山东省菏泽市2025-2026学年高三年级上册期末数学试题B（试卷+解析）

山东省蒲泽市2025・2026学年高三上学期期末数学试题（B）

2026.02

注意事项:

1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置.

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上

对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5亳米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答

题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

1.已知集合A={TT，°，1},8=小叶2"<3},则（

)

A.{1}B.{0,1}C.{-1,0,1）D.{-3,-1,0,11

2.若z=3学为纯虚数，则实数〃的值为（）

-1+1

A.-4B.2C.-2D.4

3.设向量£=（x+l,x）出=（苍2）,则（）

A.。=一3"是的必要条件

B.“工=0”是的充分条件

c“X=1+石”是“a//bn的必要条件

D."x=一1+6”是“aHb”的充分条件

已知国卫5sM2”当兀TC

4=tana+—，则COSa+—)

I44J12)I4J4

A逐R「D而

一■D・■lz・---M----L/・,

551010

5.已知一个圆锥和一个圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是直角三角形，则这个圆锥和圆柱

的侧面积之比为（）

A.1B.也C.且D.72

223

6.已知函数/（.，）=”•—4+1在[2,4）上单调递增，则4取值范围是（〉

XX

A.（YO,2）B.（-50,2]C.（-oo,0）D.（-00,（）]

7.已知函数/（x）=Asin（〃）x+9）（A>0,0>0）图象是由y=J5sin（ox+g的图象向右平移乂个

I3J3

单位得到的.若/"）在T，兀上仅有一个零点，则口的取值范围是（）

B.1,1C.[1,2)

D.

8.如图，在棱长为4的正方体-中，M,N分别为棱4B，8c的中点，过C,

M,N三点作正方体的截面，则以"点为顶点，以该截面为底面的棱锥的体积为（）

A88G八%也

333

二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得。分）

9.己知随机变量J~N（2°2）,若p（j>3）=〃，P（\<^<i）=b,则下列说法正确的有（）

A.ci+b=-B.yfci+y[b>1C.《J+O,N—D.-H—28

28ab

10.已知函数“力及其导函数g（x）的定义域均为R.且f（x）为非常数函数,/（x）+/（x+2）=6,

g（2x+l）为奇函数，则下列结论中正确的有（）

A.g（l）=0B.g(x+2)=g(2-x)

100

C./（xl3）=/（x）D,X/（O=300

i=l

11.数学中有许多形状优美、寓意美好曲线，如星形线、心形线、卵形线等、已知卵形线

C：£+丁-24=0,则（）

A.曲线c关于y轴对称

B.曲线C上横、纵坐标均是整数的点恰有4个

C.曲线C上存在点〃，使得〃到点（0,1）的距离小于1

D.曲线C围成区域的面积大于4

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上）

12.已知双曲线C:二一与二1（加的左、右焦点分别为耳，8，点Q在。上，且

m"

/Q£居==jr，/£QK=j彳r，则C的离心率6=.

62

13.过点P（5,3）作圆。：/+'2-4工+2y-20=0的切线，则切线方程为.

14.四根绳子上共挂有10只气球，绳子上的球数依次为1,2,3,4,每枪只能打破一只球，而且规定只有

打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.

四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤）

15.已知/'（x）=2gsinx+2cosx.

（1）当X£（0,兀）时，求“X）的值域；

（2）在VA8C中，〃、b、。分别是角A、B、C所对边，若/（4）=4,且〃=石，求须.前的

最大值.

16.近年来，开盲盒深受年轻人的喜爱.甲商店推出一款售价为1元/个且外观相同的盲盒，每开一个盲盒,

会等可能地开出3款玩偶（分别记为A款、8款、C款）中的某一款.乙商店出售与甲商店款式相同的非盲

盒玩偶且售价为3元/个.

(1)若小明一次性购买了甲商店的3个盲盒，求他至少开出2个A款玩偶的概率；

(2)若小明只想要A款玩偶，方案一：直接去乙商店购买；方案二：在甲商店以开盲盒的方式购买，并

与老板协商一致，每次开一个盲盒，如果开出A款玩偶则停止，否则再开一个盲盒，若连续四次均未开出

4款玩偶，老板就赠送一个A款玩偶给他.为了得到A款玩偶，你认为小明应该选择去哪家商店购买更划

算，请说明理由.

