小学三年级数学下册：两位数乘两位数的笔算（不进位）导学案

小学三年级数学下册：两位数乘两位数的笔算（不进位）导学案

  一、导学总领：理念、目标与逻辑架构

  本导学案立足于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养导向，针对小学三年级学生的认知发展规律，对“两位数乘两位数（不进位）”这一关键运算技能进行深度设计与重构。我们超越单一技能训练的传统模式，致力于构建一个理解算理、掌握算法、发展思维、渗透文化、联结生活五位一体的深度学习场域。本设计以“理解乘法是加法的简便运算”和“位值制”两大核心概念为基石，引导学生经历从直观模型抽象到形式算法的完整数学化过程，深刻理解“拆分—转化—重组”的运算思想，为后续学习多位数乘法及除法奠定坚实的算理与算法基础。同时，我们注重跨学科视野的融入，在数学活动中渗透历史、艺术、科技等元素，培养学生的综合素养与创新意识。

  二、学习目标体系

  （一）核心知识与技能目标

  1.在具体的问题情境中，理解两位数乘两位数（不进位）的乘法意义，能将其与“求一个数的几倍是多少”或“多个相同加数求和”建立本质联系。

  2.经历探索两位数乘两位数（不进位）计算方法的完整过程，通过点子图、面积模型等多元表征，自主探究并清晰阐释“分拆乘数、分别相乘、合并结果”的算理。

  3.掌握两位数乘两位数（不进位）笔算（竖式）的标准书写格式与计算步骤，能正确、熟练地进行计算，并具备初步的估算意识和验算习惯。

  （二）关键能力与思维目标

  1.数感与运算能力：在分拆数字与组合结果的过程中，深化对十进制计数法和位值制的理解，提升根据数字特点灵活选择策略的数感。

  2.推理意识与模型意识：通过从具体情境抽象出数学模型，并用数学符号进行表达和运算，发展初步的数学建模能力。在探究算理的过程中，进行合情推理，理解算法背后的逻辑必然性。

  3.几何直观与表征能力：借助几何直观（如面积模型），将抽象的乘法运算转化为可视化的图形操作，实现数与形的有效结合，促进对算理的深度理解。

  （三）情感态度与价值观目标

  1.在自主探究与合作交流中，体验数学知识的发生、发展过程，获得成功的积极体验，增强学习数学的自信心。

  2.感悟数学的简洁美、逻辑美和转化思想的力量，了解乘法计算发展简史，体会人类智慧的传承与创新。

  3.认识到数学是解决实际问题的有效工具，激发用数学眼光观察世界、用数学思维思考世界的兴趣。

  三、学习重难点剖析

  （一）学习重点

  1.算理的深度理解：重点是理解为什么可以将一个两位数乘两位数的乘法，转化为若干个已学过的表内乘法、整十数乘一位数及加法来逐步解决。关键在于打通“操作直观模型”、“口头表述过程”与“书写竖式步骤”之间的内在联系。

  2.算法的规范掌握：重点是掌握竖式中乘的顺序（先乘个位，再乘十位）、第二部分积的书写位置（十位对齐），以及最后将两部分积相加的完整流程。

  （二）学习难点

  1.第二部分积的定位理解：学生难以理解为什么用乘数十位上的数去乘被乘数后，得到的结果的末位要与竖式的十位对齐。这本质上是“位值制”理解的深化，即十位上的数代表几个“十”，相乘得到的是多少个“十”。

  2.算理与算法的有效融合：避免算法操作的机械记忆，确保每一步竖式计算都能对应到算理的合理解释，防止“知其然不知其所以然”。

  四、学习资源与环境准备

  （一）技术赋能资源

  1.交互式白板课件：包含动态演示点子图拆分、面积模型填充、竖式计算步骤分解的动画。

  2.学生平板或反馈器：用于课堂即时练习、数据采集与学情诊断。

  3.微视频资源：简短介绍古代“铺地锦”等乘法计算方法，拓展视野。

  （二）数学建模学具

  1.磁性或可粘贴的点子图卡片（12×12规格）。

  2.透明方格纸（用于覆盖表示面积）。

  3.学习任务单（内含结构化探究活动与分层练习）。

  （三）环境与文化创设

  1.教室布置：墙面可张贴“乘法计算发展史”图文海报、“我是计算小达人”挑战榜。

  2.分组安排：异质分组，4人一组，配备组长，明确协作探究规则。

  五、学习过程实施详案

  （一）第一阶段：预学启思——情境锚定，问题驱动(预计时长：8分钟)

  核心活动：创设真实且富有挑战性的情境，引发认知冲突，激活旧知。

  1.情境导入，提出挑战

  教师呈现真实情境：“学校图书馆为三年级同学新购了一批图书。每个图书角计划摆放14本书，三年级一共有12个班。请问，总共需要准备多少本新书？”

  引导学生提取数学信息：每份数14本，份数12份。明确问题：求总数，即求12个14是多少，列式：14×12。

  提问启思：“这个乘法算式和我们以前学的有什么不同？”引导学生对比“两位数乘一位数”和“整十数乘两位数”，明确新课题：两位数乘两位数。

  2.估算先行，发展数感

  “不精确计算，你能大致判断一下结果的范围吗？说说你的理由。”

