微元法在物理学中的应用（重难专练）-2026年高考物理二轮复习原卷版

方法01整体法与隔离法在物理学中的应用

方法建模.

微元法是高中物理中一种非常重要且深刻的思维方法和数学工具，其核心思想是“化变为

恒，化曲为直，先微分再积分”。它主要用于处理非均匀变化（变量累积）的物理过程。

一、微元法的本质

当一个物理量（如力、速度、质量）随位置或时间连续变化，导致过程不均匀时，我们无

法直接用初等数学的公式求解。此时，我们可以在极短的时间（At）或极小的空间（Ax）内，

将变化量近似看作不变，求出该“微元”内的贡献（如功AW、位移As、质量小!!!），然后将

所有微元累加起来（求和或积分），得到总效果。

二、在高中物理中的典型应用

L变力做功问题

当力F随位移x变化（如弹簧弹力F=kx、随距离变化的引力/库仑力）时，做功不能用W=Fs

直接计算。

步骤：取一段极小的位移Ax,在此Ax内，力F（x）可视为恒力。微元功AW=F（x）Fx。

总功：W^SAW,其几何意义是F-x图像下的面积。例如，弹簧弹力做功W=（l/2）kx2,

正是三角形面积。

2.非匀变速运动的位移与时间

已知瞬时速度v随时间t变亿的关系v（t）,求总位移。

步骤：取极短时间八t.认为v不变.微位移八s=v（t）•Ate

总位移：s=SAs,即v-t图像下的面积。这正是高中用图像法求位移的原理.，也是积分

思想的雏形。

3.连续体问题（流体、电荷、链条）

研究对象是连续分布的质量或电荷。

示例：一段均匀带电细棒产生的电场。棒不能视为点电荷。

步骤：将细棒分成无数小段△1,每一段带电量Aq,可视为点电荷，计算其在场点的微元

场强AE,再通过矢量叠加（积分）求总场强E。

4.电磁感应中的电荷量计算

由q=I-t,但电流工随时间变化。

步骤：根据工=Z\q/At,有结合电磁感应定律E=△0/At和欧姆定律工=E/R,

可得工•△1=△①/R,即△4=△◎/□

累加：q=SAq=（A^））/Ro这是一个极其重要的结论：通过闭合回路的电荷量只与磁通量

总变化量和电阻有关，与时间无关。这是微元法推导出的经典结论。

三、思想升华与意义

微元法是连接初等数学与高等微积分的桥梁。在高中阶段，我们通常用“无限分割、求和

取极限”的语言来描述，并用几何面积来形象化结果。它训练学生以下关键能力：

建模能力：将复杂连续过程分解为简单单元。

近似与极限思维：理解“在无穷小范围内，变量可视为常量”。

综合应用：结合物理定律（如牛顿定律、能量守恒）与数学工具解决问题。

总结：微元法是解决高中物理中“变力”、“变速”、“连续体”等高级问题的核心钥匙。

掌握它，不仅能为高考压轴题提供解题思路，更能为大学深入学习物理学和工程学奠定坚实的

思维基础。它体现的“化整为零，再积零为整”的思想，是科学分析的通用范式。

分级实战.

一、单选题

1.一质量为M且质量均匀分布的细圆环放置在光滑水平面上，其半径为「，过圆心的几何轴与水平面垂直,

若圆环能经受的最大张力为丁，估算此圆环可以绕几何轴旋转的最大角速度约为（当。角很小时，sinOa。）

)

A，居B•厝。•糕

2.研究物体的碰撞时•，碰撞过程中受到的作用力/往往不是恒力，求少的冲量时，可以把碰撞.过程细分为

很多短暂的过程，如图所示，每个短暂的4时间内物体所受的力没有很大的变化，可认为是恒力，则每个

短暂过程中力的冲量分别为匕加、FQ……，将关系式相加，就得到整个过程作用力尸的冲最在数值上等

于尸T曲线与横轴所围图形的面积。这种处理方式体现的物理方法是（）

A,控制变量法B.微元法C.转换法D.类比法

3.如图所示，在弯曲的光滑管道内，有一根质量分布均匀长为L的绳子。初始时，用手拉着绳的A端使之

静止在管道内，绳A、6两端竖直高度差为人已知重力加速度为g,则放手瞬间绳的加速度为（）

4.如图所示，两个固定的半径均为厂的细圆环同轴放置，。/、。2分别为两细圆环的圆心，且0/。2=2「，两

环分别带有均匀分布的等量异种电荷+Q、-Q（（2>0）o一带正电的粒子（重力不计）从。处由静止释放,

静电力常量为上下列说法正确的是（

r-Q产。

Oi\O\

..............♦・}»........

