对数函数重点考点 专项练-2026年高考数学一轮复习备考

对数函数重点考点专题练

2026年高考数学一轮复习备考

一、单选题

1.已知点尸(〃],-2)在函数y=广的图象上，点A的坐标是(4,3),那么网的值是()

A.屈B.2x/10C.6夜D.5叵

已知02则。，瓦的大小关系为

2.a=log27,b=log38,C=0.3»c

A.c<b<aB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<b

3.函数/(x)=ln(f7)的单调递增区间为()

A.(O,+8)B.(y,0)C.(1,+co)D.(-00,1)

4.设函数/(x)=log°43—V)在区间(0,1)单调递减，则〃的取值范围是()

A.B.[-2,0)C.(0,2]D.[2,包)

5.已知且/(x)=ln坐为奇函数，则()

1-3x

6.实数〃满足：Iog〃8+log2av4,且则。的取值范围是()

A.(1,8)B.(1,4)C.(2,4)D.(2,8)

7.已知。=log?4,Z?=loglt7,C=TC~\贝I]()

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

8.已知函数/(K)=ln(K+〃7)的图象与函数g(x)=-ln(-x)的图象有且只有一个交点，则实数〃?=()

A.-1B.1C.-2D.2

二、多选题

9.已知函数〃K)=logakT在区间(-8,1)上单调递增，则()

A.0<«<1B.a>\

C./(«+2022)>/(2O23)D./(«+2022)</(2023)

10.已知函数〃”的定义域为R,且f(r)=f(x),/(x-2)=-/(-x),当xe[0,l]时,““单调

递减，则下列说法正确的是()

A.函数/(月的图象关于直线x=-l对称B.函数/(x-1)为奇函数

2025(A\

C.£/(〃)=。D.flog3—>/(log45)

Z1«!IBI/

三、填空题

11.己知函数/(%)=恰"2">1,则/(〃2))=一,

■4,人1

12.函数/(x)=lnQanx-石)的定义域为.

13.若函数/(x)=(2x+〃)ln|^为偶函数，贝匹=.

14.己知/(x)=l+log.宁，则不等式/(2x-l)+/(2x)v2的解集为.

15.设/(x)=log“(加+2)(。>0且。工1,。工0).若对任意工>0,/(4工-1)=/(工一1)+3均成立，则当

/(幻>3时，x的取值范围为.

16.已知函数/(x)=f+2x,g(A)=ln(A+l)-a,若存在、，为.。；］,使得/(菁)>8(占)，贝J实数”的

取值范围是—.

17.已知数列｛%｝满足q=1。2,半，给出定义：使数列｛%｝的前4项和为正整数的女(keND叫

做好数，则在［L2025］内的所有“好数”的和为.

四、解答题

18.对于函数y=/(4),其中f(x)=log“x(4>0，awl).

(1)若函数y=f(x)的图像过点(4,2),求/(2x-2)</(幻的解集；

⑵求证：当〃=应时，存在“使得/*+l)J(or)J*+2)成等差数列.

19.已知函数)，=/")是定义在R上的奇函数，当x>0时，/(x)=l0gH.

⑴求〃-2)+/⑼的值；

⑵若g(x)=/(x)・/(；)xe［l、8］,求函数y=g(x)的值域.

20.己知/(x)=log3(x+4)+log3(6-x).

⑴是否存在实数，，使得函数了=/@)是偶函数？若存在，求实数。的值，若不存在，请说明理由;

⑵若a>-3且。工()，解关于x的不等式fW</(6-x).

参考答案

题号12345678910

答案DACDADDDACBC

1.D

【分析】根据尸（以-2）在函数y=1°g：”的图象上代入可得〃=9,再利用向量的模长公式求解即可.

【详解】•・•点尸（以一2）在函数,'二x的图象上，

••.嗔〃?=-2,吁（；J=9,

・・・2点坐标为（9,一2）,AP=（5,-5）,1M3+（—5尸=5立

故选：D

2.A

【分析】利用利用。」,2等中同值区分各个数值的大小.

