云南某中学2025-2026学年高二年级上册期末模拟试卷六数学试题

云南师范大学附属中学2025-2026学年高二上学期期末模拟试

卷六数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合A=次|Y-5x+4=0｝,则集合A的真子集个数为（）

A.1B.2C.3D.4

2.己知等差数列｛q｝的前〃项和为3,等比数列出｝的前〃项积为&%=8也=-1,则

区+刀的值为（）

A.58B.57C.56D.55

3.某校有住宿的男生40。人，住宿的女生600人，为了解住宿生每天运动时间，通过分层

随机抽样的方法抽到100名学生，其中男生、女生每天运动时间的平均值分别为100分钟、

8（）分钟.结合此数据，请你估计该校全体住宿学生每天运动时间的平均值为（）

A.98分钟B.90分钟C.88分钟D.85分钟

4.若过点（2,1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2X-），-3=0的距离为（）

&&R2石03亚n4石

A.----t>.--------C.-----D.----------

5555

5.已知函数/（"的定义域为R,/（x+2）为偶函数，/（21+1）为奇函数，则（）

A.d=。B./（-9=0C./（2）=0D./（4）=0

7.2025年春节，国产电影《哪吒之魔童闹海》火遍全球，更是于2月18日登顶全球动画

榜.甲、乙、丙、丁、戊五位同学打算去蚌埠固镇、天津陈塘关、南阳西峡县三个哪吒故里

旅游打卡，每位同学只去一个地方，每个地方至少去1人，则不同的安排方法有（）

A.120种B.150种C.180种D.300种

8.若〃＞1,设函数=4的零点为加，g（x）=log“x+x—4的零点为〃，则'+工

mn

的取值范围（

79

—,+ooB.[1,+cc)C.(4,+cc)—,4-QO

22

二、多选题

9.如图，平行四边形A8CQ中，AB=2tAD=4fN8AO=2,E为CO的中点，AE与DB交

于忆则（）

uiuImn7mnn

A.8尸在A8方向上的投影为0AF=-AB+-AD

33

C.AFAB=2

10.已知椭圆C:=+［=l（4＞力＞0）的左、右焦点分别为耳,巴，长轴长为4,点P（a,1）在

椭圆。外，点。在椭圆。上，则（）

A.椭圆C的离心率的取值范围是（o,专）

R.当椭圆C的离心率为立时，|。£|的取值范围是［2-百、2+道］

2

C.存在点。使得。月。g=0

11

D.iT^i+17百的最小值为1

11.意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1,1,2,3,5,

8,13,….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这一列数称

试卷第2页，共4页

为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列｛外｝说法正确的是（)

A.«12=144

B.。2022是奇数

C.“2022=。］+/+“3++。2020

D.“2020+。2024=3。202：

三、填空题

12.已知双曲线力＞0）的左焦点为E过尸且斜率为二的直线交双曲线于

crb~4a

点A（N，y）,交双曲线的渐近线于点3（天》2）且玉＜O＜0.若|F8|=3|E4|,则双曲线的离

心率是.

13.已知RtZXABC的两条直角边分别为3,4,以斜边所在直线为轴，其余各边旋转一周形

成的曲面围成的几何体体积是.

14.写出一个同时具有下列性质①②③的函数/（x）：.

①/品）=/（%）/㈤;②当“€（0,8。）时,ru）＞o;③r（%）是奇函数.

四、解答题

15.已知4,Ac•分别为VABC三个内角A及c的对边，向量

加=〃+=（＞/5sinC+cosC,l）,m-n=2（b+c）.

⑴求A；

⑵若c=2G.BM=2MC.AM=2.求V48c的面积.

16.如图，在四面体ABC。中，AD=BC=2,AC=\,ZDAC=ZBCA=^,E、F分别

为CD、A8的中点.

A

B，

(1)证明：EF±AC；

(2)若二面角。-AC-B为求直线EF与平面AC。所成角的正弦值.

17.记S”,为数列｛叫的前〃项和，已知S“吟+"+],〃eN.

⑴求q+4,并证明｛%+。,小｝是等差数列；

⑵求S..

18.已知函数/3)=9一处+@—1.

xx

⑴若在(1,7(1))处的切线斜率为-1,求。;

⑵若/(x)20恒成立，求口的取值范围.

