高中数学一轮复习 空间几何体中的截面、轨迹问题

微专题3空间几何体中的截面、轨迹问题

r必背知识

L截面定义：在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱，圆锥，球，棱柱，棱

锥、长方体，正方体等等），得到的平面图形，叫截面。故截而是指平面与几何体的面相交所围成的平

面色形，即截面的每条边均在儿何体的表面.

2.正方体的截面：

考点归纳

考点一截面的形状及其有关计算

【方法储备】

1.作几何体的截面：

⑴依据：立体几何的基本事实、直线和平面平行的判定定理和性质定理、两个平面平行的性质定理、球

的截面的相关性质；

⑵作图方法：以正方体为例

①平行法：E为平面EFG与平面的公共点，且直线FG||平面则两平面

的交线［过公共点E且与直线FG平行；

②相交法：E为平面EFG与平面/BCD的公共点，直线FG与平面A8CD不平行，延长FG与平面48CD交于

点、H,则£7/为平面£7环与平面ABCQ的交线；

㈠截面经过的三个已知点分别在正方体的棱上

在正方体中，E、F、G为别为棱48,CD,上的点，E匕尸G均在正方体的表面上，过

E、F、G三点的截面：连接",FG,在平面48当久内，作EH||FG交44］于点H,则四边形"GH即为所求截

面组形.

D,

___

i.在正方体力8CD-4B1G。】中，E、F、G为别为极4B,CD,0Z)i上的点，","G均在正方体的表面上，过

E、F、G三点的截面：连接FE并延长交ZM的延长线于点儿连接交力久于点/，则四边形£%/为所求的截

面图形.

ii.在正方体43CD-481G。］中,E、F、G为别为棱4。,。加,。。上的点，仅FG在正方体的表面上,过

E、F、G三点的截面：连接FG并延长交0劣的延长线于点P,连接“交4%于点H,在平面BCG%内

作门||EH交BC于点1,则四边形£7rGH为所求的截面图形.

iii.在正方体ABCD-A$iCiDi中,E、F、G为别为棱AB,CG，45上的点,EF,FG,EG均不在正方体的表

面上,过E、F、G三点的截面:在平面内过点G作GHII为当,交81cl于点儿连接H8并延长交GE

的延长线于点/,连接厅交BC于点/，连接切并延长交。。的延长线于点L、交的延长线于点K,连接KG交

A4i于点M,连接LF并延长交GOi于点N,则六边形E/FNGM为所求的截面图形.

㈡截面经过的三个点中至少有一点在正方体的面上，其余点在正方体的极上

在正方体中，E在上底面内，尸、G为别为棱A4i，BC上的点，过E、F、G三点的截面：

设E在底面48C0内的投影为点场，连接EG，连接EF,第4并延长线交于点5,连接5G交AB于点L,连接LF并

延长交员4的延长线于点P,连接PE并延长，交4D］于点M、交Ci%于点N,在平面CDDiG内作NRIIFL交CC1

于点R,则六边形MFLGRN即为所求的截面图形.

2.利用截面解决有关截面形状判断、截面面积求解、截面有关的空间角求解及截面分隔开来的几何体

的体积求解等问题.

【典例精讲】

例L（2025•湖北省武汉市联考）如图，已知正方体48C0-&BIGDI的棱长为2，若K为棱入出的中点,

过4,C,K三点作正方体的截面，则截面的周长为（）.

A.2yJ~5+3cB.6C.2。+3cD.\/~S+2y^2+3

例2.（2025•山东省烟台市•月考试卷）在正方体-4181cl仇中，E为棱48的一个三等分点（靠近B点），

分别为棱BC,CQ的中点，过瓦F,G三点作正方体718co-4名6为的截面，则下列说法正确的是（）

A.所得截面是六边形

B.截面过棱DiG的中点

C.截面不经过点为

D.截面与线段当。］相交，且交点是线段当5的一个五等分点

例3.（2025•安徽省合肥市月考）正方体ABCD-4/iGDi的棱长为6,P为BC的中点，H为4B中点，Q为

线段CG上的动点，过点H,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S,当CQ=4时，S与G5的交点为R,求

线段GR的长度.

