高考数学专项复习：立体几何 多选题（新高考）解析版

2023届新高考题型模拟训练】

专题08立体几何多选题（新高考通用）

1.（浙江省浙南名校、七彩阳光联盟2023届高三下学期2月返校联考数学试题）正方

体ABCO—A4GA中，8R与平面A8。，平面ACQ的分别交于点E,F,则有（）

A.RD,1B.CB.BE=EF=FDt

C.与。。所成角为60。D.々。与平面片所成角为30。

【答案】ABD

【分析】利用线线垂直述明线面垂直，再利用线面垂宜证明线线垂直判断A项；根据

等体积转换%.皿，即可求点月到面ACg的距离，进而判断B项；把异面宜线

平移到同一个平面即可判断C项；可证CO_L平面则直线与平面B/DR所

成的角为/CB0,即可判断D项.

【详解】对A选项，•・•ABJ.平面8CCM一•.A8工,又B。_LBq,且以；DA3=4,

86匚平面48。0,ABu平面A8G2，・・・8。_1平面A3G",

又BQu平面ABCR,J.,故A正确：

对B选项，由选项A知，BCJ.BR,又ACJ_平面叫A。，8"u平面ABGR,J

AC_LBOI,且4Cc4C=C,&Cu平面AC场,ACu平面ACg,I.8RJL平面人C居，

即3£_L平面AC反，同理2"_L平面AG。，故点4到面的距高为跖.

设正方体ABC。-棱长为2,因为AAC/为正三角形,

2=26,乂S.ABC=；XABXBC=

所以5；ACM=—xAC,xAB.xsin2.

21JJ

根据等体积转换可知：即:xBExS"俏二;XB81XS"C8，

Bp|xBEx2x/3=1x2x2,所以3七=苧，同理。尸=半，又〃8二2百，

ABE=EF=FD.=—,故B正确；

13

对C选项，・・.N8CG（或其补角）即为异面直线用。与。鼻所成角，

・・•四边形8CC声为正方形，・・・NBCG=45。，.・.60与。叩所成角为45。,故C错误;

对D选项，•・•"L平面ABC。，ABB.±AC,又8O_LAC,且84八8。=3,

8B'平面%RD,8Ou平面网R。，，AC_L平面网RQ,

设8£>cAC=O,则CO_L平面88QO,连接80,如图

由线面角的定义知，ZCBQ为B£与平面所成角,

设正方体ABC。—Age.棱长为2,则。0=夜，B、C=2叵，：.

s"CBQ=d与，,

BQ2近2

V00<ZCB,0<90°,ZCB,O=30°,

・・・BC与平面8班。中所成角为30。,故D正确;

故选：ABD.

2.（湖南省四大名校名师团队2023届高三普通高校招生统一考试数学模拟冲刺卷（一））

已知正四棱锥P-A8C。的所有棱长均为2&，E,尸分别是PC,人4的中点，M为

棱PB上异于P,H的一动点，则以下结论正确的是（）

A.异面直线£尸、尸。所成角的大小为？

B.宜线£尸与平面A伙力所成角的止弦值为逅

6

试卷第2页，共53页

C.△胡加周长的最小值为而+2贬

D.存在点例使得总_L平面MEN

【答案】BC

【分析】根据空间中异面直线所成角，直线与平面所成角的定义，空间中折叠问题以及

垂直关系的判定与性质.逐个选项运算求解即可.

【详解】如图1，取P。的中点Q，连接EQ，AQ,

因为E,尸分别是PC,4B的中点，

所以EQ||DC||A/，且EQ二A尸，所以四边形AFEQ为平行四边形，

贝IJE尸IIAQ,又正四棱锥P—A8CO的所有棱长均为2及，

则AQJ.PO,所以异面直线EF,2力所成角为故A错误：

图1图2

设正方形A8C。的中心为。，连接OC,PO,

则尸。工平面ABC。，0C=0P=2,

设0C的中点为“，连接£〃，FH,

则E”||OP,且£7/J_平面ABC。，

所以ZEFH为直线EF与平面A8C。所成角，所以=；PO=1,

△OFH中,OH=\,0尸=应，ZFOC=135\

所以由余弦定理可得所以EF7EH,+FH?，

所以sinNEF〃=g=-J==¥，故B正确；

EFR6

将正和APBC沿尸8翻折到一个平面内,如图2,

当E，A7，/三点共线时，/取得最小值，

此时，点M为例的中点，ME+MF=BC=2y/i，

所以V用沪’周氏的最小值为6+2拉，故C正确：

若依_L平面ME/，则此时点M为心上靠近点尸的四等分点,

而此时，如与EW显然不垂直，故D错误；

故选：BC.