19.已知抛物线七：)，2=2〃工(〃〉0)的焦点为尸，/，为七上的动点，P到点尸的距离与/，到E

的准线的距离之和的最小值为2.

(I)求抛物线上的方程；

(2)给出如下的定义：若直线/与抛物线C有且仅有一个公共点Q,且/与C的对称轴不平行，

则称直线/为抛物线。上点Q处的切线，公共点Q称为切点.请你运用上述定义解决以卜.问

题：

(i)证明：抛物线E上。(小,为)点处的切线方程为)by=2%+2X；

(ii)若过点M(2.f)可作抛物线E的2条切线，切点分别为A、△.证明：直线M4、

的斜率之积为常数.

试卷第4页，共4页

《云南师范大学附属中学2025-2026学年高二上学期期末模拟试卷六数学试题》参考答案

题号1234567891()

答案CDCBBCBBABBCD

题号11

答案AD

1.C

【分析】先得到集合人，再根据集合直子集个数计算即可.

【详解】已知集合人=卜|/一51+4=0}={1,4},则集合A的真子集个数为22-1=3.

故选：C.

2.D

【分析】利用下标和性质分别求出S.和7；即可得解.

【详解】设等差数列{〃”}的首项为4,等比数列也}的首项为4，

则S7=1(%+%)=:x26=72=56,

乙乙

T77

i=姑2bB=(/?4)=(-1)=-1

所以S7+7；=56-l=55.

故选：D

3.C

【分析】由分层抽样的性质可得抽取的男女生人数，进而可得样本中学生每天运动时间的平

均值，即可得解.

【详解】由分层抽样的性质可得抽取男生100'右手二=40人，女生lOOx=60人,

则样本中学生每天运动时间的平均值;=处二譬竺"=88(分钟)，

故可估计该校全体住宿学生每天运动时间的平均值为88分钟.

故选：C.

【点睛】本题考查了分层抽样的应用，考查了总体平均数的估计，属于基础题.

4.B

【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为可得圆的半径为，，写

出圆的标准方程，利用点(2,1)在圆上，求得实数〃的值，利用点到直线的距离公式可求出

答案第1页，共13页

圆心到直线3=0的距离.

【详解】由于圆上的点(2,1)在第一象限，若圆心不在第一象限，

则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限,

设圆心的坐标为(4。)，则圆的半径为。，

圆的标准方程为(x-a)2+(y-a)2=/.

由题意可得(2-。『+(1-娟=/,

可得/一64+5=(),解得。=1或"5,

所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5),

|2x1—1—3|25/5

圆心(1.1)到直线21V3-0的距离均为4=

飞-二丁

|2x5-5-3|_2^

圆心(5.5)到直线2iy-3-0的距离均为人

飞-二可

|-21_2百

圆心到直线2x—y—3=。的距离均为d=

我一行

所以，圆心到直线2x-y-3=0的距离为挈.

故选：B.

【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属

于中等题.

5.B

【分析】推导出函数八”是以4为周期的周期函数，由己知条件得出/(1)=。，结合已知

条件可得出结论.

【详解】因为函数〃x+2)为偶函数，则〃2+X)=/(2T),可得/(X+3)=/(17),

因为函数〃2x+l)为奇函数,则/(l-2x)=-/(2x+l),所以,-1),

所以，/(x+3)=-/(x+l)=/(x-l),BP/(x)=/(x+4),

故函数是以4为周期的周期函数，

因为函数b(x)=/(2x+l)为奇函数，则尸(0)=/(1)=0,

答案第2页，共13页

故/(-1)=-/(1)=0,其它三个选项未知.

故选：B.

6.C

【分析】根据三角函数的国像和性质即可解得.

【详解】因为图像经过，?，()

(4nit

所以叫一丁七=0

即--6W+—=--+Z^T,/:GZ.

962

39

解得'寸入Z.

lOir13IOTT2n13兀

由图像可知竽＜r得兀，即可＜<",

网_9

1QQ1

解得二＜同层，所以左=0,＜=,

所以/a)的最小正周期为丁吟若・

故选：c

7.B

【分析】将五位同学分成三组，各组人数分别为1,1,3或122,进行求解.

【详解】将五位同学分成三组，各组人数分别为1,1,3或1,2,2.