17.在平行四边形A4O)中，AB=2AD=2.NDAB=60,,E为AB中点,将VAOE沿直线翻折至

△AOE.设M是线段AC的中点，CE1A.E.

(1)证明：CEJ■平面AQE：

(2)求点。到平面MEC的距离；

(3)求二面角4-。。-七的余弦值.

18.已知椭圆用：［+《=1(0<〃<2)的左、右焦点分别为"，鸟，。为M上一点，口/片2§=60°

时，△耳PF,的面积为且.

3

(1)求M的方程；

(2)设A为M的左顶点，直线/过点Q(-2,l),且与例交于8,C两点，直线A8,AC与V轴分别交于

点、M,N,证明：|隔十福|为定值.

19.设定义域为R的函数y=/W，对于,•>(),定义与=1|/+/2。)《尸｝.

(1)设/(x)=2x+l,求M；

(2)设/*)=4/+〃，是否存在。，使得5是一段闭区间？若存在，求。的取值范围；若不存在，请说

明理由;

（3）若对任意r＞0,5r=[-W（r）,v（r）],其中y=〃（x）,y=u（x）均是（0,+。）上的恒正函数.证明:

“、尸（一。）=/⑷对任意。＞。成立”的充要条件是“任取弓，与（0＜彳〈与）均有〃（4）工1，（幻且

也）《〃心）”.

山东省蒲泽市2025・2026学年高三上学期期末数学试题（B）

2026.02

注意事项：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置.

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上

对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5亳米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答

题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

1.已知集合A={TT°，1},B={xeN|-2C<3},则（）

A.{1}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{-3,-1,0,1）

【答案】B

【解析】

【分析】求出集合4,利用交集的定义可求得集合

【详解】因为集合人={-3,-1,0,1},B={XGN|-2<X<3}={0,1,2},故4nB={0,1}.

故选:B.

2.若z=±L丝为纯虚数，则实数。的值为（）

-1+1

A.-4B.2C.-2D.4

【答案】D

【解析】

【分析】利用复数的除法运算化简，借助纯虚数的定义计算即可.

4+5(4+«i)(-l-i)(6F-4)-(6Z+4)i。-4二0

【详解】z-囚为z为纯虚数，所以〈，八，则。=4,

-l+i(-l+i)(-i-i)~2~。+4工0

故选：D.

3.设向量2=1x),1=(乂2),则()

A.“x=—3”是“£11”的必要条件

B.“X=0”是“ZJLB”的充分条件

c.“X=1+6”是“a//b，f的必要条件

D."x=一1+百”是“。〃力”的充分条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.

【详解】当时，a^=(X4-1)X+X-2=X2+3X=0,解得x=0或x=—3,即必要性不成立，故A

错误;

当上=0时，a=(1,0),^=(0,2)•故7B=0，所以］_1_B，即充分性成立，故B正确；

当：〃力时，(工+1)-2-工"=。=/-21一2=0,解得工二1士行，即必要性不成立，故C错误；

当工二一1+百时，不满足f—2刀一2二0,所以二〃力不成立，即充分性不成立，故D错误.

故选:B.

兀

4.已知a+—

4j)

V5D.画

A.

5.510

【答案】D

【解析】

【分析】应用二倍角正弦公式化简得出cos?a+f=—,再结合角的范围确定余弦值的正负求解.

I4J10

【详解】因为a£，一：J,Ssinlza+l=tan(a+(

兀

sina+一

•/兀兀4)3兀7171-奉0,即

所以lOsina—cosaH—-----r,且ae-,a-i—e

4JI4兀T,44乙/

cosa+-

l4J

si•na+—九<0八,

I4J

/兀、］'n\

所以cos2\a+—=—,且cosa+—>0,

I4；10、4j

故选：D.

5.已知一个圆锥和一个圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是直角三角形，则这个圆锥和圆柱

的侧面积之比为（）

A.；B.当C.乎D.⑭

【答案】B

【解析】

【分析】根据圆锥和圆柱的侧面积公式求解即可.

