高中数学一轮复习-直线与圆、圆与圆的位置关系

专题10.3直线与圆、圆与圆的位置关系

1.点与圆的位置关系

标准方程的形式一般方程的形式

222+Dx

点(工0，、0)在圆上(x0-a)+(y0-b)=rXQ+yoo+£>o+F=o

222

点(a,%)在圆外(x0-a)+(y0-b)>r诏+羽+Dx0+Ey0+F>0

点(&,%)在圆内22

(x0-a)+Go-b)2Vr据+%+Dx0+Ey()+FV0

2.直线与圆的位置关系

设圆C:(%-a)2+(y-bp=/，直线上4％+By+C=0,圆心。(a,匕)到直线［的距离为d,

由(("二口:二^^丫:户消去火或工),得到关于M或y)的一元二次方程,其判别式为△.

(AX十by十c=u

位置关系相离相切相交

a③

图形GK

公共点个数012

方程观点△<0△=0△>0

量化

几何观点d>rd=rd<r

【重要结论】

1.直线被圆截得的弦长

⑴几何法：弦心距d、半径丁和弦长|48|的一半构成直角三角形，弦长MB|=2〃2—d2；

⑵代数法：设直线y=kx+TH与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0相交于点M,N,代入，消去y,

得关于x的一元二次方程，则|MN|=+12•+5)2-4%孙・

2.圆的切线方程常用结论

⑴过圆工2+y2=厂2上一点「(比0%)的圆的切线方程为％。工+y°y-丁2.

⑵过圆(%-Q)2+(y-b)2=/上一点p(%0,yo)的圆的切线方程为(%0-a)(x一a)+

(y)_b)(y-b)=产.

⑶过圆/+y2=丁2外一点MQo，yo)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为%无+

2

yoy=*

3.圆与圆的位置关系

设两圆的半径分别为R，r(/?>r),两圆圆心间的距离为d,则两圆的位置关系可用下表

表示：

位置关系外离外切相交内切内含

0®①©

图形咨

量的关系d>/?+rd=R+rR-r<d<R+rd=R-rd<R-r

公切线条数43210

【重要结论】

1.相交两圆的公共弦所在直线方程

2

设圆Ci：/+y2+D[X+E1y+&=0①，圆C2:%?4-y+D2x+E2y+F2=0②,若两圆

相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①一②所得，即(01-O2)》+(Ei-E2)y+

(Ft-F2)=O.

2.圆系方程

⑴同心圆系方程：(X—Q)2+(y—b)2=/，(Q,力)为定值，丁为参数；

⑵过直线4x+By+C=0与圆C:V+y2+ox+Ey+F=0交点的圆系方程：

/+丫2+0%+4+/+2(^4%+By+C)=0(AGR)；

⑶过圆G：/+y2+0/+E[y+&=0与圆Q：/+y2+D2X+E2y+F2=0交点的圆

系方程，

2222

x+y+Drx4-Ery+&+A(x+y+D2x+E2y+F2)=0(2W-1),解题时验证圆C2

是否满足题意.

当4=T时，(A-D2)X+-E2)y+g-卜’2)=0为两圆的公共弦所在直线的方程;

当两圆相切时，为过两圆切点的直线方程.

阚改编

L【人教A版选择性必修一2.5.2例6P97］古希腊时期与欧儿里得、阿基米德齐名的

著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值入。＞。且AH1)的点所形

成的图形是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知点做0,6),B(0,3)、动点M满足黑=；,

\MDIL

记动点M的轨迹为曲线C.

(1)求曲线。的方程；

(2)过点N(0,4)的直线，与曲线C交于P,Q两点，若P为线段NQ的中点，求直线加勺方程.

2.【人教A版选择性必修一习题2.5第13题P99］已知圆C：%2+y2=4,直线八

y=x+b.若圆。上恰有4个点到直线用勺距离等于1,贝昉的取值范围为.

