湖南省永州市祁阳市浯溪第二中学2025-2026学年九年级下学期3月阶段检测数学试题（含解析）

湖南省永州市祁阳市浯溪第二中学2025-2026学年九年级下学期3月阶段检测数学试题（含解析）湖南省永州市祁阳市浯溪第二中学2025-2026学年九年级下学期3月阶段检测数学试卷注意事项本试卷共8页，分为选择题、填空题、解答题三部分，满分120分，考试时间120分钟。答题前，考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在答题卡指定位置，核对无误后作答。所有答案均需写在答题卡上，写在试卷上的答案无效；选择题用2B铅笔填涂，非选择题用黑色签字笔书写，字迹清晰、规范，步骤完整。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。可能用到的参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732，π≈3.14，tan30°=√3/3，tan45°=1，tan60°=√3一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）下列函数中，是反比例函数的是（）

A.y=3x

B.y=3/x

C.y=3x+1

D.y=3x²

若反比例函数y=k/x（k为常数，k≠0）的图象经过点（2，-3），则k的值为（）

A.6

B.-6

C.3/2

D.-3/2

下列各组线段中，能构成直角三角形的是（）

A.2，3，4

B.3，4，6

C.5，12，13

D.4，6，7

菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的边长为（）

A.5

B.10

C.20

D.40

如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA=2，则BD的长为（）

（注：图形为矩形ABCD，对角线AC、BD交于点O）

A.4

B.3

C.2

D.1

如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠CAB=30°，则∠ABC的度数为（）

（注：图形为圆O，AB为直径，C为圆上一点，连接AC、BC）

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

已知一组数据：1，2，3，4，5，则这组数据的方差是（）

A.2

B.4

C.10

D.20

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则sinA的值为（）

（注：图形为Rt△ABC，∠C=90°，AC、BC为直角边，AB为斜边）

A.3/4

B.4/3

C.3/5

D.4/5

如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax+4的解集为（）

（注：图形为两条直线，y=2x过原点，y=ax+4与y轴交于正半轴，交于点A）

A.x＜3/2

B.x＞3/2

C.x＜3

D.x＞3

如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，AE与DF相交于点O，则下列结论：①AE=DF；②AE⊥DF；③AO=OE；④S△AOD=S四边形OEBF，其中正确的是（）

（注：图形为正方形ABCD，E、F分别为AB、BC中点，连接AE、DF交于O）

A.①②③

B.①②④

C.①③④

D.②③④

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分。把答案填在答题卡对应位置上）若点A（-2，y₁），B（1，y₂），C（2，y₃）都在反比例函数y=k/x（k＜0）的图象上，则y₁，y₂，y₃的大小关系是______。直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边上的高为______。如图，在▱ABCD中，AB=5，AD=3，AC⊥BC，则BD的长为______。

（注：图形为平行四边形ABCD，AC垂直BC）

已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为3cm，则直线l与⊙O的位置关系是______。如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，若∠APB=60°，PA=2，则⊙O的半径为______。

（注：图形为圆O，PA、PB为切线，P在圆外，连接OA、OB）

已知一组数据x₁，x₂，x₃，x₄，x₅的平均数是2，方差是1/3，则另一组数据3x₁-2，3x₂-2，3x₃-2，3x₄-2，3x₅-2的平均数是______，方差是______。如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则AC的长为______。如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，则B′C的长为______。

（注：图形为矩形ABCD，E为BC中点，折叠△ABE至△AB′E）

三、解答题（本大题共8小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（本小题满分6分）计算：√12+（π-3.14）⁰-2tan60°+（-1）²⁰²⁶。（本小题满分6分）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，求证：BE=DF。

（注：图形为平行四边形ABCD，E、F分别为AD、BC中点，连接BE、DF）（本小题满分6分）已知反比例函数y=k/x（k为常数，k≠0）的图象经过点（1，4），且与一次函数y=mx+b（m≠0）的图象相交于点A（a，2）和点B（-2，n）。

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求一次函数的解析式。（本小题满分6分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，若CD=3，BD=5，求AC的长。

（注：图形为Rt△ABC，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D）（本小题满分6分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且∠ACD=25°，求∠BAD的度数。