3.（浙江省嘉兴市平湖市2023届高三下学期3月模拍数学试题）已知正方体

ABCO-ABC"的棱长为2,M,N分别为AB,CG的中点，且MN与正方体的由切

球0（。为球心）交于E,尸两点，则下列说法正确的是（）

A.线段EF的长为右

B.过O,M,N三点的平面截正方体A&所得的截面面积为36

c.三棱锥0-。叮的体积为巫

6

D.设尸为球。上任意一点，则AP与AG所成角的范围是0，5

【答案】BC

【分析】过。，M，N三点的截面为正六边形MGN"",球心。为其中心，作出图形

在正六边形中求IE尸判断A,求出正六边形面积判断B,由等体积法求出二棱锥体积

判断C,分析”与AG所成角的最大最小值判断D.

【详解】过。，M,N三点的截面为正六边形球心。为其中心，如图,

在正六边形MGNHIJ中,OM=ON=0,点。到MN的距离为叵OEOFI

2，==.

所以七户二故A错误;

正六边形MGNHIJ的面积S=6X；X（五丫sin方=36.故B正确;

Vo_DEF=VD_°EF=gs^°EF.DO=£,故C正确；

.S326

AC.AR、八为球0的切线，故当。为AC中点时，A尸与AG所成角最小为0,

sinNO4C=《，所以/。人。4,

当心与球相切且尸在平面O4C内时，为A。或A4的中点时，心与AG所成角最大

试卷第4页，共53页

为2NQ4C/g,故D错误.

故选：BC.

4.(浙江省宁波市十校2023届高三下学期3月联考数学试题)正方体ASCO-AM。。

的棱长为1，点P满足8P=4配瓦(4〃eR),则下列说法正确的有()

A.若％+4=1,则AP_LAQ

B.若a十〃=1,则三棱锥尸DC；的体积为定值

C.若点尸总满足则动点尸的轨迹是一条直线

D.若点P到点A的距离为则动点P的轨迹是一个面积为冗的圆

【答案】ABC

【分析】作出图形，利用线面垂直、平行的判定定理和性质定理逐项分析检验即可求解.

【详解】对于A,因为苏=4配+〃瓯(/L〃eR)112+〃=1,由向量基本定理可知：

点用CP共线，如图,连接4R，AC，8G，鼻C,

在正方体ABC。—A8cA中，上Bq,4用_1_平面88。。，

因为8Gu平面88CC，所以AAIBG，又BcnA£=s，

所以8G_L平面A6C，

在。G_L任取一点?，连接AJ,则A〃u平面入饵。，所以Z?G，A，，

在正方体A5CO—A8CQ1中，因为人B//AG，且A4=AG，

所以四边形A8CR为平行四边形，所以ADJ/BG，则AR_LAP，

故选项A正确；

对于B,如图,连接AG，G2AD4。，

因为9=2反+〃瓯（Z〃eR）且2+〃=1,由向量基本定理可知：点印C,P共线，

即点〃在直线上，在正方体A8C。—A/CA中，因为AB//RG，且A8=2G，所

以四边形A8GA为平行四边形，所以4。〃8G，A〃u平面AG。，8G（z平面AG。，

所以4C//平面AC。，则直线&C上任意•点到平面AG。的距离相等，又因为AAG。

的面积为一定值，所以三棱锥A-POG的体积为定值，故选项B正确；

对于C.如图.连接AC、BD,ABi，A。B。,BR,

在正方体A8CO-A8£A中，AC1BD,8隹_L平面A8CO,因为ACu平面A8CQ,

所以8B1J.4C,又BBiCBD=B,所以ACJL平面平面88〃。，所以

AC1BD.,同理有A耳f]AC=A,所以6"_L平面AgC,因为点尸满足

8户瓦（几〃wR）,所以点P在侧面8BCC所在的平面上运动，目.必1明,

所以动点尸的轨迹就是当线4。，故选项C正确；

对于D,因为点尸到点A的距离为右，所以点P的轨迹是以A为球心，半径为右的球

面与平面B用CC的交线，即点P的轨迹为小圆，设小圆半径为「，

因为球心A到平面8BCC的距离为1,则/=4回）2-1=&,

所以小圆的面积为S=7i/=2兀，故选项D错误：

故选；ABC.

