第七章《复数》综合测试卷（教师卷）-高一数学寒假讲义（人教A版）

第七章复数综合测试卷

第I卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.欧拉公式e'°=cos，+isin夕把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的

和造美，被誉为，，数学中的天桥，，，若复数z满足(2钎+。『="则[z|=()

A1B.|C.—D.—

A,5

353

【答案】C

i

【解析】(2c,n+i)・z=i=[2(cos7r-risin兀)+i]・z=in(-2+i)-z=i=>z=-------

-2+i

i(-2-0j入

(-2+i)(-2-i)5MV555

故选：C

2.已知复数z满足(l-「)z=2,则下列结论中正确的是()

2

A.z的虚部为iB.|z|=2C.Z=2D."i+i

【答案】D

［解析］z=-——=--7=――I、,.、=1-i,

l-i3l+i(l+i)(1-1)

其虚部为-1,|z|=亚，Z=l+i»z2=(1—i)2--2i.

故选：D.

3.若复数z满足(l-i)z=i(i为虚数单位)，则亍在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】因为复数z满足(l-i)z=i,

所以“匚ir沽i(l舟+i)旷”1方1,

所以彳在更平面内对应的点位于第三象限，

故选：C

4.已知复数z满足z.『=l_2i，则z的虚部为()

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】A

【解析】由z1=1—2i得：z=±3=B=匕也=2+i,，z的虚部为1.

i-i-i"

故选:A.

5.已知复数2=/一+；^,[是Z的共枕复数，则三的虚部为()

1-1(1-1)~

A.1B.iC.-1D.-i

【答案】C

111+i11+ii1.-1

【解析】・1=匚；+律亍=(1川+厂南〒+二5+|,则

••・1的虚部为7

故选：C.

6.已知下列命题：(l)“z为实数”的充要条件是“z=7'；(2)若z；=z；,则z囱=Z2^;(3)2ZA4Z：+Z；：

(4)卜—=J(Z[+马)2—4平2.在复数集中,上述命题正确的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】对于(1),设z=a+〃i(dbcR),则)=4—〃i，z为实数等价于〃=0,z=:也等价于。=0，所以

，为实数”的充要条件是“z=7'，(1)正确;

对于(2),由Z；=Z；可得Z：-Z；=(Z[+Z2)(Z]-Z2)=0,所以Z]=马或Z|=/，

当Z]=时，易得Z]Z[=z2z2；

当Z[=-Z2时，设4=〃z+〃i(/%〃€R),则Z2=-〃?一ni,

22

所以44+一而)=病+才，z2-z2=(-/w-ni)(-w+z/i)=ni+//,所以马马二立2/2，综上所述，若

z：=z：，则％4=z2z2,故⑵正确；

对于(3),当4=l+i,Zz=2+i时，2ZJZ2=2+6i,z；+z；=3+6i,不能比较大小，(3)错误；

2

对于(4),当4=l+i,Zz=l时，匕一Z2|=l,^(Z)+22)-4ZIZ2=i，故(4)错误.

故选：B.

7.设复数z满足25+*=l+i,则在复平面内z对应的点位于()

1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】因为2=3=—2i,

11X1

213

所以25+：=l+i可得25-2i=l+i,解得彳=—+'i,

122

13（13

所以对应点为位于第四象限,

故选：D

8.已知虚数n是关于x的方程x2-4x+a=0（awR）的一个根，且|z|=VL则。=)

A.IB.2C.4D.5

【答案】D

【解.析】设z=〃i+〃i(叫”wR且〃*0),

代入原方程可得刀/一〃2-4m+a+（2m〃-4〃）i=0.

ni2-n2-4m+a=0-n~-4+a=0

所以，解得

2mn-4//=0m=2

因为|Z|=+〃2=亚,所以〃=1,。=5.

故选:D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全

部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知复数z满足（1-i）z=2i,则下列关于复数z的结论正确的是（）

A.|z|=41

B.复数z的共规狂数为

C.复平面内表示复数z的点位于第二象限

D.复数z是方程/+2什3=0的一个根

【答案】ABC

【解析】由（l）z=2i,得2=看=言言=一「・

:\z\=41:z=-\

更平面内表示目数Z的点的坐标为（7,1）,位于第二象限;

v(-l+i)2+2(-l+i)+3=-2i-2+2i+3=1^0,「•复数z不是方程丁+2戈+3=0的一个根.

故选：ABC.

*，则（）

10.设复数z

l-i

A.|z|=V5B.z的实部为1C.z的虚部为2D.z的共舸复数为l+2i

【答案】AC

l+3i(l+3i)(l+i)-2+4i

【解析】因为z==-l+2i,

1-i(l-i)(l+i)2

所以|z|=h0r三=后，故A正确；

z的实部是T,故B错误；

z虚部是2,故C正确；

z=-l-2i,故D错误.

故选：AC.

11.下列关于复数4/2的命题中，正确的是()

A.若区一22|=。，则Z[=W

B.若马=鸟,则4=z2

C.若㈤=4|,则Z]-Z[=Z2・Z2

D.若㈤="|,则zjuZz?