【详解】C=0.302<0.3°=1;

log,7>log24=2；

l<Iog,8<log39=2.

故c<b<a.

故选A.

【点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与1的大小区别对待.

3.C

【分析】求出定义域，由复合函数单调性得到单调递增区间.

【详解】x2-l>（）,解得x>l或x<—l,故定义域为（1,”）一（F,-1）,

因为y=lnf在f40,go）上单调递增，

又，=f_i在（1,y）上单调递增，在上单调递减，

由同增异减可知〃刈=||】卜2一|）的单调递增区间为（1,田）.

故选：C

4.D

【分析】运用复合函数单调性知识，结合对数函数和二次函数单调性可解.

【详解】设，=or-V,则其对称轴为x=^,抛物线开口向下，

y=log。/是减函数，.•.要使/(x)在区间(0,1)单调递减,

则，=如一/在区间(0,1)单调递增，即^21且oxi—/〉。，即〃之2,

故实数。的取值范围是［2,y).

故选：D.

5.A

【分析】根据奇函数的性质结合函数的定义域，可得。=3,进而利用复合函数的单调性即可求解.

【详解】因为/(力的定义域为［gg)j(x)为奇函数，所以。=3,则/3='公=143-1),

fi1A2

由于)，=l-3x-£<xv三为减函数且值恒为正数，则丁丁为单调递增函数，因此/(“为增函数.

因为。=3>0,所以0<2av%,所以故丁>f［—>“0)=0.

3a2a\2a)13口

故选：A

6.D

33

【分析】由换底公式可得1——十幅”4,令f=log2%则r>0,g(t)=-+t,求导研究函数g(公的

log,at

单调性及以D=g(3)=4,可得飞(1,3),即可求解.

3

［详解】logfl8+log2a=31oga2+log2a=--------+log2a<4t

log2a

33»2-3

令f=log24,则/=log24>0,g(f)=_+/,g'(f)=

/vr

令g'⑺>。得/>6；令/⑺<。得。</<百,

J函数&")=；+，在(0，G)上单调递减，在(G,+8)上单调递增.

又g6=g(3)=4,・・・/«1,3),即log2a«1,3),解得a«2,8).

故选：D.

7.D

【分析】先通过作差法比出〃力的大小关系，在通过倒数求出。与它们的大小关系即可做答.

【详解】根据换地公式。喟同器，则j唱-黑=吧部翼，

由基本不等式可知hi4xIn11<；"4；"11)即］n4x|nj)<

因为(等卜(等j,即(券J<0n7『，

!Hl」ln4xlnll_(ln7)'vO,可知4一8<0,〃<力，

I1

a^\---：，C=_,可知logdlvlog.GVTT,所以c、va.

log4771

综上可知c<a<b.

故选：D.

8.D

【分析】根据题意可以转化为ln(x+〃?)=-ln(r)有一个解，进而解等式即可.

【详解】依题意皿1+〃?)=-11】(-“有一个解

即ln(x+〃z)+ln(-x)=O有一个根

即In(-x2一〃tr)=0=In1

所以一/一必.=］有一个根

所以氏+1=()有一个根

所以△二>一4=0

解得〃7=±2

当〃2=—2时，/a)=ln(x-2)的定义域为(2,小)

与g(x)=-ln(T)的定义域(—,0)没有交集

此时/(x)与g(刈的图象没有交点

所以〃?=-2不符合题意

故选：D

9.AC

【分析】设z=k-l|,可得函数Z=|x-l|在(-8,1)上单调递减，根据复合函数的单调性即可得”的范

围即可判断AB,利用单调性即可判断CD.

【详解】f(x)=iogJxT|的定义域为

设Z=|x-l|,可得函数2=卜-1|在(-8,1)上单调递减，

在(1,+8)上单调递增，

根据复合函数的单调性可得o<avl,故A正确，B错误；

由0<”1,可得2022<a+2022<2023,

又/(“在(1，+8)上单调递减，

贝iJ/(a+2O22)>/(2023),故C正确，D错误.

故选：AC.