【详解】设圆锥和圆柱的底面半径为「，高为〃，

又因为圆锥的轴截面是等腰三角形，

所以该轴截面是等腰直角三角形，则圆锥的高〃等于底面半径「

所以圆锥的母线长i=尸方=77+7=夜厂，

圆锥侧面积：5]=nrl=nr-叵r=\flnr2；

2

圆柱侧面积：S2=2Ttrh=2nr-r=2nr；

圆锥和圆柱的侧面积之比为工=叵<=，2.

2

S22nr2

故选：B.

6.已知函数/（"=彳一』+1在[2,4）上单调递增，则〃的取值范围是（）

X

A.（-<o,2）B.（-20,2]C.（-oo,0）D.（-oo,0]

【答案】B

【解析】

【分析】令，=’,不£[2,4）,可知，二[在[2,4）上单调递减，且小（LJ,由题意，只需函数

y=〃『-2/+l在/£（!，口上单调递减，分类讨论，结合一次函数与二次函数的单调性求解.

42

【详解】令f=：XE[2,4）,可知/=：在[2,4）上单调递减，且

。I］

要使函数小）=7-：+1在［2.4）上单调递增，只需函数），="-21+1在小（:为上单调递减，

当〃=0时，y=-2/+1在，£（；」］上单调递减，符合题意：

当。＞0时，），=。/一21+1图象开口向上，对称轴/=一，所以一之一，即0＜。工2,

aa2

当〃v0时，），=。/一2，+1图象开口向下，对称轴，=！＜0,

a

此时y二〃-2,+］在，上单调递减，符合题意，

综上，则g的取值范围是（-8,2］.

故选:B.

7.已知函数/（x）=Asin（〃M+9）（A＞0,切＞0）的图象是由y=JEsinjs+g的图象向右平移二个

13）3

JT

单位得到的.若/（力在5,兀上仅有一个零点，则①的取值范围是（）

C.[1,2)D.

【答案】A

【解析】

【分析】将问题化为函数〉=a5皿（口X+三］在；,乡上仅有一个零点，求出零点，然后讨论由第一

＜3J|_63」

个正零点在区间三,J上，第二个正零点大于三列不等式组求解可得.

_63J3

V2sin!69x+-1-l((w>

【详解】由题知，函数y=上仅有一个零点,

所以丁=@＞@一四二四，所以0＜/＜4,

co362

令行sin8+三=0,得GX+工=E,BPx=---eZ.

k3J3co3co

若第一个正零点工=四一二=」＜四，则。＞4（矛盾），

co3a）3。6

712兀

在17上仅有一个零点,

712兀2兀

-&---&--

63(o35,日，/5

所以《cc»解得1W0<二.

-2-兀----兀-->一2兀2

,co3693

故选:A

8.如图，在棱长为4的正方体八44c2,中，M,N分别为棱A8，4G的中点，过C,

M,N三点作正方体的截面，则以B点为顶点，以该截面为底面的棱锥的体积为（〉

8「8>/3

A.-B.8

33

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意作出截面，然后用匕一0吃'=以7碗-VB-PQN即可求出结果.

p

延长BB»CN交于点P.连接RM交A4于河，则平面CMQN为所求截面,

=^P-MBC~^B-PQN=^P-MBC~^Q-PBN=gXgX2X4X8一;XgX2X8X1=8,

故Vfi-QMCN

故选：B.

二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得。分）

9.已知随机变量g~N（2,〃），若P（J>3）=〃，P（l<4<2）=〃，则下列说法正确的有（）

1

,122

A.a+b=—B.yfu+y/bN18-D.—H—28

2ab

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用正态密度曲线的对称性可判断A选项：利用基本不等式可判断BCD选项.

【详解】对于A选项，因为尸（*3）=4,尸（1<彳<2）=〃，

由正态密度曲线的对称性可得〃=尸（J>3）=<1）,

故〃+/?=p（g<i）+p（i<g<2）=g,A对；

对于B选项，由题意可知0<。<,，0<b<-,

22

(6+〃)=a+b+2>[ab<2(«+/?)=1»故八+&£1，

(a=h

”1时，即当。=b=，时，等号成立，B错;

当且仅当

a+b=—4

2

对干C选项，(〃+〃『=/+尸+24〃工2(/+〃2),故/+屋(〃+6)

a=b

当且仅当《1时，即当。=b时，等号成立，C对;

a+b=—4

2

II-cOba.ccc

对于D选项，—+y=2(«+Z?)一+—=22+—+—>22+28,

abab)ab

b=a_

ab

a+b=—

2I

当且仅当《'时，即当。=人=一时，等号成立，D对.

