2026年安徽宿州市高三一模数学模拟试卷（含答案详解）

安徽宿州市2026届高三上学期教学质量检测

数学试题

注意事项：

1,本试卷满分150分，考试时间120分钟.

2.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，请将答

案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合力=卜11鸣（工-1）41},8=1|--3》+240},则/1口8=（）

A.[1,2]B.（1,2]C.[1,3]D.。,3]

2.已知复数2=&。3[+1疝1]，在复平面内，三对应的点位于（）

I44）z+i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知向量£、/；满足3万=-3，且|。|=2,则向量,；在向量b上的投影向量为（）

3-3r3-3-

A.--hB.--hC.-bD.Jb

4224

4.已知函数/（x）=Tsinxcosx-日cos2x+1,当xe一：吟时，/（"）的最小值为（）

3115

A.-B.-C.——D.——

4224

5.2025年11月7日，安徽省乒乓球群众业余联赛在宿州市开赛.宿州某代表队笫一轮比赛

需和对手比赛三场，在第一、二、三场比赛中该队赢对方的概率分别是不4彳3彳2，每场二匕赛

结果相互独立.则该队在三场比赛中恰有两场赢对方的条件下，第一场赢对方的概率为（）

210_910

A.-B.—C.—D.—

5191313

6.一个底面直径为16cm,高为60cm的圆柱形水槽中该有高度为40cm的水，现向其中放

入一个直径为8cm的铁球和一个底面直径和高均为8cm的圆锥形铁块，当铁球和圆锥形铁

块都完全浸没入水中时，水槽中的水面高度达到（）

试卷第1页，共4页

A.42cmB.44cmC.48cmD.50cm

7.已知圆C:（x-l）2+（y-2/=4,直线/：h-y+1—%=0,则直线/被圆C截得的弦长的最

小值为（）

A.Vi4B.y-C.V3D.2x/3

8.已知正实数小，〃，满足机>〃，且ln”ln〃>0,则下列不等式一定成立的是（）

A.log/:<0B.m-->n---

wnm

C.mn-}<nm-}D.2w,+,<2m*n

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的四个选项中,

有多项符合要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.设函数/（幻=/一3/，则（）

A./（X）在x=l处的切线方程为y=-3x+lB.x=2是/"）的极大值点

C.当—IWXKI时，-4</（x）<-2D./（2-x）+/（x）=-4

10.已知{4}是各项均为正数的等差数列，且公差d>0,{4}是各项均为正数的等比数列，

且公比”1,若项数均为2〃-1项（〃理下列说法正确的有（）

A.数据2M3,…,。2-的平均数是4

B.数据4也也，…也一的平均数是我

C.若%="，出“T=b2,i,则数据卬,。2吗，…，。2〃T的中位数大于数据4也也，…也的中位数

D.若q=4，。22，则数据可，〃2，。3,…，。21的平均数大于数据4也也，…，％.I的平均数

11.已知点P是曲线G上的任意一点，。是曲线G上任意一点，设P。的中点为。为

坐标原点，记|。必|的最小值为d,下列说法正确的是（）

A.若G：y=7-x;C2：y=5-x,则d=3我

B.若G:y=6-x;C,:f+炉=8,则

2

C.若£:y=x+3；G：丁，则"二行

D.若G：歹=2x-3；a:y=hix-x2+3x-l,则］=正

试卷第2页，共4页

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在x+42V的展开式中，的系数是__________.(用数字作答)

IX-)

13.已知椭圆C:匚+与=\(a>b>0)与抛物线r：/=2Px(p>0)有相同的焦点F(l,0),若椭

ah

圆C与抛物线「在第一象限的交点为"且|比|=1,则柄圆。的离心率为.

14.在以48c中，。上,厂分别是边力民力。,8。边的中点，茗AF=3,BE=30CD=痹，

则出力8。的面积是

四、解答题：本题共5小题，共77分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.

15.某数学兴趣小组为深入了解某款智能软件在社会上各年龄段人群使用情况，从某社区使

用过该程序的人群中随机抽取了200名居民遂行调杳，并依据年龄样本数据绘制了加下频率

分布直方图.

