导数的几何意义及函数的单调性-高考二轮数学专项复习

微专题3导数的几何意义及函数的单调性

[考情分析11.导数的几何意义和计算是导数应用的基础，是高考的热点，多以选择题、填空题的形式考

查，难度较小2应用导数研究函数的单调性，是导数应用的重点内容，也是高考的常见题型，以选择题、

填空题的形式考查，或为导数解答题第一问，难度中等，属综合性问题.

考点一导数的几何意义与计算

1.导数的几何意义

⑴函数在4向处的导数即曲线在点(向，应⑹)处的切线的斜率.

(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同.

(3)切点既在切线上，又在曲线上.

2.复合函数的导数

复合函数月(g(x))的导数和函数》=/(〃)，的导数间的关系为

例1⑴(2024・新课标全国I)若由线y=e'+x在点(0,1)处的切线也是曲线)=ln(x+l)+a的切线，则

答案In2

解析由尸e'+x得y-e'+1,

当x=0时,jr=e°+l=2,

故曲线产e'+'在点(0,1)处的切线方程为

j=2x+l.

由>=ln(x+1)+。得y-~~^»

设切线与曲线y=ln(x+1)+。相切的切点为3),州)，

由两曲线有公切线得)，'=」7=2,

解得xo=-1,代入切线方程y=2x+1得yo=2x(-J+1=0,

则yo=lnCro+l)+i/=0,

即ln(—[4-1)+。=0,解得«=ln2.

(2)已知函数於尸(x+4+lnx的图象上存在不同的两点A,4,使得曲线y=/&)在点A,4处的切线都与

直线x+2y=0垂直，则实数a的取值范围是()

A.(-oc,1-V2)B.(l-V2,0)

C.(-8,I+V2)D.(0,1+V2)

答案A

解析由题意知八x)=2x+2a+1,国为曲线)『”•)在点4,8处的切线都与直线x+2)=0垂直，

所以切线斜率都是2,

即关十x的方程/(1)=2,计2。号=2有两个不相等的止实数根，

1(1-a>0,

化简得$-(1・。)户；二0有两个不相等的正实数根，则人一1_“、2_八1解得。<1-也

21Z1——Cl)-U,

［易错提醒］求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中,

点P不一定是切点，点尸也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.

跟踪演练1(1)(2024•全国甲卷)设函数./U尸嘴等，则曲线)，=/U)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围

成的三角形的面积为()

A.-B.-

63

c-D.-

3

答案A

解析人天)=(eX+2cosx)(l+x2)(e"+2sin%)2x

(l+x2)2

(e0+2cosO)x(14-Q)-(e0-F2sinO)xO

则八0户

(1+0)2

=3,

则曲线尸/U)在点(0,1)处的切线方程为)，-l=3x,

即y=3x+1,

令户0,则产］,

令产0,则户

故该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积

5=-xlx|-l=-.

2I36

⑵过坐标原点作曲线yU)=e'(x2-2A+2)的切线，则切线共有()

A.I条B.2条

C.3条D.4条

答案A

解析设切点为(枇，)。(密-2顺+2)),

由人亦4/幺”)可得/U)=xV,

则切线的斜率广焉e”。，

xx

所以切线方程为y-e°(%o-2xo+2)=%oe°(x-x0),

代入原点(0,0)得晶以+2w2=0,

故瑞(xo-1)+2(xo-l)=0,

即(秒1)(%1+2)=0,

解得冲=1,故过坐标原点的切线共有1条.

考点二利用导数研究函数的单调性

利用导数研究函数单调性的步骤

⑴求函数产/&)的定义域.

⑵求Q)的导数八。

(3)求出八%)的零点，划分单调区间.

⑷判断八幻在各个单调区间内的符号.

例2己知函数危尸^^心+声皿讨论函数於)的单调性.

解,函数凡¥)的定义域为R,

f(x)=(x-1)ev+tz(x-1)=(x-1)(ev+«).

①当心0时,

若xE(・oo,1),则八x)<0,所以JU)在(・g,1)上单调递减；

若％E(1,+00),则F(x)>0,所以加)在(1,+00)上单调递增.

②当—<0时，ln(/)<l,

若4W(-oo,ln(-a))U(l,+8),则/V)>0,

所以80在Goo,皿⑷)，(1,+8)上单调递增；

若1E(ln(-a),I),则八幻<0,所以危)在(侬-4),1)上单调递减.