考点归

考点一直线与圆的位置关系

【典例精讲】

例1.(2024•江西省上饶市•月考试卷)直线/经过点P(3,6),且与圆。:/+、2一2%一4、+

1=0相切，则直线I的方程为;

例•浙江省温州市・月考试卷)已知圆2与，将直线

2.(2025C:/+&_2)=—y=0

绕原点按顺时针方向旋转30。后得到直线，2,则()

A.直线％过圆心。B.直线％与圆C相交，但不过圆心

B,直线匀与圆C相切D,直线％与圆。无公共点

例3.(2024•湖北省黄冈市•联考)已知函数f(x)=V1-%2+k(x-2)有两个不同的零点,

则常数k的取值范围是.

【方法储备】

判断直线与圆的位置关系的常用方法：

(D几何法：利用圆心到直线的距离d与r的关系判断.

⑵代数法：联立方程之后利用A判断.

⑶点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.

【拓展提升】

练1-1.(2024•福建省龙岩市,月考试卷)在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,Q),B(3,a+4),

若圆/+y2=4上有且仅有四个不同的点c,使得△ABC的面积为门，则实数Q的取值范围

是•

练1・2.(2025•广东省惠州市•模拟题)己知圆/+y2=4,直线I：y=%+/?,若圆上恰有三

个点到直线1的距离等于1,则b的值为()

A.0B.±1C.±yTlD.±3yJ~2

考点二弦长问题

【典例精讲】

例4.(2025,江苏省泰州市•模拟题)已知直线y=kx+3与圆(x-2)2+(y-3)2=4相交于

4,8两点，若4?之2q，则实数Z的取值范围为()

A.(-8,一[3]U+00)B.(-8,一u[?,+8)

D.[-<3,<3]

22

例5.(2025•辽宁省・联考)椭圆»+1=1(Q>0,b>0)的两条互相垂直的切线的交点P的

轨迹是圆久2+y2=a2+b2f这个圆叫做椭圆的蒙日圆.则斜率为2的椭圆1+1=1的切线被

它的蒙日圆截得的弦长大小为()

A.^B.

555

【方法储备】

1.求直线与圆相交弦的弦长

⑴几何法：若弦心距为乩圆的半径长为丁，则弦长，=2"二菱.

⑵代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长.

2.圆的弦的性质的应用

①圆的任何一条弦的垂直平分线经过圆心；②圆心与弦中点的连线垂直于这条弦.

【易错提醒】

注意讨论斜率不存在的情况，当直线与圆相交时，几何法求弦长较方便，一般不用代数

法.

【拓展提升】

练2・1.(2024•江西省抚州市•月考试卷)(多选)己知直线久+/7y-3=0被圆心在坐标原

点的圆。所截得的弦长为2,则()

A.圆。的方程是/+y2=4

B.直线±x-3y+7=0与圆0相离

C.过点N(L1)的直线被圆。所截得的弦的长度的最小值是2，2

D.已知点M是直线L:x-y+4=0上的动点，过点M作圆。的两条切线，切点为C,0,

则四边形0CM。面积的最小值是2

练22(2025•山东省济南市•模拟题)已知圆C：(%-3a)2+(y+a)2=10a2.

(1)若圆。被直线％+y=0截得的弦长为16,求圆。的直径；

(2)已知圆C过定点P,直线x+2y-6。=0与圆C交于4B两点,若刀•而＜3,求a的

取值范围.