【答案】ABC

【解析】对于A：因为归一易卜。，则412=0,则4=名2，所以1=或，故A正确；

对于B：若Z[=Z2，则Z1=Z2，故B正确；

对于C：令4=。+折，z2=c+di,a,b,c,deR,

由闵=卜2I，所以。2+/=/+/，

所以弓=”历,则4£=(a+bi)(a-〃i)=/+〃，同理可得Z2云="+/,

所以4二z?，故C正确;

2

对于D：令壬=「4=1,则㈤="|=1,但是z：=-l、z2=1,所以zjwz??,故D错误；

故选：ABC

12.设非零复数4、z?所对应的向量分别为西，西，则下列选项能推出鬲1次的是()

A.4=均B.Z=2z2C.区|=a|D.|z,+z2|=|zl-z2|

【答案】AD

【解析】A：马二%等价于将花绕原点逆时针旋转无。得到诬，即建_L区，符合；

B：4=2z?等价于西=2诬，即西，近共线，不符合；

C：团="|等价于|应;|=|返但不一定有西J.应，不符合；

D：B+z?|=归-zj等价「J西+区卜叵-西卜两边平方井应用数最积的运算律可得西•应;=0,

即函J.运，符合.

故选:AD

第n卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若复数z满足“诏，则|z-2i|=.

【答案】M

,I=班入口2r-22(1-i)1・

【r6解9析ri】由复数Z满足Z=；可得-;=---=1-1,

1+11+12

所以|z-2i|=|l-3i|=/+(-3>=而,

故答案为：M.

14.关于x的实系数方程--at+b=0的一个虚根为2+i,i为虚数单位，则实数8=

【答案】5

【解析】根据题意可得：(2+i)2-“2+i)+8=0,

即3+力一2。+(4—〃>=0,

故3+人-2。=0,且4-。=0,

解得。=4/=5.

故答案为：5.

15.若i是虚数单位，复数z满足|z|=2,则|z+4-3i|的取值范围是.

【答案】[3,7]

【解析】因为|z|=2,所以设z=2cosg+i-2sinj,

故|z+4-3i|=|2cosO+4+(2sin6>-3)|=血cos6+4『+即6-3j

=729+16cos。-12sin。=J29+20cos(。+*),其中tan。=一，

因为cos(e+0)«-l,l],所以|z+4-3i|=j29+20cos(e+*)w[3,7].

故答案为：37].

；X；24-P4.4.；2022

16.已知复数Z=+1+…।—,则复数Z=__________,

1+1

【答案】i

:.;2,：3,,:2022

1+1+，++1

【解析】Z=-

1+i

i-产

_Ti

-1+i

i-i2023

^i-i2023

2

4n+24+3

因为严=1严=i,i=-l,i"=-i,(W€Z),而2023=4x505+3,

；_；2023：_/

所以i23=—i，所以z=K=—L_2=i.

22

故答案为：i

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

17.(10分)

已知复数Z=〃?(〃L3)+(〃L3)i,其中i为虚数单位.若Z满足下列条件，求实数”的值：

(l)Z为实数；

(2)?为纯虚数；

(3)z在复平面内对应的点在直线y=x上.

【答案】⑴加=3；

⑵7=0；

(3)冽=1或=3.

【分析】

根据复数为实数其虚部为o；复数为纯虚数其实部为o,虚部不为o：点在直线旷=工匕其实部与虚部相

等；

(1)

・・・z为实数，.・.刀-3=0,解得：加=3；

(2)

"[(〃[-3)=0,

♦.♦2为纯虚数，.=加=0；

，〃一3xn0,

(3)••・z在复平面内对应的点在直线上,

加(〃？-3)=，3n〃？=1或加=3.

18.(12分)

已知复数4=-2+加药=a+i.

(1)若4=z2,求。和Z?的值；

(2)。=-2,6=4，求4+z?.

【解析】(1)因为复数2+M，Z2="+i,

故由4=马可得。=-21=1：

(2)由于a=-2,6=4故4+z2=-2+4i+(_2)+i=_4+5i

19.(12分)

设复数z满足z-5=i(z+l),其中i是虚数单位.

⑴求z：

⑵求n.

【解析】(1)・.・z-5=i(z+l),

z-iz=5+i,

._5+i(5+i)(l+i)4+6i

(l-i)(l+i)-2J

z=2+3i

(2)由⑴7=2-3i.A2-i=2-4i,

A|z-i|=|2-4i|=yj^+(-4)2=2fs.

20.(12分)

已知复数z使得z+2iwR,-^eR,其中i是虚数单位.

2-1

(1)求复数z的模；

(2)若复数(z+疝『在复平面上对应的点在第一象限，求实数机的取值范围.

【解析】(1)设复数z="6i,(d〃eR),

根据题意，z+2i=a+6i+2i=a+S+2)i,

所以力+2=0,即/)二一2；

,,z(a+/?i)(2+i)2a-b2h+a.

乂---=----------=------H-------1,

2-i555

所以2〃+白=0,即。=一2力=4,

所以z=4—21,则回=，42+(-2)2=2石;

(2)由(1)可知N=4-2i,

所以(z+mif=(4-2i+mi)2=[4+(/n-2)i]2=16-(m-2)2+8(m-2)i,»

在复平面内对应的点为(16-。〃-2)2,8。〃-2)),位于第•象限，

所以8。〃-2)>0且]6-(〃?->0,解得2<〃?<6,即〃?的取值范闱为(2,6).

21.(12分)

已知z为虚数，m=z+，为实数，且一

z

⑴求|z|及Z的实部的取值范围.

1—7

(2)设“=一，那么〃是不是纯虚数？请说明理由.

(3)求m-u1的最小值.

【解析】⑴设z="为伍力工0),

则阳=4+4+----=a+———；+h-———i.

a+b\a~+/rjIa~+b~J

因为小是实数，bwO,所以/+/=],即|z|=l,于是〃?=2〃.

又-1＜加=2。＜2,所以-

2

因此z的实部的取值范围是1一；」).