③当<z=-e时，ln(-a)=l,

对VxER,八x)20,所以7U)在R上单调递增.

④当<7<-e时，ln(-a)>1,

若工£(・8,l)U(lnGa),+oo),则/⑺>0,所以危)在(・8,1),(ln(-a),+oo)上单调递增;

若在(1,g)),则八x)<0,所以兀v)在(1,皿⑷)上单调递减.

综上所述，当。20时，/W在(-00,1)上单调递减，在(I,+8)上单调递增；

当-e<4<0时，.")在(-8,ln(-6/)),(1,+8)上单调递增，在(ln(-a),1)上单调递减；

当d=-e时，危)在R上单调递增；

当〃<-e时，於)在(-8,1),(ln(-a),+oo)上单调递增,在(1,In(-a))上单调递减.

[规律方法](1)讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视定义域的限制.

(2)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，根据根的大小进行分类讨论.

(3)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论.

跟踪演练2-知函数/A)=A[1-ln(H)].

(1)若/(1)在A-e处的切线与直线)=工垂直，求实数k的值；

(2)讨论«r)的单调性.

解(1)因为人工)=X[1-1>1(丘)]・后0.所以Kx)=-1n(丘).

府)在x=e处的切线与直线y=x垂直，

所以f(e尸-ln(Ae尸-1,解得k=1.

(2)由/U)=x[l-In(由)]得/XX)=-ln(g,七0,

当Q0时，人幻的定义域为(0,+00),

令/⑶=0得，

当x£(o,/时，八x)>0,当工£6，+8)时，人])<0,

所以我幻在(0,J上单调递增，在Q,+8)上单调递减；

当辰0时,段)的定义域为(-8,0),

令戊x)=o得

当％0(-8,目时，yv)<0,

当X£(G0)时，八幻>0,

所以负幻在(—8,/上单调递减，在《，0)上单调递增.

综上所述，当Q0时，ZU)在(0,3上单调递增，在G，十3)上单调递减；

当々<0时，“X)在(一8,J上单调递减，在《，0)上单调递增.

考点三单调性的简单应用

I.函数,/U)在区间/上单调递增(或递减)，可转化为人工)20(或f(x)W0)在入｛/上恒成立.

2.函数,仰)在区间/上存在单调递增(或递减)区间，可转化为人户>0(或/(x)<0)在工日上有解.

例3(1)(2023・新高考全国H)已矢I函数於)=dnx在区间(1,2)上单调递增，则。的最小值为()

A.e2B.e

C.e1D.e2

答案C

解析依题可知，八幻二优三20在(1,2)上恒成立，显然eO,

所以咫2工在(1,2)上恒成立，

a

设g(K)=*,xe(i,2),

所以g'(x)=(x+l)ev>0，

所以g(x)在(1,2)上单调递增，

g(x)>g(l)=e,故e2小

即〃2工=丁，即〃的最小值为

e

⑵(2024•哈尔滨模拟)已知函数yU)=(x-1)3+sin(r1)+5,则不等式J(2x+1)+A1㈤力10的解集为()

A.[0,+8)B.[l,+oo)

C.[2,+oo)D.[3,+8)

答案A

解析由题可得於+1)-5=/^1》,

所以j?-X+1)-5=(-»+5而(7：)=7?-5访X,

即有久计1)-5+/(--r+1)-5=0,即yu+1)=10-^(1-x),

故不等式y(2x+i)4yu-x)2io等价于1〃+1)2於+1)，

又/V)=3(X-1)2+COS(X・1),

当-1+2时，cos(x-l)^0,

故/(A)>(),

当不£(-8,+8)时，

2

3(X-1)2>3XQ)>1,cos(x-l)e[-i,1],故/(x)>0,

即八万>0恒成立，故/U)在R上单调递增，

故由/2x+1)1)可得2x+1Nx+1,即.GO.

[规律方法]利用导数比较大小或解不等式的策略

利用导数比较大小或解不等式，常常要构造新函数，把比较大小或解不等式的问题，转化为利用导致研究

函数单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式.

跟踪演练3⑴已知函数外)=log2(2'+2”cosx,设方/(log32),-1.5),c=^30-2),则()

A..b<c<aB.b<a<c

C.a<c<bD.a<b<c

答案C

解析因为函数段)=log2(2"+2”cosX的定义域为R,

/-x)=log2(2-r+2t)-cos(-x)=log2(2A+2v)-cosx=J(x),

所以函数火x)为偶函数.

