第2课时三角形的三条内角平分线课件2025-2026学年北师大版数学八年级下册

北师大版数学8年级下册1.5第2课时

三角形的三条内角平分线第一章

三角形的证明北师大版数学八年级下册1.5第2课时

三角形的三条内角平分线

练习题班级：________姓名：________得分：________本套练习题围绕“三角形的三条内角平分线”核心内容设计，侧重三角形三条内角平分线的性质（交点到三边距离相等）、内心的定义及性质、尺规作三角形内角平分线的步骤，以及性质与作图的综合应用，贴合本节课重难点，助力掌握三角形内角平分线的特点，能规范完成尺规作图，运用内心性质解决线段相等、面积计算等问题，规避内心与外心混淆、作图步骤不规范、性质应用错误等常见错误。一、选择题（每题4分，共20分）1.三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的（

）A.外心B.内心C.重心D.垂心2.下列关于三角形三条内角平分线性质的说法，正确的是（

）A.三角形三条内角平分线的交点到三个顶点的距离相等B.三角形三条内角平分线的交点到三边的距离相等C.锐角三角形三条内角平分线的交点在三角形外部D.钝角三角形三条内角平分线的交点在三角形外部3.用尺规作三角形的内角平分线时，用到的基本作图是（

）A.作一条线段等于已知线段B.作一个角等于已知角C.作角的平分线D.作线段的垂直平分线4.下列说法中，正确的是（

）A.任意三角形三条内角平分线都相交于一点B.三角形的内心一定在三角形外部C.三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等D.三角形的内心是三角形三边垂直平分线的交点5.已知△ABC的内心为点I，ID⊥AB于点D，IE⊥BC于点E，若ID=2cm，则IE的长度为（

）A.1cmB.2cmC.3cmD.无法确定二、填空题（每题4分，共20分）1.三角形三条内角平分线相交于________点，这个点叫做三角形的________，它到三角形三条________的距离相等。2.尺规作角平分线的步骤：①以角的顶点为圆心，以任意长为半径作弧，交角的两边于两点；②分别以这两点为圆心，以大于这两点间距离________的长为半径作弧，两弧交于一点；③过角的顶点和这个交点作________，即为角的平分线。3.三角形的内心一定在三角形________（填“内部”“外部”或“边上”），它是三角形________的圆心。4.已知△ABC的内心为点I，ID⊥AC于点D，若ID=3cm，△ABC的面积为24cm²，AB+BC+AC=16cm，则△ABC的面积还可以表示为________（用ID和三角形周长表示）。5.若一个三角形的内心与外心重合，则这个三角形是________三角形。三、解答题（每题10分，共20分）1.作图与计算（写出作图步骤或完整解题过程）。（1）用尺规作△ABC三条内角平分线，保留作图痕迹，指出其内心I；（2）已知△ABC中，AB=6cm，BC=8cm，AC=10cm，其内心为I，ID⊥AB于D，求ID的长度；（3）在△ABC中，∠C=90°，内心I到AC的距离为2cm，求内心I到AB的距离及BC的长度（提示：结合直角三角形内心性质求解）。2.辨析题：判断下列说法或作图、解题过程是否正确，若不正确，请改正并说明错误原因（结合本节课知识点）。（1）判断：三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等；（2）作图：用尺规作∠AOB的平分线时，以顶点O为圆心，以固定长为半径作弧，交OA、OB于两点，再分别以这两点为圆心，以相同固定长为半径作弧，两弧交于一点，过O和该点作射线即为角平分线；（3）解题：已知△ABC的内心I到AB的距离为3cm，△ABC的周长为20cm，求△ABC的面积。解：△ABC的面积=20×3=60cm²。四、拓展题（10分）已知：在△ABC中，AD、BE是两条内角平分线，相交于点I（内心），ID⊥BC于D，IE⊥AC于E，IF⊥AB于F，求证：ID=IE=IF（提示：结合角平分线性质证明）。五、应用题（10分）某农场有一块三角形菜地ABC，现要在菜地内修建一个灌溉水泵站P，使水泵站P到三边的距离相等，用尺规作出水泵站P的位置（保留作图痕迹），并说明理由；若AB=15m，BC=12m，AC=9m，求水泵站P到AB边的距离及△PAB的面积。参考答案提示：一、1.B2.B3.C4.A5.B；二、1.一，内心，边2.一半，射线3.内部，内切圆4.1/2×(AB+BC+AC)×ID5.等边；三、1.（1）作图步骤：①分别作∠A、∠B、∠C的内角平分线（尺规作图，保留弧痕），三条角平分线的交点即为内心I；（2）△ABC是直角三角形（6²+8²=10²），面积=24cm²，由面积公式1/2×(AB+BC+AC)×ID=24，解得ID=2cm；（3）内心到三边距离相等，故I到AB的距离=2cm，直角三角形内心到直角顶点的距离可通过勾股定理求解，BC=2+2=4cm（结合直角三角形内心性质，内心到直角边的距离等于内切圆半径）；2.（1）不正确，改正：三角形的内心到三边的距离相等，到三个顶点距离相等的是外心，错误原因：混淆内心与外心的性质；（2）不正确，改正：第二步应以大于两点间距离一半的长为半径作弧，错误原因：半径过短，两弧可能无法相交或交于一点；（3）不正确，改正：△ABC的面积=1/2×周长×内心到边的距离=1/2×20×3=30cm²，错误原因：遗漏乘以1/2；四、证明：∵AD平分∠BAC，IF⊥AB，IE⊥AC，∴IF=IE（角平分线上的点到角两边距离相等），∵BE平分∠ABC，IF⊥AB，ID⊥BC，∴IF=ID，∴ID=IE=IF；五、作图：作△ABC三条内角平分线，交点即为水泵站P（保留作图痕迹），理由：三角形三条内角平分线的交点（内心）到三边的距离相等；设P到AB的距离为xm，△ABC面积=54m²，由1/2×(15+12+9)×x=54，解得x=3m；△PAB的面积=1/2×15×3=22.5m²。复习回顾角平分线的性质角平分线的判定图形已知条件结论OP