A.粒子在。2处动能最大B.粒子在0/3中点处动能最大

C.0/。2中点处的电场粥度为"gD.。。2中点处的申.场强度为巫2

r

5.法国科学家库仑精心设计了一种测量仪器叫库仑扭秤，他用此装置找到了电荷间相互作用的规律，总结

出了库仑定律。库仑扭秤能研究微小的库仑力，它在设计时应用的最主要物理学思想方法为（）

B.微小量放大法C.微元法D.理想模型法

6.一个质点运动的速度时间图像如图甲所示，任意很短时间内质点的运动可以近似视为匀速运动，该时间

内质点的位移即为条形阴影区域的面积，经过累积，图线与坐标轴围成的面积即为质点在相应时间内的位

移。利用这种微元累积法我们可以研究许多物理问题，图乙是某物理量随时间变化的图象，此图线与坐标

A.如果y轴表示变化磁场在金属线圈产生的电动势，则面积等于该磁场在相应时间内磁感应强度的变

化量

B.如果y轴表示力做功的功塞，则面积等于该力在相应时间内所做的功

C.如果y轴表示流过用电器的电流，则面积等于在相应时间内流过该用电器的电量

D.如果y轴表示加速度，则面积等于质点在相应时间内的速度变化

7.图甲、乙、丙是中学物理课本必修1中推导匀变速直线运动的位移公式所用的速度图象，下列关于位移

公式的推导和这三幅图的说法正确的是（）

A.这里推导位移公式主要采用了对比的方法

B.中图中利用矩形面积的和夹表示位移大小比实际位移大小偏小

C.乙图中利用矩形面积的和表示位移大小比丙图利用梯形面积表示位移大小更接近真实值

D.这种用面积表示位移的方法只适用于匀变速直线运动

8.微元累积法是常用的物理研究方法，如图所示为某物理量随时间变化的函数图象，关于此图线与两坐标

轴围成面积的物理意义，下列说法正确的是

A.如果y表示加速度，则面积等于质点to在时刻的速度

B.如果y表示流过用电器的可流，则面积等于在相应时间内该用电器消耗的电能

C.如果y表示力做功的功率，则面积等于该力在相应时间内所做的功

D.如果y表示变化磁场在金属线圈中产生的电动势，则面积等于该磁场在相应时间内磁感应强度的变

化量

9.关于物理学研究方法，下列说法错误的是（）

A.甲图中，在推导匀变速直线运动的位移公式时，采用了微元法

B.乙图中，伽利略在研究力和运动的关系时，采用了理想实验法

C.丙图中，用光电门测小球的瞬时速度体现了极限的思想

D.丁图中，研究红蜡块的运动时，主要运用了放大的思想

10.下列对教材中的四副插图所包含物理思想方法的说法正确的是（）

A.图甲：类比:去B.图乙：控制变量:法

C.图丙：等效替代法D.图丁：理想实验方法

11.微元思想是物理中一种重要的思想方法，它能巧妙的“化变为恒”，从而便于求解物理量。例如图若为F-t

图像，因纵轴力产变化，往往将横轴的时间微分，即取无穷多很短的时间△/,在很短的时间内力变化很小,

〃可视为恒力，图像中小长方形的面积代表加时间内的冲量，然后通过求和即可知道函数图像和横轴，包围

的面积得到户的总冲量，以下四个选项说法塔考的是（）

A.若是V-p（体积•压强）图，则图中函数图像和横轴〃围成的面积代表理想气体气体对外做的功

B.若是〃一（加速度.时间）图，则函数图像和横轴/围成的面积代表对应时间内物体的速度变化品

C.若是b-x（力-位移）图，则函数图像和横轴x围成的面积代表对应位移内力尸所做的功

D.若是/T（电流-时间）图，则函数图像和横轴，围成的面积代表对应时间内的电荷量

二、多选题

12.如图是教材上用速度（丫）-时间（，）图像推导匀变速直线运动的位移公式。卜.列叙述正确的是（）

倾斜直线表示物把f分成五段，每段加若4取得更小，矩若仙一＞0,矩形上端

体做匀变速直线时间内视为做匀速直形上端的台阶更密，的台阶形成的折线就

运动的—图像线运动，其位移的数值更接近斜直线变成了V―图的斜直

等于这个小矩形的“面线。图中无限个小矩

积”形的“面积”之和即梯

形的“面积”就等于1

时间内的位移的数值

A.这个分析过程体现了微元思想

B.图（b）中从左到右的五个矩形面积之比为1：3：5：7：9

C.如果图像是曲线，则所围“面积”的数值也等于该段时间的位移大小