【拓展提升】

练1-1（2025•四川省成都市•期中考试）如图，在棱长为6正方体中，点P为棱的中点，点Q为棱4J的中点，

点M为棱CG上靠近点C的三等分点，则经过P,Q,M三点的平面截该正方体所得截面的形状和与侧面

CCD1G的交线长度分别为（）

A.五边形，红兽B.六边形，空兽C.五边形，空要D,六边形，空誉

练1-2（2025•湖南省衡阳市•月考试卷）如图所示，在棱长为1的正方体ABCD—4&Q劣中，M、N分别

是儿劣、4名的中点，过直线BD的平面a〃平面AMN,则平面a截该正方体所得截面的面积为（）

9

Rc.qD.c

练1-3.（2025•山东省•月考试卷）如图，已知正方体4BC。Ai/QDi的棱长为2,P,Q分别为BC,的中

点着力Q1平面心平面a经过点P,则平面a截正方体所得截面的周长为.

练1-4（2025•河北省石家庄市模拟）（多选）如图所示，已知正方体A8CD-力18心。1的棱长为2,M,N

分别是AD，CG的中点，P是线段48上的动点，则下列说法正确的是（）

A.平面PMN载正方体所得的截面可以是四边形、五边形或六边形

B.当点P与48两点不重合时，平面PMN截正方体所得的截面是五边形

C.AMPN是锐角三角形

D.△MPN面积的最大值是子

考点二空间几何体的轨迹问题

【方法储备】

几何体中有不确定的点，且这个点满足一些特定的值或平面几何关系，因此需要根据条件确定出动点所在

的轨迹。主要考查空间中点、线、面的平行与垂直关系，空问中的距离、角度，解析几何中的点的轨迹等知

识,综合性较强。空间几何体中的轨迹问题通常涉及：

1.判断轨迹的类型：通过对点线面关系的认知，对平行和垂直的一些证明，判断出动点符合什么样的轨迹，

或通过建系进行坐标计算求出具体的轨迹表达式.

2.求轨迹中的长度、面积与体积.

【典例精讲】

例4.（2025•广东省佛山市月考）如图，直三棱柱4BC-48iCi的所有棱长均相等，P是侧面4&GC内一

点，设|P&|=d,若P到平面的矩离为2d,则点。的轨迹是（）

A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.抛物线的一部分D,双曲线的一部分

例5.（2025•浙江省金华市期中）正方体48co-4当。1。1匕勺棱长为2,E为4公的中点，M点是正方形

48Bi41内的动点，若GM〃平面CD]E,则M点的轨迹长度为.

例6.（2025•江苏省南通市•月考试卷）（多选）如图，在棱长为1的正方体中，M为平面4BO

内一动点，则（）

A.若M在线段AB上，则QM+MC的最小值为/4+24

B.平面AUD】被正方体内切球所截，则截面面积为[

C.若GM与4B所成的角为5则点M的轨迹为椭圆

D.对于给定的点M,过M有且仅有3条直线与直线所成角为60°

【拓展提升】

练2-1（2025•江苏省无锡市月考）如图，已知四棱锥S-/18CD的底面是边长为4的正方形，E,F分别是

AB,8c的中点，P为5D上一点、,且5O=3P。，Q为正方形48C。内一点（包含边界）.若PQ||平面SE小贝ijQ

的运动轨迹的长度为（）

A.4nB.3cC.2/~2D.4~2

练2-2（2025•四川省成都市•模拟题）（多选）如图，棱长为2的正方体力BCD-4XQD1中,E,尸分别是

的中点，点P为底面A8CZ）内（包括边界）的动点，则下列说法正确的是（）

A.过8,E,F三点的平面截正方体所得截面图形是梯形

B.存在点P,使得GPJL平面8EF

C.若点尸到直线8%与到直线力。的距离相等，则点P的轨迹为抛物线的一部分

D.若直线D】P与平面BE"无公共点，则点P的轨迹长度为

练2-3（2025・湖北省黄石市月考）（多选）在棱长为1的正方体ABCD—481GD1中，点M是4名的中点，

点P,Q,R在底面四边形ABC。内（包括边界），P&II平面MG。，ID©=苧，点R到平面ABBA的距离等

于它到点。的距离，则（）

A.点尸的轨迹的长度为「B.点Q的轨迹的长度为*

C.PQ长度的最小值为胃-1D.PR长度的最小值为好

【答案解析】

例L解：如图，取当6的中点M,连接KM,MC,则AW1/1，

则在正方形ABCD-&B£Di中，.LI/LC，44i=CG，

所以四边形力4GC是平行四边形，

所以

乂AV"1,所以A",.4C,

则四边形KMC4即为过4CK三点的截面，

因为正方体48CD-&B1GD1的棱长为2,

所以4c=2C,KM=。，AK=MC=V224-I2=屋,

则其周长为AC+KM+AK+MC=+/!+CC=2屋+3，！.

故选：A.