平分∠AOBPD⊥OA

于DPE⊥OB

于

EPD=PEOP平分∠AOBPD=PEPD⊥OA于

DPE⊥OB

于

EOABPDEOABPDE三角形的内角平分线1例1

如图，在△ABC

中，已知

AC

=

BC，∠C

=

90°，AD

是△ABC

的角平分线，DE⊥AB，垂足为

E.(1)如果

CD

=

4

cm，求AC

的长；(2)求证：AB＝AC＋CD.例2

如图，在△ABC

中，已知

AC

=

BC，∠C

=

90°，AD

是△ABC

的角平分线，DE⊥AB，垂足为

E.(1)如果

CD

=

4

cm，求AC

的长；EDABC解：∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE=CD=4cm(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)。∵AC=BC，∴∠B=∠BAC(等边对等角).∵∠C

=

90°，

∴∠B=×90°=45°.在等腰Rt△BDE中，∴BE=DE(等角对等边)。(2)求证：AB＝AC＋CD.证明：由(1)的求解过程易知，Rt△ACD≌Rt△AED(HL).∴AC＝AE.∵BE＝DE＝CD，∴AB＝AE＋BE＝AC＋CD.EDABC【练一练】

1.如图，已知

BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为

E，F，BE，CF

相交于点

D.若

BD=CD，求证：AD

是∠BAC

的平分线.证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD=∠CED=

90°.在

△BDF

和

△CDE

中，∠BFD

=∠CED，∠BDF

=

∠CDE，BD

=

CD，∴△BDF≌△CDE

(AAS).∴DF=

DE.又

DF⊥AB，DE⊥AC，∴AD

是∠BAC

的平分线.

剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的角平分线，观察这三条角平分线，你是否发现同样的结论？与同伴交流．结论：三角形三个角的平分线相交于一点.

怎样证明这个结论呢?试一试例2已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P.求证：∠A的平分线经过点P.D

E

F

A

B

C

P

N

M

分析：要证明∠A

的平分线经过点

P，需要什么条件？已知的两条角平分线相交于点

P，由此你能得到哪些相关的结论？∴点

P

在∠A

的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)，同理

PE=PF.∴PD=PE=PF.即∠A的平分线经过点P.D

E

F

A

B

C

P

N

M

证明：如图，过点

P分别作

PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D，E，F.∵BM

是△ABC

的角平分线，∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).结论：三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等.归纳总结【练一练】

2.如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在(

)A.△ABC

的三条中线的交点B.△ABC三边的垂直平分线的交点C.△ABC

三条角平分线的交点D.△ABC

三条高所在直线的交点CC返回2．(8分)如图所示，D，E在∠BAC两边上且AD＝AE，AG是△BAC内部的一条射线且AG⊥DE于点F。(1)求证：AG平分∠BAC；证明：∵AD＝AE，AG⊥DE，即AF⊥DE，∴AF平分∠DAE，即AG平分∠BAC。(2)分别作∠BDE和∠CED的平分线，相交于点P，求证：P在∠BAC的平分线AG上。证明：过点P作PQ⊥DE于点Q，PH⊥AB于点H，PM⊥AC于点M，如图，∵DP平分∠BDE，EP平分∠CED，∴PQ＝PH，PQ＝PM，∴PH＝PM，∴点P在∠HAM的平分线上，∵AG平分∠BAC，∴点P在∠BAC的平分线AG上。返回3．到三角形三条边距离相等的点是三角形____的交点。横线上应填(

)A．