切割线放缩-高考二轮数学专项复习

微重点4切割线放缩

［考情分析］在高考题中，经常考查与导数有关的不等式问题，这些问题可以用常规方法求解，也可以用

切线不等式进行放缩.导数切线放缩法是一种非常实用的数学方法，它可以帮助我们更好地理解函数的性质

和变化规律，使问题简单化，利用切线不等式进行求解，能起到事半功倍的效果.

考点一切线放缩

常见的切线放缩：VxWR都有当且仅当尸0时等号成立.

Vx>-1都有ln(x+l)<x,当且仅当x=0时等号成立.

当x>0时，x>sinx；当x<0时，x<sinx.

例1(2024・银川模拟)设函数加尸—Fnx.

(1)若曲线尸Inx在点(1,0)处的切线与曲线片也相切，求机的值；

(2)当〃?<2时，证明：危)>0恒成立.

⑴解由尸Inx,得y'W，当尸1时，产1，

所以曲线尸Inx在点(1,0)处的切线斜率为1,

所以曲线尸Inx在点(1,0)处的切线方程为尸x-1,

由产产%得yK。%

设曲线尸e,如与直线1-1相切于点(xo,xo-1),

则信:&_］,解哦:;'所以'的值为2.

⑵证明方法一因为mW2,所以2c。2,

所以J(x)=铲叽Inx^et2-lnx,

令贻尸4-lnx,xe(0z+oo),

所以A'(x尸铲2—,

令g。尸土，xe(o,+oo),

所以^^)=^-2-^>0,

所以水)即力'")在(0,y)上单调递增，

因为皆1)弓1<0,M2)=K>0,

所以女o£(l,2),使得35))='-2上0,①

X。

当x£(o,xo)时，力。)<0,当x£(xo,+8)时，/f(x)>0,

所以心)在(0,x。)上单调递减，在(xo,E)上单调递增，

所以/?Cv)min=/?(xo)=eXo-2-lnXo,

由①f导e*。-2=_L,所以xo=er()+2,

所以力(油)=十0一2_小中打o-2-痣-y1-矢1产，

因为3W(l,2),所以〃(x)min斗(初>0,

所以cv-2-lnx>0,故ev'm2ev2>lnx,

所以危)>0.

方法二因为〃?N2,所以小小2铲2,

所以./(x)=e*fnx>et2-lnx,

由⑴知曲线y=ev2和y=\nx的公切线方程为y=x-\,

设8(幻=22什1,x£R,

则“a尸铲2”,

当x<2时，”(x)vO,当x>2时，

所以Mx)在(-8,2)上单调递减，在⑵口)上单调递增，

所以0(x)2贝2)=0,

故片方-1,当且仅当尸2时等号成立.

令〃?(x)=x-l-lnx,x£(0,+8),

所以叭x)=l写，

当x£(o,I)时，W(x)O,当x£(l,+oo)时，mW>0,

所以用(X)在。1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

所以加(x)2⑴=0,故x-121nx,当且仅当x=1时等号成立，

所以铲22》_121nx,且两等号不能同时成立，

所以ev-2>lnx,即ev2-lnx>0,即证得./U)>0.

［规律方法］该方法适用于凹函数与凸函数且它们的凹凸性相反的问题(拆成两个函数)，两函数有斜率相同

的切线，这是切线放缩的基础，引入一个中间量，分别证明两个不等术成立，然后利用不等式的传递性即

可，难点在于合理拆分函数，寻找它们斜率相等的切线.

跟踪演练1已知函数

⑴若直线尸x+a为/(X)的切线，求。的值；

(2)若对Vx£(0,+oo),恒有/(x)2bx,求人的取值范围.

解⑴设直线尸+a与曲线上)相切于点(xo,yo),

因为/V)=e",则/(xo)=eX"e=l,

解得xo=o,则泗MM=O,

即0+q=0,解得a=0.

(2)因为｛0)=0,且曲线危)在x=0处的切线方程为尸x.

故可猜测当x£(0,收)时，於)的图象恒在切线尸x的上方，

即证当x£(0,+8)时，(丫)“，

即证当x£(0,+8)时，e'-x-l>0,

设/?㈤巧今・1,

则M.N-x-1,

设尸(工)=人。尸?"-1,贝!]P(x尸eM,

因为P'(x)>0在(0,收)上恒成立，

所以Y(x)在(0,+8)上单调递增，

又因为"'(0户0,

所以当x£(0,+8)时,6。)>0,

所以加x)在(0,+8)上单调递增，

所以当x£(0,十8)时，A(x)>//(0)=0,

即c'(E>0,

即cv-j-l>x,

由此可得，当工£(0,+8)时，只需即可，解得bW1.故6的取值范围为(-8,1],

考点二双切线放缩

例2(2024•河南省名校联盟模拟)已知b>0,函数/(x)=(x+a)ln(x+b)的图象在点(1,川))处的切线方程为

xin2-y-ln2=0.