CCGx

当各组人数为11,3时，头有A；=60种安排方法:

当各组人数为122时，共有A；=90种安排方法,

所以不同的安排方法有60+90=150种.

故选:B.

8.B

【分析】函数"X)="+A4的零点是)，=/与y=4r图象交点A的横坐标，函数

8(力=108/+工-4的零点是)，=1幅4与丁=4-4图象交点8的横坐标，数形结合可得出

m+n=4,再将代数式■!"+,与：(〃?+〃)相乘，展开后利用基本不等式可求得■!"+’的取值

mn4mn

答案第3页，共13页

范围.

【详解】函数/⑺="+'-4的零点是y=a，与y=4r图象交点A的横坐标,

函数g(x)=log"X+x-4的零点是＞'=log/与y=4-x图象交点B的横坐标,

由于〉，=，'与y=log/互为反函数，其图象关于直线旷=不对称,

直线)，=4-％与直线y=x垂直,

故直线)，=4-x与直线X的交点(2,2)即是AB的中点,

1I1,\(11)1(c/7L1._丽7)

m+n=4,—=-lw+zi)—+-=-2+—+—>-2+2J-----------,

mn4'n)4nm)4Vnin)

当且仅当〃?=〃=2时等号成立，故工+，21,

mn

故所求的取值范围是口,内).

故选：B.

9.AB

【分析】根据向量投影、向量线性运算、向量数量积、向量的模等知识对选项进行分析，由

此确定正确选项.

【详解】平行四边形ABC。中，AB=2,AD=4,ZBAD=^,

所以。区={AR?+AD--2AB-AD-cosy=J4+16-8=2百，

所以E为CO的中点，AE与DB交于F,所以8尸在A8方向上的投影为0，所

以A正确：

211艮m1UUD2.

AF=-AE9AE=-AB^AD9AAF=^AB+^AD.所以B正确；

3233

ioi«z2121

4/・A8=(-48+-AD)・A8=-48~+-AD-A8=-x2'+-x4x2x-=4.，所以C不正确；

3333332

答案第4页，共13页

因为8/=2。8=拽，所以AF=JAB、BF2=%+3=^^,所以D不正确.

33Y33

故选：AB

10.BCD

【分析】根据点P（&，1）在椭圆。外，即可求出力的取值范围，即可求出离心率的取值范围，

从而判断A,根据离心率求出J则|。制«a-c,a+c],即可判断B,设上顶点A,得到

AF；・A入＜0,即可判断C,利用基本不等式判断D.

【详解】解：由题意得。=2,又点P（"l）在椭圆。外，则解得匕＜0，

所以椭圆。的离心率e=（=亚尹＞咚，即椭圆。的离心率的取值范围是（等1），故A

不正确；

当6=当时，c=&,0=行下=1，所以|。制的取值范围是[。-c,a+c],即

[2-6,2+6],故B正确；

设椭圆的上顶点为8（08），6（y，。），片（c0）,由于4；/月=〃2-/=%一/＜0,

所以存在点。使得。£・。外=0,故C正确；

（网IQ砒向+南卜2+髓+黔2+2=4,

当且仅当|Q4H。勾=2时,等号成立,

又|QE|+|Q勾=4,

I1,

所以画十函’故D正确.

故选：BCD

11.AD

【分析】由已知得数列｛《｝满足递推关系。”+2=。向+%，选项A：直接递推求解；选项B：

观察数列每三项都是奇、奇、偶重生循环可得；选项C：假设正确，然后推出矛盾；选项D：

利用递推式计算.

【详解】由已知得数列｛qj满足递推关系为+2=。用+〃”.

答案第5页，共13页

选项A：

%2=41+4o=2即)+6=3a9+2aH=5ax+3%=8%+5ab=8x13+5x8=144,A正确；

选项B：观察数列可知，数列每三项都是奇、奇、偶重复循环，2022=674x3,恰好能被3

整除，且为为偶数，所以生心也为偶数，故B错误；

选项C：若选项C正确，又“2022="2021+。2020»则。2021=%+a2++。2019»

同理&)20=4+/++%018，生019=4+/++。刈7，依次类推，可得《=%+生，显然错误,

故c错误;

选项D：%024=生023+a2O22=2a融2+&)21，

所以『20+/24=阴020+勿2022+%⑶=四022+(％20+^2021)=3/022，故D正确.

故诜：AD.

