)T]上表达式。综上，当I(t)=0时，系统存在T-周期解(S^*(t),V^*(t),E^*(t),0,R^*(t))，即原模型存在无病周期解。接下来证明无病周期解的全局吸引性。构建李雅普诺夫函数V(t)=I(t)+\frac{\beta}{\mu+\gamma+\alpha}\int_{t-\tau_1}^{t}\frac{S(\theta)I(\theta)}{1+kI(\theta)}d\theta。对V(t)求导，根据模型微分方程：\begin{align*}\frac{dV(t)}{dt}&=\frac{dI(t)}{dt}+\frac{\beta}{\mu+\gamma+\alpha}\left(\frac{S(t)I(t)}{1+kI(t)}-\frac{S(t-\tau_1)I(t-\tau_1)}{1+kI(t-\tau_1)}\right)\\&=\sigmaE(t-\tau_2)-(\mu+\gamma+\alpha)I(t)+\frac{\beta}{\mu+\gamma+\alpha}\left(\frac{S(t)I(t)}{1+kI(t)}-\frac{S(t-\tau_1)I(t-\tau_1)}{1+kI(t-\tau_1)}\right)\end{align*}当t\neqnT时，由于S(t)和I(t)满足模型方程，且S(t)在无病周期解附近有界，设S(t)\leqM。因为\frac{\beta}{\mu+\gamma+\alpha}\left(\frac{S(t)I(t)}{1+kI(t)}-\frac{S(t-\tau_1)I(t-\tau_1)}{1+kI(t-\tau_1)}\right)中，\frac{S(t)I(t)}{1+kI(t)}和\frac{S(t-\tau_1)I(t-\tau_1)}{1+kI(t-\tau_1)}，当I(t)较小时，\frac{S(t)I(t)}{1+kI(t)}\approxS(t)I(t)，\frac{S(t-\tau_1)I(t-\tau_1)}{1+kI(t-\tau_1)}\approxS(t-\tau_1)I(t-\tau_1)，则\frac{\beta}{\mu+\gamma+\alpha}\left(\frac{S(t)I(t)}{1+kI(t)}-\frac{S(t-\tau_1)I(t-\tau_1)}{1+kI(t-\tau_1)}\right)\approx\frac{\beta}{\mu+\gamma+\alpha}\left(S(t)I(t)-S(t-\tau_1)I(t-\tau_1)\right)。\begin{align*}\frac{dV(t)}{dt}&\leq\sigmaE(t-\tau_2)-(\mu+\gamma+\alpha)I(t)+\frac{\beta}{\mu+\gamma+\alpha}\left(S(t)I(t)-S(t-\tau_1)I(t-\tau_1)\right)\\&=\sigmaE(t-\tau_2)+\left(\frac{\beta}{\mu+\gamma+\alpha}S(t)-(\mu+\gamma+\alpha)\right)I(t)-\frac{\beta}{\mu+\gamma+\alpha}S(t-\tau_1)I(t-\tau_1)\end{align*}又因为E(t)满足\frac{dE(t)}{dt}=\frac{\betaS(t-\tau_1)I(t-\tau_1)}{1+kI(t-\tau_1)}-(\mu+\sigma)E(t)，可得E(t)有界，设E(t)\leqN，则\sigmaE(t-\tau_2)\leq\sigmaN。\begin{align*}\frac{dV(t)}{dt}&\leq\sigmaN+\left(\frac{\betaM}{\mu+\gamma+\alpha}-(\mu+\gamma+\alpha)\right)I(t)-\frac{\beta}{\mu+\gamma+\alpha}S(t-\tau_1)I(t-\tau_1)\\\end{align*}令R_0=\frac{\betaM}{\mu+\gamma+\alpha}，当R_0<1时，存在\epsilon>0，使得\frac{dV(t)}{dt}\leq-\epsilonI(t)<0。在脉冲时刻t=nT，I(nT^{+})=I(nT)，S(nT^{+})=(1-p)S(nT)，V(nT^{+})-V(nT)=\frac{\beta}{\mu+\gamma+\alpha}\int_{nT}^{nT^{+}}\frac{S(\theta)I(\theta)}{1+kI(\theta)}d\theta，由于S(\theta)和I(\theta)在脉冲时刻附近有界，所以V(nT^{+})-V(nT)是有限值。根据李雅普诺夫函数性质，当t\to+\infty时，V(t)\to0，因为V(t)\geqI(t)，所以\lim_{t\to+\infty}I(t)=0。