例2.解：在正方体力8。。一48][。1中，依题意，直线尸G与直线8iG交于点P,显然GP=；BIG，

直线FE交D4延长线于点Q,则有AQ=28F=力。，如图，

连接8。1，力么，则有4D//BC//FG,而平面送"/平面平面EFGCI平面BCG/=FG,

平面EFG与平面力。为必有公共点儿,

则平面EFG与平面必有一条交线，此交线平行于尸G,也平行于力为，

连Q4,因Q/4〃/4iDi，Q/4=&Di，则四边形力Q&Di是平行四边形，

于是得QA〃力Di，即平面ZFGC平面=Q4,

因比点为是平面"G载正方体48。。-48£。1的截面的一个顶点，

连&P交与。1，。山1分别于点。，H,

连接则五边形&EFGH是平面E/P截正方体4BC0-4所得的截面，4不正确，C不正确;

由CM〃4/知，5q=第=]即GH=《G5,B不正确；

由D/〃4B]得需=鬻=余即

Uo।/I]o]5□

则截面与线段为。1相交，且交点是线段当仇的一个五等分点，。正确.

故选：0

例3.解：当CQ=4时,如图，

过Q作QK〃P从交4Al于K,则4K=4,

过K作PQ的平行线交4D1于M,过M作PH的平行线交G%于R，

所以AH/IKFRCIQ

^.AH_AK.34

则乖"m，H即1乖"2

故可得CiR=|,

故答案为：!.

练1-1.解：设A。中点为N,连接QN,是占%中点，QNL平面ABC。，QN=6,

连接PN,并延长PN交CD的延长线于E,又N是4D中点，所以…,

则4P=DE=3,过点E作EF〃内Q,且交PQ的延长线于F,与好劣的延长线交于R,

故SNQSMEF,则兽=瞿二1所以E尸=12,RF=6,

ErPhL

连接FM交G5于G,所以△/"；s△.»「/；,即栽=卷，

其小蒜=5=*故篇=5'又R5=ED=3,则RG=%

218

；CG1s

DO

所以截面与侧面CDDiG的交线为GM=JGG2+GM2=J(£)2+42=纪要

延长GM交OC的延长线于/,连接/P交并延长交04的延长线J：K,

连接KQ交44i于/，所以截面为六边形P/QGM”.

故选:B.

练1-2.解:

取51cl的中点E,CiDi的中点F,

连接E尸，BE,DF,则EF//&D1，B、D\〃BD,

所以£T〃BD,故B。，FE在同一平面内，

连接ME,因为M,E分别为45,81Gl的中点,

所以ME〃48,且ME=48,

所以四边形48EM是平行四边形，即力M〃8E,

乂因为BEu平面BDFE,AM仁平面80尸E,

所以AM〃平面BD?E,

同理AN//平面

因为力MnAN=44Mu平面4WN,

ANu平面AMN,

所以平面力MN〃平面8。尸E,

即平面a截该正方体所得截面为平面BDFE,

BD=V_2»EF=；B[D]=DF=

乙乙乙

梯形3D"E如图：

：・FG=JDF2-DG?=J冷=平,

故四边形BOFE的面积为殳12x当2=2.

24-8

故选：R.

练1-3.解：设CD中点为M,连接D]M,PB1，B]Di，PM,

连接AC,P,Q分别为8C,CG的中点，

可得PM〃30,

由正方体的性质，可得力C_LBO,所以AC_LMP,

CCi_L平面/ECO,PMu平面48C0,

所以CCi1PM,而Qeeg,

可得CQ1PM,又因为ACnCQ=Q,而AC,CQu平面ACQ,

可得PM1平面ACQ,而AQu平面/ICQ,

所以4Q1PM,

连接BQ,在正方形BCC/i中，

tan4Q8C=黑="，tan乙BPS1=篝=2，

所以4QBC+NB8IP=],

所以3Q1B]P,

因为48_L平面8/u平面BCGBI，

所以4B_L8I。，而BQn/B=B,且BQ,48u平面ABQ,

所以B]P1平面力BQ,AQu平面4BQ,

所以AQ1BP

又因为=旦/凡PMu平面PMDiBi，

所以AQ1平面PM。"],

则截面四边形PM。1名为梯形，

因为DiM=PBi=V22+12=1，

Bn=722+22=2。，PM=

所以截面PMD$i的周长为3，至+2/亏.

故答案为：3AT2+2AT5.