12.亚

4

【分析】联立直线A4和渐近线/,：y=2x方程，可求出点3,再根据I所|=3|EA|可求得点

a

4,最后根据点人在双曲线上，即可解出离心率.

【详解】过凡且斜率为2的直线,)，*(i,)’渐近线/2:)，=、

y=3(x+c)

4。，得唳夺由|阳|二3|E4|,得Ag,技

联立

b133a

y=~x

而点A在双曲线上，于是券一磊"解得：捺嗤，所以离心率e二手.

故答案为：巫.

【分析】利用勾股定理求出斜边的长，再求出斜边上的高，从而可知该几何体为两个同底面

答案第6页，共13页

12

的圆锥，底面半径为?，两个圆锥的高之和为5,进而可求出其体积.

【详解】因为RtZ\A8C的两条直角边分别为3,4,所以由勾股定理知斜边为5,则斜边上

12

的高为《»

12

所以几何体为两个同底面的圆锥，底面半径为段，两个圆锥的高之和为5,

所以该几何体体积为lx兀x（-Yx5=—,

3[5）5

故答案为：警

14.f（答案不唯一，均满足）

【分析】根据豪函数的性质可得所求的/"）.

【详解】取/（x）=/,贝!”斗修二（入/2）4=%国=/（内）/（电），涉足①，

r（x）=4d,工＞0时有/'（力＞0,满足②，

尸（耳=4/的定义域为必

又广（一力=7丁=一/（力，故广（X）是奇函数，满足③.

故答案为:/（x）=f（答案不唯一，=均满足）

15.⑴Y

Q）更.

2

【分析】（1）根据数量积的坐标表示可得G〃sinC+优osC=〃+c,利用正弦定理把边化为

角，再利用三角形内角和定理、和差公式及辅助角公式即可求解；

（2）利用向量的线性运算可得八人A+结合题意由产=4、向量数量积及

面积公式即可求解.

【详解】（1）因为〃z〃=2（b+c）,所以GasinC+acosC=h+c，

所以5/3sirL4sinC+siriAcosC=sinZ?+sinC＞

所以VJsinAsinC+siiiAcosC=sinAcosC+cosAsinC+sinC»

答案第7页，共13页

所以V3sin4sinC=sinC（cosA+1）,

,.,Ce（0,7i）,sinC^0/.>/3sinA-cosA=1,即2sin1=1,

又Aw（O,冗）.A-2w字］,故4一2=2，即4=9

6<66J663

（2）BM=2MC，所以AM-A8=2（AC-4M）,

19

AM=-AB+-AC,

33

•/i2丫1・24.24

\AM|2=-AB+-AC=-AI3'+-AC~+-ABAC,

U3J999

又44=°=2>/5,4。=〃,43=2,即卜加卜2,

4=」（2扬2+为+32&COS-,

9993

.♦.6+&-6=0「.〃=6或5=-25/5（舍），

^.SABC=^bcsinA=^~

16.（1）证明见解析

⑵正

4

【分析】（1）取AC的中点M,连接反修、FM,证明出ACJ■平面£FM,即可证得结论

成立;

（2）构造直棱柱，以点C为坐标原点，CB、C4所在直线分别为工、z轴，平面BC”内过

点C且垂直于8c的直线CG为），轴建立空间直角坐标系，由二面角的定义可得NEM尸=],

利用空间向量法可求得直线所与平面8CO所成角的正弦值.

【详解】（1）取AC的中点M,连接EM、FM,

因为M、E分别为AC、。。的中点，所以EM//AD,

因为/AOC=:，即AOJ.4C,所以EM1.AC,同理可证RW_L4C,

因为EMFM=M,EM、RWu平面EQW,故ACJ_平面EFM,

因为E尸u平面EAW,故AC_L£F.