D.若是加速度（a）-时间d）图像，则所围“面积”的数值等于末速度的大小

13.下列四幅图涉及不同的物理知识，其中说法正确的是（）

（a）（b）（c）（d）

A.图（a）所示的射线“3”是三种射线中电离能力最强的

B.图（b）英国物埋学家G・P汤姆孙在实验中让电子束通过多晶薄膜得到的电子衍射图样，从而证实

了粒子具有波动性

C.图（c）所示为a粒子散射实验，实验发现少数a粒子穿过金箔后仍沿原来的方向前进

D.图（d）位移推导过程应用了控制变量法

14.在物理学的发展过程中，科学家们运用了许多研究方法。以下关于物理研究方法的叙述正确的是（）

A.“探究向心力大小的表达式”实验中用到了等效替代法

B.卡文迪什利用扭秤实验测量引力常量运用了放大的思想

C.在研究物体沿曲面运动时重力做功的过程中用到了微元法

D.研究小船渡河问题时，主要运用了极限的思想方法

15.了解物理规律的发现过程，学会像科学家那样观察和思考，往往比掌握知识本身更重要。下列陈述与

事实相符的是（）

A.求匀变速直线运动位移时，将其看成很多小段匀速直线运动的累加，采用了微元法

B.根据速度的定义-=空，当4非常非常小时，?就可以表示物体在此时的瞬时速度，该定义应用

A/N

了极限思想方法

C,加速度的定义〃=乎应用了控制变量法

D.在不需要考虑物体本身的大小和形状时，用质点来代替物体的方法叫理想模型法

16.关于研究物理的思想方法，说法正确的是（）

A.将物体视为质点，运用了极限思想

B.力的分解与合成，运用了等效替代法

C.在极短的位移中，物体的平均速度可以看成它在此位置的瞬时速度，运用了理想模型法

D.在推导匀变速直线运动位移公式时，把整个运动过程划分成很多小段，每一小段近似看作匀速直线

运动，然后把各小段的位移相加，运用了微元积分思想

三、解答题

17.圆周运动是曲线运动的一种特例。由于其属于变加速曲线运动，在研究过程中我们经常用到的方法就

⑴质点沿半径为「、圆心为。的圆周以恒定大小的速度v运动，某时刻质点位于位置A，经极短时间△/后

运动到位置3,如图1所示，试根据加速度的定义，推导质点在位置A时的加速度的大小明。

（2）物体做曲线运动的情况较复杂，一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部

分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图2所示，曲线上A点的曲率圆定义为通过A点

和曲线上紧邻4点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫作4点的曲率圆，其半径，•叫作A点的曲

率半径，在分析物体经过曲线上某位置的运动时，就可以按其等效的圆周运动来分析和处理。将•物体沿

与水¥血成。角的方向以速度％抛出，如图3所示。已知事力加速度为求其轨迹最高点尸处的曲率半径

r。

（3）《自然哲学的数学原理》中记载牛顿是这样研究匀速圆周运动的：如图4所示，质量为小的小球沿正多

边形的各边做速度大小恒为U的运动，若正多边形的边数趋近于无穷大，则上述运动可看作匀速圆周运动，

若其半径为R,试用动量定理推导向心力表达式（当。足够小时，有sine=6D。

18.演绎式探究一曲线运动中的追及和相遇问题：

微元法在研究问题中是一种非常有用的方法，它是一种从局部到整体的思维方法，研究问题的过程中，某

些物理量的各个局部值并不相同，此时不好直接建立有关物理量之间的关系，但我们如果将这•过程分割

为无数个微元部分，由于所取的微元很小，其内部各部分间的差异也很小，这样就可忽略其内部各部分间

的差别，认为描述它的物理量是定值。比如研究曲线运动的轨迹，我们将轨迹分割为无穷多段，物体在每

一小段的运动可以视为直线运动。现有A、B、C三只蜜蜂同时从边长为3m的正三角形的三个顶点出发，

速度大小相同均为2m/s,运动过程中始终保持看A朝向B,B朝向C,C朝向A,试问经过多少时间三只

蜜蜂相遇？每只蜜蜂飞过的路程为多少m?

19.某校空地上有一个小土坡，该校学生想利用该