北师大版七年级数学下册《完全平方公式》同步练习题（含答案）

北师大版七年级数学下册《1.3.2完全平方公式》同步练习题（含答案）

一.选择题（共4小题）

2

1.下列式子：①（-X-y）=（X+），）2；②（・x+y）2=（x_y）2.③（）,_».）2=（v_）,）2.其中正确的是（）

A.①②③B.①@C.②D.①

2.已知a・〃=8,ab=5,则/+■+%〃的值为()

A.89B.74C.64D.49

3.己知(x+y)2=],(x-y)2=49,则xy=()

A.-24B.24C.-12D.12

4.若x+223=)号221=z+219,则3G-.y)2+2()，-z)2-(,vz)?的值为()

A.-1B.2C.4D.-0.5

二.填空题(共5小题)

5.己知(x-2)2=4,则.p-4x+5=.

6.己知a-〃=1,贝I」2a2-4cz/rt-2Z>2的值为.

7.计算：48.12-2X48.1X38.1+38.12=.

8.若(x+m)2=/+8X+〃，贝I]m+n=.

9.已知x-y=4,孙=3,则/+)2的值为.

三.解答题(共6小题)

10.乘法公式计算：

(1)(-4〃-1)(4a-1)(2)(-2x-|y)2

2222

(3)(a-1)(a+1)(a+1)(4)(2a+b+\)C2a+b-1)

(5)(a+2b-c)2

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11.(1)先化简，再求值：(a-3b)(a+3b)+(a-3b)2,其中a=-3,b=\

(2)先化简，再求值：2m-m(m-2)+(m+3)(/??-3)»其中"?二,.

12.试说明(x+*y)2+(x—2-2(x+$)・(x—%)的值与x的取值无关.

13.如图是某单位办公用房的平面结构示意图(长度单位：米)，图形中的四边形均是长方形或正方形.

(1)用含X、)，的式子分别表示会客室和会议厅的占地面积.

yx-\-y

(2)如果x+y=5,xv=7,会议厅比会客室大多少平方米？

y

办公区

会客室

会议厅

2x+y

14.将完全平方公式(〃+〃)2=/+2跖+序进行适当的变形，可以解决很多数学问题.例加：若“+〃=5,9>=2,

求J+户的值.解：因为a+〃=5,ab=2,所以(a+b)2=25,2ab=4.所以a2+//+2a/?=25,2而=4.所以,及+房

=21.

根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：

(1)若x+v=9,/+)?=41.

①求盯的值.

②求(xy)2的值.

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(2)若(7-W(3+加)=12,则(7-w)2+(3+〃?)2=.

(3)如图，点C是线段A4上的一点，分别以AC、8C为边作正方形ACQE、BCFG,设正方形ACQE的面积为

Si,正方形BCFG的面积为S2,若SI+S2=24,AB=8,求图中阴影部分的面积？

15.题目：若(10・x)(x-5)=2,求(10-x)2+(x-5)?的值.

解：观察发现，IO-x与x-5中的-x与.1互为相反数，

所以我们不妨设a=10-x,b=x-5.

因为(10-A)(X-5)=2,所以〃，=2.

因为(10-x)+(x-5)=5,所以〃+力=(10-x)+(x-5)=5,

所以(10-式)2+(X-5)2=a2+b2=(〃+。)2-2ab=52-2X2=21.

我们把这种方法叫做换元法，利用换元法达到简化计算的目的，体现了转化的数学思想.

(1)若(9-x)(x-2)=3,求C9-x)2+(x-2)2的值；

(2)若x满足(2025・％)2+(x-2024)2=13,求(2025-x)(x-2024)的值.

参考答案

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一.选择题(共4小题)

题号1234

答案AACC

一.选择题(共4小题)

1.下列式子：①(-x-y)2=(x+y)2；②(-x+)，)2=(文-y)2；③(y-X)2=(x-y)2.其中正确的是()

A.①②③B.①@C.②D.①

【分析】利用平方的性质：任何数的平方都等于其相反数的平方，即(-〃)2=/，对每个式子进行变形验证.

【解答】解：下列式子：①(-X-y)2=Cx+y)2；②(-x+y)2=(x・y)2；③(y・x)2=2中，

*.*(-x-y)=-(x+y),

/.(-x-y)2=[-(x+y)]2=Cx+y)2,故①正确；

*.*(-x+y)=y-x,且(x-y)--(y-x),

2222

:.(-x+y)=(y-x)2,(x-),)=[-(y-x)]=Cy-x),

:.(-x+y)2=(x->02,故②正确；

*.*(y-x)=-(x-j),

:.(y-x)2=[-(x-y)]2=(x->-)2,故③正确.

・••①②③均正确，

故选：A.

【点评】本题考查了运用完全平力.公式进行运算，解题关键是掌握完全平方公式并能运用求解.

2.已知a-b=8,ab=5,则<?+必+3时的值为()

A.89B.74C.64D.49

【分析】运用完全平方公式将原式变形为(a-b)2+5",再将a-8=8,帅=5代入求解.

