2026 年数学与应用数学（数学应用技术）试题及答案

2026年数学与应用数学（数学应用技术）试题及答案

（考试时间：90分钟满分100分）班级______姓名______第I卷（选择题共30分）答题要求：本大题共10小题，每小题3分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将正确答案的序号填在题后的括号内。w1.已知集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x²+ax+a-1=0}，若A∪B=A，则实数a的值为（）A.2B.1或2C.1D.1或-2w2.函数y=log₂(x²-4x+3)的单调递增区间是（）A.(3,+∞)B.(2,+∞)C.(-∞,2)D.(-∞,1)w3.若sinα=3/5，α∈(π/2,π)，则tan(α+π/4)=（）A.-1/7B.7C.1/7D.-7w4.已知向量a=(1,2)，b=(-2,m)，若a⊥b，则m=（）A.1B.-1C.4D.-4w5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.16+8πB.8+8πC.16+16πD.8+16πw6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a₃+a₇=10，则S₉=（）A.18B.27C.36D.45w7.若函数f(x)=x³-3x²+a在区间[-1,1]上的最大值是\(2\)，则实数a的值为（）A.1B.2C.3D.4w8.已知双曲线\(x²/a²-y²/b²=1\)（a>0，b>0）的一条渐近线方程为y=3x，则该双曲线的离心率为（）A.\(\sqrt{10}/3\)B.\(\sqrt{10}\)C.\(\sqrt{7}/3\)D.\(\sqrt{7}\)w9.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)（A>0，ω>0，|φ|<π/2）的部分图象如图所示，则f(x)的解析式为（）A.f(x)=2sin(2x+π/6)B.f(x)=2sin(2x-π/6)C.f(x)=2sin(x+π/6)D.f(x)=2sin(x-π/6)w10.已知点P是抛物线y²=4x上的动点，点P到y轴的距离为d，点A(4,5)，则|PA|+d的最小值为（）A.5B.4C.\(\sqrt{41}\)D.\(\sqrt{41}-1\)第II卷（非选择题共70分）w11.（本题10分）已知函数f(x)=x²-2ax+1，g(x)=x/a（x>0），其中a>0。（I）若a=1，求函数h(x)=f(x)-g(x)的最小值；（II）若对任意的x₁，x₂∈[1,2]，f(x₁)≥g(x₂)恒成立，求实数a的取值范围。w12.（本题12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an-n。（I）求数列{an}的通项公式；（II）若数列{bn}满足bn=log₂(an+1)，求数列{bn}的前n项和Tn。w13.（本题12分）如图，在四棱锥P-ABCD中底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，E，F分别是PB，PD的中点。（I）求证：EF∥平面ABCD；（II）求三棱锥P-AEF的体积。w14.（本题13分）已知椭圆C：\(x²/a²+y²/b²=1\)（a>b>0）的离心率为\(\sqrt{3}/2\)，且过点(2,1)。（I）求椭圆C的方程；（II）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于A，B两点，点Q(1,1)是弦AB的中点，求直线l的方程。w15.（本题13分）已知函数f(x)=ex-ax²-bx-1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数。（I）设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值；（II）若f(1)=0，函数f(x)在区间(0,1)内有零点，求a的取值范围。答案：w1.B；w2.A；w3.A；w4.A；w5.A；w6.D；w7.B；w8.B；w9.A；w10.D；w11.（I）当a=1时，h(x)=x²-2x+1-1/x，\(h^\prime(x)=2x-2+1/x²=(2x³-2x²+1)/x²\)，令\(h^\prime(x)=0\)，得\(2x³-2x²+1=0\)，设\(y=2x³-2x²+1\)，\(y^\prime=6x²-4x=2x(3x-2)\)，在\((0,+∞)\)上，\(y\)先减后增，\(y(1)=1>0\)，\(y(\frac{1}{2})=\frac{1}{4}>0\)，所以\(h(x)\)在\((0,+∞)\)上先减后增，\(h(x)_{min}=h(1)=0\)。