  引导学生估算：

  *把14看作10，12看作10，10×10=100，结果比100大。

  *把14看作15，12看作10，15×10=150。

  *把14看作10，12看作15，10×15=150。

  结论：结果在100到200之间。此环节旨在培养估算意识，为后续精确计算提供粗略参照，并渗透区间思想。

  3.激活旧知，提供支架

  “我们目前‘武器库’里有哪些方法可以尝试解决14×12？”引导学生回顾：

  *连加：14+14+14……（加12次），方法可行但繁琐。

  *已学乘法：会算14×10和14×2。

  关键提问：“能否利用我们已经会算的‘14×10’和‘14×2’，来巧妙地解决‘14×12’呢？”将新问题与旧知识建立联系，指向“转化”策略。

  （二）第二阶段：共学探究——模型支撑，算理贯通(预计时长：22分钟)

  核心活动：通过多元表征，小组合作探究算法，从具体操作抽象至形式算理，最终达成算法共识。

  1.多元表征，探究算理

  任务一：图形化表征——在点子图上圈一圈，算一算。

  每组发放印有14行、12列点阵（点子图）的学习单。

  问题：“这14×12个点，你能用不同的方法将它们分块，利用已学的知识算出总数吗？”

  学生分组操作、讨论。教师巡视，捕捉典型策略。

  预设学生策略：

  *策略A（横分）：将12行分成10行和2行。先算14×10=140（10个14），再算14×2=28（2个14），最后140+28=168。

  *策略B（竖分）：将14列分成10列和4列。先算10×12=120（12个10），再算4×12=48（12个4），最后120+48=168。

  *策略C（混合分）：分成一个10×10的大块（100），一个10×2的块（20），一个4×10的块（40），一个4×2的块（8），再求和。

  请小组代表上台，在交互白板上展示自己的分法并讲解思路。引导学生发现，尽管分法不同，但核心思想一致：将未知的“两位数乘两位数”转化成若干个已知的、更简单的乘法（和加法）来计算。

  任务二：几何化表征——在面积模型中填一填，说一说。

  过渡：“点子图可以看作一个个‘点’单位。如果我们把每个点想象成一个小正方形，这整个点子图就变成了什么？”（一个长方形）。

  在白板上画出长14、宽12的长方形。

  提问：“这个长方形的面积是多少？怎么计算？”（长×宽，14×12）。

  “你能像在点子图上分块一样，在长方形中画线，把它分成几个我们熟悉的小长方形，然后算出总面积吗？”

  学生尝试。结合策略A，画出将宽12分成10和2的线，得到两个小长方形：14×10和14×2。核心追问：“为什么14×10这个小长方形的面积是140？这里的‘10’在长方形中代表什么？在乘法算式中又代表什么？”引导学生理解，宽上的“10”代表10个单位长度，用十位上的“1”（代表1个十）去乘14，得到的是14个十，即140，所以积的末位要和十位对齐。此环节是突破难点的关键，将抽象的“数位”意义与直观的“几何度量”意义相结合，为理解竖式中第二部分积的书写位置提供坚实支撑。

  2.符号化抽象，建构算法

  任务三：从操作到竖式——搭建从直观到形式化的桥梁。

  “刚才我们通过分点子图、分长方形，用‘先分后合’的办法算出了14×12=168。数学家们为了更简洁、通用地记录这种计算过程，发明了竖式。你能尝试把我们的思考过程，用竖式的形式记录下来吗？”

  让学生尝试书写。可能出现不完整或错误的竖式。

  师生共研，规范竖式：

  *第一步：写出标准竖式格式，数位对齐。

  *第二步：计算14×2（个位上的2）。问：“这对应我们刚才哪种分法中的哪一部分？”（分点子图中的2行，或分长方形中的那一小块14×2）。得出第一部分积28。

  *第三步：关键突破——计算14×1（十位上的1）。

   提问：“这个‘1’在十位上，表示多少？”（1个十，即10）。

   “14乘1个十，结果是多少？”（14个十，即140）。

   “在竖式中，如何简洁地表示140？为什么这个‘4’（140个位上的0通常省略不写，所以看到的是4）要写在十位上？”回到面积模型，14×10得到的是140，是14个十，所以代表4个十的“4”必须写在十位上。可以用不同颜色标出第二部分积所对应的面积块。

  *第四步：将两部分积相加（28+140），得到最终结果168。

  强调：竖式是记录我们思维过程的工具，每一步都有其明确的算理含义。带领学生对照点子图、面积模型，复述竖式每一步对应的实际意义。

  3.归纳概括，形成法则

  引导学生共同总结笔算方法：

  （1）相同数位对齐。

  （2）先用第二个乘数个位上的数去乘第一个乘数，得数的末位和第二个乘数的个位对齐。

  （3）再用第二个乘数十位上的数去乘第一个乘数，得数的末位和第二个乘数的十位对齐。（此处反复强调“为什么对齐十位”）

  （4）最后把两次乘得的积相加。

  （三）第三阶段：固学内化——分层应用，诊断提升(预计时长：8分钟)