考点三切线与切线长问题

【典例精讲】

例6.(2025•江苏省•月考试卷)已知从点尸发出的光线经y轴反射，反射光线与圆

/+_6%_6y+?=0相切，其反射光线的斜率为

A.1B.2C.；或2口.一;或；

例7.(2025•广东省•月考试卷)在平面直角坐标系xOy中，点Q为圆M：(x-I)2+(y-I)2=

1二一动点，过圆M外一点P向圆M引一条切线，切点为人若|PA|=|PO|,则|PQ|的最小值为

()

A.1C.-1D.2。+1

44

例8.(2025•江苏省•联考)已知圆心均在x轴上的两圆外切，半径分别为r】，r2(rt<r2),若

两圆的一条公切线的方程为y=?Q+3),则这=()

4H

A.-B.2C.-D.3

34

【方法储备】

1.求过圆C上一点PO“yn)的切线方程

①若kpc=。，则切线斜率不存在，即切线方程为％=%；

②若须。不存在，则切线斜率为0,即切线方程为y=%：

③若Zpc存在且不为零，则切线斜率为-十;利用点斜式方程可求出切线方程.

KPC

2.求过圆外一点p(%o，yo)的切线方程

理论：过圆外一点可作圆的两条切线，至少有一条切线斜率存在.

(1)几何法：①设切线方程为y-yo=k(x-xo),则利用圆心到直线的距离为半径r,求出

斜率k；

②若求出的Z值有2个，即可得出两条切线方程；若攵值只有1个，则另一条切线斜率不

存在，要补充说明.

⑵代数法：设切线方程为y-y()=k与圆的方程组成方程组，消元后得到一个

•元二次方程，然后令判别式/=0进而求得Z.注意验证斜率不存在的情况.

3.过圆外一点P（"o,yo）作圆C的两条切线，切点分别为4B

⑴求切线长：\PA\=y/\PC\2-r2；（r为圆C的半径）

⑵求直线4B的方程：转化为求以P为圆心，切线长|P川为半径的圆与圆C的公共弦所在的

直线方程.

4.过圆外一点PQoJo）作圆。的两条切线，切点分别为4B

求四边形P4cB中的最值问题：

⑴S四边形P"8=2S“"=|P4|♦r，当|P川取最值时，面积取最值；

⑵求乙4PB的最值，转化为求Rt△P力。中乙4PC的最值即可.

补充：通过直线与圆的方程，可以确定直线与圆、圆和圆的位置关系，对于生产、生活

实践以及平面几何中与直线和圆有关的问题，我们可以建立直角坐标系，通过直线与圆的方

程，将其转化为代数问题来解决。

用坐标法解次几何问题的步骤：

第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素,如点、直线、

圆,把平面几何问题转化为代数问题；

第二步：通过代数运算，解决代数问题；

第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论.

【拓展提升】

练31（2024•陕西省西安市•月考试卷）已知OM：Q-+⑶-1产=4,直线，：2x4-

y+2=0,点P为直线I上的动点，过点P作OM的切线P4切点为4则切线段P4长的最小

值为•

练3-2.（2025•四川省自贡市•月考试卷）己知zn,九£R,小+层工o,记直线以+my—n=

0与直线TH%--九=0的交点为P,点Q是圆C：（x+2）2+（y—2）2=4上的一点，若PQ与

C相切，则|PQ|的取值范围是

A.[2^AHL4]B.[2yT2,2yn]C.[2,>^14]D.[2,2/7]

考点四圆与圆的位置关系

【典例精讲】

例9.（2024•河南省郑州市•月考试卷）已知圆G：（x—a）2+（y+2）2=4与圆。2：（工+b）2+

（y+2）2=1有3条公切线，则ab的最大值为.

例10.（2024•浙江省丽水市月考试卷）（多选）已知直线上（；l+l）x+（1-;l）y+22=0,O

C:x2+y2-4y=0,则下列结论正确的是（）

A.直线I恒过定点（-2,4）

B.直线［与。C必定相交

C.OC与。G：.r2+y2_4x=0公共弦所在直线方程为y=x

D.当入=0时，直线/与O。的相交弦长是4攵

【方法储备】

1.判断圆与圆的位置关系

⑴几何法：①确定两圆的圆心坐标和半径长；

②利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d和q+-2,匕-刃的值；

③比较d,q+上，IG-刃的大小，写出结论.

⑵代数法：将两个圆方程联立，消去其中的一个未知数y或％,得关于％或y的一元二次方

程.