2

【解答】解：・・斓+庐+3他=(a-b)+5ab,

，当a・b=8,ab=5时，

原式=82+5X5=89,

故选:A.

【点评】此题考查了完全平方公式的应用能力，关键是完全平方公式能进行准确变形.

3.已知(x+y)2=1,(A--y)2=49,则xy=()

A.-24B.24C.-12D.12

【分析】先根据完全平方公式把已知条件中的两个等式去掉括号再相减，求出外即可.

【解答】解：,:(x+y)2=1,(x・y)2=49,

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/.A2+2vy+y2=1①，x2-2^+/=49@,

①-②得：4孙=-48,

：,xy=-12,

故选：C.

【点评】本题主要考查了完全平方公式，解题关键是熟练掌握灵活运用完全平方公式解决问题.

4.若x+223=y+221=z+219,则3(j-y)2+2(厂z)2-(x-z)2的值为()

A.-1B.2C.4D.-0.5

【分析】根据等式的性质，求代数式的值，有理数的乘方运算即可.

【解答】解:由条件可知x-y=-2,y-z=-2,x-z=-4,

.••3(x-y)2+2(y-z)2-(x-z)2=3X(-2)2+2X(-2)2-(-4)2

=12+8-16

=4,

故选：C.

【点评】本题考查了等式的性质，求代数式的值，有理数的乘方运算，解题的关键是根据条件得出x・y=-2,

y-z=-2,x-z=-4,再代入式子中计算即可.

二.填空题(共5小题)

5.己知(%-2)2=4,则』・4x+5=5.

【分析】将2)2=4利用完全平方公式展开并整理得/_以=0,将其代入原式计算即可.

【解答】解：•••(x-2)2=4,

/.X2-4x+4=4,

/.X2-4A=0,

・・・，-4%+5=0+5=5,

故答案为：5.

【点评】本题考查完全平方公式，熟练掌握该公式是解题的关键.

6.已知=1,贝U2〃2-4〃6+2层的彳直为2.

【分析】将式子因式分解后代入求值即可.

【解答】解：•・•〃・〃=1，

，原式=2(a2-2ab+b2)=2(a-b)2=2X12=2.

故答案为：2.

【点评】本题主要考查的是因式分解的应用，正确进行计算是解题关键.

7.计算：48.12-2X48.1X38.1»38.12=100.

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【分析】观察表达式，发现其符合完全平方公式的结构，可直接应用公式简化计算.

【解答】解:原式=(48.1-38.1)2

=10.02

=100.

故答案为：100.

【点评】本题考查了完全平方公式，正确记忆相关知识点是解题关键.

8.若(x+w)2=/+8X+〃，则/%+〃=20.

【分析】将(户，〃)2利用完全平方公式展开后求得“〃的值，然后将它们相加并计算即可.

【解答】解：•・•(x+W2

=/+8x+〃，

/.2/n=8,n=m，

••〃?=4,n=16>

.•・〃?+〃=4+16=20,

故答案为：20.

【点评】本题考查完全平方公式，熟练掌握该公式是解题的关键.

9.已知x・y=4,xy=3,则f+v2的值为22.

【分析】根据完全平方公式可得)+)，2=(x-y)2+2X>',然后代入计算即可.

【解答】解：:(%-解2=J?-Zry+y2,

2

:.7+32=(x-y)+2xy,

*•=x-y=4f.=3时,

/+)2=42+2义3

=16+6

=22.

故答案为：22.

【点评】此题考查了完全平方公式变形计算的能力，关键是能将完全平方公式准确变形，并进行正确的计算.

三.解答题(共6小题)

10.乘法公式计算：

(1)(-4^-1)(4«-1)(2)(-2x-|y)2

(3)(a—》2(a+52(Q2+》2(4)(2a+b+1)(2a+b-1)

(5)Ca+2b-c)2

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【分析】(1)直接根据平方差公式进行计算即可；

(2)(5)根据完全平方公式进行计算即可；

(3)(4)变形后，再根据平方差公式进行计算即可；

【解答】解：(1)(-4〃-1)(4。-1)=(-1)2-(4〃)2=176/；

(2)(-2x-1y)2=4/+2vy+1y2；

(3)(6Z—i)2(〃+；)2(a2+4)2=[(67—i)(fl+i)(«2+i)]2=(£74—A)2=d8—id44-^ir：

乙乙*乙乙，JLOO

(4)(24+Hl)(2a+b-1)=(2a+b)2-\z=4az+4ah+bz-1：

(5)(a+2b-c)2=(a+2b)2-2c(a+2h)+c1=a2+4ab+4h2-lac-48c+c2.

【点评】本题考查了两个公式：①完全平方公式；②平方差公式，熟练掌握公式并灵活运用是解题的关键，要注

意整体思想的利用.

11.(1)先化简，再求值：(4-3))(4+3。)+-38)2,其中4=-3,b=1.

(2)先化简，再求值：■机(-2)+(m+3)(tn-3),其中小=搭.