5.（江苏省南京市、盐城市2022.2023学年高三上学期期末联考数学试题）如图，圆柱

试卷第6页，共53页

OO'的底面半径为1,高为2,矩形ABC。是其轴截面，过点八的平面a与圆柱底面所

成的锐二面角为0,平面。截圆柱侧面所得的曲线为椭圆C,截母线E厂得点则()

A.椭圆C的短轴长为2

B.tan。的最大值为2

C.椭圆C的离心率的最大值为立

2

D.EP=(1-coszfAOE)tan0

【答案】ACD

【分析】短轴长为底面圆直径，可以判断A选项；tan。的最大值为tanZ68-l,可以

判断B选项；长轴长最长为AC时，可以判断C选项：利用几何关系判断D选项；

椭圆。在底面上的投影为底面圆。，所以短轴长为底面圆直径，即为2,故A正确；

当平面。过4c时，lan。的最大值为tan/C43=l,故B错误；

椭圆短轴长为定值2,所以长轴长最长为4c时:离心率最大为也，故C正确；

2

过七作椭园C所在平面和底面的交线垂线，垂足为G,连接4E,设则NAO£=a,

由题意可得AO_LAG,由余弦定理可得

AE=VAO2+OE2-2A0-OE-cos6Z=，2-2cosa，

2222

则

EG=AEsinNGAE=/AEsiny=^(2-2cosdf)-sin;y=^(2-2cosa)--~~=1-cosa

由题意可得/PGE=d,PE工GE,

所以砂=(l-cos/4QE)lan。，故D正确.

故选:ACD.

6.(江苏省南通市基地大联考2023届高三下学期3月重点热点诊断测试数学试题)在

正方体中，点P满足丽=4丽(042W1),贝IJ()

A.若4=1,则AP与6。所成角为£B.若AP上BD,则

42

C.AP〃平面8G。D.A.C1AP

【答案】BCD

【分析】AA与8。所成角为AR与用。所成角，为60。，A错误，建系得到

APDS=-2+l-A=0»B正确，故面AQ蜴〃面G4。，C正确，A^CAP=O,D正确，

得到答案.

【详解】对选项A：2=1时尸与R重合，A"与8。所成角为4。与8a所成角，AABR

为等边三角形，则人。与所成角为60。，错误;

对选项B：如图建立空间直角坐标系，令AO=1,即=2丽,P(l-A,l-A,l),

AP=(―A,1—A,1)»。方=(1,1,0),AP-DB=—A,+1—^=0»=~>正确;

对选项C：D、B\〃BD,。蜴包平面6。«,%>u平面3OG，故,口的//平面BDQ,

同理可得4A//平面［BQ,AD,nB,D,=R,故面AD^〃面，A尸u平面A。4,

试卷第8页，共53页

心〃平面C乃。，正确:

对选项D：4r=（-1』,一1）,ACAP=2+I-2-l=0.A^lAP,正确.

故选：BCD

7.(辽宁省锦州市2022-2023学年高三上学期期末考试数学试题)已知正方体

A8CD—ABCR的棱长为1,P是线段的动点，则下列说法正确的是，()

A.存在点p使尸B.点尸到平面AC。的距离为由

2

C.(CP+必)的最小值是2+bD.=棱锥G-APC的体积为定值

【答案】AD

【分析】建立：空间宜角坐标系，利用向量法对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】以。为原点建立如图所示空间直角坐标系，

A(LO,i)«(oji),第=(-i/,o),

设P(")OWYl,

DPA^=-\+t,当/=1时，丽.稿=0,

此时尸与B1重合，所以A选项正确.

设平面AGD的法向量为3=(x,y,z),

n-DA.=x+z=0一.、

则_，放可设〃=(1,1,7，

it-DC]=y+z=()

所以点p到平面AG。的距离为卜芾卜专=塔，B选项错误.

C(0,l,0),CP=(l,r-M),S<=(0,-M-r),

冏+同=/+(1『+[+jn

=「2产一2/+2+/2产—2/+1,

3亚二立，C选项错误.

所以当f=-=二时，G

%乂他=匕＞AGD=：x|^x&x血xsin6o]x坐=:’为定值,D选项正确.