练1-4.解：如图，当点P与48两点不重合时，

将线段MP向两端延长，分别交CD,C8的延长线于点。，Q,

连接N。，NQ分别交05，BA于R,S两点，连接RM,SP,

此时截面为五边形MPSNR,故4正确；

当点P与点力或点8重合时，截面为四边形,

不可能为六边形，故A错误；

若是APMN,当点P与点力重合时,

MN=R,PM=1,PN=3,

此时因为MN?+PM2<PN2,

故乙PMN为钝角，所以。错误；

当点P与点8重合时，

点P到直线MN的距离取到最大值，

此时△MPN的面积取到最大值，

最大值为qi，故。正确.

故答案选：BD.

例4.解：如图所示，取81Ci，8c的中点M,N,连接为M,AN,MN,

作出平行于平面ABC且过点P的平面且△&巳。2是等边三角形,

如软1)(2)所示,

作PP1J.82c2，则Pl与E重合，则|PP/=2d,

在直角△PP】C2中，可得PC2=袤d,

在翱(3)中，设直三棱柱48。-481cl的所有棱长均为a,设PQ,y),

图3

以C1为原点，G。为X轴，G4为y轴建立平面直角坐标系，

则41(0,a),且141Pl2=d2,

又y=^^d,所以d=q^y,

所以(x-0)2+(y-a)2=,整理得16如+13y2-32ay+16a2=0,

所以点P的轨迹是椭圆的一部分.

故本题选B.

例5.解：建立如图所示空间直角坐标系,

由题意可知,C(2,2,0),(2,0,2),£(0,0,1),G(2,2,2),M(0,y,z),

•••初=(0,-2,2)，西=(2,0,1)，的=(-2,y-2,z-2),

设平面CDiE的法向量元=(Q,b,c),

，庐尸,即｛六

I.EDi-n=0(2Q+c=0

令Q=1,则五=(1,一2,—2),

•••QM〃平面CDiE,

:*•n=0»即y+z—3=0,

M是正方形力BB/i内的动点，

•••M点的轨迹长度为，M+M=

故答案为

例6.解：对于4,延长D4到E使得力E=。，

则DiM+MC=EM+MC>EC=J4+2「,

等号在£M,C共线时取到，故A正确：

对于B,由于球的半径为:，球心到平面4CD］的距离为?，

故被截得的圆的半径为JA尾=?，故面积为双?)2="故8正确；

对于C,GM与所成的角即为GM和GD1所成角，记丽=》丽+丫而，

则/+丫2+1=2(/+1),即炉一72=1,所以M的轨迹是双曲线，故C错误;

对于。，显然过M的满足条件的直线数目等于过Q的满足条件的直线，的数目，

在直线［上任取一点P,使得DiP=，A=DiC,

不妨设“。遇=-若“。iC=g,则是正四面体，

所以P有两种可能，直线I也有两种可能，若NPD［C=^,则/只有一种可能，

就是与NAD】C的角平分线垂直的直线，所以直线2有三种可能.

故选：ABD.

练2-1.解：如图，分别取AD,DC的中点M,N,连接PM,MN,PN,BD,

设8。分别交MN,£尸于点G,H,连接PG,SH,AC,

则易知MN//4C//ET,

又MNC平面SEF,£Tu平面SEF,

所MN||平面S",

易知OH=3DG,

因而SO=3PD,

所以PG〃5”，

结合PGC平面4EF,SHu平面SE尸，

得PG〃平面SEF,

因为PGnMN=G,PG、MNu平面PMN,

所以平面PMN〃平面SE",

所以当Q在线段MN上运动时，始终尸Q〃平面AEr,

即Q的运动软迹为线段MN,

所以MN=^AC=2<2,

故选：c.

练2-2.解：对于A,连接尸QBGMDi，E,F分别是棱的中点,则E尸〃4%,

且EF="ADi，又ADI〃BCI，ADI=BG，则EF〃BG，且EF=；BG，

因比过8,E,尸三点的平面截正方体所得截面为梯形8EFC1，故4正确；

以点D为坐标原点，直线£M,DC,DDi分别为％y,z轴建立空间直龟坐标系，如图,

则B(2,2,0),E(2,0,1),尸(1,0,2),。］(0,0,2),6(022),设点P(a,瓦0),其中0<a,b<2,

BE=(0,-2,1)»丽=(-1,0,1)，

设平面BE/的法向量为沆=®y,z),则1沅.竺=-2y+z=0,取、=i,得沆=(2,1,2),

l?n-FF=-x+z=0

对于B,守=(。”-2,-2),若存在点P,使得GP_L平面8EF,则可〃沆，

___(a=2X

于是于=2沆，即卜一2=2,无解，因此不存在点尸，使得GP，平面8E/,故8错误；

(-2=2A

对于C,BBiJ.平面48C0,BPu平面A8C。，则1BP,

若点P到直线8仇与到直线AD的距离相等，则b