重难点06 函数的整点、定点、定值问题（3大类型5大题型） （复习讲义）原卷版-2026年中考数学一轮复习

第三章函数

重难点06函数的整点、定点,定值问题

（3大类型5大题型）

目录

01深挖重难•固根基............................................1

02分层锤炼•验成效............................................13

固•重难考点

类型——次函数整点问题

类型二反比例函数整点问题

类型三二次国数整点问题

类型——次函数定点问题

类型二二次函数定点问题

深挖重难•固根暮

理•

函数的整点、定点、定值问题是中考函数综合题的高频考点，覆盖一次、反比例、二次函数，核心是

分析"函数中满足特定数值特征的点/值"，重点如下：

一、函数的整点问题

核心要求：结合函数图像特征，判断函数图像上（或平面内）是否存在横、纵坐标均为整数的点（即"整

点’）。

关联难点：

D一次函数整点：

①如"已知一次函数丫=1＜乂+13,求其图像上的整点坐标"（需结合k、b的取值，分析整数解）；

②拓展："直线上是否存在整点，使该点到某定点的距离为整数"。

1/21

1（•

2）反比例函数整点：如"反比例函数歹=£的图像上有哪些整点"（需结合k的因数分解，找整数对（X,

x

y））。

3）二次函数整点：

①如"抛物线y=ax2+bx+c上是否存在整点"（需代入整数x,验证y是否为整数）；

②拓展："抛物线上的整点能否构成特定图形（如等腰三角形）"。

二、函数的定点问题

核心要求：分析函数图像是否恒过某一固定点（与函数中的参数取值无关）。

关联难点：

1）一次函数定点：如"含参数的一次函数y=k（x-2）+3恒过哪个定点”（令参数系数为0,求解x、y）。

2）二次函数定点：如"含参数的抛物线y=ax2+（a-1）x+2恒过哪个定点"（整理为关于参数的式子，令

系数为0）。

3）反比例函数定点：特殊场景：如"反比例函数与一次函数的交点是否为定点"（联立方程，分析解是

否与参数无关）。

三、函数的定值问题

核心要求：分析函数中某一星（妇线段长度、角度、面积、比值等）是否为固定数值（与函数上点的位置

或参数无关）。

关联难点：

1）线段/比值定值：如"抛物线y=x2上任意一点P向x轴作垂线，垂足为Q,则上£是否为定值”（代

OQ-

入坐标推导）。

2）面积/角度定值：

4

①如"反比例函数y二—上任意一点与原点、坐标轴围成的矩形面积是否为定值"（利用反比例函数k的

几何意义）；

②如"一次函数y=x+1与y=-x+3的交点与两坐标轴围成的三角形内角是否为定值"。

3）多函数综合定值：如"一次函数与二次函数交点的横、纵坐标之和是否为定值"（联立方程，利用韦

达定理推导）。

四、多函数综合的整点、定点、定值问题

核心要求：结合一次、反比例、二次函数的图像特征，分析跨函数的整点、定点、定值。

示例：”含参数的一次函数与二次函数的交点是否为定点，且该点是否为整点"。

研*解题之道▲

题型01整点问题

Q困数已知，找整点个数二根据整点情况求未知参数一

第一步口寻找已知函数图像上的整点作为边界分类讨论，找临界状态时未知参数的取值」

点线」

第二步准确画图，确定区域画临界状态B寸的图像找整点，再根据情况画参数取值在

临界状态两侧时的图像的大致范围，看整点情况」

第三步二关注是否包含边界上的整点♦关注是否包含边界上的整点，确定未知参数的值或范围

注意事项规范作图，防止画图错误导致点错位找整点个数时的临界状态，若求无整点时的情;兄,可以

的情况发生找一个整点时的临界状态

类型——次函数整点问题

1.（2025・河北•中考真题）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点.如图，正方形WGH

与正方形。力BC的顶点均为整点.若只将正方形EFGH平移，使其内部（不含边界）有且只有4B,C三个