,、14

()<4<一

2

0</9<-

2

故选：ACD.

10.已知函数及其导函数g(x)的定义域均为R..且/(/)为非常数函数，/(x)+/(x+2)=6,

g(2x+l)为奇函数，则下列结论中正确的有()

Ag(l)=0B.g(x+2)=g(2—x)

100

C./(x+3)=/(x)D.ZU)=300

【答案】ABD

【解析】

【分析】由奇函数的性质判断出8。)的图象关于点(1,0)对称可判断A,对/(x)+/(x+2)=6求导得出

g(x)的对称性判断B，由对称性得出周期性判断C,结合周期性求值判断D.

【详解】A：因为g(2x+l)为奇函数，所以g(-2x+l)=-g(2x+l),即g(—+l)=-g@+l),

即g(l-式)+g(l+x)=O,所以g(x)的图象关干点(1.0)对称口定义域为R,所以g(D=O,A正确:

B：由〃x)+/(x+2)=6,两边求导得r(x)+r(x+2)=。，即g(x)+ga+2)=0,

又g(x)的图象关于点(1,0)对称，得g(x)+g(r+2)=0,所以g(x+2)=g(2r),B正确;

C：因为g(2x+l)为奇函数，即g(x+l)为奇函数，则g(—x+l)=—g(x+l),

所以g(-x+l)+g(x+l)=0=/'(—x+l)+/'(x+l)=0,则一/(—x+l)+/(x+D=C(C为常数)，

当x=0时，C=-/(l)+/(l)=0,即/(x+l)=/(—x+l),故/(x+1)为偶函数，

所以/(X)的图象关于直线x=l对称，则/(x+2)=/(—x),又/(x)+/(x+2)=6,

所以/*)+/(—x)=6,所以/(x)的图象关于点(0,3)成中心对称，

由f(%)+f(x+2)=6得/(x+2)=6-/(x),所以f(x+4)=6-J\x+2)=6-(6-f(x))=j\x),

C错误；

D：由f(x)+f(x+2)=6得/(1)+/⑶=6,/(2)+/(4)=6,

所以/⑴+/(2)+/(3)+/(4)=12,又/(X+4)=/(工)，

100

所以Z/(i)=25[/(l)+/(2)+/(3)+/(4)]=25xl2=300,D正确.

f=l

故选：ABD

11.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线、心形线、卵形线等、已知卵形线

C：x2+y-2V7=0,则()

A.曲线c关于y轴对称

B.曲线C上横、纵坐标均是整数的点恰有4个

C.曲线。上存在点P,使得严到点(0,1)的距离小于1

D.曲线C围成区域的面积大于4

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据曲线方程分析曲线的性质，有曲线c为封闭曲线，过点(0,0),(±1,1),(0,4),关于y轴对称，

画出曲线大致图形，结合圆/+(),—1)2=1、四边形Q43O在曲线C•内部判断各项的正误.

【详解】由9+),-24=0,则尤2+(4-1『=1，对于曲线上任意点(X,y),其关于)'轴对称点为

(r，y)，

代入(一工)2+)，-24=冗2+)，-24=0成立，曲线关于直线x=0对称，A对；

所以炉=1一(4一1『二］,所以一IWxWl,则046《2，故0«)，<4,

y=0时x=0；y=l时x=±l；)，=4时冗=0,故曲线过点(0,0),(±1,1),(0,4),曲线C上恰好有4个

整点，B对；

对于曲线上任意一点?(%,%)，则与2+(再■-=1,

当为之1时，%之瓜>1，则%—1之屈一1>0,・・・(%-1)吆(仄-1『>0,

；•石+(%-之片+(J^T)=1»此时曲线上点在圆f+(),_］『二］外，

当为<1时,。<为<用<1，则%T〈收T<。，(收—1)、

•••£+()’0-1)&片+(右一1)2=1，此时曲线上点在圆/+()，-1『二1外，

所以曲线上的所有点均在圆外，即曲线。上不存在点P,使得P到点(0,1)的距离小于

1,C错；

如图，A(l,l),8(0,4),D(-l,l),四边形QA8O的面积%^=；x2x4=4,

当时，直线AB:)=-3工+4,曲线C：V+),-24=0，即3=_〈2+2>1_工2+2'