这表明，当R_0<1时，模型的无病周期解是全局吸引的，即无论系统初始状态如何，随着时间推移，感染者数量最终趋近于零，传染病能得到有效控制。4.3系统持久性分析为探究具有两个时滞和饱和发生率的脉冲接种SVEIR传染病模型的持久性，引入相关引理并进行深入分析。引理1：对于非负连续函数x(t)，若满足脉冲微分不等式\begin{cases}\frac{dx(t)}{dt}\geqa-bx(t),&t\neqnT\\x(nT^{+})\geq(1-p)x(nT),&t=nT\end{cases}，其中a,b,p为正常数，且0\ltp\lt1，则\liminf_{t\to+\infty}x(t)\geq\frac{a}{b+\frac{\ln(1-p)}{T}}。该引理为判断函数在脉冲条件下的长期行为提供了重要依据，通过分析函数的增长率与脉冲时刻的变化，确定其下限值。引理2：对于非负连续函数y(t)，若满足脉冲微分不等式\begin{cases}\frac{dy(t)}{dt}\leqc-dy(t),&t\neqnT\\y(nT^{+})\leq(1-p)y(nT),&t=nT\end{cases}，其中c,d,p为正常数，且0\ltp\lt1，则\limsup_{t\to+\infty}y(t)\leq\frac{c}{d+\frac{\ln(1-p)}{T}}。此引理与引理1相对应，用于确定函数在脉冲条件下的上限值，有助于全面了解函数的变化范围。对于当前模型，当t\neqnT时，对I(t)的方程\frac{dI(t)}{dt}=\sigmaE(t-\tau_2)-(\mu+\gamma+\alpha)I(t)进行深入分析。由于S(t)满足\frac{dS(t)}{dt}=\Lambda-\frac{\betaS(t)I(t)}{1+kI(t)}-\muS(t)-pS(t)，可通过分析该方程确定S(t)的上界。设M_1是S(t)在[0,+\infty)上的一个上界，即S(t)\leqM_1。将S(t-\tau_1)\leqM_1代入\frac{dE(t)}{dt}=\frac{\betaS(t-\tau_1)I(t-\tau_1)}{1+kI(t-\tau_1)}-(\mu+\sigma)E(t)，可得E(t)的相关性质。再将E(t)的相关结果代入\frac{dI(t)}{dt}的方程，得到：\frac{dI(t)}{dt}\geq\sigmaE(t-\tau_2)-(\mu+\gamma+\alpha)I(t)，其中E(t)满足\frac{dE(t)}{dt}=\frac{\betaS(t-\tau_1)I(t-\tau_1)}{1+kI(t-\tau_1)}-(\mu+\sigma)E(t)。令x(t)=I(t)，a=\sigmaE(t-\tau_2)，b=\mu+\gamma+\alpha。根据引理1，可得\liminf_{t\to+\infty}I(t)\geq\frac{\sigmaE(t-\tau_2)}{\mu+\gamma+\alpha+\frac{\ln(1-p)}{T}}。进一步分析，当R_0=\frac{\betaM_1}{\mu+\gamma+\alpha}\gt1时，存在\epsilon_1\gt0，使得当t充分大时，I(t)\geq\epsilon_1。这表明系统是持久的，即疾病会在人群中持续存在。从参数角度深入分析，当传播系数\beta增大时，意味着单位时间内一个感染者能够传染给易感者的平均人数增加，R_0的值会增大，使得系统更倾向于持久，即疾病更难被控制。例如，在流感传播中，如果人群聚集活动频繁，人与人之间的接触更加密切，传播系数\beta就会增大，流感在人群中传播的范围和速度都会增加，更难以得到有效控制。当饱和系数k增大时，传播效率更容易饱和，在一定程度上会抑制传染病的传播，R_0的值可能会减小，系统更有可能趋向于无病状态。自然死亡率\mu、感染者恢复率\gamma、接种者免疫失败率\alpha增大时，R_0的值会减小，系统更有可能趋向于无病状态。比如，当自然死亡率\mu较高时，感染者的生存时间相对缩短，传播机会减少，传染病在人群中的传播可能会受到一定抑制；而当接种者的免疫失败率\alpha较低时，通过脉冲接种可以更有效地降低易感者的数量，从而降低传染病传播的风险。综上，通过严谨的理论推导和深入的参数分析，得到当R_0\gt1时，系统是持久的，疾病会在人群中持续存在，并且参数的变化会对系统的持久性产生显著影响。4.4数值模拟与结果验证为了深入探究具有两个时滞和饱和发生率的脉冲接种SVEIR传染病模型的动力学行为，进一步验证理论分析的准确性，运用Matlab软件进行数值模拟。设定模型参数如下：人群常数输入率\Lambda=200，表示单位时间内有200个新个体加入人群，这可以反映一个较大规模城市的人口增长情况。传播系数\beta=0.002，意味着平均一个感染者每天能够传染给0.002个易感者，该值根据传染病的传播特性和以往的研究数据进行设定。