（注：图形为圆O，AB为直径，C、D为圆上两点，连接AC、CD、AD）（本小题满分6分）某中学为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间（单位：小时）进行了统计，整理成如下频数分布表和频数分布直方图（部分信息未给出）：

课外阅读时间频数频率1≤t＜340.13≤t＜580.25≤t＜7a0.37≤t＜910b9≤t＜11c0.15

（1）求抽取的学生总人数；

（2）求a，b，c的值；

（3）若该校共有1200名学生，估计该校一周课外阅读时间在5≤t＜7小时的学生人数。（本小题满分6分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是OC上一点，连接BE，过点A作AF⊥BE，垂足为F，AF交BD于点G。

（1）求证：△AOG≌△BOE；

（2）若AE=3，求OG的长。

（注：图形为正方形ABCD，对角线AC、BD交于O，E在OC上，AF⊥BE于F，AF交BD于G）（本小题满分6分）某商场购进一批进价为20元/件的商品，售价为30元/件时，每天可售出200件，为了扩大销售，增加利润，商场决定降价销售，经调查发现，每件商品降价1元，每天可多售出20件，设每件商品降价x元（x为正整数），每天的利润为y元。

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）每件商品降价多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？湖南省永州市祁阳市浯溪第二中学2025-2026学年九年级下学期3月阶段检测数学试卷解析一、选择题（每小题4分，共40分）B（4分）解析：反比例函数的定义为y=k/x（k为常数，k≠0），对照选项，只有B符合，A是正比例函数，C是一次函数，D是二次函数。B（4分）解析：将点（2，-3）代入反比例函数y=k/x，得-3=k/2，解得k=-6，故选B。C（4分）解析：根据勾股定理的逆定理，验证各选项：A.2²+3²=13≠4²=16；B.3²+4²=25≠6²=36；C.5²+12²=169=13²；D.4²+6²=52≠7²=49，故选C。A（4分）解析：菱形的对角线互相垂直平分，两条对角线长分别为6和8，则半对角线长为3和4，根据勾股定理，菱形的边长=√(3²+4²)=5，故选A。A（4分）解析：矩形的对角线相等且互相平分，OA=2，则AC=2OA=4，故BD=AC=4，故选A。C（4分）解析：AB是⊙O的直径，根据圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，故∠ACB=90°，又∠CAB=30°，则∠ABC=180°-90°-30°=60°，故选C。A（4分）解析：先求平均数：(1+2+3+4+5)/5=3，再求方差：[(1-3)²+(2-3)²+(3-3)²+(4-3)²+(5-3)²]/5=(4+1+0+1+4)/5=10/5=2，故选A。D（4分）解析：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理得AB=√(3²+4²)=5，sinA=对边/斜边=BC/AB=4/5，故选D。A（4分）解析：将点A（m，3）代入y=2x，得3=2m，解得m=3/2，即A（3/2，3）；观察图象，当x＜3/2时，直线y=2x在直线y=ax+4下方，即2x＜ax+4，故选A。B（4分）解析：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，又E、F分别是AB、BC中点，∴AE=BF，∴△DAE≌△ABF（SAS），∴AE=DF，①正确；②由△DAE≌△ABF，得∠ADE=∠BAE，∵∠BAE+∠AEO=90°，∴∠ADE+∠AEO=90°，∴∠AOE=90°，即AE⊥DF，②正确；③假设AO=OE，∵AE⊥DF，∴可证△AOD≌△EOF，得AD=EF，而EF是△ABC的中位线，EF=1/2AC≠AD，矛盾，③错误；④由△DAE≌△ABF，得S△DAE=S△ABF，两边同时减去S△AOF，得S△AOD=S四边形OEBF，④正确，故选B。二、填空题（每空4分，共32分）y₂＜y₃＜y₁解析：k＜0，反比例函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大；点A（-2，y₁）在第二象限，y₁＞0；点B（1，y₂）、C（2，y₃）在第四象限，且1＜2，故y₂＜y₃＜0，综上y₂＜y₃＜y₁。24/5解析：直角三角形两直角边长6和8，斜边长=√(6²+8²)=10；设斜边上的高为h，由面积相等得1/2×6×8=1/2×10×h，解得h=24/5。2√13解析：▱ABCD中，BC=AD=3，AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形，AC=√(AB²-BC²)=√(5²-3²)=4；平行四边形对角线互相平分，设AC、BD交于点O，则AO=2，BO=√(BC²+CO²)=√(3²+2²)=√13，故BD=2BO=2√13。相交解析：⊙O半径r=5cm，圆心到直线l的距离d=3cm，∵d＜r，∴直线l与⊙O相交。2√3/3解析：PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，PA=PB=2，∠OAP=∠OBP=90°；∠APB=60°，∴∠AOB=120°，又OA=OB，∴∠OAP=30°，在Rt△OAP中，tan30°=OA/PA，即OA=PA×tan30°=2×√3/3=2√3/3。4；3解析：原数据平均数为2，新数据平均数=3×2-2=4；原数据方差为1/3，新数据方差=3²×1/3=3。4解析：Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，30°角所对的直角边等于斜边的一半，故AC=1/2AB=1/2×8=4。√13解析：矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是BC中点，∴BE=EC=3；由折叠知AB′=AB=4，B′E=BE=3，设B′到BC的距离为h，到CD的距离为k，通过勾股定理或坐标法可得B′C=√[(6-4)²+(4-3)²]=√13（或直接计算：过B′作B′H⊥BC于H，得EH=√(3²-4²+...)，简化计算得B′C=√13）。三、解答题（共48分）（本小题满分6分）解：原式=2√3+1-2×√3+1（4分）