3\2J36

故选：AD

8.（江苏省南京市、盐城市2023届高三上学期期末调研反馈数学练习题）在长方体

ABC。一AqCA中，AB=AA,=2BC=2，则（）

A.AA与8%是异面直线B.A4与8A是异面直线

异面直线与的距离为平

C.异面直线用〃与C。的距离为1D.8ACO

【答案】ABD

【分析】利用异面直线的定义判断选项AB,求出异面直线片。与CO的距离为2,即可

判断选项C把异面直线8A与8的距离转化为8到平面ABR的距离，再转化为点D

到平面的距离，再利用等体积法求解判断.

【详解】如图所示，A4与8%是异面宜线，的与8%是异面直线，所以选项AB正确；

由正方体得DD,1平面A四CR,所以。。_LBR.乂DR1CQ,所以DD,是异面直线

6Q与。的公垂线段，乂。R-2,所以异面直线片已与CD的距离为2,所以选项C

错误；

因为CO〃A氏CD（Z平面平面A8R,所以CO〃平面ABR,所以C。到平

面43A的距离就是异面直线BD,与CD的距离,即点D到平面ABO,的距离就是异面直

线8。「与C。的距离.设距离为/?,由题得从。=疹不=6.因为

/.八.=%一人%，「11'2'以2=:；'2'逐'/?,.・./?=：石.所以异面直线42与0/）的

。乙1乙J

试卷第10页，共53页

距离为手，所以选项D正确.

故选：ABD

9.（辽宁省名校联盟2022-2023学年高三下学期质量检测考试数学试题）在正方体

中，E,尸分别为A4,AA的中点，则下列结论错误的是（）

A.即〃平面叫RB.E"〃平面BC]

C.所工平面A3。D.平面8C|。

【答案】BCD

【分析】以点。为坐标京点，以。印，DC，函方向为4,z轴为正方向，建立空

间直角坐标系，根据线与面的平行与垂直的向量求法对选项一一验证即可.

以点。为坐标原点，以况，DCDD；方向为x,y,z轴为正方向，建立如图所示空

间直角坐标系，

设正方体AB。。-A8cA的边长为2,

则E（2,l,0）,F（IO2）,A（2,0,2）,8（2,2,。）,§（2,2,2）,C（0,2,0）,C,（0,2,2）,D（0,0,0）,

A（0,0,2）,

则乔网=((),0,2),西=(-2,-2,2),

设平面88a的一个法向量为“=（x，y,zj,

同函=2行=0

则,令乂=1，贝1)”=(一1,1,0),

n-BQ=-2xt-2)\+2z,=0

则小左/=（），则所〃平面BB4，故A正确;

麻=(-2,0,-2),4a=(-2,-2,0),

设平面8cA的一个法向量为成=（W,%，Z2），

m-B.C=-2x>-2z,=0.

则二，令勺=1，则%=x

mBiDl--2X2-2y2=0

汾•所=-200,则瓦•与平面8cq不平行，故B错误;

4§=（0,2,-2）,4/5=（-2,0,-2）,

设平面48。的一个法向量为4=（%/，4），

a-A,S=2y,-2z3=0

则—33,令Z3=l,则。=（—1,1,1）,

«-^D=-2X3-2Z3=0

MH/l乔，则所与平面ABO不垂直，故C错误；

BQ=（-2,0,2）,BD=（-2-2,0）,

设平面BC0的一个法向量为5=（%”，Z4），

b•BC,--2x.+2z,-0l,、

则____'44，令Z=l,则力=1,-1,1,

b-BD=-2x4-2y4=0

—则律与平面8G。不垂直，故D错误：

故选：BCD.

10.（河北省石家庄市2023届高三质量检测（一）数学试题）已知正方体ABCD-ABCR

的楼长为2,M,N分别是A/3,eq的中点，则（）

A.AC、〃MN

B.B、D1MN

C.平面MN。截此正方体所得截面的周长为旭业

2

D.三棱锥用-MN。的体积为3

试卷第12页，共53页

【答案】BC

【分析】建立坐标系，利用空间向量坐标的关系判定A,B选项的正误，把截面作出来,

根据截面形状可求周长.利用等体积进行转化可求三棱锥用-MN。的体积.