10.BC

【分析】由题意可得/(X-2)+/(T)=0,可判断A；令/(X)=/(A1),可得厂(一力=一”力，进

而可判断B；由已知可得“X)是偶函数，进而计算可得/(工+4)=/(力，进而可得

/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=0,*)=0,进而计算可判断C；利用作差法可得1。84_1。&5>0,进

而求得“力在区间(1,2)上单调递减，可得结论判断D.

【详解】因为〃=所以/(X_2)+〃—X)=0,所以/(x)关于点(TO)中心对称，故

A错误；

令/x)=〃x—1),所以=X/(-X-1)=-/(X-1),

所以/(T)二一/(X),故/(x-l)为奇函数，故B正确；

又因为/'(—)=〃力，所以/(力是偶函数,所以f(x-2)=-/(x),

所以〃x+2)=—/(x),所以/(x+4)=—“x+2)=/(x),

所以“乃是周期为4的函数，

令x=l，得/(1)=0,令x=3,得/(1)+/(3)=0,令x=4,得/(2)+/(4)=0,

2025

所以£/(〃)=506x(y⑴+/⑵+"3)+”4)]+/⑴=0+〃1)=0,故C正确；

W-1

小'白)二/(】%4-4)=/(log,4),

又咽4—嘀5=昼.蹩=(画也已(幽--1丁)=(所也同>o,

3lg3lg4ig31g4Ig3lg4Ig3lg4

故l<log45<log/<2,又因为当/(力单调递减，且7=4,

所以〃x+2)+/(-x)=0,所以“力关于点(1,0)中心对称,

所以/(同在区间(L2)上单调递减,所以/(我34)</(10&5),

所以小幅怖)<川呜5)，故D错误.

故选：BC.

11.6

【分析】利用对数的性质，结合范围，按照分段函数每段的对应关系来逐步化简计算.

【详解】由题意得/(2)=1呜3<1,故/(〃2))=〃1俎3)=/(如23)=2如3=(2啕3)；=技

故答案为：G.

【分析1列出不等式求解，即可得到结果.

【详解】由题意可得tanx—\/5>0,即tanx>G,解得工+人兀<xv5+EMwZ,

所以函数的定义域为<xE+E<x<]+E,AeZ

故答案为：.M]+Ev%v]+E，ZeZ..

13.0

【分析】先由偶函数的性质求出参数然后检验即可.

【详解】因为/("为偶函数，则/(l)=/(—l),，(2+a)lng=(—2+a)ln2,解得a=0,

当a=0时，/(x)=2.vln|^1.(3x-1)(3%+1)>0,解得

则其定义域为卜或x<-共，关于原点对称.

/(-X)=(-2刈In=(-2x)ln券，=(-2x)Inf然1]=2xln=/(刈，故此时/(可为偶

•:5m(-XI+13X-1\+1)+1

JX

函数.

故答案为：0.

14.(0,1)

4

【分析】先求出函数的定义域，保证/(2i-l),/(2x)有意义，再代入函数解不等式即可.

【详解】/(x)=l+log.宁，.•.户>0,解得-Ivxvl,所以7(x)的定义域为(T1),

1—X1—X

14-v

将/⑺=1+log,产代入/(21-1)+/(2x)<2,

\-X

2x,,1+2%c

^\+\og——+\+\og——<2

n2-2xxl-2xf

2*l+2x

即10g；2x+log；2*<0,

2A(I+2A)I

即[0g(2-2.*Kl-2x)<()=[0o],则~\<2X<\,解得0<XV二

(2-2x)(l-2,t)

所以不等式的解集为(o，；：.

故答案为：(0,；).

15.(l,+oo)；

【分析】利用恒等式可求出参数才=4,b=2,再利用对数溶算性质进行求解对数不等式即可.