设/(4)=工3一6%2+17%—12(“三(0,1)),

/,(X)=3X2-12X+17,判别式A=122—3X4X17=—60<0，,/'(x)>0恒成立，

即函数/(“单调递增，且・・・/(1)=1-6+17-12=0,

・••当xe(0,l)时，/(x)=x3-6x2+17x-12<0,

/.x(x3-6x2+17x-12)<0,BPx4-6x3+17x2-12x<0»

・•・4-4X2>X4-6/+13X2-12.r+4，即(2yh>(x2-3x+2)2,

••2>/1-x~>x2—3x+2*即-。+2>/1—x2+2>—3x+4•

设点(X，X)在直线A4上，点(9，%)在曲线。上，则>’2>y，即曲线上的点在直线上方，

由对称可知，当T<x<0,)，>1时，上面的结论依然成立.

当l>x>0,l>y>0时，直线04:），=x,由得"一1二一7叱，曲线。方程等价

于y=—丁+26,又等价于y=—241+2，

设函数g（x）=V+2_?+戈-4（xe（01）），则g[x）=3f+4x+1>0,

即函数g（x）在（0,1）上单调递增,且g⑴=1+2+1—4=0,

所以当x«0,l）时，g（x）<0,即x3+212+工一4<0，

4-4x2>X4+2X3-3X2-4X+4»即卜Jl-d）>（-X2-X+2）\

则2,1-寸>-。2-4+2,即-d+2.

设点（刍,%）在直线0A上，点（%，％）在曲线。上，则为>M，即曲线上的点在直线下方，

由对称可知，当一1cx<0』>y>0时，上面的结论依然成立.

故四边形046。在曲线C内部，故曲线C所困成区域的面积大于S°sc=gx2x4=4,D对.

故选：ABD

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上）

22

12.已知双曲线。：——与=1（加>0,〃>0）的左、右焦点分别为耳，鸟，点Q在C上，且

m~n~

/2月工==,/印2凡==,则c的离心率0=.

62

【答案】6+1##1+百

【解析】

【分析】根据给定条件，利用直角三角形边角关系及双曲线定义求出离心率.

【详解】设双曲线C:二一匚=1（机>0,〃>0）的半焦距为C,则IG八|=2c,

intr

在"Q名中，由NQ耳居=券，/4QE=g，得IQKI=2ccosg=Qc,|QE|=2csiiW=c

6266

由双曲线定义得I。"I-I。鸟1=2。,则V3c-c=2a，

所以c的离心率e=£=—^一=6+1.

a<3-1

故答案为：、6+1

13.过点尸(5,3)作圆Cif+V-4v+Zy-ZOrO的切线，则切线方程为

【答案】3x+4y-27=0

【解析】

【分析】先判断点P(5,3)在圆上，再求出切线的斜率，点斜式即可求解.

【详解】将点尸(5,3)代入圆。：丁+卡一4工+2)，-20=0的方程，得52+32—4x5+2x3-20=0,故

点P(5,3)在圆上.

。:丁+),2-41+2丁-20=0可化为：(x—2『+(y+l)2=25,圆心为(2,-1).

kpc=U二:，故左切=_［，故切线方程为：y-3=-1(x-5),即3x+4)，-27=0.

5—2344

故答案为：3x+4)，-27=0.

14.四根绳子上共挂有10只气球，绳子上的球数依次为1,2,3,4,每枪只能打破一只球，而且规定只有

打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是________.

【解析】

【详解】问题等价于编号为1,2,3L,10的10个小球排列,其中2,3号，4,5,6号，7,8,9,10号的排列顺序

是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是=12600.