（II）\(f(x)=x²-2ax+1=(x-a)²+1-a²\)，对称轴为\(x=a\)，当\(0<a<1\)时，\(f(x)_{min}=f(a)=1-a²\)，\(g(x)=x/a\)在\([1,2]\)上单调递增，\(g(x)_{max}=g(2)=2/a\)，由\(1-a²≥2/a\)，得\(a³+2a-1≤0\)，设\(y=a³+2a-１\)，\(y^\prime=3a²+2>0\)，\(y(0)=-1<0\)，\(y(1)=2>0\)，无解；当\(a≥１\)时，\(f(x)\)在\([1,2]\)上单调递减，\(f(x)_{min}=f(2)=5-4a\)，\(g(x)_{max}=g(2)=2/a\)，由\(5-4a≥2/a\)，得\(4a²-5a+2≤0\)，无解；当\(a≤1\)时，\(f(x)\)在\([1,2]\)上单调递增，\(f(x)_{min}=f(1)=2-2a\)，\(g(x)_{max}=g(2)=2/a\)，由\(2-2a≥2/a\)，得\(a²-a+1≤0\)，无解，综上\(a\)的取值范围是\((0,\frac{1+\sqrt{5}}{2}]\)。w12.（I）当\(n=1\)时，\(S₁=2a₁-1\)，得\(a₁=1\)，当\(n≥2\)时，\(an=Sn-Sn-1=2an-n-[2an-1-(n-1)]\)，整理得\(an=2an-1+1\)，\(an+1=2(an-1+1)\)，所以\(\{an+1\}\)是以\(2\)为首项，\(2\)为公比的等比数列，\(an+1=2^n\)，\(an=2^n-1\)。（II）\(bn=log₂(an+1)=n\)，\(Tn=1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+p)}{2}\)。w13.（I）因为E，F分别是PB，PD的中点，所以EF∥BD，又BD⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，所以EF∥平面ABCD。（II）\(PA=AB=2\)，\(E\)是\(PB\)中点，所以\(AE=\sqrt{2}\)，同理\(AF=\sqrt{2}\)，\(EF=\sqrt{2}\)，\(S_{\triangleAEF}=\frac{1}{2}\times\sqrt{2}\times\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(PA⊥\)平面ABCD，所以\(V_{P-AEF}=\frac{1}{3}S_{\triangleAEF}\cdotPA=\frac{1}{3}\times\frac{\sqrt{2}}{2}\times2=\frac{\sqrt{2}}{3}\)。w14.（I）由离心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(a²=b²+c²\)，过点\((2,1)\)，得\(\frac{4}{a²}+\frac{1}{b²}=1\)，联立解得\(a²=8\)，\(b²=2\)，椭圆方程为\(\frac{x²}{8}+\frac{y²}{2}=1\)。（II）设\(A(x₁,y₁)\)，\(B(x₂,y₂)\)，代入椭圆方程得\(\begin{cases}\frac{x₁²}{8}+\frac{y₁²}{2}=1\\\frac{x₂²}{8}+\frac{y₂²}{2}=1\end{cases}\)两式相减得\(\frac{(x₁+x₂)(x₁-x₂)}{8}+\frac{(y₁+y₂)(y₁-y₂)}{2}=0\)，因为\(Q(1,1)\)是弦AB中点，则\(x₁+x₂=2\)，\(y₁+y₂=2\)，所以\(\frac{y₁-y₂}{x₁-x₂}=-\frac{1}{2}\)，直线\(l\)的方程为\(y-1=-\frac{1}{2}(x-1)\)，即\(x+2y-3=0\)。w15.（I）\(g(x)=f^\prime(x)=ex-2ax-b\)，\(g^\prime(x)=ex-2a\)，当\(2a≤1\)即\(a≤\frac{1}{2}\)时，\(g^\prime(x)≥0\)，\(g(x)\)在\([0,1]\)上单调递增，\(g(x)_{min}=g(0)=1-b\)；当\(2a≥e\)即\(a≥\frac{e}{2}\)时\(g^\prime(x)≤0\)；\(g(x)\)在\([0,1]\)上单调递减，\(g(x)_{min}=g(1)=e-2a-b\)；当\(\frac{1}{2}<a<\frac{e}{2}\)时，令\(g^\prime(x)=0\)得\(x=ln(2a)\)，\(g(x)\)在\([0,ln(2a)]\)上单调递减，在\([ln(2a),1]\)上单调递增，\(g(x)_{min}=g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b\)。（II）\(f(1)=e-a-b-1=0\)，\(b=e-a-1\)，\(f(x)=ex-ax²-(e-a-1)x-1\)，\(f(0)=0\)，\(f(1)=0\)设\(h(x)=ex-ax²-(e-a-1)x-1\)，\(h^\prime(x)=ex-2ax-(e-a-1)\)，\(h^\prime(0)=2-e<0\)，\(h^\prime(1)=0\)，\(h^{\prime\prime}(x)=ex-2a\)，若\(a≤\frac{1}{2}\)，\(h^{\prime\prime}(x)≥0\)，\(h^\prime(x)\)在\((0,1)\)上单调递增，\(h^\prime(x)<h^\prime(1)=0\)，\(h(x)\)在\((0,1)\)上单调递减，\(h(x)<h(1)=0\)，无零点；若\(a≥\frac{e}{2}\)，\(h^{\prime\prime}(x)≤0\)，\(h^\prime(x)\)在\((0,1)\)上单调递减，\(h^\