(1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的30%分位数：

(2)为了解各年龄段居民的使用情况，需抽取居民代表召开座谈会，按照等比例分配分层随

机抽样的方式从［电20),［30,40)年龄段中随机共抽取8名居民.若从选定的这8名居民中

随机再抽取3名，记3人中在［10,20)年龄段的人数为X,求X的分布列及数学期望.

16.已知各项均不为零的数列｛%｝、｛4｝,且满足6=4=1,〃“+也-也+2=()，"eN\

⑴若帆｝是公比为百的等比数列，求数列｛%｝的前〃项和j：

I?

(2)若｛"｝是公差为2的等差数列，记数列一(•前〃项和为4,证明：

试卷第3页，共4页

17.已知函数/(切=足工-5也.8(力=如眨.

e

(1)证明函数/*)存在唯一零点；

(2)/(幻的零点为小，证明gaj<cT.

18.已知四棱锥尸-/出以的底面48co是平行四边形，力尸二力。=4,45=3,R1_L平面

ABCD.

(1)若平面以D与平面Q8C的交线为/,证明：8c7〃：

(2)若平面P,4QJL平面PDC.

(i)求平:面为。与平面尸8c夹角的余弦值；

(ii)判断四棱锥尸是否存在内切球，若存在，求出内切球半径；若不存在，请说

明理由.

19.对任意平面向量方=(xj),把而绕其起点沿逆时针方向旋转夕角得到向量

AP=(A-cos。-ysinXsin。+ycos6),叫做把点8绕点A沿逆时针方向旋转。角得到点P.

⑴已知平面内点4。,2),点例1+五,2-2后)，把点8绕点力沿逆时针方向旋转?后得到点

4

P，求点。的坐标；

(2)若曲线「:/一/=2上的每一点绕原点逆时针旋转^后得到曲线c.

(i)求曲线。的方程；

(ii)已知点。,£户在曲线。上按逆时针排列，OE_LZ)/且有|。国二|。9|,求直线斜率

的取值范围.

试卷第4页，共4页

1.B

【分析】根据对数性质和一元二次不等式化简集合，然后利用交集的定义运算印得.

【详解】由Iog2〉-1）G可得Ovx-142,即1VX43,故力=（1,3]：

由尤2—3X+2K0得(X—1)(L2)K0,即1。42,故5=口,2].

因此4c8=(1,2],

故选：B.

2.C

【分析】首先化简z,再根据复数代数形式的除法运算化简三，最后根据复数的几何意义

Z+1

判断即可.

【详解】因为z=&卜os：+isin：）=6（率■坐=l+i,

所以三二1二（I川-2i）=13

所以2+广1+2「（1+2。（1一名）一55'

2（13、

所以，T在复平面内对应的点为，位于第三象限.

Z+1155；

故选：C.

3.A

【分析】直接根据投影向量的定义计算可得.

【详解】因为|印=2,且,石=—3,由投影向量的定义，向量G在5上的投影向量为:

ab3

r、'Dr=---Dr.

\b\24

故选：A.

4.B

【分析】利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为/a）=：sin（2x-§+l,然后再利用

正弦函数的基本性质可求出函数/5）的最小值.

【详解】由f（x）=^sinxcosx+1--^cos2x»

根据二倍角公式得/（x）=：sin2x-亨cos2x+l=*n2——}],

答案第1页，共14页

当X一蓊时，所以一,冶哈结合正弦函数图像可知,

/\

的最小值为sin-5=T，

最大值为sin^Y，故—iSsin'-

62I”2

因此/⑴叱，斗所以/G)的最小值吗.

故选：B.

5.B

【分析】根据给定条件，利用互斥事件及相互独M事件的概率公式列式计算，再利用条件概

率公式求解.

【详解】设第一、第二、第三场单打赢对手分别为事件4B,C,

432

三场比赛中恰有两场赢对方为事件D,则P(A)==y,P(C)=

743

尸(。)=P{ABCUABCUABC)=P(ABC)+P(ABC)+P[ABC)

33241243119

—X—X--1--X—X--1——X—X—=一

74374374342

P(AD)=P{ABC\JABC)=P(ABC)+P(ABC)^-

21

所以P"Q)=喘中喂

故选：B

6.A

【分析】易知铁球的体积和圆锥形铁块的体积之和除以圆柱形水槽的底面枳即得水面上升的

高度.