若方程中4>0,则两圆相交，在程中△=0,则两圆相切；若方程中△<0,两圆外离或内

含.

2.两圆公共弦长的求法

两圆公共弦长，先求出公共弦所在直线的方程，转化为直线与圆相交的弦长问题.

【拓展提升】

练4・1.（2024•湖北省荆州市•模拟题）己知圆％2+y2=a与圆％2+丫2+轨+2y+b=0交

于M,N两点,若|用凶=学，则实数a,b的一对值可以为。=,b=.（写出满足条

件的一组即可）

练42（2025•全国•模拟题）如图,已知圆C的方程为（%-I）2+（y-I）2=2,且P是直线，：

x+2y+2=0上的一个动点，过点P作圆C的两条切线P4,PR,切点分别为4,R,则线段4R

长度的最小值为

练4・3.（2024•湖南省桃园县•月考试卷）（多选）已知圆Ci：/+/+2》+2y一8=0与圆

22

C2：x+y-2x+lOy-24=0,下列正确的是（）

A.两圆的圆心距为

B.两圆的公切线有3条

C.两圆相交，且公共弦所在的直线方程为x-2y+4=0

D.两圆相交，且公共弦的长度为4—3

新题放送

1.（2025•山东省济南市,联考）写出一个同时满足下列条件①②③的圆的标准方

程：•①圆心在％轴上；②与y轴相切；③与圆％2+y2一2、一3=0相交.

2.（2025•湖北省武汉市•月考试卷）如图，圆A（x+2y+y2=1,圆。_2）2+y2=%

直线3%+4>+亡=0上存在点。，过点P向圆力引两条切线PC和PO,切点是C和0,再过点P向

圆B引两条切线PE和P/，切点是E和凡若上CPD=/EPF,则实数t的取值范围为

3.(2025・四川省绵阳市・联考)已知圆。:一一6%+丫2-6丫+3=0,直线Lx+y-2=0是

圆E与圆C的公共弦AB所在直线方程，且圆E的圆心在直线y=2x±.

(1)求公共弦AB的长度；

(2)求圆E的方程；

(3)过点Q(—1,0)分别作直线MN,RS,交圆小于M,N,R,S四点，且MN工RS,求四边

形MRNS面积的最大值与最小值.

【答案解析】

教材改编11人教A版选择性必修一2.5.2例6P97]

解：(1)设M(x,y),由点A(0,6),8(0,3)动点M满足黑=：,

\MI3\2

得4"了方=%两边平方比简得：x2+y2-14y+45=0,

故曲线C的方程方+(y-7)2=4;

(4)当直线，无斜率时，此时直线与圆相交P,Q两点，

则P(0,5),Q(0,9)或者Q(0,5),P(0,9),均不符合P为线段NQ的中点;

当直线/有斜率时，设八y=kx+4,

联立直线与圆的方程:*t,2和

(xz+(y-7)“=4

化简得(1+k2)x2—6kx+5=0,

4=36k2-20(1+k2)=161-20>0,故1

设POi,yi),Q(%2,y2)，则％2+修=品,工2%=盘①

若P为线段NQ的中点，

则|为；4，所以=2%1，

将其代入①中即“券，才=品，

进而得(券)2=&=A?.满足H.

所以攵=±守，因此I的方程为y=±竽x+4.

教材改编2【人教A版选择性必修一习题2.5第13题P99]

解：由圆。的方程：x2+y2=4,可得，圆C的圆心为原点0(0,0),半径为2.

若圆C上恰有4个点到直线珀勺距离等于1,

则。到直线，：、=%+6的距离4小于1,

直线，的一般方程为：x-y+b=0»

・・.d=^vl,

>T2

解得一。<b<。，故b的取值范围为(一。,口)，

故答案为：(一，2/7).