=2√3+1-2√3+1

=2（2分）（本小题满分6分）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC（2分）

∵E，F分别是AD，BC的中点，

∴DE=1/2AD，BF=1/2BC（2分）

∴DE=BF，且DE∥BF，

∴四边形BEDF是平行四边形（1分）

∴BE=DF（1分）（本小题满分6分）解：（1）将点（1，4）代入反比例函数y=k/x，得4=k/1，解得k=4（1分）

∴反比例函数的解析式为y=4/x（1分）

（2）将点A（a，2）代入y=4/x，得2=4/a，解得a=2，∴A（2，2）（1分）

将点B（-2，n）代入y=4/x，得n=4/(-2)=-2，∴B（-2，-2）（1分）

将A（2，2）、B（-2，-2）代入y=mx+b，得

$\begin{cases}2m+b=2\\-2m+b=-2\end{cases}$（1分）

解得$\begin{cases}m=1\\b=0\end{cases}$

∴一次函数的解析式为y=x（1分）（本小题满分6分）解：过点D作DE⊥AB于点E（1分）

∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，

∴DE=CD=3（角平分线的性质，2分）

在Rt△BDE中，BD=5，DE=3，由勾股定理得BE=√(BD²-DE²)=√(5²-3²)=4（1分）

设AC=AE=x，在Rt△ABC中，AC=x，BC=CD+BD=8，AB=AE+BE=x+4，

由勾股定理得x²+8²=(x+4)²（1分）

解得x=6，即AC=6（1分）（本小题满分6分）解：连接BD（1分）

∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°（圆周角定理，2分）

∵∠ACD和∠ABD所对的弧都是AD，∴∠ACD=∠ABD=25°（1分）

在Rt△ABD中，∠BAD=90°-∠ABD=90°-25°=65°（2分）（本小题满分6分）解：（1）抽取的学生总人数=4÷0.1=40（1分）

（2）a=40×0.3=12（1分）；b=10÷40=0.25（1分）；c=40×0.15=6（1分）

（3）该校一周课外阅读时间在5≤t＜7小时的学生人数估计为1200×0.3=360（人）（2分）（本小题满分6分）（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴OA=OB，AC⊥BD，∴∠AOG=∠BOE=90°（1分）

∴∠OAG+∠AGO=90°，

∵AF⊥BE，∴∠OAG+∠BEO=90°（1分）

∴∠AGO=∠BEO（1分）

在△AOG和△BOE中，$\begin{cases}∠AOG=∠BOE\\∠AGO=∠BEO\\OA=OB\end{cases}$

∴△AOG≌△BOE（AAS）（1分）

（2）解：由（1）知△AOG≌△BOE，∴OG=OE（1分）

设正