整点，则平移后点E的对应点坐标为（）

2.（2025顺义区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.例如

点M的坐标是（3,2）,点M就是一个整点.已知一次函数y=-x+b的图象与％轴正半轴交于点4与y轴正半

轴交于点B,如果△力。8内部（不包括边上）的整点只有3个，那么b的取值范围是（）

4

3

0\~1~234与

A.2<b<3B.2<b<3C.3<b<4D.3Vbs4

3/21

3.（2025•河北张家口•模拟预测）如图，平面直角坐标系中，有一动直线八广=收一24-3,点力（2,6）先向

右平移4个单位长度再向下平移8个单位长度得到点儿

（2）（1）AAOB的面积为；

②判断直线，是否经过点（2,-3）；

⑶设直线，与△力。^的边。8、AR分别交于点M、N,如果△BMN内部只有5个整点（不包括边界），直•接•写•

小A的取值范围.

4.（2025・河北唐山•二模）如图，在平面直角坐标系中，工轴上有一点力（一3,0）,C（-2,0）,过点C作。O||y轴,

设点。的纵坐标为Q,将点4先向右平移3个单位长度再向上平移2个单位长度得到点B.

⑴在图中画出直线48,并求直线A8的解析式；

⑵若直线与线段CD有交点，求Q的取值范围；

⑶若宜线y=kx-k+2与x轴，直线4B围成的封闭图形（不包括边界）有4个整点（横、纵坐标均为整数的点）,

直接写出k的取值范围.

5.（2025•河北石家庄•二模）如图，直线L：y=kx-4（k为常数，k>0）与y轴交于点4更线%：y=-号》+上

与?釉交于点8,两直线交于点C.

⑴苦点区坐标为(0,2),求〃的值和点。坐标；

(2)规定：横、纵坐标均为整数的点为整点，当k为整数时，求C为整点时的坐标；

⑶设在直线x=l上，且落在AABC内部(不含边界)整点的个数为m,直接写出zn的值.

类型二反比例函数整点问题

6.(2025•河北沧州•一模)定义：把横、纵坐标均为整数的点称为整点.如图，反比例函数y=£(%>0)的

图象与直线y=x交于整点人与直线，2：〉二一X+22交于整点8和整点e直线人与12交于整点。，若线段

8C上有7个整点(包括端点)，hAD=y/2,则t的值为.

7.(2025・安徽合肥•三模)在平面直角坐标系％Oy中，双曲线y与直线=",y?=2x分别交于第一象

限内的点4点8,将线段。4。8和函数y=$(x>0)的图象在48之间的部分围成的区域(不含边界)

记为区域W.若区域W有且仅有1个整点(横坐标和纵坐标都为整数的点)，则k取值范围为.

8.(2025•河南三门峡•二模)如图，在平面直角坐标系中，正方形48co的顶点48的坐标分别为(1,1),(4,1),

反比例函数的表达式为y=；(x>0).

⑴若反比例函数的图象经过正方形ABCO的中心.

①求k的值；

5/21

②若反比例函数图象与CD交于点E,连接BC,BE,求△BDE佗面积.

⑵若在反比例函数图象的上方，且在正方形48CD内（不含边界）只有1个整点（横、纵坐标均为整数的点）,

则A的取值范围是.

类型三二次函数整点问题

9.（2025•上海浦东新•模拟预测）若平面直角坐标系内的点满足横、纵坐标都为整数，则把这样的点叫做"整

点”.若抛物线'=£X2-44+4£-2与*轴交于点乂、N两点,若该抛物线在M、N之间的部分与线段MN

所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则t的取值范围是

10.（2025•湖南娄底•模拟预测）我们定义：在平面直角坐标系中，如果一点的横、纵坐标都为整数，则称

这个点为“整点〃.在平面直角坐标系中，点4（-3,1）,8（0,2）,点C在线段上运动，过。点作与工轴平行的

直线L1与抛物线》=-》2-4%+匕始终有交点.设直线!与抛物线所围成的封闭图形（包括边界）中的〃整

点"个数为n,若n满足0＜几W15,则b的取值范围为.