例L解：将圆的方程转化为：(x-l)2+(y-2)2=4,则圆心(1,2),半径为2,

若直线z的斜率不存在，则直线方程为％=3,符合；

若直线2的斜率存在，设方程为y-6=k(x-3),即kx-y-3/c+6=0,

因为直线与圆相切，则d二伙一：：y+61=2,解得攵=不

VM+14

所以直线I的方程是3T-4y+15=0.

故答案为：％=3或3%一4、+15=0.

例2.解：直线/1:二％-y=0的斜率为所以其倾斜角为60。，且其经过原点，

则该直线绕原点按顺时针方向旋转30。后的直线的倾斜角为30。，斜率为?，

即直线%的方程为—y=0.

由圆C:%2+O_2)2=J的方程可得圆心(0,2),半径r=年，

圆心(0,2)到直线匀的距离为।=<3,

J(百+(”

因为粤〉C，且直线，2不过点(0,2)，

所以直线，2与圆C相交，但不过圆心.

故选B.

例3.解：因为函数/(%)有两个不同的零点，所以关于x的方程/T二^=-k(x-2)在区

间［—1,1］内有两个不等实根，即曲线y=V1—%2(单位圆％2+y2=1的上半部分)与经过定点

P(2,0)的直线y=-/c(x-2)有两个不同的交点，如图.

过点P作圆的切线P4则点0到直线PA的距离d=层L=1,

解得攵=?(负值己舍去)，即切线的斜率为一?，所以—?〈一女工0,所以04攵v?

即常数々的取值范围是［(),?).

故答案为：［0,?).

练LL解：根据题意可知4B的斜率％=卡=2,

3—1

\AB\=yj(3—l)2+(a4-4-a)2=V22+42=2A/-5»

设△力8C的高为h,则△ABC的面积为C，

・•・S=；\AB\h=；x2nh=口,

即h=19

直线48的方程为y-a=2x-2,

即2x-y-2+Q=0,

若圆/+y2=4上有且仅有四个不同的点C,

则圆心0到直线2x-y-2+a=0的距离d==亨

JV22+(-l)2V5

则应该满足d</?-/i=2-l=1,

即gvl,

V5

得2一门VQV2+V-5,

故答案为(2--亏,2+C).

练12解：圆％2+y2=4的圆心坐标是。(0,0),半径为2,

因为圆上恰有三个点到直线[距离等十1,

所以圆心。到直线&%-、+匕=0的距离4为1,

即悬=1,得b=

故选：C.

例4.解:因为圆(％-2/一(y-3)2=4,

则圆心为。(2,3),半径r=2,

当弦长48=2，m时，

弦心距d=J丁2_(等产=V4—3=1,

若|4B|>2c,

则d<1,

即圆心到直线y=kx+3的距离写盘詈<1,

得ke[-？,用

故选：C.

例5.解：由9+?=1可得椭圆的蒙日圆为/+y2=6,

设斜率为2的椭圆［+：=1的切线方程为y=2%+m,

代入椭圆方程，整理得：9x2+8mx+2m2-4=0,

由/=64m2-36(2m2-4)=0,解得m=±3「，

则切线方程为y=2%±3。，BP2x-y±3>f2=0,

因蒙日圆圆心(0,0)到切线的距离为d=需=咿，

vnO

则切线被蒙日圆截得的弦长为21^二^=2I6-^=^<T5.

y5s

故选：D.

练2・1.解：对于4项，设圆。的方程为/+,2=产(r>0).因为直线x+\T~2y-3=0与圆

。相交所得的弦长为2,

且圆心。到直线％+/2y-3=0的距离d=—I=

J12+(XT2)2

所以了=J«~^)2+(|)2=2,所以圆。的方程为/+产=4,故A正确；

对于B项，圆心0到直线1:工一3〉+7=0的距离为高〉2=~所以直线/:x-3y+7=0与

圆。相离，故B正确；

对于。项，因为圆0的圆心是。，半径丁=2,且|ON|=VI2+I2=，至V2,可知点N(l,l)在

圆。内，过点N(l,l)的直线被圆。所截得的弦最短时，点N(L1)是弦的中点，根据垂径定理得

弦的最小值是2jN-|ON『=2/2,故。正确；

对于。项，因为四边形OCMD的面积S=2S4OCM=2XTX2|CM|=2,|0M,-4,如图，由

数形分析可知：当OMJ_L时，|OM|取到最小值d=2/1,所以四边形OCMD面积的最小值为

2xJ(2AT2)2-4=4,故。错误.

