高考数学复习讲义：双曲线（原卷版）

解密21双曲线

【考点解密】

1.双曲线的概念

平面内与两个定点R,B的距离的差的绝对值等于常数（小于IHBI）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线

的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.

集合P={M||MFi|一|M尸川=勿）,|尸画=2。2小其中小。为常数且公>0,c>0.

2.双曲线的标准方程和几何性质

「普1

岸一U

标准方程

(4>0,/»0)m>o,z»o)

图形L宸1

V

范围x^a或x^~ax£R,yW—〃或

对称性对称轴：坐标^相对称中心：原点

顶点A\(—a,0),A2(a,0)4(0,-a),4(0，a)

渐近线y=4x

性

质

离心率e£(l,+8),其中cKH+b?

线段44叫做双曲线的实轴，它的长|44|=2"，线段

实虚轴囱治叫做双曲线的虚轴，它的长B&|=2人：。叫做双曲

线的实半轴长，〃叫做双曲线的虚半轴长

a,b,c

<r=cr-\-tr(c>a>0,c>b>0)

的关系

【方法技巧】

1.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况:

①直接求出aJ从而求出e；

②构造©C的齐次式，求出U

③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；

④根据圆锥曲线的统一定义求解.

2.轨迹问题一般方法有三种：定义法，相关点法.

定义法：（1）判断动点的运动轨迹是否满足某种曲线的定义；

（2）设标准方程，求方程中的基本量

（3）求轨迹方程

相关点法：（1）分析题目：与动点“此丁）相关的点PC%,为）在已知曲线上;

（2）寻求关系式，/=/■）），%=

（3）将凡代入已知曲线方程：

（4）整理关丁y,丁的关系式得到MM的轨迹方程

【核心题型】

题型一；待定系数法求双曲线方程

1.（2023春・贵州•高三校联考）已知双曲线E的焦点为耳巴（1,0）,过-的直线4与E的左支相交于48两

点，过尸2的直线4与E的右支相交于C，。两点，若四边形A8CO为平行四边形，以A。为直径的圆过耳，|。用=|"；|,

则E的方程为（）

A.2/-2/=1B.3/一更=1

2

.-)4v*D,g_空=

C.4x~———=1

323

2.（2。22秋・天津滨海新•高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考期末）已知双曲线三-3印的两

条渐近线均和圆C：/+）,2-61+6=【）相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（）

B-T-f=1D-f4=,

3.（2。22秋・贵州贵阳•高二校联考阶段练习）已知双曲线=以原点为圆心，双曲线的实半轴长为

半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、。四点，四边形A8CO的面积为25,则双曲线方程为（）

.x23y2

A.-----：—=1B.

444

C.上上=1D.

48412

题型二：相同渐进性求双曲线方程

4.（2023・全国•高三专题练习）已知双曲线C的渐近线方程为3彳±妤=。，且焦距为1（）,则双曲线C的标准方程是

()

22，2

5.（2。2。・河南•高三校联考阶段练习）已知双曲线0:『品=|与65"=1的渐近线相同’则曲线C的方

程为（）

A.=1B.21-工=1C.=1D.=1

69963647

6.（2018秋•安徽池州,高三统考期末）双曲线5+=限"°力＞°）上一点用34）关于一条渐近线）：=-2工的对称点

恰为左焦点则该双曲线的标准方程为（)

