吉林省（名校调研）2026年九年级第一次模拟测试数学试题（含解析）

吉林省（名校调研）2026年九年级第一次模拟测试数学试题（含解析）考试时间：120分钟满分：120分注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在答题卡相应位置，不得在试卷上作任何标记。2.所有答案均需填写在答题卡指定区域，写在试卷上的答案无效。3.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回，严禁携带试卷和答题卡离场。4.考试范围：九年级上册全部考点（一元二次方程、旋转、圆、概率初步），贴合吉林省九年级学情，侧重基础巩固、高频考点突破，融入生活实际情境，注重考查数学核心素养（数感、运算能力、推理能力、模型观念等），适配中考难度，无超纲题，兼顾基础与提升，助力考生适应中考节奏。一、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A.等边三角形B.平行四边形C.矩形D.正五边形2.一元二次方程x2A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法判断3.如图，⊙O的直径AB=6，点C在⊙O上，∠ABC=30°，则AC的长为（）A.3B.33C.6D.4.将抛物线y=xA.y=x−22+3B.y=x+25.一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同，随机摸出一个球后放回，再随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率是（）A.35B.625C.96.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AB'C'，若AB=2，AC=1，则线段B'C的长为（）A.3B.2C.7D.3二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）7.一元二次方程x28.若点P（-2，3）关于原点对称的点的坐标是________。9.如图，⊙O的弦AB垂直于直径CD，垂足为E，若AE=2，CE=1，则⊙O的半径为________。10.抛物线y=x11.已知一组数据1，2，3，4，5的方差是2，则另一组数据11，12，13，14，15的方差是________。12.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，若∠APB=60°，PA=2，则⊙O的半径为________。13.若关于x的一元二次方程kx14.如图，在△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE，连接AE、CD，若AE=2，则CD的长为________。三、解答题（本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（6分）解一元二次方程：x216.（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，1）、B（3，2）、C（2，4），将△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点A1、B1、C1的坐标。17.（6分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且∠ACD=∠B，求证：CD⊥AB。18.（7分）已知抛物线y=x19.（7分）一个不透明的袋子中装有4个标号分别为1、2、3、4的小球，这些小球除标号外完全相同，随机摸出一个小球记下标号后放回，再随机摸出一个小球，求两次摸出的小球标号之和为5的概率（用列表法或树状图法求解）。20.（8分）如图，在⊙O中，弦AC、BD相交于点E，且AE=CE，求证：AB=CD。21.（8分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？22.（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为直径作⊙O，交AB于点D，过点D作DE⊥BC于点E，连接OD。（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AC=4，BC=3，求DE的长。23.（10分）如图，抛物线y=−x（1）求点A、B、C、D的坐标；（2）连接CD，求直线CD的解析式；（3）点P是抛物线对称轴上的一点，当△PCD为等腰三角形时，求点P的坐标。24.（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，点A（-2，0），点C（0，2），点B在第一象限，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C，旋转角为α（0°<α<360°），连接AA'、BB'。（1）求点B的坐标；（2）求证：△ACA'≌△BCB'；（3）当α=90°时，求线段AA'的长度及直线BB'的解析式。参考答案及解析一、选择题（18分）1.C（3分）【解析】A.等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；B.平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形；C.矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形；D.正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故选C。