(详解】由/(4X-1)=/(A-1)+3均成立,可得log”(4加一〃+2)=loga(丛—〃+2)+3=\oga(bx-b+2炉恒成立,

即4bx-b+2={bx-b+2)a3=a、b.x+(2-b)a3,

4b二a%

则{L.r,c3»因为所以a，=4，解得b=2,

-b+2=(2-b)a-

3

所以f(x)=log^(2x+2)=-Iog2(2x+2),

3

由/(.v)>3,则f{x}=^log2(2x-»-2)>3=>log2(2x+2)>2=log,4=>2x+2>4=>x>l,

故答案为：(1,*0)

16.(—8,-HX)

【分析】问题可转化为/aUxAga),“沁，工«o,2],利用单调性求出函数的最值，继而即可求解.

【详解】问题可转化为了aXw^ga)疝-x«o,2],

f(x)=x2+2x的对称轴为x=-l,

所以/CD在[o,2]上单调递增，

所以/(x)z=/⑵=2、4=8，

),=>1,)，=h[x都为增函数，所以g*)=ln*+l)-。在[0.2]上单调递增，

所以g(X)min=g(0)=-%

所以8>-〃，解得"-8,即实数”的取值范围是(-8,y).

故答案为：(-8,+力).

17.2026

【分析】先计算出数列也｝的前k项和，然后找到使其为正整数的k(kcN'),相加即可得到答案.

【详解】由题，S“=log2Mm与++log?”

\1+1J\2+17l〃+l

.3.4।(n+2}

=log2-+log2-++10g2--

231〃+1J

log2=log2(7?+2)-log22=log,(//+2)-1

所以，5A.=log2(^+2)-l.

因为臬为正整数，所以log2(A+2)-1>0,即A+2>2nk>0.

令〃?=log2(Z+2),则&=2"-2.

因为A41,2025],所以2"匕[3.2027].

因为y―2、为增函数，K21-2,22-4,...,2,0-1024,2H-2048,

所以〃w[2』0].

)2_,1。x7

所以所有“好数”的和为2、2+23-2++2,0-2=--^-^-2x9=2026.

1-2

故答案为：2026.

18.(1)(1,2)

⑵证明见解析

【分析】(I)求出函数解析式，利用单调性解不等式即可；

(2)利用等差中项的性质可得20+log先x)=log拒(x+l)+k)g"(x+2),根据对数运算化简可得

log^(2x2)=log^(x2+3x+2),所以2/=』+31+2,即V—3x—2=0,由判别式可知方程有解,

即可得证.

【详解】(I)已知函数y=/3=log“x的图像过点(4,2),

所以log"=2,即々2=4,因为a>0,awl,所以。=2,

贝lJ.f(x)=log2X.

函数.〃%)=log?x的定义域为(6+8),且在定义域上单调递增.

2x-2>0

由/(2x-2)v/(x)可得<x>0,

2x-2<x

解得lvxv2,所以不等式的解集为(1,2).

(2)当a=0时,fM=log^xyf(x+l)=log^(x+1),

/(av)=log75(>/2x)=log75^-log^x=l+log75x,/(x+2)=log75(x+2).

若/(x+1)、/(*)、f(x+2)成等差数列，则2/(or)=/(x+l)+/(x+2),

即2(l+log6，=log&(x+l)+log&(x+2).

所以2+2logox=log0Kx+l)(x+2)],

即log&(&f+logQ丁=log丘[x2+3x+2),

即log&(2x2)=log0(/+3x+2),则2k=口+3彳+2,移项可得/-3x-2=0.

对于一元二次方程f-3x-2=0>A=(-3)2-4x(-2)=9+8=17>0,

所以方程有实数解，即存在x使得f(x+l)、/(办)、/0+2)成等差数列.

19.⑴-1

⑵[-1,3]

【分析】(1)根据函数的奇偶性求解即可；

(2)计算g(x)表达式，利用换元法把问题转化为二次函数在区间上的值域问题即可.

【详解】(I)因为函数y=〃x)是定义在R上的奇函数，

所以/'(T—)，〃0)=。，

所以〃一2)+/(0)=-/(2)+〃0)=-1+。=一1；

(2)^(A)=(log2x)^log2^J=(log2A)(log2x-2)=(log2xy-21og2A：,x€[l,8],

令log2X=，"£[0,3],问题等价于求〃(/)=--2々40,3]的值域，