A./_£=]B.D

2756-'嗫

题型三：直接法求离心率

7.（2023・陕西榆林・统考二模）已知双曲线C：《-£=1（方＞0）的左、右焦点分别是"，区,/）是双曲线C上

49b~

的一点，且归用+|P段=34,若号1尸鸟，则双曲线C的离心率是（）

22

8.（2023・河南・统考模拟预测）已知双曲线。:=-与=[（〃＞0.6＞0）的左、右焦点分别为%尸2,2是双曲线C的

a-b-

一条渐近线上的点，且线段PK的中点M在另一条渐近线上.若W45。,则双曲线。的离心率为（）

A.72B.石C.2D.石

9.（2023・新疆・统考一模）已知耳为双曲线七:1-2=的左焦点，过点£的直线与圆

。:/+）,2=与/+加）交于41两点（A在£1之间），与双曲线E在第一象限的交点为为坐标原点，若

£A=8P,/4O8=9（r,则双曲线E的离心率为（）

A.且二B.V5-IC.避士!■D.百+1

22

题型四：构造齐次方程求离心率

10.（2023•内蒙古呼和浩特♦统考一模）过双曲线£-工=1（。＞0"＞0））的左焦点斗一。,（））（。＞0）作圆/+

a~h~4

的切线，切点为E,直线-E交双曲线右支于点人若瓦=京西-丽），则双曲线的离心率为（）

A.—B.-C.-D.在

2222

11.（2023•河南开封•开封高中校考模拟预测）设分别是双曲线的左、右焦点，过用作C

a"lr

的一条渐近线的垂线,垂足为P,若|P£|=#|P居|，则C的离心率为（）

A2君R2出「3石3x/7

A•1fc5・--------L•--------nD・-------

5757

12.（2023•河南洛阳・洛阳市第三中学校联考一模）已知双曲线匚£-1=1（〃>0,〃>0）的左、右焦点分别为巴，

a~b~

A是双曲线C的左顶点，以片鸟为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于P,。两点，旦行•恋=-41,则双曲

线C的离心率为（）

A.72B.百C.75D.2

题型五：渐进性的综合问题

>>2

13.（2023•宁夏银川•六盘山高级中学校考一模）已知双曲线=1（〃>0力>0）,直线/过双曲线C的右焦点且

斜率为-小直线/与双曲线。的两条渐近线分别交于M，N两点（N点在x轴下方），且|ON|=2QM，则。的离心率为

（）

A.2B.&C.72D.毡

3

14.（2021・陕西榆林・陕西省神木中学校考模拟预测）已知双曲线C:1-4=13>0/>0）的左、右焦点分别为"、

a~b"

外,点尸在双曲线C的右支上，且|%|二4归用，双曲线C的一条渐近线方程为尸质，则我的最大值为（）

4433

A.-B.——C.-D.--

3344

15.（2023春•四川成都・高三树德中学校考开学考试）已知双曲线⑦>0）的右焦点为R两条渐近线

ab'

分别为44,过户且与4平行的直线与双曲线c及直线4依次交于点从。，点B恰好平分线段尸。，则双曲线。的

离心率为（）

4_

A.-B.>/2C.石D.2

题型六：利用自变量求离心率范围问题

16.（2023春・浙江温州•高三统考开学考试）直线/与双曲线[-[=1（a>0⑦>0）的左，右两支分别交于点A,13,与

a'Z>*

双曲线的两条渐近线分别交于点C,。（4C,D,8从左到右依次排列），若。41OB,且|AC|,|CD|,|短可成

等差数列，则双曲线的离心率的取值范围是（）

17-（2。22・全国•高三专题练习）已知点尸为双曲线呜-力皿＞。）的右焦点,直线…,kw亭,石与双

曲线C交于A,8两点，若AFA.BF：则该双曲线的离心率的取值范围是（）

A.[&,夜+6]B.[加,6+1]

C.「Nx/5+1]D.[2,血+伺

18.（2020・全国・高三专题练习）双曲线£-1=1（°＞0力＞0）上一点4关于原点的对称点为8,产为其右焦点,若"_18尸,

«-h~

■\

设乙4/济=仇且夕w*,则该双曲线的离心率的取值范围为（）

一J乙）

A.（1,x/3+1]B.,+8

C.[,近D.[&,+8）

题型七：双曲线的综合问题

19.（2023・广东江门•统考一模）己知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线MA与直线了=工垂直，A为垂足且位

于第一象限，直线A仍与直线）仁一与垂直，8为垂足且位于第四象限，四边形OAM8（。为原点）的面积为8,动点

M的轨迹为C.

（1）求轨迹。的方程；

⑵己知7（5,3）是轨迹。上一点，直线/交轨迹。于尸，Q两点，直线7P,TQ的斜率之和为1,tanZPTQ=1,求“PQ

的面积.

20.（2023•山西晋中•统考二模）已知双曲线C：£-卓=1（。＞（）力＞0）的离心率为收，点大3,6）在双曲线上.

⑴求双曲线C的方程；

（2）若4,8为双曲线的左、右顶点，M0,机），若MA与C的另一交点为P,M8与。的另一交点为Q（尸与A,Q

与8均不重合）求证：直线PQ过定点，并求出定点坐标.

21.（2023•安徽安庆•校考一模）在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点的坐标分别为4,B^-a,0（a＞0）,

两动点M、N满足砺+3+碇=0j而|=而|="|而|,向量MN•与人6共线.

（I）求AABC的顶点C的轨迹方程;

（2）若过点P（O,a）的直线与（1）的轨迹相交于七尸两点，求屋•所的取值范围.

（3）若G（-〃,（））,"（加,（）），。为C点的轨迹在第一象限内的任意一点，则是否存在常数使得

/QHGjQGH恒成立?若存在，求出义的值；若不存在，请说明理由.