（2）构造直棱柱如图所示，则AZMCH,因为AC_L八力，则ACJ_CH,

因为AC_LAC,BCfCH=C,BC、CHu平面BCH,所以AC,平面BS,

以点C为坐标原点，CB、CA所在直线分别为％、z轴，

答案第8页，共13页

平面BC"内过点C且垂直于BC的直线CG为y轴建立如图所示的空间直角坐标系,

因为平面A8CPI平面AC£>=AC,FM±AC,EMA.AC,

所以二面角。一AC—8的平面角为4EMF,则NEMF二1，

因为£例〃4。，ADHCH,lllljEM//CH,

又因为成〃/8。，所以N8C〃=1,

所以8(2,0,0)、C(0,0,0)、4(0,0,1),

因为E、尸分别为8、A4的中点，所以E露乎，£rf1,0,1

所以七斤二；,一今,0,

\7

设平面8CD的一个法向量为帆=(x,y,z),5C=(-2,0,0),6。二(一1,4,1),

m-BC=-2x=0

则取y=1,可得〃z=（0J-G）,

nrBD=-x+6y+z=0

in-EF

所以cosm,EF=2叵

\m\]EF\2x14

因此直线所与平面4c。所成角的正弦值为正.

4

17.(1)4+4=6,证明见解析

_[/+〃，当〃为偶数时

()"七+〃+2,当〃为奇数时

【分析】⑴利用仆与前”项和S”的关系，由S〃吟+/+I可得4，%的值，即可求得

答案第9页，共13页

的值；根据相减法求得（。川+为+2）-。+4用）为常数，证明其为等差数列；

（2）由（1）中数列｛4+4+J为等差数列，对〃进行奇偶讨论，即可求得S“.

【详解】（1）解：已知S”=/+〃2+l,〃wN-

当〃=1时，%=?+2,q=4；当〃=2时，6+%=及+5,%=2,所以4+生=6.

因为S”吟+〃"①，所以$用=苧+（〃+炉+1②.

②一①得，4川=智吟+（〃+1丫一〃2,整理得4+%=4〃+2,

所以（一+4.2）-（4+/）=[4（〃+1）+2]-（4〃+2）=4（常数），W€N\

所以｛〃“+/.J是首项为6,公差为4的等差数列.

（2）解：由（1）知，勺_]+4=4（〃-1）+2=4〃-2,neN\n>2.

当〃为偶数时，s.=（…）+（…）+…+（*+*="匕小〃；

当〃为奇数时，一—以工〃山一〃、,4\_h三0°+4"2）=〃2+〃+2.

S〃=4+（。2+%）+（4+%）++（凡-】+可）=4+---------------

+小兰〃为偶数时

综.上所述,

n2+/1+2,当〃为奇数时

18.（l）e

⑵[―1收）

【分析】（I）求出函数的导函数，由7（1）二一1计算可得；

（2）依题意可得Ae'-lnx+a-恒成立，令g（x）=J.e'—lnx+a—x,XG（0,-KO）,利用

导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得解.

【详解】（1）因为/。）=3一处+2-1,

XX

所以r（x）=e-W^—皆，依题意广（1）=8-号*-]二-1,解得，=e；

（2）因为/（x）=e'-皿+@-1的定义域为（0,+“），

XX

or,、Inxa.xe'-lnx+a-x、八

又f（x）=ex----+--1=-------------->0,

xxx

答案第10页，共13页

所以.ve，-lnx+a-x?。恒成立，

令g(x)=.ve'-lnx+a-x,xt(0,+oo),则g<x)=(x+l)(e「()，

令/?a)=e'—L4£(0,田)，则〃("=^+=>0,所以〃(力在(0,+8)上单调递增，

XAk

又力出=/一2<0,//(l|=e-l>0,

所以心…使得M%)=0,即g'(.q)=O,e"-J=O,贝IJ加/=T。，

所以当xe(O，a)时g'(x)〈O,当xe(x0,+co)时g'(x)>0,

所以g(x)在(0，%)上单调递减，在(％,一)上单调递增，

所以且(力痴=g(xo)=xoe"-】nxo-xo+a=l+$一天+a之。，所以,

即实数。的取值范围为卜I,y).

19.(l)y2=4A-

(2)(i)证明见解析；(ii)证明见解析

【分析】(I)利用抛物线的定义、焦半径公式可求出P的值，由此可得出抛物线的方程；

(2)(i)当抛物线上。(毛,%)处的切线斜率存在时设其方程为)，-为=刈工-不)，其中％工0,

将该直线方程与抛物线的方程联立，由A=0可求出3代入切线方程可证得结论成立；当

切线斜率不存在时，直接验证即可；

(ii)设A(x“J、8(电,为)、M(2J),根据(i)中的结论成立写出直线M4、也的方程，

将点M的坐标分别代入两切线方程，可得出直线人8