【分析】(1)先利用完全平方公式，平方差公式进行计算，然后把小〃的值代入化简后的式子进行计算，即可

解答；

(2)先利用平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把〃，的值代入化简后的式子进行计算，即可解

答.

【解答】解：(1)(a-3b)(a+3力)+(a-3b)2

=cr-9b2+a2-6a匕

=1(?-6ab,

当4=-3,8=；时，原式=2X(-3)2-6X(-3)X1=2X9+6=18+6=24；

(2)2m-m(/??-2)+(〃?+3)(/〃-3)

=2m-ifr+2m+ifr-9

=4in-9,

当〃!=?时，原式=4x^-9=10・9=1.

【点评】本题考查了整式的混合运算-化简求值，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关

键.

12.试说明(x+&2+(工一全)2-2(x+1y)e(x-1>')的值与上的取值无关.

【分析】把式子化简，结果中不含有x的项即可证得结论.

【解答】证明：(x+g)2+(一却2.2(-+抄・(x-»

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=[(x+3)-]2

2、

=(-v)2

3-

4->

二v，

:.(x+gy)2+2-2(.r+|y)*(x-1y)的值与x的取值无关.

【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是掌握完全平方公式和平方差公式.

13.如图是某单位办公用房的平面结构示意图(长度单位：米)，图形中的四边形均是长方形或正方形.

(1)用含x、的式子分别表示会客室和会议厅的占地面积.

(2)如果x+y=5,町，=7,会议厅比会客室大多少平方米？

---1+y

-LI-办公区

会客室

2x

会议厅

2x+y

【分析】(1)结合图形分别表示出会客室和会议厅的长宽，再利用面积公式即可求出面积;

(2)利用(1)结论，列式并计算出/+4盯+)2,再根据户>，=5得到7+2X)，+)2=25,再将7+4叶+./变形为

Ar+2ry+y2+2vy整体代入即可求解.

【解答】解：(1)由图形得，会客室的长为(2x+_y)-(x+y)=工米，宽为(x-y)米，

・••会客室的面积为x(x-y)=(K-孙)平方米；

会议厅的长为(2x+.y)米，宽为2x+.y-x=(x+y)米，

・•・会议厅的面枳为⑵+y)(x+y)=(21+3盯+/)平方米；

(2)由题意得2x2+3xy^y1-(x2-xy)=2x2+3xy+y2-x1+xy=x2+4xy+)^,

Vx+y=5,

・•・(x+y)2=25,

A,r+2,vy+y2=25,

7,

jr+Axy+y2=』+初叶)?+24，=25+14=39平方米.

答：会议厅比会客室大39平方米.

【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键开始理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

14.将完全平方公式(a+b)2=cr^b+b2进行适当的变形，可以解决很多数学问题.例如：若a+b=5,ab=2,

求，+户的值.解：因为a+%=5,ab=2,所以(a+Z?)2=25,2a力=4.所以J+/P+2"=25,2ab=4.所以M+房

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=21.

根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：

⑴若x+y=9，/+)?=41.

①求盯的值.

②求(x-y)2的值.

(2)若(7-机)(3+/»)=12,则(7-w)2+(3+〃?)2=76.

(3)如图，点C是线段A8上的一点，分别以AC、8C为边作正方形BCFG,设正方形ACDE的面积为

Si,正方形8CFG的面积为S2,若SI+S2=24,48=8,求图中阴影部分的面积？

【分析】(1)①根据完全平方公式得出(X+)，)2-2xy=『+),2,整体代入求值即可；

②根据完全平方公式得出(X-)，)2=(x+y)2・4孙整体代入求值即可；

(2)根据完全平方公式将(7-//Z)2+(3+加)2转化为[(7-M+(3+〃?)]2-2(7-/n)(3+/n),再整体代入

求值即可；

⑶设AC=/〃，CF=n,可得m+〃=8,〃P+〃2=24,求出的值，即可求解.

【解答】解：(1)①:(x+y)2-2xy=/+)?,x+y=9,x2+y2=41,

A92-2A)^=41,

20,

②(x-y)2=(x+y)2-4xy=92-4X20=1,

答：①肛的值为20；②(x-y)2的值i；

(2)由(7-切)+(3+切)=10.(7-w)(3+w)=12.

:.(7-m)2+(3+团)2=[(7-w)+(3+w)]2-2(7-w)(3+〃?)=100-2X12=76；

故答案为：76.

(3)设AC=〃?，CF=n,

•・YB=8,

:.〃叶〃=8,

又「SHS2=24,

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.,・苏+〃2=24,

由完全平方公式可得,(〃?+〃)2=m2+2mn+ir,

.*.82=24+2/wb

.\mn=20,

.，1_

••S引影部分=2mn=।°，

【点评】本题主要考查了完全平方公式的适当变形灵活应用，(I)可直接应用公式变形解决问题.(2)根据完全

平方公式变形应用得出答案.(3)根据几何图形可知线段AC+8C=8,再根据两个正方形面积和为24,利用完

全平方公式变形应用得到AC・8C=10,再根据