故选ABC.

练2・2.解:(1)依题意可知圆C的圆心为C(3a,—a),

C(3Q,-①到直线x+y=0的距离d==yTl\a\,

因为圆C被直线x+y=0截得的弦长为16,

所以(£)2+2同2=10次，

解得小=8,

故圆C的直径为2110〃=8c.

(5)圆C的一般方程为%2+y2+2a(y-3%)=0,

令y—3%=0,得M+y2=0,解得％=y=0,

所以定点P的坐标为(0,0),

联立晨1强6：苕.)-。*解得仁理或仁慧

所以园•丽=12a2,

因为可•而V3,所以M<1,

4

又方程(％-3a产+(y+a)2=10小表示一个圆，所以。*0,

所以Q的取值范围是(一表0)U(0,1).

例6.解:点P(L—1)关于y轴的对称点P'(一1,一1),反射光线即为过点作圆C:

1

(%-3/+(y—3)2=蔡的切线，设切线的斜率为则切线1:y+1=/<(%+1),由哼落

=k=［或2,故选C.

例7.解:设P(a,b),

v\PA\=\PO\,圆心半径r=1,

VPM2-r2=V(a-I)2+(Z?-I)2-1=Va2+Z72,

.,•化简可得2a+2b—1=0,

•••点P满足表达式2a+2h-l=0,

•・・即点P在直线/：2x+2y-l=0,

由题意可知，|PQ|的最小值可转化为圆心到直线，的距离d与半径的差，

・•.|PQ|的最小值为：d—厂=巧篝>一1=亨一1,

故选：C.

例8.解：设圆G：(工―Q)2+y2=d，圆G：(x-b)2+y2=r/,

\a+3\|b+3|

ri=—，r2=—

根据切线斜率，得tanQMPO)=?,因此sinQMP。)=%

•・•|PGI=|Q+3|,|PQ|=|Q+3|+手+等，|NQ|=^・

sin(NMPO)=僧=[,即|a+3|+—+—=g+3],

|KC21，J

・•.|b+3|=2|a+3|,

72=2丁],

/.—=2,

故选8.

练3・1.解：OM：a-l)2+(y-l)2=4的圆心坐标为半径为2,

如图，

\MA\=2,要使|P*最小，则|PM|最小，为圆心M到直线I：2%+y+2=0的距离，即与券界=

•••|P川的最小值为J(，石尸-22=1.

故答案为：1.

22

练3-2.解：m,nGR,m+n直线？ix+my——=0与直线THK——九=0分

别过定点M(1,O),N(O,—1),且两直线垂直，

・••交点P的轨迹是以MN为直径的圆，即点P的轨迹方程为CI：(%—》2+Q+》2=5圆心

因为点Q是C上的一点，直线PQ是C的切线，

所以问题可转化为圆q上任一点P作直线与圆C:(X+2)2+(y-2)2=4相切，求切线长|PQ|

的取值范围.

设圆。的半径为R,则R=2,

因为圆C的圆心为C(-2,2),其半径为定值，当|PC|取得最小值和最大值时，切线长|PQ|取得

最小值和最大值，

又因为|CC1|-?W|PC|WICC1I+?,即手一?W|PC|W年+?,W2<2<|PC|<

3<7,

所以J|PC|3n-R24|PQ|SJ|PC舄ax-R2,即，.•.24伊。|工，^.故选。.