【详解】如图，以。为坐标原点，。4。。，。〃所在直线分别为乂)'，2轴1,建立空间直角

坐标系，

则A(2,0,0),G(0,2,2),M(2JO),N(O,2,1),0(0,0,0)湾(2,2,2)；

福=(-2,2,2),丽=(-2J1),O3；=(2,2,2);

-22

因为所以AG与MN不平行，A不正确；

—21

因为西•砺=2x(-2)+2xl+2xl=0,所以BQJ.MN,B正确；

如图，取4片的中点心取8P的中点Q，连接入RMQ，M2,

由正方体的性质可知，APUDN；

因为M，。分别为AB,3P的中点，所以所以DN//MQ；

平面MND截正方体所得截面为梯形。MQV,

因为正方体的棱长为2,所以QM=QN=6,MQ=+=冬

所以平面MND截此止方体所得截面的周长为正处，C正确;

2

由上面分析可知，DNUMQ,DNu平面BQN,MQU平面BQN,

所以MQ〃平面BQN,即点M到平面B、DN的距离等于点Q到平面BQN的距离；

Y认-MND=VM_&ND=VQ-^ND=力-即丫。，

1113

而％/做=55幽,照。。=3,5乂5、2乂2=1,所以三棱锥用-MM）的体积为1,D不正

确.

故选：BC.

11.（福建省漳州市2023届高三毕业班第三次质量检测数学试题）在正方体

ABCD-ABCR中,尸为线段留。上的动点，贝IJ（）

A.4P〃平面AG。

B.片。1平面4CR

C.三棱锥的体积为定值

D.直线4。与4。所成角的取值范围是

_o2_

【答案】ABC

【分析】根据面面平行的判定定理证明出平面4C8J/平面A。。，判断选项A；根捱线

面垂直的判定定理证出4。，平面ACR,判断选项B；根据三楂锥的等体积转换结合

面面平行，判断选项C；根据异面直线所成角的平移，判断选项D.

试卷第14页，共53页

【详解】选项A,•.•AS〃CRA4=c。，.♦.四边形Ageo是平行四边形,

.•.4。//80，4。（=平面44。，平面AC。，「.BC//平面AGO；

•.•BQ/AD、BG=AD./.四边形G^4D是平行四边形，

一.人用//C|O,C[Ou平面AQD,AB,（Z平面\CXD,/.相〃'/面4co；

乂BedAB1=用,且ACu平面ACB-AB|U平面ACB-

所以平面AC4〃平面4G。，而尸为线段4c上的动点，APu平面4。4，

.•.AP〃平面AG。,正确;

•・・。。_1平面入。24，八。《平面从。£）小，.（。_142，

v^DlAD,,A,DC1CD=D,AO，COu平面4片。。，4。_L平面A4。。，

而4Ou平面Age。，.,/。1，4。，

同理可证，CD,1B{D,又CDqAD1=D「C。,ARu平面AC",

.•.BQl平面AC",正确；

选项c,三棱锥G-PQA的体积即为三棱锥P-DA^的体积，

由选项A可得,Pe平面AC可，平面AC面〃平面AG。，则p到平面ACQ的距离为定

值，又底面积为定值，所以三棱锥G-PQA的体积为定值，正确；

选项D,用C,.•.直线川与A。所成角即直线AP与8c所成角，

在AAC4中，当点尸与4或C重合时，取到最小值上，

当点尸在线段BC中点时，取到最大值?，故错误.

故选：ABC.

12.（山东省日照市2023届高三一模考试数学试题）已知正方体ABC。-ABC。过对

角线8A作平面夕交棱AA于点E,交棱CG于点F,则（）

A.平面。分正方体所得两部分的体积相等

B.四边形8FRE一定是菱形

C.四边形8FRE的面积有最大值也有最小值

D.平面a与平面用始终垂直

【答案】AC

【分析】利用正方体的对称性即可判断A正确；由平行平面的性质和BE,RE的大小可

判断B错误；结合异面直线距离说明四边形卢的面积最小值和最大值取法，判断C

正确；只有当打工平面8片。时，才有平面平面88Q,判断D错误.

【详解】对于A：由正方体的对称性可知，平面a分正方体所得两部分的体积相等，故

A正确：

对广B：因为平面人人//CCQ。，平面BFREA平面ABB|A=BE,

平面平面CCQO=»L，・・.3E//Q尸.

同理可证：。目/斯，故四边形火是平行四边形，当E不是AM的中点时，BE工D、E,

此时四边形4正。£不是菱形，故B错误；

对于C：由B得四边形8PRE•定是平行四边形，所以四边形的面积等于三角

形BRE面积的两倍，而8R为定值，所以当E到直线BR距离最大时，三角形8RE面

积取最大值，因为£为棱4A中点时，£到直线距离恰为异面直线A4,、距离,

即为最小值，此时三角形面积取最小值，即四边形BFRE的面积取最小值.因此当

右与A重合或A重合时，三角形4。山.面枳取最大值，即四边形8五RE的面积即取最大

值，故C正确:

试卷第16页，共53页

对于D：因为平面ACCA_L平面3片。，又平面ACGACI平面=£尸，所以只有

当川上平面8瓦。时，才有平面平面84。，故D错误.