11.（2025・四川乐山•中考真题）在一堂函数专题及习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于

某一点尸成中心对称，则称这两个函数关于点P互为"对称函数请同学们解决以下问题：

⑴求函数y=x-l关于点（0,0）的“对称函数”.小乐同学给出了如下的解题步骤：

第一步：在函数y=%-1的图象上取两点（1,0）和（0,-1）；

第二步：分别求出这两个点关于点（0,0）的对称点和;

第三步：函数y=x-l关于点（0,0）的〃对称函数〃为.

⑵是否存在点尸，使得函数y=：+l关于点P的“对称函数"就是它本身？如果存在，请求出点P的坐标：如

果不存在，请说明理由；

⑶函数G：y=a/-2以+2以。＞0）关于点（2,2）的“对称函数”为3,函数G与函数Q所围成的区域（包括

i力界）记作W,横坐标、纵坐标都为整数的点叫做“整点〃.

①若a=%求W内的"整点"个数；

②若勿内至少有9个“整点〃，至多有13个“整点"，求a的取值范围.

12.（2025•广东深圳•三模）在平面直角坐标系xOy中，设二次函数y=a/-2ax+l（a00）的图象为抛物

线G,抛物线G与抛物线Gi的图象关于x轴对称.

6/21

5-5-

1111AI][[>

2345x-5-4—3—2-或2345x

-2-2

-3一3

-4

-5

备用图

⑴抛物线G与y轴的交点坐标为,抛物线G的对称轴为直线％=；

⑵当Q=3时，求抛物线Gi的表达式；

（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记抛物线G与抛物线Gi围成的中间封闭区域（不包括边界）为W.

①当Q=3时，直接写出区域W内的整点个数；

②如果区域W内恰有5个整点，结合函数图象，直接写出。的取值范围.

13.（2025•安徽合肥•模拟预测）已知二次函数y=/-（m+2）%-2nl.

m2

⑴若点人（m-3,yJ,B（m,y2X>5）都在二次函数y=x-（m+2）x-2m的图象上，试比较力/2的大小;

（2）若当一1WxW3时，函数y=/一（m+2）乃一2m的图象与x轴只有一个交点，求m的取值范围；

⑶平移二次函数丫=/一（771+2.-2771的图象，使其顶点与原点重合，得到二次函数3若直线y=mx+

2m（m>0）与二次函数L的图象所围成的封闭图形内部（不包含边界）只有6个整点（横坐标与纵坐标均为

整数的点），直接写出m的取值范围.

14.（2025•湖北襄阳•一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a/一2。％-3a（。=0）与％轴交于力,

8两点（点A在点的左侧），与y轴交于点C.

备用图

⑴求4、8两点的坐标；

（2）当。=-1时，动直线x=m与抛物线交于点P,与直线BC交于点Q,线段PQ的长为d,求d关于机的函数

解析式；

7/21

⑶我们规定：横、纵坐标都是整数的点叫做整点.若抛物线在点,4B之间的部分与线段所围成的区域内

（不含边界）恰有6个整点，试结合函数图象直接写出Q的取值范围.

15.（2025邯郸市模拟）如图,抛物线Q：yi=a/+2ax+。+2与抛物线Q：%=一,+mx_5交于点

5（1,-2）,且分别与y轴交于点D,E,过点8作x釉的平行线，分别交两条抛物线于点4C.

⑴直接写出a,m的值：

⑵嘉嘉说：g可由心向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到.淇淇说：无论x为何值，丸

恒小于0.请选择其中一人的说法进行说理；

⑶作直线AO,将直线4。向下平移n5>0）个单位长度后得到直线，，求直线呜抛物线的，Q有三个交点时

，的值；

⑷直接写出抛物线G与。2在四边形力DCE区域内（包括边界）的整点（横、纵坐标都为整数）个数.