A；xA；x

四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤）

15.已知/（x）=2百sinx+2cosx.

（1）当X£（0,兀）时，求/（x）的值域;

（2）在VA3C中，。、/八c分别是角A、B、C所对的边，若/（4）=4,且〃=百，求;4月.人。的

最大值.

【答案】⑴（-2,4]

⑵-

2

【解析】

【分析】⑴利用辅助角公式化管得出〃x）=4sinx+^\,由x«0,兀）可求出x+2的取值范围，结合

正弦型函数的基本性质求得函数的值域；

（2）由/（A）=4结合角A的取值范围可得出角A的值，然后利用正弦定理结合平面向量数量积的定义计

-----»（711____

算得出AB-AC=sin2B--+-,求出角4的取值范围，利用正弦型函数的基本性质即可求得而.恁

I6）2

的最大值.

【小问1详解】

f（x）=2>/3sinx4-2cosx=4sin|x+—,

k6J

7T（it77r）（冗、（i

因为xw（0,7t）,所以工十二£，所以sinx+—e--,1,

6166；I6；V2J

故/3=4sin（x+"«-2,4],则在（0,兀）上值域为（一2,4].

【小问2详解】

因为/（八）=4sin[A+J=4,所以sinA+j=1,则A+3=二+2女加（/eZ）,

V6JI6J62

故,4=]+2E（左£2）,

又因为A£（0,兀），所以A二§,

乂因为。=6,所以由正弦定理一乙二-^,得。=且竺C,同理可得〃=竺”0,

sinAsinCsinAsinA

因为sinA=sin4=，cosA=cos—=—,a=，C=——B,

32323

立吟上cosA=2sin8sin(空

所以ABAC=c〃cosA=B

sin2A(3

=>/3sin8cos3+sin2B=-^-sin2B+-^(1-cos2B)

cosB+—sinB

2/

-sin2B--cos2B+—=sinf2^--+—

222I6j2

因为A=二，则所以一工＜28-工〈X,

3I3J666

所以当23-3=5,即3时，而.沅最大值为:.

6232

16.近年来，开百盒深受年轻人的喜爱.甲商店推出一款售价为1元/个且外观相同的盲盒，每开一个盲盒，

会等可能地开出3款玩偶（分别记为A款、8款、C款）中的某一款.乙商店出售与甲商店款式相同的非盲

盒玩偶且售价为3元/个.

（1）若小明一次性购买了甲商店的3个盲盒，求他至少开出2个A款玩偶的概率；

（2）若小明只想要A款玩偶，方案一：直接去乙商店购买；方案二：在甲商店以开盲盒的方式购买，并

与老板协商一致，每次开一个盲盒，如果开出A款玩偶则停止，否则再开一个盲盒，若连续四次均未开出

4款玩偶，老板就赠送一个A款玩偶给他.为了得到H款玩偶，你认为小明应该选择去哪家商店购买更划

算，请说明理由.

7

【答案】（1）—

27

（2）去甲家商店购买更划算，理由见解析.

【解析】

【分析】（1）首先设至少开出2个A款玩偶为事件E，结合独立重复事件概率公式，即可求解概率；

（2）根据方案二的结果求分布列及上（丫），再根据方案一平均花费为3元，即可比较判断.

【小问1详解】

设至少开出2个A款玩偶为事件E

故明V目同+4**

【小问2详解】

方案一：直接去乙商店购买花费3元；

方案二：设X表示开盲盒的次数，即花费为丫=乂,

故X的所有可能取值为1，2,3,4,

P(x=4)=p(y=4)=^Jxi=A,P(x=3)=p(r=3)=^|Jxi=±,

P(X=2)=P(y=2)=f|V=1,p(x=i)=p(y=i)=l,

则y的分布列如表所示:

Y1234

248

P

392727

E(y)=lxl+2x-+3x—+4x—=—

v739272727

方案二平均花费为维v3元，方案一平均花费为3元，故小明应该选择去甲家商店购买更划算.

27

17.在平行四边形ABC。中，48=24。=2,/。48=60。,£为人〃中点，将VAOE沿直线。月翻折至

△AOE.设M是线段的中点，CE1A.E.