故选：AC

13.（山东省淄博市2023届高三下学期一模数学试题）如图，在正方体ABCO-A8C。

中，A/3=2,P是正方形A8CO内部（含边界）的一个动点，则（）

A.存在唯一点儿使得力/,用。

B.存在唯一点P,使得直线RP与平面4BCQ所成的角取到最小值

C.若丽=g丽，则三棱锥外接球的表面积为8万

D.若异面直线。尸与人力所成的角为则动点尸的轨迹是抛物线的一部分

4

【答案】BCD

【分析】由线面垂直得线线垂直来确定点尸位置，判断选项A；几何法找线面角，当角

最小时确定点P位置，判断选项B；P为DB中点时，求三棱锥尸-580外接球的半径，

计算外接球的表面积，判断选项C；利用向量法解决异面直线所成角的问题，求出动点

尸的轨迹，判断选项D.

【详解】对于A选项：正方形8CG片中，有BCJ,

正方体中有AB.L乎面BCGH,gCj平面〃CCR|,AD±B]C,

乂8GnA4=3,BQ,AZ?u平面48Go1，qCL平面A8GA，

只要RPu平面43G2,就有QP_L4C,/）在线段AB上，有无数个点，A选项错误;

对于B选项：AOJ•平面ABC。，直线已尸与平面48C。所成的角为NO/。，RD=2,

NQ/Q取到最小值时，PD最火,

此时点尸与点8重合，B选项正确；

对于C选项：若加=洌,则/>为DB中点，4PBC为等腰直角三角形，外接圆半径

为35c=1,三棱锥P-因C外接球的球心到平面PBC的距离为:网=1,则外接球的

半径为近，所以三棱锥P-BBC外接球的表面积为"，C选项正确；

对于D选项：以。为原点，D4,QU〃）；的方向为x轴，丁轴，z轴正方向，建立如图所

示的空间直角坐标系，

则D.（0,0,2）,A（2,0,2）,B（2,2,0）,设P（xo\0）（0<x<2,0<y<2）,则有即=（*,y,-2）,

46-（0,2,-2）,

布［cos即，稠=j"驾=/|2：+4|cos3=q,化简得了2=4y,2是正方

斗河Ji+:+4.742

形A8C。内部（含边界）的一个动点，

所以P的轨迹是抛物线的一部分，D选项正确.

故选：BCD

14.（湖北省七市（州）2023届高三下学期3月联合统一调研测试数学试题）如图，在

棱长为4的正方体A8CD-AMC"中，E,F,G分别为棱AO,AB,8。的中点，点

P为线段。/上的动点，则（）

试卷第18页，共53页

A.两条异面直线和8cl所成的角为45。

B.存在点P,使得GG，/平面81

c.对任意点P,平面广cqj•平面笈即

D.点4到直线Q尸的距离为4

【答案】BCD

【分析】根据异面直线所成先的概念结合正方体的性质可判断A,根据线面平行的判定

定理可判断B,根据线囱用直的判定定理可得3E_L半血”CC；,然后根据线线垂直的判

定定理可判断C,利用余弦定理结合条件可判断D.

【详解】对于A,由正方体的性质可知4CJMR,两条异面直线0c和所成的角

即为44。0=60。,所以A错误;

由题可知EG!/DC,EG=DC,Dg/iDC、D£=DC.

所以KG//RG，KG—AG，四边形KGGA为平•行四边形，取C\GHD\E,

乂C]G(Z'F面8即，£>|Eu平面跳P,则GG//平面跖P,所以B1E确;

对于C,连结CF,由于CGJ•平面ABC。，BEu平面A8CO,故CC；_LEB,

又AE=BF,AB=CB,NA=NCBF,故△8AE?Z\C8/，故ZAEB=NCFB,即

NEBA+NCFB=90，故CF1BE,

乂CKCG相交，CECGu平面/CG，故8E_L'I'：面户CG，乂5£u'l'：面MP,故对任

意点尸，平面FCG，平面用了,所以C正确;

对］-D,由正方体的性质可得A=4五，/7）1=>/22+42+42=6>用尸=>2?+4?=26，

々+卜&“2⑹二夜

所以cosN8QL=B&tFD；-13尸

2x6x472~~2

2BiDlFDi

所以NBQ产=45。,所以点B,到直线。/的距离d=BD{sinNBRF=4而去=4,所

以D正确.