【详解】根据题意可知铁球的体积和圆锥形铁块的体积之和等于上升部分水的体积，

利用体积之和除以圆柱形水槽的底面积即得水面上升的高度，

44.31A2Q

即3…故水槽中水面的高度达到了42cm.

7T-82

故选：A

7.D

【分析】定点与圆心连线垂直于直线/时，圆心到直线的距离最大，此时弦长最小.

答案第2页，共14页

【详解】因为圆C：(x-l)2+(y-2)2=4,圆心(1,2),半径,・=2,

直线/：左(％-1)-。-1)=0过定点(U),

22

则定点到圆心的距离d=A/(1-1)+(2-1)=1<2,

故定点在圆内，定点与圆心连线垂直时，此时弦长最小，

故最小值为=2百

故选：D.

8.C

【分析】由题可得心〃>1或结合对数函数，指数函数的性质依次判断各选

项即可.

【详解】因为正实数相，〃，满足〃?>〃，且可得〃?>〃>1或1>加>〃>0,

对于A选项，取加=4,/?=3,显然log3〉。，A错误；

对于B选项，取勿="〃=!即L-],显然B错误；

23〃23nm

.1.।

对于C选项，设函数InxJ，q)_工[X,令g(x)=i_——inx,则

X-\'J(x-I)2X

1_y

g'(x)=-^,g'⑴=0'

X

当xe(O,l),g'(x)>O,g(x)在(0,1)上单调递增,当xe(l,+8),8'(%)<0遮(力在(1,e)单调

递减，

又因为g⑴=0,所以g(”W0恒成立，即恒成立，即/⑴在©1),(1,+8)上均单调

递减，

所以当或1>机>”0时，/(〃?)</(〃)，即把二"〈工^,

m-1n-l

ml

由丁(〃；T)(”T))0,所以(〃-1)Inv(♦〃-1)In〃即7Ml<fj-,C正确；

选项D,取"?=!,〃=!，显然加〃+1>1,而〃?+〃<1,故2加“>2刖"，D错误.

23

故选：C.

9.AD

【分析】对于A选项求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程，对于

B,C选项求出函数的单调区间，从而得到函数的极大值点以及函数值的范围，对于D,代入

答案第3页，共14页

函数解析式验证即可求解.

【详解】对于A,/(1)=-2,/'(耳=3/-6x,/'(l)=-3,在x=l处的切线方程为

y+2=-3(x-l),化简可得y=-3x+l,故A选项正确；

对于B,/'(x)=3/—6x=3x(x—2),令/[x)=0,解得：x,=0,x2=2,

令/'(工)>0,解得：x<0或x>2,

令/'(x)<。，解得：0<A<2,

所以函数/(X)在S0)和(2,+oo)递增，在(0,2)递减，

则x=2是/(X)的极小值点，故B选项错误；

对于C,由于函数/(X)在(70,0)和(2,+00)递增,在(0,2)递减,故当-14XK1时,最小值为

/(-1)=-4,最大值为/(。)=0,所以/(x)e[-4⑼，故C选项错误：

对于D选项，由于

/(2-x)+f(x)=(2-x)y-3(2-xf+3x2

=8-12X+6.¥2-X3-12+12X-3X2+?-3X2=-4,D选项正确.

故选：AD

10.ACD

【分析】求出数据q,生M，…的平均数可判断A选项：举例可判断B选项；求出

4],a2M3,…，勺"-】、瓦力2力3,…,b?”—的中位数可判断C选项：求出M2M3尸,'>^2n-l、/，。2,…

的平均数可判断D选项.