2.A（3分）【解析】对于一元二次方程ax2+bx+c=0，判别式Δ=b2−4ac，本题中a=1，3.A（3分）【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=6，∴AC=124.A（3分）【解析】抛物线平移规律：“左加右减、上加下减”，将y=x2向右平移2个单位，得y=x−25.C（3分）【解析】第一次摸出红球的概率为35，由于摸出后放回，第二次摸出红球的概率仍为35，两次都摸到红球的概率为6.C（3分）【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，AC=1，∴BC=AB2−AC2二、填空题（24分）7.x1=0，x2=2（3分）【解析】因式分解得xx−2=0，则x=0或8.（2，-3）（3分）【解析】关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标均互为相反数，故点P（-2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，-3）。9.52（3分）【解析】设⊙O的半径为r，则OD=OC=r，CE=1，∴OE=OC-CE=r-1，∵AB⊥CD，∴AE=BE=2（垂径定理），在Rt△AOE中，由勾股定理得AE2+OE（3，-4）（3分）【解析】将抛物线解析式化为顶点式：y=x2（3分）【解析】一组数据加上同一个常数，方差不变，∵11=1+10，12=2+10，…，15=5+10，∴方差仍为2。233（3分）【解析】连接OA、OB，∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，PA=PB=2，∠OAP=∠OBP=90°，∵∠APB=60°，∴∠AOB=120°，又OA=OB，∴△AOB是等腰三角形，∠OAP=90°，在Rt△OAP中，∠OPA=30°，∴OA=PA×tan30°=2×33=2k≤1且k≠0（3分）【解析】∵方程是一元二次方程，∴k≠0，又∵方程有实数根，∴判别式Δ=−22（3分）【解析】由旋转性质可知，AB=DB，BC=BE，∠ABC=∠DBE，∵AB=AC，∴DB=AC，又∠ABC-∠ABE=∠DBE-∠ABE，即∠CBE=∠ABD，∵∠ABC=∠ACB，∠DBE=∠ABC，BC=BE，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴AE=CD=2。三、解答题（78分）15.（6分）解：因式分解得x−1x−4则x−1=0或x−4=0，（4分）解得x1=1，16.（6分）解：画图略（2分）；旋转规律：点（x，y）绕原点逆时针旋转90°后的坐标为（-y，x），（4分）∴A1（-1，1），B1（-2，3），C1（-4，2）。（6分）17.（6分）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），（2分）∴∠B+∠BAC=90°，（3分）又∵∠ACD=∠B（已知），∴∠ACD+∠BAC=90°，（4分）∴∠AEC=90°（三角形内角和为180°），即CD⊥AB。（6分）18.（7分）解：将点（1，-2）和（-1，2）代入y=x1+b+c=−21−b+c=2解得b=−2c=−1∴抛物线解析式为y=x化为顶点式：y=x−119.（7分）解：列表如下：（3分）第一次\第二次12341（1，1）和为2（1，2）和为3（1，3）和为4（1，4）和为52（2，1）和为3（2，2）和为4（2，3）和为5（2，4）和为63（3，1）和为4（3，2）和为5（3，3）和为6（3，4）和为74（4，1）和为5（4，2）和为6（4，3）和为7（4，4）和为8共有16种等可能的结果，其中两次标号之和为5的有4种，（5分）∴概率为41620.（8分）证明：∵AE=CE（已知），∠AEB=∠CED（对顶角相等），（2分）又∵∠ABE=∠CDE（同弧所对的圆周角相等），（4分）∴△AEB≌△CED（AAS），（6分）∴AB=CD（全等三角形对应边相等）。（8分）21.（8分）解：设每件衬衫应降价x元，由题意得：（1分）（40-x）（20+2x）=1200，（3分）展开得：800+80x−20x−2x整理得：x2因式分解得：（x-10）（x-20）=0，（6分）解得x1=10，∵要尽快减少库存，∴x=20，答：每件衬衫应降价20元。（8分）22.（10分）（1）证明：∵OA=OD（⊙O的半径），∴∠OAD=∠ODA，（1分）∵∠C=90°，DE⊥BC，∴DE∥AC（同位角相等，两直线平行），（2分）∴∠ODA=∠ODE（两直线平行，内错角相等），（3分）∴∠OAD=∠ODE，又∵∠OAD+∠BDE=90°，∴∠ODE+∠BDE=90°，即∠ODE=90°，（4分）∵OD是⊙O的半径，DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线。（5分）（2）解：连接CD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°（直径所对的圆周角是直角），（6分）在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，∴AB=AC由面积法得：AC×BC=AB×CD，即4×3=5×CD，解得CD=125∵DE⊥BC，∠C=90°，∠ADC=90°，∴四边形CDEO是矩形（有三个直角的四边形是矩形），（9分）∴DE=OC=1223.（10分）（1）解：令y=0，得−x2+2x+3=0，解得x∵点A在点B左侧，∴A（-1，0），B（3，0）；（2分）令x=0，得y=3，∴C（0，3）；（3分）化为顶点式：y=−x−1（2）解：设直线CD的解析式为y=kx+b，将C（0，3）、D（1，4）代入，得：（5分）b=3k+b=4，解得k=1∴直线CD的解析式为y=x+3。（7分）（3）解：抛物线对称轴为x=1，设P（1，m），（8分）CD=1−02分三种情况：①PC=CD，②PD=CD，③PC=PD，解得P（1，3+2）、（1，3-2）、（1，4+2）、（1，4-2）、（1，7224.（10分）（1）解：过点B作BD⊥y轴于点D，∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，（1分）∴∠ACO+∠BCD=90°，又∠ACO+∠CAO=90°，∴∠CAO=∠BCD，（2分）在△AOC和△CDB中，∠CAO=∠BCD∠AOC=∠CDB=90°∴