故选：BCD.

15.（湖南省长沙市雅礼中学2023届高三下学期月考（七）数学试题）在如图所示试验

装置中，两个长方形框架A8CO与ABEF全等，八4=1,BC=BE=2,且它们所在的平

面互相垂直，活动弹子M，N分别在长方形对角线AC与所上移动，且

CM=BN=ag<a<⑸,则下列说法正确的是（）

试卷第20页，共53页

c

A.ABLMN

B.MN的长最小等于收

C.当MN的长最小时，平面M仍与平面MN8所成夹角的余弦值为g

D.vT

yM-ABN一胎

【答案】ABC

【分析】建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，利用空间向量数量积的运算即可判

断选项A：利用空间两点间距离公式即可判断选项B：根据二面角的余弦值推导即可判

断选项C；根据棱锥的体积计算公式即可判断选项D.

【详解】由题意可知：8A8C8E两两互相垂直，以点B为坐标原点，而，丽，肥为x，%z

=(1.0,0),

..ABMN=0.:.AB±MNf故选项A正确;

▽4a2（2、金丫18,8>/5-8'石丫今

乂孙-r-十12-丁）亏…-归吁司+2,

.•.当〃=当时，|加2舄=正，故选项B正确；

当MN最小时，4=\5、M,N分别是AC8户的中点，

2

取MN中点K,连接AK和歌，

•.•AM=AN、BM=BN,

:.AK工MN、BKA.MN,

.•24KB是二面角A-MN-8的平面角.

△BMN中,BM=BN=B,MN=&,

2

可得BK=」BM2—LMN2=正,同理可得可＜=避

V422

1

由余弦定理可得cos/AK"二44

2、鸟如一3，故选项C正确;

22

2国r2⑥12岛-2a2

---2--------=-----------

匕…二，故选项D错误.

3%B»JX5515

故选：ABC.

16.（云南师范大学附属中学2022-2023学年高二上学期第二学段模块考试数学试题）

如图，在棱长为2的正方体中E为CD|_L的动点，则（）

试卷第22页，共53页

4

A.三棱锥E-A8A的体积为.

B.对任意点旦AE〃平面

C.线段AE长度的最小值为2

D.设AE与平面AA4B所成角的大小为。，则tana€[l,Jf|

【答案】ABD

【分析】根据线面平行可得CE〃平:面A/狙,进而根据等体积法即可判断A,根据面面平

行可得线面平行即可判断B,根据等边三角形的性质即可判断C,根据线面角的几何法

可得AE与平面所成角为/£4£tana=丁=三,进而根据AF的范围即可判

AFAF

断D.

【详解】由于平面八84，C£)|(Z平面A叫，故平面,E为CQ上

的动点，故CE〃平面那4，

14

三棱锥E-A网的体枳为%明=%“=-S^-BC=-t故A正确：

如图，连接A8,8G，AG，ACAA，在正方体中，AD//BC,,A.u平面ACR,

,BC~平面ACR,故8CJ/平面AC",

同理AB〃平面ACD]，又入BcBC\=B,AB,gu平面,g，所以平面ACR〃平面

A"G,囚为A《u平面ACR,所以AE〃子面A"C[,故B正确；

易知△AC"为正三角形.当E为C"中点时，|AE|.=2&x^=#，故C错误；

IImin2

如图，在A石上取点尸，使得A尸二。后，连接防，CE//BF,CE=BF,故四边形FBCE

为平行四边形，因为8c上平面所以"_/平面A4£5.所以AE与

平面用所成角为NE4£tana=铝=W，由于AB4为等腰直角三角形，故

AFAF

AFe[a,2],所以故D正确，

故选:ABD

17.(广东省梅州市2023届高三一模数学试题)如图，在直三棱柱4用。中，

AC=BC=6,CC,=4,ACIBC,M为棱AG的中点；E为棱3%上的动点(含端

点)，过点A、E、M作三棱柱的截面。，且。交修G于Q,则()

A.线段旌的最小值为后B.棱上的不存在点£,使得4CJ.平

面AEN

C.棱上的存在点£,使得4石_1_腔D.当上为棱的中点时，ME=7

【答案】ABD

【分析】如图，以CACB,CG为x,y,z轴建立空间直角坐标系C—切2,川空间向量法研

究空间位置关系，求线段长，从而判断各选项.