题型02定点问题

方法1:消掉待定系数k,方法2：特殊值法,

第一步一先找出所有含k的项，=+kx-3k取两个k的任意值，代令k=l，y^x2+x-3y

2

再提公因式k-=X+^(X-3)入函

令k-0，y=x2

教解析式、

第二步令与k相乘的因式为0，令工-3=0,则x=3,求出列方程组令x-3=0,则x=3,此时

求出X，再回代函数解析X，再回代函数解析此时h，=『+x-3y=x2+A(x-3)=9^

卜=/

式求出V=X：+A（X-3）=9'J

第三步，在一个函数中，知X可无论k取何值，抛物线'x=3无论k取何值，抛物线都经过

解得定点坐标V°

求「即可求出定点~都经过定点（3,9”）=9定点（3,9）3

总结k取任意值，抛物线都会经过同一定点，所以此定克k取任意值，抛物线都会经过同一定克，所以任取两k值代

与k值无关,先提出参数k，再令k的系数为0,贝Uk入所形成的两个二元一次方程组成的方程组的解即为该定

祓消掉，不起作用，此时X、§值即为该定点坐标：点坐标中

类型——次函数定点问题

16.（2025・陕西•模拟预测）在平面直角坐标系中，有直线y=依-2A（kW0）,则该直线过定点（）

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A.(2,0)B.(0,2)C.(-2,0)D.(0,-2)

17.（2025•上海•模拟预测）如果不等式kx+b>0的解集为那么直线y=kx+b（/c<0）一定会

经过一个定点，这个定点的坐标为.

18.（2025•河北沧州•模拟预测）如图，平面直角坐标系中，点力（-1,2）向上平移4个单位长度到点氏点4

向左平移2个单位长度到点C,直线，:y=mx+m+2的图象与直线BC交于点D.

%

r-r-r-r-v-9

j-i—i-4-i—8

-6

-5—4-3—2~1Ox

⑴画出直线8。并求直线BC的解析式；

⑵嘉嘉说：m有唯一值不可取：

淇淇说：无论m为何值（唯一不可取的值除外），直线，总经过一个定点；

请选择其中一人的说法进行说理.

⑶当直线1与直线BC的交点。到工厢的距离恰为3时，求m的值.

19.（2025・河北唐山•一模）如图，直线。经过力（一1,0）,8（0,1）两点，己知。（4,1）,点P是线段8。上一动点（可

与点B、。重合）；直线，2：y=kx+2—2/c（A为常数）经过点P,交％于点C.

⑴求直线。的函数表达式；

（2）无论k为何值时直线％过定点，息谈写出定点坐标:

⑶在点P的移动过程中，直接写出上的取值范围.

⑷当k=-3时，设直线y=a与直线，1，Z2及V轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称.直接写出

Q的值.

类型二二次函数定点问题

20.（2025•四川自贡•中考真题）如图，在△力BC中，0/分别是4。,48的中点，连接OE,CE,BD交于点G.

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饴用图

(1)若BDJLCE,BD=1,CE=p则四边形8CDE的面积为:

(2)若BD+CE=g,△4BC的最大面积为S.设8。=刈求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值；

⑶若(2)问中x取任意实数，将函数S的图象依次向右、向上平移1个单位长度，得到函数y的图象.直线y=

/qx-/q交该图象于•点F,H(F点、在H点、左边),过点H的直线Z：y=+b交该图象于另一点Q，过点F,Q

的直线与直线x=1交于点K.若S^HFK=S^HKQ，试问直线I是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不

过定点，请说明理由.

21.(2025•四川南充・中考真题)抛物线y=。、2+2(«：一，(£1工0)与*轴交于力(3,0),8两点，N是抛物线

⑴求抛物线的解析式及点B的坐标.

(2)如图1,抛物线上两点P(m,yD，Q(m+2/2)，若PQIIBN,求m的值.

⑶如图2,点—如果不垂直于y轴的直线/与抛物线交于点G,H,满足乙GMN=KHMN.探究

直线/是否过定点？若直线/过定点，求定点坐标；若不过定点，请说明理由.

22.(2024.河北.中考直题)如图,抛物线G：y=a/-2x过点(4.0),顶点为Q.抛物线Q：V=-“丫一「7+

|t2-2(其中t为常数，且£>2),顶点为P.

4

10/21

(1)直接写出a的值和点Q的坐标.

⑵嘉嘉说：无论t为何值，将G的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在C2上.