【高考必刷】

一、单选题

22.（2023・陕西商洛•统考一模）已知双曲线C:营=1（〃>0,〃>0）的左顶点为A,右焦点为F,点M在双曲线C上，

RMF1AF,\MF\=2\AF\,则双曲线C的离心率为（）

A.2B.3C.V2D.V3

23.（2023•河南焦作・统考模拟预测）设双曲线/=l（a>0,b>0）的右焦点为尸，历（（）,劝），若直线/与E的

右支交于A,B两点,且r为AMAB的重心，则直线/斜率的取值范围为（）

24.（2023・山东威海•统考一模）己知双曲线。：】-斗=1（。>0/>。）的左焦点为"，M为C上一点，M关于原点

crb一

的对称点为M若NMF/Y=60,且因叫=2%则C的渐近线方程为（）

A.y=±^-xB.y=±\/3xC.y=±xD.y=±.y/bx

36

22

25.（2023・重庆・统考二模）耳环是双曲线七：5-£=1（〃力>0）的左、右焦点，点M为双曲线E右支上一点，点N

在x轴上，满足/EMN=/EMN=6O,若3MF：+5M/{=2MM（/lwR）,则双曲线E的离心率为（）

26.（2023・湖北•统考模拟预测）已知?生分别是双曲线「f一菅=1（〃>0/>0）的左、右焦点，过石的直线分

别交双曲线左、右两支于A,8两点，点C在x轴上，CB=3F\A,明平分结吟则双曲线「的离心率为（）

A.y/7B.x/5C.V3D.y/2

27.（2023•江西赣州•统考一模）已知点4（0,3疗），双曲线E:5-5=1的左焦点为尸，点P在双曲线E的右支上

运动.当△叱的周长最小时，|八片+|"1=（）

A.672B.7&C.8五D.9>/2

28.⑵23・陕西・西安市西光中学校联考一模）在资少平面内‘双曲线b>0）的左、右焦点分

别为K，F2,过左顶点A且斜率为日的直线与渐近线在第一象限的交点为M,若21Mq=内名|,则该双曲线的离

心率是（）

B.应C.巫D

33-I

22

29.（2。23・河南•校联考模拟预测）设双曲线£：马-马=1（〃>0,力>0）的左、右焦点分别为写，F.,8为双曲线E

a~b~

上在第一象限内的点，线段£8与双曲线E相交于另一点4,AB的中点为M,且KM_LA8,若6=30。，则

双曲线E的离心率为（）

A.旧B.2C.75D.72

二、多选题

30.（2023•湖南•模拟预测）已知。为坐标原点，片,用分别是双曲线氏=1（〃>0/>（））的左、右焦点，P

是双曲线E的右支上一点，若归川-恒周=8,双曲线E的离心率为日，则下列结论正确的是（）

A.双曲线上的标准方程为斗—£=1

164

B.双曲线E的渐近线方程为2x±.y=0

C.点P到两条渐近线的距离之积为2

D.若直线夕片与双曲线上的另一支交于点M,点N为PM的中点，则%刘

4

31.（2023・全国•高三专题练习）已知双曲线C:5-），2=i和圆2：/+（）,_3）2=/（/.>0）,则（）

A.双曲线C的离心率为理

2

B.双曲线。的渐近线方程为x±2），=0

c.当r=n时，双曲线c与圆。没有公共点

D.当『=2正时，双曲线C与圆P恰有两个公共点

32.（2023・全国•高三）已知工分别为双曲线C：1（6>0,〃>0）的左、右焦点，C的一条渐近线/

的方程为犷=4一且6到/的距离为36，点尸为。在笫象限上的点，点。的坐标为（2,0）,做为/片尸鸟的平

分线•则下列正确的是（）

A.双曲线的方程为1•—1=1B.\PFi\=3\PF2\

C.|OP|=3x/6D.点P到x轴的距离为手

33.（2023・山东莉泽・统考一模）已知双曲线=i的左、右焦点分别为"、F2t过点。（1,咚）的直线/与双曲

线E的左、右两支分别交于Q两点，下列命题正确的有（）

A.当点C为线段尸。的中点时，直线/的斜率为6

B.若人（一1,0）,则NQ5A=2NQA6

C.附|.|「引>|PO|2

D.若直线/的斜率为手,且8（0,6）,则|尸制+|0用=|因+|Q目

三、填空题

34.（2023♦内蒙古呼和浩特•统考一模）抛物线G:y=；/（〃>0）的焦点与双曲线,