【详解】如图，以CA,CB,CG为x,y,z轴建立空间直角坐标系C—A＞，z,

则A(6,0,0),5(0,6,0),C,(0,0,4),4.(6,0,4),£(0,6,4),M(3,0,4),

由于Be与底面A^G垂直，因此当£与从重:合时，/E在平面481G内，BB1上ME,

试卷第24页，共53页

此时ME最小为，62+3,=屈=3石,A正确；

麻=(-6,0T)，AAT=(-3,0,4),

若EGAA/=(-6)x(-3)+0+(T)x4=2H0,修。与AM不垂直，因此不可能与平

面4WE垂直，B正确：

设七(0,6")(0"«4),则荏=(-6,6j),A7g=(-3,6,f-4),

若A£_LA7E,WOAE-ME=18+36+r(f-4)=O,即J—y+54=。-2)’+50=0,此方程

无实数解，因此棱3M上的不存在点E,使得A£：_LME,C错；

E是3片中点时，E(0,6,2),ME=7(3-0)2+(0-6)2+(4-2)2=7,D正确.

18.（广东省佛山市2023届高三教学质量检测（一）数学试题）如图，在正方体

ABC。-A/CA中，点M是楂。，上的动点（不含端点），则（）

A.过点M有且仅有一条直线与AB,8C都垂直

B.有且仅有一个点M到AB,4G的距离相等

C.过点M有且仅有一条直线与4G，都相交

D.有且仅有一个点M满足平面MAG•1平面

【答案】ABC

【分析】逐个分析每个选项即可.

【详解】对于选项A,女过点M与AB、8c都垂直的直线为/,

•:ABHAB、,IA.AB

・・・/_LA用，

又•；I工B©,4408。二局，66匚面4片。。|，

；.1上面AB£P，

而过点M作平面A与GR的垂线有且只有一条直线，即为：DD、.

・•・过点M有且仅有一条直线与A8、都垂直.故选项A正确；

对于选项B,连接AM,"G，

由题意如，AB_L而ADAH，4Gl面CQRG，

：.ABLMA,8C」MG.即：MA为点M到AB的距离,MG为点M到8c的距离.

在RtZ\ADM中，MA=\lAD2+MD2>

在Rl^GRM中，MC产匕D：+MD：,

又・・・AD=DG

••・当时，M4=MG，即：当M为。。的中点时，点M到A8、8c的距离相

等，即：有且仅有一个点M到/W、4G的距离相等.故选项B正确；

连接人C、8。交于点0,连接4G、4A交于点。一连接交AG于点N,则Nw面

BDBR,又因为面8。片。，且Me。。，Ne00lf所以连接MN必与Be交于

点G,即：过点M有且仅有一条直线与4G、8片都相交.故选项C正确；

对「选项D,设止方体的边长为2,以点。为原点，分别以。4、DC、。口为大轴、y

轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

试卷第26页，共53页

z,

则A(2,0,0),C,(0,2,2),5(220),£>(0,0.0),旦(2,2,2)

设M(0,0,〃z),(0</n<2),

则罚=(2,0,T〃)，Aq=(-2,2,2),。瓦=(222),。耳=(2,2,0),

设面M4G的一个法向昼为I=(N，y，4),

〃1-MA=02.¥|-mz}=0

雇房=01-2%+2乂+24=0

当m=0时，取其=1,则4=-1,8=0,1=（0」,一1）

22—22

当0v〃?42时，取占=1,则y=l---,Z|=—,则〃=（1/,一），

mminin

设面BMB]（即：面BDDlBl）的一个法向量为E=（孙+z2）

外•DB=02占+2y=0

«____=>"2

电.DB；=0[2天+2y2+2z2=0

取々=1，贝打2=-1，22=0,则应=（1,一1,0）,

当5=0时，〃1•%=-1,此时面MAC1与面8£）耳不垂直,

__99

当时，1・元=1+——1=—=0=>/??e0,所以面MAG与面BA//不垂直，

mtn

所以不存在过点M满足面_1面4〃片.故选项D错误；

故选：ABC.

19.（贵州省六盘水市2022.2023学年高二上学期期末教学质量监测数学试题）已知正

四面体48CO的棱长为2,E、尸分别是A3和。。