淇淇说：无论t为何值，Q总经过一个定点.

请选择其中一人的说法进行说理.

(3)当t=4时，

①求直线PQ的解析式；

②作直线111PQ,当/与0的交点到x轴的距离恰为6时，求/与x轴交点的横坐标.

⑷设Q与的交点4，8的横坐标分别为孙,打，且办<孙•点M在Ci上，横坐标为m(2工mW心).点N

在C2上，横坐标为W九三。.若点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的

距离恰好也为d,直接用含t和m的式子表示c.

23.(2025•福建福州•三模)己知抛物线y=^x2-2x4-c交汇轴于原点。和点A,直线y=kx+b交抛物线于

点8和点C,其中点8为y轴左侧抛物线上一点，C为“轴下方抛物线上一点.

⑴求抛物线顶点坐标.

(2)当k=-l,b=凯上若点P为直线BC下方抛物线上一点，求△8CP面积最大时，点P的坐标.

⑶若始终有乙A08-乙4OC=90。，直线8c是否过定点？若是，求出该点坐标，若不是，请说明理由.

24.(2025•广东佛山•三模)已知二次函数y=nix?-2mx+3(m工0).

【特例分析】(1)当m=-2,-1,2时，其图象对应为图中的力，y2»73»请在图中画出当m=1时的函

数图象：

【性质探究】(2)观察图象，发现二次函数y=m%2-2mx+3恒过定点,对称轴为：

【性质运用】(3)将函数丫=771%2一2加+3图象向下平移引词个单位，若所得图象的顶点落在x轴上，

求m的值：

(4)设点N(2,b)在该二次函数的图象上，且aVb,实数m的取值范围为；

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25.(2025・湖北武汉•三模)如图，抛物线旷=^%2一3%+4与%粕交于4B两点、(点力在B的左恻)，交y轴于

(1)直接写出4B,C三点的坐标；

⑵如图(1),。为抛物线上一点，连接AD,若AC平分4(MD,求点。的坐标；

(3)E,F是对称轴右侧第一象限抛物线上的两动点，直线AE,力产分别交y轴于M,N,如图(2)若0M•ON=2,

直线EF经过定点P,求出P点的坐标.

26.(2025・湖北武汉•模拟预测)已知抛物线g:y=。必—2仆+(:经过点(1,2),与％轴交于/(-1,0)、B两点.

⑴求抛物线G的解析式;

12/21

⑵如图1,宜线y=：x交抛物线G于S、7■两点，M为抛物线g上4、7之间的动点，过M点作轴于点

旦A1F_LSTF点F,求ME+MF的最大值；

⑶如图2,平移抛物线G的顶点到原点得抛物线C2,直线y=x+8交抛物线于P、Q两点，已知点，（0,1）,

连接PH、QH分别交抛物线于另一点N、M,求证：直线MN经过一个定点.

题型03定值问题

二次函数中的定值问题常与儿何知识综合考查，常见的有线段和（差）面积，比值等.利用二次函数求解这

些几何线段所代表的代数式定值问题属于定量问题，一般采用参数计算法，即在图形运动中，选取其中

的变量（如线段长，点坐标），设出参数，将要求的代数式用含参数的形式表示出来，消去参数后即得定值.

27.（2025•安徽・中考真题）已知抛物线y=g2+b%（Qjo）经过点（4,0）.

⑴求该抛物线的对称釉；

（2）点4（必/1）和8（%2，月）分别在抛物线y=QX2+bx和y=X2-2x±（4B与原点都不重合）.

①若Q=T，且4=%比较yi与丫2的大小；

②当丝=这时，若2是一个与勺无关的定值，求a与b的值.

yixixi

28.（2024•江苏宿迁•中考真题）如图①，已知抛物线yi=工2+日+。与x轴交于两点。（0,0）、4（2,0）,将

抛物线力向右平移两个单位长度，得到抛物线力，点P是抛物线y1在第四象限内一点，连接PA并延长，交

抛物线先于点Q.