当不£(0，5时，令曰7(幻=2'+23

贝lj/?'(x)=(2'-2")ln2=(22y-pln2>0,

则力Q)在(0,上单调递增，而.y=log2/,尸-cosx在(0,上均单调递增，

故於)=log2(2、+2”cosx在(0,以上单调递增.

因为31og32-2=log31<0,

所以0<logj2<|,

因为(3勺5=》(|)5二系，

所以|<3心<1,又〃=0-1.5）习（1.5）,

2

S.0<log32<30-<1.5<p

所以川（期2）勺（3叼勺（1.5）,即a<c<b.

⑵（2024•成都模拟）已知函数於尸工-cosx,若尸兀，贝lJ/3+也）等于（）

A.n-1B.n+1

C.nD.0

答案B

解析因为f（x）=x-cosx,所以f\x）=I+sinx^O.

所以JU）在R上单调递增.

因为危Dt/teE，

月亍以）=无:«X2）=加-也+COSX2

=n-X2-COS（Tt-X2）=J{n-X2）,

结合贯幻在R上单调递增，知x\=n-xi,即X]+X2=n.

所以jVl+X2）=A^）=^-C0S兀=冗+1.

专题强化练

（分值：90分）

I。素养提升

一、单项选择题（每小题5分，共30分）

1.（2024・海口模拟）已知函数启）才-什2疝x,则曲线产”）在X=0处的切线方程为（）

A±y=OB.y=l

C2Y+.V=0D.2x-y=0

答案A

解析函数危）=.d-x+2sinx,求导得/（x）=3/-l+2cosx,则八0）=1,而见）尸0,所以曲线产危）在x=0处的

切线方程为y=x,即x-）=0.

2.（2024.成都模拟）已知函数«r）是定义在R上的奇函数，且当x>0时，/x）=x（Mnx）,则当x<0时，火灯的单

调递增区间为（）

A.（-oo,-e）B.（-e,0）

C.（-8,0）D.（-l,0）

答案D

解析当x>0时，y（.r）=x（1-Inx）,则/（x）=-lnx,

所以当0<x<l时，八幻>0,当x>l时，/(x)<0,

所以£r)在(0,1)上单调递增，在(1,+QO)上单调递减，

又函数人用是定义在R上的奇函数，

所以JU)在(-1,0)上单调递增,在(-8,“)上单调递减.

3.(2024・曲靖模拟)己知函数段)与虱x)的部分图象如图所示，贝")

)<0</(-1)

B./(-l)<0<gX-D

Cg'(3)勺'(3)

D『(3)vg(3)

答案D

解析由图可知,於)与g(x)在区间口,3］上单调递增,所以g'(-l)X),/(-1)>0.

在区间［-1,3］上，g(x)的图象比心)的图象更陡峭，所以八3)<5(3).

4.(2024・沧州模拟)已知/(x)=3-f-2cosx,设a=205,/?=y,c=lo星，则加)，必)，大。)的大小关系为()

k爪c)河a)>氏b)

B.次份次。)

C次〃)Mc)»a)

D贝c)次份字(a)

答案B

解析由题意知，函数./U)的定义域为R,

且小H)=3-Gx)2-2cos(-x)yx),所以式幻为偶函数.

又/(.x)=2(sinx-x),

当x20时，令g(x)=2(sinx-x),则g'(x)=2(cosx-1)W0,

所以g(x)在［0,+co)上单调递减，所以g(x)<g(0)=0,

即八x)W0,所以凡丫)在［0,+oo)上单调递减.

a=*巫巫=b,

23

kl=|log21|=log23>l,

故|c|>a>〃，从而加)40次|c|),即加)/a)/c).

5.已知函数危尸卜家号Fxinx在卜2］上存在单调递减区间，则实数。的取值范围为()

A.(-oo,絮］B.(-oo,2］

C.(-oo,工)D.(-8,2)

答案D

解析因为函数/x)=-x4-1x3+^x2-xlnx,可得/^^-Zr+av-lnx-\,

432

因为函数/U)在L，2］上存在单调递减区间，

可得了(工)4-2?+如J］»1<0在f，2］上有解，

即。<匕詈+2.「『在於，2］上有解.