⑴求a,。的值；

⑵若方程.7WW(e为自然对数的底数)有两个实数根XI，也，且不气2,证明：X2-wvl』,

eeciri4

⑴解因为八、)=鬻+E(工+与，

所以f⑴4亲皿1+3/2,

由题意知人1)=0,

所以/(1)=(1+a)ln(l+6)=0,又因为b>0,

+a)ln(l+b)=0,

联立性+皿1+6)=1”,

解得｛£:;1-

⑵证明由⑴可知/⑴=(x-l)ln(x+l),x>1/(0)=0,川)=0,

/«=1呆■网户1),设u(x)=f(x),

则〃sW>。，

所以《丫)即/(X)在(-1,+8)上单调递增.

又八0)=-1<0,/(l)=ln2>0,

所以存在xo£(O,1),使得/(xo尸0,

且当工£(・1,却时，八x)<0,

当x£(xo,+8)时，/0<)>0,

故.小)在(-1,X0)上单调递减，在(砧+8)上单调递增.

由⑴知火幻的图象在点(1,0)处的切线方程为x\n2-y-ln2=0,

令⑶=(x-l即2,

F(x)=Hx)-h(x)=(x-1)ln(x+l)-(x-l)ln2,

则E'(x)=/V)/'a)=Ax)-ln2,

因为/(X)在(-1,+8)上单调递增，

所以尸。)在(-1,+8)上单调递增.

又尸⑴=0,所以当--〈I时，F(x)v0,当x>l时，尸(戏>0.

所以E(x)在(-1,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增.

故如)2/1)=0,即a-l)ln("l)》(rl)ln2,当且仅当x=l时等号成立.

因为方程/两个实数根乃，氏且修〃2,

也就是./(X2)=/(Xl)f/⑴=/(0)=0,且注意到/(X)在(1,+8)上单调递增，

所以-1VxiV0〈XoV1<X2,

所以(X2-1)ln(X2+l)>(X2-l)ln2,

即火X2)>〃(X2).

设方程6(X)7勺根为"，

e

则及5壶

又力。)在(-1,+8)上单调递增，所以/7。2)=及0)>贴2),

故X2＞%2.①

易知加）的图象在坐标原点处的切线方程为尸力令其丫尸.

丁（幻=心）吆。尸a-，na+i）+%则r（x）=f（A-）-gf（x）=Ax）+i,

因为/（X）在（-1,收）上单调递增，

所以r。）在（-I,E）上单调递增.

又r（0）=0,

所以当-1x0时，r（x）＜o,当x＞o时，r（x）＞o,

所以心）在（-1,0）上单调递减，在（0,+8）上单调递增.

所以几丫）27（0）=0,（x-l）ln（x+l）＞-x,当且仅当x=0时等号成立.

因为,所以（巾-1即3+1）＞-川，即/Ui）＞g3）.

设方程g（x）中勺根为xj,则不三一，

又g（x）在（-1,+00）上单调递减，

所以式XI）寸3）＞g（Xl）,所以XI'〈XI,

从而②

由①②可知X2-X|＜X2'-x1-1+1+:.

eelnZ

［规律方法］含有两个零点的/（X）的解析式（可能含有参数），告知方程/（X尸b有两个实根Xi,X2,要证明两

个实根之差小于（或大于）某个表达式.求解策略是求出/（X）在两个零点处（有时候不一定是零点处）的切线方程

（有时候不是找切线，而是找过曲线上某两点的直线），然后严格证明曲线7U）在切线（或所找直线）的上方或

下方，进而对XI,X2作出放大或者缩小，从而实现证明.

跟踪演练2已知/（x）=x-xlnx-1,记./（X）在了三处的切线方程为J=g（x）.

（1）证明：g（x）2/（x）；

（2）若方程"）=〃?有两个不相等的实根x\,X2（xi＜X2）,证明：xi-X2＞2〃?+2-e-.

证明（l）/（A-）=x-A-lnx-\的定义域为［0,+8）,

二W）=1-（Inx+1）=-lnx,***/（7）=1，

冏甘T，

・\/（x）在尸处的切线方程为六（：-l）=x-，

则即）=.丫中.

令EQAgCxHWrqi-a-xlnx-DFjdnx,x£（0,+oo）,

则尸(x尸1+lnx,令/。)=0,解得W，

・•・当时，Fr(x)<0,尸⑴在(0,J上单调递减，

当x3时，FV)>0,Qx)在&，+8)上单调递增，

・・・c={：)=。，

・"(x)20在(0,+8)上恒成立，即g(x)2/(x).