⑴求抛物线W的表达式：

⑵设点p的横坐标为与，点Q的横坐标为勺，求勺-的值；

⑶如图②，若抛物线为=X2-8x+£与抛物线为=%2+bx+C交于点C,过点C作宜线MN,分别交抛物

线力和力于点M、N（M,N均不与点c重合），设点M的横坐标为m,点、N的横坐标为n,试判断|m-n|

是否为定值.若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由.

29.（2024・湖南•中考真题）已知二次函数y=-%2+c的图像经过点＜（-2,5）,点P（%i，y。，QG2/2）是此二

次函数的图像上的两个动点.

13/21

⑴求此二次函数的表达式；

(2)如图1,此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点8,点P在直线AB的上方，过点P作PC，》轴于点C,

交48于点。，连接力C,OQ,PQ.若％2=/+3,求证受"的值为定值；

S^ADC

⑶如图2,点P在第二象限，x2=-2xn若点M在直线PQ上，且横坐标为与一1,过点M作MN1%轴于

点N,求线段MN长度的最大值.

30.(2025•辽宁铁岭•模拟预测)如图1,二次函数y=卷%2一2工一个与x轴交于点4B(点A在点B

15155

的左侧)，与y轴交于点C,点。坐标为(-1,0),过点。的直线与抛物线交于点E,F,点E的横坐标为m,

点F的横坐标为一m—2.

⑴求证：DE=DF.

⑵求m的值.

⑶如图2,过点八的直线交y轴于点P,过点E作EG14P,连接F。交AP于点H,此时NGHr=90。，

求是否为一定值.如果是，求出定值；如果不是，请说明理由.

31.(2025•广东广州,二模)己知二次函数丫=。/+力:+<:图象的对称轴为直线％=1,且与％轴的一个交点

为«3,0),与y轴交点为8(0,3).

14/21

⑴求二次函数的解析式；

⑵点P为乙。48内部一个动点，且力P=3,点P关于直线AB的对称点为Pi，点P关于％轴的对称点为P2,问P[P2

的距离是定值吗？若为定值，请求出距离：若不是定值，请说明理由；

⑶点C为二次函数y=ax2+bx+c与工轴的另一个交点，点Q为二次函数y=ax2+bx+c上一点，若

△Q4B=2LOBA-Z-OBC,求点Q的坐标.

32.（2025・湖南常德•二模）如图，已知抛物线的顶点坐标为4（4,0）,且与y轴交于点（0,»点B的坐标为（4,3）,

点C为抛物线上一动点，以点。为圆心，C8长为半径的圆交x轴于M,N两点（点M在点N的左侧）.

⑴求此抛物线的函数表达式；

（2）当点C在抛物线上运动时，弦MN的长度是不是定值？若不是定值，请说明理由；若是定值，请求出弦MN

的长.

⑶如图2,若直线8c过点（1,0）,求证：三角形C8N是等边三角形.

-02-

分层锤炼•胎成效7

固*重难考点”

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1.12025•云南玉溪•三:模）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax?-4QX+4Q+3（Q<0）与不轴的交点为4,B.

⑴求抛物线的对称轴和顶点坐标；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点.若抛物线在点48之间的部分与线段48所围成的区域内（包括边界）

恰有10个整点，求Q的取值范围.

2.（2025•河南南阳•二模）如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线y=：（无>0）交于点八和C,与x

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轴交于点8和。，点4、8的刻度分别为5cm和2cm,直尺的宽度为2cm,OB=2cm.（注：平面直角坐

标系内一个单位长度为1cm）

⑵若横、纵坐标均为整数的点称为整点.图中由曲线4C及线段48、BD、CO围成的封闭区域内（含边界）

整点个数有几个？（直接写出结果）

⑶沿x轴负方向平移直尺，当8c恰好平分乙A8D时，请直接写H平移的距离.

3.（2025・河南周口•三模）如图所示，双曲线y=；（x>0）经过点（2,2）和点M（4,n）,经过双曲线上的

点力且平行于0M的直线与y轴交于点B,点A在点M左上方，设G为y轴、直线4B、双曲线,=；（无>0）及

线段0M之间的部分（阴影部分），解决下列关于G（不包括边界）内的整点（横、纵坐标都为整数）问题:

（1）6内整点最多有一个：

⑵若G内整点的个数为4,求点B的纵坐标m的取值范围.