令g(K)=^^+2x-f(三x42),

则〃<g(X)max，且g'(X)=-*2(X-1),

当：4vl时，詈>0,-2(x・l)>0,所以g0)>0：

当1<XW2时，-祟0,-2。-1)<0,所以gQ)<(),

所以3。)在L，1)上单调递增，在［1,2］上单调递减，故g(x)g,=g(l)=2,所以a<2.

6.(2024・临沂模拟)若直线y=ar+1与曲线y=/?+ln工相切，则ab的取值范围为()

A.(一°°，B.-0)

C.l-e3,+00)D.［一/，+8)

答案D

解析函数产"Inx的导数为)，3，

设切点为(xo,avo+1),xo>0,所以工二小

彳0

则avo=I,即xo=a-.

又因为点Qo,OTo+1)在曲线>,=/?+!nX上，

所以aa)+1=〃+lnxo,

所以r?+lnAO=2,即Z?-ln。=2,所以Z?=2+lna,

所以ab=a(2+\na)=2a+a\na(a>0).

令g(a)=2a+a\na,'(^)=2+1na+a?=lna+3,

令g'(a)>0,可得a*，

令g'⑼<0,可得0<a号，

所以式㈤在(0,上单调递减，在G，+8)上单调递增，

所以g3)min=gg)=/《ln/吟

当〃趋近于正无穷时，g（a）趋近于正无穷.

所以油的取值范围为卜专，+8）.

二、多项选择题（每小题6分，共12分）

7.（2024.邢台模拟）已知函数/）=W+21nx的图象在A（M,/%,））,B（.r2,於2））两个不同点处的切线相互平行,

则下面等式一定不成立的是（）

A..X\+X2=2B.A'|+.V2=一

CJC\X2=2

答案ACD

解析因为/（^）=x2+21nx,A>0,

所以,A>0.

因为JU）在A（M，4汨）），8（也，儿⑶）两个不同点处的切线相互平行,

所以J，（X］）=^（X2），即2^1+-=2X2+^-,

xlx2

整理得（即・功（1-表）=0,

又X|?X2»所以X\X2=1»故C,D不成立；

因为.口>0,X2>0,且不力2，所以X1+X2>2■伍石=2,故A不成立；

当汨=1，%2=3时，Xi+X2=y，故B可能成立.

8.（2024・济南模拟）已知函数以）=$皿,1-111.1,则（）

A.曲线产/U）在尸兀处的切线斜率为In兀

B.方程凡t）=2024有无数个实数根

C.曲线），=/（处上任意一点与坐标原点连线的斜率均小于彳

DjTM-9在（1，+8）上单调递减

答案BCD

解析对于A,/x）=sinxlnx,A>0,

则/V）=cos.vln，

故八r）=cos花In兀3:二-皿兀,A错误；

对于B,由于）=sinx为周期函数，当xf+8时，ln,L*+8,

故/（X）=sinx-lnx的图象大致如图所示，

结合图象可知，当x增大到一定数值X0,且满足/Uo)=2024后，

人于3且满足_/U尸2024的数有无数个，B正确；

对于C,设P(x,sinx/nx)为产上任意一点，。(。，0)为坐标原点，

l.sinxlnx.八、

贝17bI」&O产-----(第>0)，

X

由于|sin1,故|%|W将

由于当0v<1时，/(x)W0,故曲线广式x)上任意一点与坐标原点连线的斜率在x>l时才取到正值,

则当Cl,取正值时，垢PW等(A1),公户取负值或0时，不等式显然成立.

设如尸等3>1)，则g'(x)=皆，

当l<x<e时，g'(x)>0,g(%)在(1,e)上单调递增,

当x>e时，gU)vO,g(x)在(e,+8)上单调递减,

故&(K)Wg(e)=(，

由于|sin1取等号条件和g(x)W：取等号条件不一致，

故kop<2，C正确；

e

对于D,设〃(x)=lnx・x+l,x>\,贝ij

故〃Q)在(1,+oo)上单调递减，则〃(x)<〃(l)=0,则Inx<x-1,x>L

设/i(^)=7(.v)-y,X>\,

则〃'(x)=/(x)-(二)'=cosxlnx+^^-x<lnx+i-x<.r-1+Lx=^^<0,

故)弓UA?在(1，+8)上单调递减，D正确•

三、填空题(每小题5分，共10分)

9.已知函数x,贝!火1)=.

