两条平行线间的距离课件2025-2026学年湘教版七年级数学下册

两条平行线间的距离湘教版（2024）七年级数学下册4.6学习目标1.掌握公垂线段的概念及其性质；2.会求平行线段的距离.（重点）AB

连结两点的线段的长度叫两点间的距离M

从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.Na导入新课回顾与思考

同学们，如果要在操场上画两条平行的跑道，如何确保它们的间距处处相等？如果两条铁轨是平行的，工程师如何测量它们的距离？情境导入活动1：请各位同学用直尺量一量自己的数学课本，它的宽度是多少？你的直尺与课本的两边成什么角度？量在课本的哪个位置？大家量得的结果是一样的吗？

可以把直尺放在课本上任何一个位置，但必须保持直尺与课本的两边互相垂直，量得的结果是一样的．探究新知两条平行线间的距离ABCDl1l2

与两条平行直线都垂直的直线，叫作这两条平行直线的公垂线，这时连结两个垂足的线段，叫作这两条平行直线的公垂线段．概念学习图中的线段

AB，CD

都是平行线

l1

与

l2的公垂线段.1.如图⑴，已知

m∥n，下列哪条为公垂线_____；2.如图⑵，已知

m∥n，下列哪条为公垂线段_____.mnmnabABECDF┒┒

bCD⑴⑵练一练CD活动2：请任意画两条互相平行的直线a、b，在直线a上，任意取两点A、B.然后量出点A、B到直线b的距离，并加以比较，你能得到什么结果？AC＝DB合作探究活动3：把一把三角尺的一条直角边沿着直线b移动，请观察三角尺的另一条直角边与直线a交点处的刻度，问：刻度有改变吗？ab通过上述实验，你发现了什么？两条平行线的所有公垂线段都‗‗‗‗‗‗.相等几何语言：∵a∥b，AC⊥b，BD⊥b∴AC=BDCD定义：两条平行线的公垂线段的长度叫做两条平行线间的距离.概念学习由上述结论可一步猜测：平行线l1与l2之间的距离等于l1上任一点到直线l2的距离.思考：你可以说明这个猜想是正确的吗？

证明：如图，线段AB是两条平行线l1与l2的公垂线段，从而线段AB的长度是直线l1与l2之间的距离.如图，线段

AB是两条平行线

l1与

l2

的公垂线段，从而线段

AB

的长度是直线

l1与

l

又线段AB的长度是点A到直线l2的距离，因此，平行线l1与l2之间的距离等于直线l1上的点A到直线l2的距离.如图，设l1//l2，A，B分别为l1，l2上的任意点，连结线段AB，再过A作AC⊥l2，垂足为C，则AC是l1,l2之间的公垂线段，AB是l1,l2之间的斜线段．因为AC，AB又分别是A点到l2的垂线段和斜线段，所以AC<AB（垂线段最短）.两平行线上各取一点连经而成的所有线段中，公垂线段最短．ABCl1l2思考：你可以证明这个猜想是否正确吗？故DF=EB.又AB=DC，所以AB-EB=DC-DF，即AE=CF.

例1

如图，AB∥DC，AB=DC，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为点E，F，那么线段AE

与CF相等吗?解：因为AB∥DC，DE⊥AB，所以DE⊥DC.又AB∥DC，BF⊥CD，于是BF⊥AB.因而DE∥FB.又DF⊥DE，DF⊥FB，EB⊥DE，EB⊥FB，从而线段DF，EB都是平行线DE

与FB

的公垂线段.例2:如图，已知AD//BC，判断

与是否相等，并说明理由.解：∵AD∥BC∴△ABC与△DBC的高相等∵△ABC与△DBC的底都是BC∴△ABC与△DBC是同底等高∴S△ABC

=S△DBC练一练：如图，MN//AB，P，Q为直线MN上的任意两点，三角形PAB和三角形QAB的面积有什么关系？为什么？△PAB与△QAB面积相等∵MN∥AB，∴PM⊥AB

，QN⊥AB∴PM＝QN，∴S△PAB＝S△QAB

解：ABMNQPMN例3

如图，设a,b,c是三条互相平行的直线．已知a与b的距离为5厘米，b与c的距离为2厘米，求a与c的距离．在a上任其一点A，过A作AC⊥a，分别与b,c相交于B，C两点则AB，BC，AC分别表示a与b，b与c，a与c的公垂线段．AC＝AB+BC＝5+2＝7.AbcBCa5厘米2厘米解：因此a与c的距离是7厘米．典例精析(1)如图1,∵AB=5cm,BC=2cm,∴AC=7cmABC变式：设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b的距离为5cm,b与c的距离为2cm,求a与c的距离.解：有两种情况图1a

bcacbABC图2(2)如图2,∵AB=5cm,BC=2cm,∴AC=3cm.当堂练习

1．两条平行线的公垂线段有()

A．1条

B．2条

C．3条D．无数条

2.如图，直线AB∥CD，P是AB上的动点，当点P的位置变化时，三角形PCD的面积将（）

A.变大

B.变小

C.不变

D.变大变小要看点向左还是向右移动DC

3.两条平行线间的距离是指它们的()A．公垂线B．公垂线段C．公垂线段的长度D．以上都不对

4.已知直线m∥n，如图，下列哪条线段的长可以表示直线m与n之间的距离（）A.只有ABB.只有AEC.AB和CD均可D.AE和GF均可BC5.如图，a⊥c，b⊥c，c交a，b于A、B两点，d交AB于C、D两点，且d与c不平行，则AB

CD（填“＞”、“=”、“＜”）6.如图，长方形ABCD的宽AD的长度是2cm,点P到AB的距离是1.6cm,那么点P到CD的距离是______.

＜3.6cm8.已知a∥b∥c,a与b之间的距离为3cm,b与c之间的距离为4cm,则a与c之间的距离为

cm.7.如图，已知直线MN∥PQ，BC=4cm，若三角形ABC的面积为6cm²,则平行线MN，PQ的距离是

cm.37或1

先小组内交流收