4.（2025•湖北武汉•模拟预测）如空，抛物线G：丫=。/一4与、轴交于48两点，AB=8,点£（0,3）.

⑴求抛物线的解析式;

⑵如图（1）,点Q是直线4E上一动点，直线8Q交抛物线于点。，若5^^=却颂8£求点。的横坐标:

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⑶如图(2),将抛物线Ci沿x轴而称得到抛物线Cz.不过原点的直线人与抛物线C2交于点M，交y轴的负半

轴于点F,直线％IIA，直线％和抛物线C2有且只有一个公共点N,若£F=EM+4,请你证明直线MN恒过

定点，并求出这个定点的坐标.

5.12025•四川成都•二模)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线、=。为2-40%-5以(1>0)与*轴交于4,

8两点(点4在点8的左侧)，与y轴交于点E,其顶点为C,。是抛物线第四象限上一点.

(2)当a=g时，若△力8。的面积是△AC。面积的两倍，求点。的坐标；

(3)延长C。交x轴于点尸，AD=DF,试探究直线OE是否经过某一定点.若是，请求出定点的坐标；若不是,

请说明理由.

6.(2025•安徽芜湖•三模)已知抛物线y=/-+〃的顶点4始终在直线y=2X-3上，且与直线、=

2%-3的另一个交点为B,抛物线与y轴的交点为C.

⑴用含m的代数式表示n,并求出凡的最小值；

(2)已知点4在第一象限，过点8作8M1%轴于点M,过点A作力El.8M尸点E,连接4C,CE,BC.

①BE的长是否为定值？请说明理由.

②若△4BC的面积是的面枳的2倍，求m的值.

7.(2025・湖北武汉•模拟预测)如图，抛物线y=a北+%+c(a>0)与%轴交于A(-2,0),B(l,0)两点,与y轴

负半轴交于点C.

⑵如图1,点。是抛物线上第三象限内的一点，连接CD,若乙4CD为锐角，且tan乙4CDV%求点。的横坐

标3的取值范围:

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⑶如图2,经过对称轴上一定点P作一次函数、=依+"与抛物线交于M,N两点.若言+白的值为定值，求P

rMr/V

点的坐标.

拓•创新熊力△

1.12025•云南丽江•一模）在学习了函数的有关知识后，小强同学对函数y=|以2-2以+。-3］的图象和性

质进行了探究.

（1）当。=1时，

①把图中的图象补充完整，并写出一条该函数的性质；

②如果关于X的方程|62一2奴+Q-31—m=0有四个解，请直接写出对应m的取值范围.

（2）在平面直角坐标系中，若某点的横、纵坐标均为整数，则称此点为“整点〃，将过点（0,4）平行于x轴的直

线记为P，函数图象与p所围区域（不包含边界）记为Q,当Q中恰好有10个"整点”时，求。的取值范围.

2.（2025•辽宁铁岭•模拟预测）如图，已知二次函数y=Qx2-2ax-3Q（a是常数，且Q<0）的图象与工

轴交于A,B两点'（点力在点B的左侧），与y轴交于点C.

⑴求点力，点口的坐标：

（2）如图2.二次函数、=。X2一2以一3a（Q是常数.日Q<0）的图象为图象〃中位干y轴右侧的部分作

关于y轴的对称图象，该对称图象记为图象若直线&y=血（m是常数）交图象。于点》E（点。在点£

的右侧），并与图象乙2交于点尸，茅DF=2EF,求。与m的数量关系：

⑶抛物线y=Q无2-2公-3a（Q<0）的图象与％轴分别交于48两点，将抛物线沿“轴向下翻折，所得新抛

物线与原抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）恰好有13个整点（点的横坐标、纵坐标都为整数，则称

这样的点为"整点〃），求a的取值范闱.

3.（2025・湖北武汉•模拟预测）抛物线y=a/-2ax-3a（aV0）交x轴于A,8两点，交y轴于点C.

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