答案：

4

解析,.\/(x)=2f(2)x-^v2+lnx,

则了⑴力(2)-|吟

・・・八2)="'(2)卷x2《，

解得『(2)=|,

，y(x)=5x-¥+lnxf

,,瓜］)=5TMn\=-.

10.(2024・张掖模拟)已知函数危)=1k叶59,若./(2)Mb尸0,贝!言的最小值为

答案2V2-2

解析由/U)=lnx+exf,Q0,得f(x)，+e+《>0,所以次x)是(0,+oo)上的增函数.

XXX

又./U)t/Q)=(lnx4-ex-：)+(-Inx+：-ex)=0,

故由J(专)t/(b)=0得4xb=1,即a2=b(b>0),

手二四#+i)22(b+D+2二>1+旦.222V2-2,

a2+lb+1b+1b+1

当且仅当〃+1二三时取等号，此时几近-1.

故寓的最小值为2V2-2.

四、解答题(共28分)

11.(14分)已知函数j(x)=a］nx-x+\(a£R).

(1)当曲>0时，求函数7U)的单调区间；(6分)

(2)对任意的占…金⑴，1］，当用"时，都有加);"2)<4(：?,求实数〃的取值范围.(8分)

解(1)函数7U)的定义域为(0,+oo),

.a.a-x

当a>0时，由/(x)<0,解得x>a,

由/QAO,解得0y<〃

即7U)在(0,〃)上单调递增，在(&+8)上单调递减.

(2凝)兆2)<4/一？),

即於〉白/^2)-白

X1x2

令8(»=")一，

因为对任意的即，心£(0，1］，

当力<X2时,g(M)<g(X2)，

所以函数百。)在(0,1］上单调递增.

所以g'a)=/\i)4=}1+营》。在(。，1］上恒成立，

即在(0,1］上恒成立，

只需q2(x-士).

'"max

设/?(A)=X-^,x£(0,1］,

则〃a)=i4>o,

所以力（外=彳?在（0，1］上单调递增.

所以＜7^/?（X）max=/?（l）=1-4=3.

综上所述，实数。的取值范围为［-3,+00）.

12.（14分）（2024・天津模拟）已知Kr）=x+aHnx（〃£R）.

⑴当斫2时，求危）在点（e,次））史的切线方程;（6分）

（2）讨论大幻的单调性.（8分）

解⑴当。二2时，X，r）=r+2.rlnx,

贝ij/（e尸e+2e=3e,

X/（A）=3+21nx,则切线的斜率W（e）=5,

所求切线方程为y-3e=5（1-e）,即5j-y-2e=0.

（2）函数大幻的定义域为（0,+00）,

1+alnx+ax—=l+tz+tzlnx.

①当”=0时，/（x）=l＞0,段）在（0,+oo）上单调递增.

②当心0时，

当x£（e-（F）,+8）时，八x）＞0,

・•・函数7U）在（eY+献+8）上单调递增；

当x£（0,时,/v）＜o,

・•・函数TU）在（o,e-（】+3）上单调递减.

③当“＜（）时，

当x£（0,e-（】+9）时,/（x）＞0,

・•・函数/U）在（0,。一（1+力）上单调递增：

当不£（8一（1+£）,+8）时，八幻＜0,

・•・函数次幻在（e-（i+献+8）上单调递减.

综上可得，

当。RH寸，函数式幻在（（），+8）上单调递增；

当公＞0时，函数以幻在（0,上单调递减，在七一（1+之），+8）上单调递增;

当〃＜0时，函数_/U）在（0,e-（】+3）上单调递增，在［一（1+《），+8）上单调递减.

10思维创新

每小题5分，共10分

13.（2024・池州模拟）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有

限维空间，并构成了一般不动点定理的基石.简单来说就是对于满足一定条件的连续函数/U），存在一个点

的，使得仙））书），那么我们称心）为"不动点”函数.若危）存在〃个点为（/'=1,2,…，〃），满足仙）二x”

则称加）为“〃型不动点”函数，则下列函数中为“3型不动点”函数的是（）

Ay（x）=l-lnx

By（x）=5-lnx-F

4cx-2

CJU尸不一

DJ（x）=2sinA+2COSX

答案D

解析对于A,令/（x）=l-lnx=x（x>0）,即x+1nx-1=0.

因为产=x+lnx-l的导数）/=l+：>0,所以y=x+lnx-l在区间（0,+oc）上单调递增，

所以_/U）不可能为“3型不动点”函数，故A错误；

对于B,令«r）=5-ln