【详解】对于A选项，设®｝的前〃项和为5.出小=也产L(2〃-l)=(2〃-l)q,

所以数据为,生,小,…的平均数是%,故A选项正确：

对于B选项，当〃=2时，取也｝为2,4,8,

平均数2为+4一+8=?14工4=4,故B选项错误；

33

对于C选项，。|,丁,叼…此时1的中位数是小，4,位阳…也一的中位数

是b〃,b“==4a02n.<卬+j"T=4"，故C选项正确；

对于D选项，数列｛q｝的前2〃-1项和为S2〃T=(2〃-1)♦%,

答案第4页，共14页

所以数列｛%｝的前2〃-1项和的平均数为守十=%,

2/7-1

数列｛"｝是各项均为正数，且公比9>1的等比数列，

所以〈…V&N，

所以｛4｝的前2/2-1项和4+&+…+bln_x<（2n-\）bln_x,

所以数列抄“｝的前2,2-1项和的平均数小于（2*1）4=',

2//-1

由C选项知，所以数列｛%｝的前2〃-1项和的平均数

比｛"｝的前2〃-1项和的平均数大，D选项正确.

故选：ACD.

11.ABC

【分析】对A川判断中点M在直线》+丁-6=。上，进血川得最小值〃：对BCD选项，先

由中点坐标公式及曲线G，曲线可得点切的轨迹方程（以P点的横坐标为参数），再

用点到直线的距离公式，并结合用导数求最小值可得.

【详解】设〃（'"）/（』,必）,。（々，%），

对于A：若动点P,。分别在直线<：x+w7=0和/2：x+y-5=0上移动，且“〃

如图:

|0+0-6|

所以尸。的中点M在直线x+y-6=0上，所以点M到原点0的距离4==3yH,

VT+T

故人选项正确

对于B：设点p在直线x+y-6=o上，点。在曲线f+/=8上,

对于直线上一个固定点?（司,必），曲线W+炉=8上一个动点。（％,稣），

中点〃（“）满足,代入f+产=8可得卜—5J+U=2,

答案第5页，共14页

=；|。尸|一场，只需再求点在直线上运动时

即对于每一个直线上的固定点P，1。%-=P

显然3330,故d考.所以B选项正确.

对于C：设点?在直线歹="3上，点。在曲线卜=/上,

2x=X[+x

线段尸。的中点为“，。为坐标原点，则2

2

2y=xt+3+e'

消去参数为，可得点用的轨迹方程为直线2x-2y-x,+*+3=0,贝修。历卜吐黑3

2V2

令8&）=炉7+3,（p\x）=eK-1,所以x<0”（、）vO,#NO，d（x）NO,

所以函数仪力在(YO,0)单调递减,在［0,+8)上单调递增,所以函》)1nhi=8(0)=4,

故,耳叶

=x/2,所以C选项正确.

2V22x/2

对于D：若动点P,。分别在卜=2工-3和曲线尸11］》--+3》_］上,

则芭=2x-%2,必=2)，一%，又必=2占—3,所以2y-%=2(2.”占)一3,

所以点〃在直线/：4x-2『-2乙+%-3=0上

：

又必=inX2-.^+3X2-1,所以点O到直线/的距离d=卜含十月二,上2-晨2T

----四+(—2)22V5

令例外=皿工--+丫-4户＞0,Mh(x)=1-2x+1=-(j-1)(2j+1),

XX

令"(x)=0,得x=l,进而可知力(X)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

所以〃(x)“⑴=-4.于是可得|0"篇=%»D选项错误.

故选：ABC

12.80

【分析】直接根据二项式定理展开式的通项公式计算可得.

【详解】因为x+4的展开式的通项为乙尸C〉x'，2-x2=2,C•产二厂=0,1,…,5,

Ix-)

令5-3r=-4,得，”3,所以—的系数是2"&=80.

答案第6页，共14页

故答案为：80

13.

3

【分析】先由焦点可得。=5=1,p=2,进而可得再由椭圆的定义可得椭圆的长

轴，从而可得离心率的值.

【详解】由焦点厂(1,0),得c=，=l,p=2,所以抛物线的方程为_/=©,准线为x=-l.

又由|P/|=x+l=＜，得了=£，所以尸佶,指)，设椭圆的左焦点为片(—1.0),

22\/

有附上福+（遥-0）2=g,故2〃=M+|PF|=H=6,可得离心率为用

14.672

【分析】根据三角形重心的几何性质、向量的数量积公式和三角形的面积公式即可求解.