例9.解：因为圆Ci：(%-a)2+(y+2)2=4与圆C2：(x+b)2+(y+2)2=1有3条公切线,

所以圆G与圆。2外切，可得J(a+b)2+(-2+2尸=2+1=3,

即(a+b)2=9,即M+炉+2ab=9,

又根据基本不等式可知M+川之2ab,当且仅当Q=b时等号成立，

所以9=a2+b2+2ab>4ab,当且仅当a=b时等号成立，

解得ab<J,

4

所以ab的最大值为J,

4

故答案为：

4

例10.解：直线上(4+l)x+(1-X)y+2A=0,即/l(x-y+2)+(%+y)=0

今/_y+2=or=T

、［x+y=0{y=lJ

则直线I恒过定点故A不正确；

因为1+1-4V0,所以定点(一1,1)在OC内，即直线/与。。必定相交，故8正确；

将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为-4y+4x=0,即y=x,故C正确；

当4=0时，即L:%+y=O,

又。C:%2+y2—4夕=o,即％2+(y_2)2=4,圆心为C(0,2),半径为r=2

则圆心C到直线［的距离为d=震=/至，

则弦长为2、N-d2=2/1,故。不正确；

故选：BC.

练4-1.解；由题得圆/+丫2=。的圆心为(0,0),半径为，力；

圆(％+2)2+(y+1产=5—b,其圆心为(—2,—1),半径为V5—b,

(a>0,

所以{b<5,__________，①

—y/5—b\<y/~~S<\T~a+V5—b,

联立今,八八得轨+2丫+。+8=0为直线时/7的方程，

+y，+4x+2y+b=0,

圆产十必二。的圆心为(o,o)到直线MN的距离为普黑=费,

所以(1T+(翳整)2=%

即(a+b)2=20a-64,

结合条件①，可取Q=5,b=1.

答案:5；1.(答案不唯一)

练4・2.解:显然P,4C,B四点共圆，且PC为该圆的一条直径，设这四点所在圆的圆心

为Q,而P在直线hx十2y+2=0上，

设P(-2t-2/),由C(l,l),可知Q(一等,等)，

又IQC|2=(等)2+(号)2,则圆Q的方程为卜+等)2+(y_*)2=(等)2+(^,

即/+y2+(2t+l)%—(t+l)y--2=0①，

又圆。的半径r=AA~2»圆C的方程可化为％2+y2-2x-2y=0(2),

由①一②可得圆。与圆Q的公共弦48所在直线的方程Qt+3)%+(1-t)y-t-2=U,

点到直线的距离2

C48d=yj(2t+3)2+(l-t)2—75t2+10t+10,

4

A\AB\=2yjr2-d2=2x

5t24-lOt+10

2

22x

5t24-lOt+10

=2V-2/1-z\

q5(t+i)2+5

=时，线段4B的长度取得最小值空机.

故答案为：身.

练4・3.解：对于4曲线的:/+y2+2%+2y—8=0,B|J(x4-l)24-(y+l)2=10,则

圆心为G(-l,—l),半径为nu,

曲线。2：/+、2一2%+10、-24=0,即(x-1)2+(y+5/=50,则圆心为Q(l,-5),半

径为51^,两圆的圆心距为J(1+1)2+(—1+5)2=2V亏=215,故A正确；

对于B,当两圆属于外切的位置关系时，圆Ci与圆C2有三条公切线，

所以两圆的圆心距iGCzl=2/石＜CM+5/2,故8错误：

由圆G：/+y2+2%+2y—8=0与圆C2：x2+y2—2%+lOy-24=0,

两圆方程相减得公共弦4B所在直线方程为％-2y+4=0,故C正确；

公共弦48所在直线方程为％-2y+4=0,

故圆心(一1,一1)到直线48的距离d=j===C，

又因为圆G：%2+y2+2x+2y-8=0的半径为「方，

所以|AB|=2JMW—7=2V10-5=2\T5,可得公共弦的长为2仁，故D错误.

故选：AC.

1.解：因为圆心在不轴