(2)由(1)知/V尸・lnx,令/(x)=0,得x=l,

・••当07E时，_/V)>0,/(工)在(0,1)上单调递增，

当x>l时，八x)<0,/(x)在(1,+oo)上单调递减，

.V(X>nax=/(l)=0,

当X-0时，/(x)f・1；当X>e时，/Lv)</(e)=-l,

:方程外尸机有两个不相等的实根Xi,X2(X1<X2)Z/.-l<zn<0,且0<X[Vl〈X2VC,

V/(e)=-l,/(e)=-lf

，函数/(x)在X=c处的切线方程为v-(-l)=-(x-e),即^=-x+e-l.

下证4x)W-x+e-l,

令A(j)=-x+e-14x)=-x+e・1-(x-xlnx-\)=-2x+x\nx+e,x^(0,+co),

则好t)=・2+lnx+l=-l+lnx,令〃Q)=0,解得尸e,

.,•当0〈x〈e时，〃⑺vO,/心)在(0,e)上单调递减，

当x>e时,//(x)>0,/心)在(e,+oo)上单调递增，，力(x)min=/i(e)=(j,

h(x]20在(0,+oo)上恒成立，即/(x)W・x+e-1,当且仅当x=e时等号成立.

Vl<A2<e,

/.m={(X2)<-X2+c-1,即-X2>〃?-e+1,

由⑴知,危)Wg(x)=x+，,

即通电，十2-吟

专题强化练

（分值：30分）

1.（13分）已知函数儿1尸111。+1）.

⑴证明:当4・1时，丸x)Wx；(5分)

(2)已知〃£N”,证明：e"2131”七>呵〃+2).(8分)

证明(1)令/?(x)=In(x+I)-x(x>-l),

则M―

当-«0时，/f（.v）＞0,则函数恤）在（-1,0）上单调递增,

当x＞0时，/f（.r）＜0,则函数力3在（0,+8）上单调递减,

.*./?(x)^/z(0)=0,即

(2)由⑴可得ln("l)4,

当且仅当尸0时取等号，令—，〃WN',

n

.,-->ln(i+l)=ln—,

n\n/n

1+…W>ln$ln|+ln^+…1),

即■…，>ln(〃+l),

则广中*〃

4>+],①

又由⑴知，ln(x+l)Wx,当且仅当尸0时取等号,

令尸〃+1,又〃£N’，

ln(w+2)</?+1,②

由①②得，e1+M+-4>ln(n+2).

2.（17分）［牛顿法求函数的零点］牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法牛顿法.

具体做法如下：如图，设厂是/（刈=0的根，首先选取xo作为〃的初始近似值，若火刈在点（xo,/（祀））处的切

线与工轴相交于点（》,0）,称为是，•的一次近似值；用为替代即重复上面的过程，得到刈，称、2是，•的二

次近似值；一直重复，可得到一列数：.3,»,X2,…，x”，….在一定精确度下，用四舍五入法取值，当

x”j,.r“（〃£N"）的近似值相等时，该值即作为函数火外的一个零点

（1）若.仆）=工3+3/+六3,当xo=O时，求方程/（刈=0的根的二次近似值（保留到小数点后两位）；（4分）

⑵求函数g（x尸e,・3在点（2,g（2））处的切线方程，并证明：1113Vl启：（5分）

(3)牛顷法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取曲线的切线或割线.若力(x)=x(l-lnx),关于x的方

程力(1)=4的两个根分别为xi，》2(xi<X2),证明：X2・xi>e-eo.(8分)

⑴解八x)=3f+6x+l,

当xo=O时，/(0)=1,/(0)=-3,

/(X)在点(0,・3)处的切线方程为尸与x轴的交点横坐标为(3,0),

所以不=3,八3)=46,<3)=54,

/(X)在点(3,54)处的切线方程为jY4=46(x-3),与x轴的交点为偿，0),所以方程/2=0的根的二次近似

值垮1.83.

⑵解由题意可知，g(2)=e2-3,gU)=&\gV)=e2,

所以式x)在点(2,g(2))处的切线方程为)，-e-3)=e2(x-2),即以小e2-3=0.

设w(.r)=lnx-\-^2,x>\,

则M(x)=%

显然〃J(x)在(1,收)上单调递减，

令用'(x)=0,解得尸en,

所以当xW(l,e2)时,m'(x)>Q,则小(x)在(1,e2)上单调递增,

当x£(e\+8)时，m\x)<0,则矶Q在(e?,+oo)上单调递减，

所以m(x)^m(e2)=lne2-1-^=0,

当且仅当尸。2时等号成立，

所以m(3)<m(e2),

即In3-1~^<0,所以In

(3)证明由h(x)=x-x\nx(x>0),得”(x)=-lnx,

当0<x<1时，hf(x)>0；当x>1时，h\x)<0,