（1）证明：。石，平面4。后；

（2）求点。到平面MEC的距离;

（3）求二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

（2）旦

2

【解析】

【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明即可；

（2）根据匕=%»或，结合三棱锥体积公式计算即可：

（3）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，再根据线面角向量法求解即可.

【小问1详解】

因为A3=2,4。=\yZDAB=60",E为AB中点，

所以4E=AO=BE==1,ZABC=12（），

即VAOE为等边三角形，所以OE=1,

在.BCE中,EC2=BE2+BC2-2BE-BCcosZABC=\+\-2x\x]x^-^=3.

所以CE=G，因为应2十四2=加2,所以CE_LQE,

又CE_LAE,4EcDE=E,AE,DEu平面A}DE,

所以CE_L平面AQE：

【小问2详解】

由（1）知CE为三棱锥。一4。£的高,

q

=-A]EsinZDA,E=—xlxlx~2~~4~

所以"“EC二%-型）£=；*乎乂6=J,

JJ"•

因为〃是线段AC的中点，所以匕/-DEC=〈VVC=:，

Zo

又在△AEC中，虑，4石，支=6,4石=1，

所以S”FC='S讦0=正，设点。到平面M£C的距离为d,

△AJCC)A/1|fcC4

则^M-DEC~^D-MEC~§^^MECX，

即lx与d=，

348

所以4=立：

2

【小问3详解】

取D£中点O,DC中点尸，以。为坐标原点，OEOEO4分别为工轴，丁釉，z轴建立空间直角坐标

瓯=―，

。。二(1,百,0),

设平面\DC的法向量为n=(x,y,z),

1上6八

—x+——z=0,

所以22令y=T,

x+\/3y=0,

可得平面A。。的法向量为n=(75,-1,-1),

易知平面OFC的一个法向量加=(0,0,1),

设二面角\-DC-E的平面角为0,

由图可知二面角的大小为锐角,

所以cos，=|cos❷沅,方图=]=好,

所以二面角\-DC-E的余弦值为旦.

5

18.已知椭圆M:二+£=1（0<〃<2）的左、右焦点分别为"，鸟，。为M上一点，旦N月户居二60,

4b~

时，的面积为由.

3

（1）求M的方程；

（2）设A为M的左顶点，直线/过点。（-2,1）,且与知交于B,C两点，直线AS,AC与丁轴分别交于

点M,N,证明：|AM.+AN」为定值.

2

【答案】（1）—+y2=l

4-

（2）证明见解析

【解析】

4/72

【分析】（1）应用椭圆定义及余茂定理得出，〃〃=丝再应用面积公式代入求解得出从二1，进而得出

3

椭圆方程；

（2）先求出直线/得MN中点为E（0,l）,再设直线A8:x=〃?），—2,AC:x=ny-2联立椭圆方程得出

B警,C里一,最后应用三点共线得出根十%=〃〃2,最后计算得出定值.

（〃广+4m~+4JIn~+4n+4）

【小问1详解】

设|尸制=〃’,|?国=〃，则〃7十〃=4,①

在△"P行中，由余弦定理可得m2+n2-2加7cos/6尸巴=忻，

即in2+n2-rnn=4（4-Z??）,

4〃2

即（帆+〃尸-3mn=16-4〃）代入①式，得mn=---.

所以J〃〃.60。」•也.立二"

aF,-22323

所以从=1，椭圆M的方程是土+丁=1.

4-

4c斜率为0,N点为坐标原点(0,0),直线/方程为x+4.v-2=0.

丫2(64)

代入二十),2=1,求得8,所以A5方程为y=x+2,

4I5力

所以M(0,2),所以MN中点为E以，1).

所以|丽/十丽|=2|通|=26.

当XB,AC斜率都不为。时，设/IB:x=my-2,AC:x=ny-2,

।x=my-2,

由<f,得+4)/-4加旷=0,

匕+…

4〃？心、_2m~-8

所以)’8=r—7，代入x=")"o2中，得为=—；----

"T+4nr+4

(2m2-84〃z、

所以B22

i777+4'tn+4>

‘2/?-84"、

同理C，2

、/2+4;

由。，B,C共线，得ZQB=ZQC，

4m4n_

-5----------]

W+4