【详解】如图，设出，48C的三条中线力£8巳。交于点G,则点G为出力8C的重心,

由重心的几何性质有画=各词=2后，回卜|西=2百，|司号府卜1,

在△BGC中，2不=而+沅，所以4不2=(屈+k)2=5^+2说•觉+觉2,

F）]

即4=8+12+2X2£X2£COS/8GC，解得cosNBGC=-耳，所以5出/的0=耳,

答案第7页，共14页

所以，8Gc=gpB|・|GCbin/BGC=卜2区2氐台

所以S“BC=3S&BGC=6近，即d^ABC的面积是6夜.

故答案为：6M.

15.（1）28

（2）分布列见解析，=

【分析】（1）解法1：按照30%分位数的性质，结合频率分布直方图进行求解即可；

解法2：按照30%分位数的公式，结合频率分布直方图进行求解即可；

（2）根据分层抽样的性质，结合古典概型运算公式、至合的定义、数学期望的定义进行求

解即可.

【详解】（1）由频率分布直方图可知,年龄在［10,20）的居民占的比例为10x0.010=0.1<0.3,

年龄在口0,30）的居民所占到比例为10x0.010+10x0.025=0.35>0.3,所以30%分位数位干

［20,30）内,设其为X,

贝Ijl0x0.010+（x-20）x0.025=0.3,解x=28,

所以年龄样本数据的30%分位数为28.

解法2.由频率分布直方图知，年龄在口0,20）的居民所占的比例10x0.010=0.1,年龄在［10,30）

的居民所占的比例为10x0.010+10x0.025=0.35,所以民％分位数位于［20,30）内,

所以年龄样本数据的30%分位数为28.

（2）被调查的居民年龄在［10,20）,［30,40）比例为1：3,按照分层随机抽样，［30,40）应抽取

8x^=6人，口0,20）应抽取8x^=2人.

44

设从中随机抽取的3名居民中年龄在口0.20）的人数记为x,X的可能取值为（），1,2.

”=。吟哈等嘴"=2）昔$

所以，随机变量X的分布列如下表所示:

X012

5153

P

142828

答案第8页，共14页

所以数学期望为：EW=0X±1X1|2XA=1

14+28+284

16.⑴S“=g（3”—1）

（2）证明见解析

【分析】（1）先应用已知转化为%1二界二？得出等比数列，再应用等比数列的求和公式

"/I"n

计算求解；

（2）先应用累乘法求出通项公式%=；x（4/J—l）,再应用裂项相消法计算证明.

【详解】（1）由数列｛〃“｝、也｝各项均不为零，月-。也+2=0,所以也=?，

nn

因为他｝是公比为石的等比数列，所以总=铝=3,

因为6=1,所以数列｛%｝是首项为1,公比为3的等比数列，

1x1-3"1、

所rrr以IS=—i=-(z3",-lh

"1-32V)

（2）证明：因为4=1,且｛a｝是公差为2的等差数列，所以

-，+2_2〃+3

4b”2n-\

a2〃+1a,InT%?2n-3a,9a,7a5

当〃之2,且〃cN.时,nn•^-=^-«=-；-7-

a..27?-3'%,2〃-53277-7

a35a23I

_an(2/?+l)(2n-l).1/,\

所以广二5一合一"因为%=1，所以qt=y(4〃2_i),

Gir|\l--=------=-------------=------------

an4/r-l(2〃一1)(2〃+1)2(2〃-12〃+1

所以4='+'+…+'一+—+…+----------=—।-------

q%%3352n-\2//+1J212〃+1J

因为〃wN•，备＞0,所以k|.

17.（1）证明见解析

（2）证明见解析

【分析】（1）分析函数的单调性，再结合零点存在定理证明;

（2）根据/（%）=0得到工。满足的关系式，再将g（'。）转化，最后通过研究函数的单调性来

证明不等式.