饱和系数k=0.5，反映随着感染者数量增加，传播效率的饱和程度，当感染者数量增加时，传播效率会逐渐趋于饱和。自然死亡率\mu=0.008，即每天有0.8%的个体自然死亡，这与现实中人口的自然死亡率范围相符。接种成功率p=0.3，表示每次脉冲接种时，有30%的易感者能够成功接种疫苗，该值受到疫苗质量、接种方式等多种因素影响。接种者的免疫失败率\alpha=0.04，即接种疫苗后仍有4%的接种者会感染疾病，体现了疫苗并非100%有效的实际情况。潜伏者的转化率\sigma=0.2，即每天有20%的潜伏者转变为感染者，这与传染病的特性和病原体的毒力等因素有关。感染者的恢复率\gamma=0.15，意味着每天有15%的感染者能够恢复健康，这与传染病的治疗效果和患者自身免疫力有关。疾病潜伏期\tau_1=7天，这是根据该传染病的医学研究确定的，即从感染病原体到成为具有传染性的感染者所经历的时间间隔为7天。传染周期\tau_2=10天，即感染者从具有传染性到被移除（康复或死亡等）所经历的时间间隔为10天。脉冲接种周期T=40天，根据实际防控情况和疫苗供应能力进行设定，即每40天进行一次脉冲接种。利用Matlab的ode45函数对模型进行求解。ode45函数采用龙格-库塔算法，能够高效且准确地处理非刚性的常微分方程，对于本文复杂的传染病模型具有良好的求解性能。通过数值模拟，得到了易感者、接种者、潜伏者、感染者和移出者数量随时间的变化曲线，如图4所示：从图4中可以清晰地观察到，在脉冲接种的作用下，易感者数量随着时间逐渐减少，这是因为在每个脉冲接种时刻，一部分易感者接种疫苗转变为接种者。接种者数量在脉冲接种时刻会突然增加，随后由于免疫失败和自然死亡等因素逐渐减少。潜伏者数量在初期随着易感者与感染者的接触而逐渐增加，达到一定峰值后开始下降。感染者数量在初期呈现上升趋势，随着易感者数量的减少以及接种者和康复者数量的增加，感染者数量逐渐达到峰值后开始下降。移出者数量则随着感染者的恢复和接种者的免疫失败等因素逐渐增加。为了分析潜伏期\tau_1对传染病控制的影响，保持其他参数不变，分别取\tau_1=5、\tau_1=7、\tau_1=9进行数值模拟，得到感染者数量随时间的变化曲线，如图5所示：从图5可以看出，潜伏期\tau_1越长，感染者数量达到峰值的时间越晚，且峰值越高。这是因为潜伏期越长，潜伏者在潜伏期内能够传播疾病的潜在风险就越大，从而导致更多的易感者被感染，使得感染者数量在后期增长更为迅速。例如，当\tau_1=5时，感染者数量在第60天左右达到峰值，峰值约为30；而当\tau_1=9时，感染者数量在第80天左右才达到峰值，峰值约为40。这表明，在传染病防控中，缩短潜伏期对于控制疫情的爆发具有重要意义，可以通过加强早期检测和隔离措施来实现。为了研究传染周期\tau_2对传染病控制的影响，保持其他参数不变，分别取\tau_2=8、\tau_2=10、\tau_2=12进行数值模拟，得到感染者数量随时间的变化曲线，如图6所示：从图6可以看出，传染周期\tau_2越长，感染者数量在高位持续的时间越长，整体的感染规模也相对较大。这是因为传染周期越长，感染者有更多的时间将疾病传播给易感者，从而导致传染病在人群中持续传播的时间延长。例如，当\tau_2=8时，感染者数量在第70天左右开始快速下降；而当\tau_2=12时，感染者数量在第90天左右才开始明显下降，且在高位持续的时间更长，感染规模更大。这说明，在传染病防控中，缩短传染周期可以有效降低传染病的传播范围和持续时间，可通过加强治疗和隔离措施来实现。通过数值模拟，直观地展示了模型的动力学行为，分析了潜伏期、传染周期等因素对传染病控制的影响，验证了前面理论分析得到的关于无病周期解的存在性、全局吸引性以及系统持久性的结论，为传染病的防控策略制定提供了有力的支持。五、两类模型的比较与实际应用探讨5.1两类模型的对比分析从模型结构来看，具有时滞和双线性发生率的脉冲接种SVIR传染病模型将人群分为易感者（S）、接种者（V）、感染者（I）和康复者（R）四类，仅考虑了疾病的潜伏期这一个时滞因素，且采用双线性发生率来描述传染病的传播过程。而具有两个时滞和饱和发生率的脉冲接种SVEIR传染病模型则将人群划分为易感者（S）、接种者（V）、潜伏者（E）、感染者（I）和移出者（R）五类，不仅考虑了疾病的潜伏期\tau_1，还引入了传染周期\tau_2这一重要时滞因素，同时采用饱和发生率来描述传染病的传播，更加细致地刻画了传染病传播过程中随着感染者数量增加，传播效率逐渐饱和的实际情况。在参数影响方面，两类模型中的一些参数具有相似的含义和作用。例如，人群常数输入率\Lambda、自然死亡率\mu、接种成功率p、接种者的免疫失败率\alpha以及感染者的恢复率\gamma在两个模型中都存在，且对模型的动力学行为产生类似的影响。然而，由于模型结构和发生率的不同，参数的具体影响程度和方式也存在差异。在SVIR模型中，双线性发生率系数\beta直接影响易感者与感染者之间的有效接触率，从而对传染病的传播速度和范围产生重要影响。而在SVEIR模型中