  核心活动：通过结构化、分层级的练习，巩固算法，深化算理理解，并进行即时反馈与矫正。

  1.基础巩固层：算法模仿与算理复述

  练习1：仿照例题，完成竖式计算：23×31，21×43。

  要求：独立完成，并轻声向同桌解释每一步计算的意义（如：31的个位1乘23得23，表示……；十位3乘23得69个十，所以9写在十位上……）。

  练习2：改错辨析。呈现典型错误竖式（如第二部分积对错数位、漏加第二部分积等），让学生做“小医生”诊断并纠正。错误即资源，通过辨析进一步巩固正确算法。

  2.理解深化层：算理可视化与逆向思考

  练习3：根据竖式，在点子图上圈出对应的部分。给出一个正确竖式（如22×13），请学生在空白点子图上画出“分块”，并标出每部分对应的乘积。实现算法到算理的逆向回溯。

  练习4：数字谜题。在竖式中空缺部分数字，让学生根据计算逻辑推理填补。例如：已知□□×□□=□□□的竖式框架和部分数字，求乘数。

  3.即时反馈与指导

  利用学生平板或反馈器，快速收集1-2道基础题的正确率数据。针对错误率较高的点，进行集中讲评或小组互助。教师巡视，重点关注学习有困难的学生，进行个别化指导。

  （四）第四阶段：拓学延伸——文化浸润，实践迁移(预计时长：7分钟)

  核心活动：超越单纯计算，将数学知识置于更广阔的文化、历史和现实背景中，提升学习境界。

  1.数学文化链接：古人的智慧

  播放或讲述微视频《“铺地锦”与“格子乘法”》。介绍15世纪意大利的“格子乘法”（与点子图模型、面积模型异曲同工）等古代算法，让学生感受人类探索计算方法的悠久历史与智慧，体会现代竖式的简洁与优越。可以简单尝试用“铺地锦”法计算一道题，进行古今算法对比。

  2.跨学科项目式学习启航：校园中的乘法

  发布一个微项目任务：“请用你明亮的数学眼睛，在校园里（或家中）寻找可以用‘两位数乘两位数（不进位）’来解决的实际问题。”

  示例引导：

  *艺术：一幅十字绣作品，横着有32个格子，竖着有21个格子，一共有多少个交叉点？

  *体育：广播操比赛，我们年级方阵每排站24人，共站了11排，一共有多少人？

  *生活：一箱苹果有31个，食堂买了12箱，大约够多少个同学每人分一个？（结合估算）

  鼓励学生以小组为单位，进行观察、记录、计算，并在下节课进行“我的数学发现”分享。此活动旨在培养学生发现和提出问题的能力，体会数学的应用价值。

  3.思维进阶挑战（供学有余力者选做）

  *如果第二个乘数变成三位数（不进位），如14×123，你能根据今天的算理，尝试着列出竖式并计算吗？

  *研究一下“头同尾合十”等特殊算式的巧算规律，并用今天学习的算理尝试解释。

  六、学习评价设计

  （一）过程性评价（嵌入式）

  1.观察评价：在探究环节，观察学生操作学具的投入度、小组讨论的参与度、语言表达的清晰度。

  2.对话评价：通过课堂提问、追问，诊断学生对算理（尤其是第二部分积的定位）的理解深度。

  3.作品分析：对学生的学习任务单（点子图圈画、面积模型划分、竖式书写）进行分析，评估其从直观到抽象的思维水平。

  4.技术反馈：课堂练习的即时正确率数据，是调整教学节奏的重要依据。

  （二）阶段性评价（课后）

  设计一份简短的课后检测单，包含：

  *算理理解题（如：根据竖式画图解释/判断竖式对错并说明理由）。

  *算法计算题（不同层次的笔算题目）。

  *简单应用题（结合真实情境）。

  *自我反思题（如：今天我明白了…，我还有一个问题是…）。

  七、学习支持与差异化指导策略

  （一）对学习基础薄弱学生的支持

  1.前测诊断：课前通过谈话或小练习，确认其对两位数乘一位数、整十数乘整十数等预备知识的掌握情况，必要时进行个别补习。

  2.学具优先：在探究环节，鼓励他们多动手操作点子图和面积模型，建立牢固的直观表象。

  3.同伴助学：在分组时安排耐心的小导师，鼓励他们先听懂、复述同伴的思路。

  4.步骤分解卡：提供带有图示和提示语的竖式计算步骤卡，作为暂时性支架。

  （二）对学有余力学生的拓展

  1.探究引领者：鼓励他们在小组探究中尝试多种分法，并总结规律。

  2.算法探源者：深入研究“铺地锦”等古代算法，并准备向全班介绍。

  3.问题设计者：鼓励他们模仿老师，设计一个可以用两位数乘两位数解决的实际问题来考考大家。

  4.挑战任务：直接提供思维进阶挑战题，鼓励他们探索。

  八、设计反思与理论阐释

  本导学案的设计，深刻践行了“学生为中心”、“深度