【详解】（1）函数/（x）的定义域为（0,十切，当xe［匹内）时，/（x）＞lnn+sinx＞0,（这是

答案第9页，共14页

因为sinxe[-1,1])

故函数/*)在［小+电没有零点;

当xw(O,兀)时，r(x)='+cosx,易见/'(x)在(0,兀)上是减函数,

且/'用=：>0,/'⑺=：一1<。，故存在石e俘兀,使得了(X)在(0/J上递增，在(外,兀)

上递减，

所以/(x)在(0,内)上存在唯一零点，又/(*)>/(兀)>0,所以在(西,兀)上无零点,

故/(x)在。内)上存在唯一零点.

(1\

(2)注意到了⑴=sinl>0,由⑴知存在唯一.马€1使得/(x0)=0,

1eJ

即有sin%=lnx(),故g(%)=更孕•=_算.

--In.vInx——

-Kxx»

V

：,1)时，力(x)<0.故0(x)在xw

令〃(x)=lnx--,显然当XW,1上单调递减,

所以0(X)<0-卜——p-=ee-

18.(1)证明见解析

4

(2)(i)-；(ii)不存在，理由见解析

【分析】(1)首先证明AC〃平面小。，利用线面平行的性质即可证明结论；

(2)(i)以点力为坐标原点，而所在的方向为x轴，初所在的方向为V轴，刀所在的方

向为z轴建立坐标系，分别求出平面以。与平面28C的法向量，利用向量夹角公式求解即

可；

(ii)假设四棱锥。-月88存在内切球，内切球的半径为广，根据棱锥内切球半径公式求得

'=且求出’计算球心°到平面「SC的距离"=|管|

与半径比较即可得到结论.

【详解】(1)因为底面力SCO是平行四边形，故8C〃4),8Cu平面口。，可得8C//平面

PAD,

答案第10页，共14页

又因为8Cu平面尸8C,平面尸BCn平面04)=/,所以比7〃.

(2)在平面处。内过点.4作/也_LPO于点七，

因为平面/MO_L平面P0C,所以力E_L平面尸QC,故力E_LOC,

又因为PXJLQC,又因为P/fCl力£=月，

所以。C_L平面PAD,有DC1AD.所以平行四边形ABCD为长方形.

如图所示，以点力为坐标原点，而所在的方向为x轴，在所在的方向为>轴，所在的

方向为Z轴建立坐标系.

则有/(0,0,0),0(4,0,0),仅0,3,0)/(0,0,4),C(4,3,0).取平面PAD的法向量为4=(0,1,0)，

设平面PBC的法向量为耳=(x,y,z),元=(4,0,0),而=(。,-3,4),

癖・万2=04x=0

则有，代入得,取取=(0,4,3),

［所a=0-3y+4z=0

用•用=4

设平面R1Q与平面P4C所成角为。，则cos<9=I®=5

(3)易知S^PAD=8,S'PAB=6,S4Poe=6五、S“BC=1°，S/8a>=S,

假设四棱锥P-48CZ)存在内切球，内切球的半径为八,

1|O

贝IJ有±(8+6+6拒+10+I2A厂=1x12x4,解得/•=——产.

336+V2

设内切球球心为。，根据图形特征，必有0(6+：/^，6+\?，6+\§"

______§__

80=(6+66+6

则球心O到平面PBC的距离d=管卜号，与内切球与平面P8C相切矛盾.

答案第11页，共14页

故四棱锥2-力夕。。不存在内切球.

19.⑴P(4,l)

(2)(i)y=p(ii)(-oo,-l)u(l,+o>)

【分析】(1)根据题目给的旋转角定义可得答案;

(2)(i)利用轨迹方程求法里的坐标转移法，以及题目给的旋转定义可得答案；(ii)方法

一：利用题目给的旋转的定义，点尸的坐标用点E表示出来，代入到曲线。中，运算可得

答案；方法二：设直线，分别求出|。同，|。青的弦长，利用用，列方程，可得答案.

【详解】(1)刀=(五,一2应)，设尸(%,稣)，则，A=(%一1,%一2),

x(.-\=\[lcos--(-2\^)sin—

由于逆时针旋转;，根据公式有•