2026届湖南雅礼中学高三下学期开学考数学试题含答案

湖南长沙市雅礼中学2025-2026学年高三下学期开学考试数学试题1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共是符合题目要求的..-1,与的夹角为θ,则）4.下列结论中，错误的是()D.根据分类变量X与Y成对样本数据，计算得到x2=9.632，依据小概率值a=0.001的x2独立性检验(x0.001=10.828)，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001为圆柱．现测得底部直径为6cm，上部直径为12cm，茶杯侧面与杯杯壁厚度忽略不计）约为单位：cm3） A.τB.19τC.D.63τ6.已知sin，tana=2tan则sin）A.-B.C.D.围是()恰好能表示出12个不同的椭圆方程，则N的一个可能取值为()9.已知函数=Asin的部分图象如图所示，若将函数f(x)的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列命题正确的是()A.函数f(x)的解析式为=2sinB.函数g(x)的解析式为=2sinC.函数g(x)在区间上单调递增D.函数f(x)图象的一条对称轴是直线 C的准线相切于点D．若AD=3BD，则下列说法正确的是().13.已知双曲线Γ的左、右焦点分别为F1、F2，点P(4,2)，点Q(x0,y0)是第一象限内双曲______证明过程或演算步骤.证明：数列是等差数列；n沿BD翻折，使得平面ABD丄平面BCD.（2）在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.游戏.规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题.若答题正确，则将罐无球.*,n值；若不存在，试说明理由.（2）直线l:x=4与x轴交于点M,B为l上的动点，过B作C的两条切线，分别交y轴于点P,Q.②eN经过B,P,Q三点，是否存在点B，使得ÐPNQ=90o？若存在，求BM；若不存在，请说明理axax.②若x1.x>em+1恒成立，求m的取湖南长沙市雅礼中学2025-2026学年高三下学期开学考试数学试题1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共是符合题目要求的.【答案】D【解析】【分析】先化简复数，再利用复数的几何意义求解.1-i-=2-i，.【答案】A【解析】.已知向量a=-1,3,b=2,-3,a与b的夹角为θ,则sin2.已知向量a=-1,3,b=2,-3,a与b的夹角为θ,则sin2【答案】C【解析】【分析】先由题意依次求出.、ii和，进而由向量夹角余弦公式求出cosθ,再根据三角函数诱导4.下列结论中，错误的是()D.根据分类变量X与Y成对样本数据，计算得到x2=9.632，依据小概率值a=0.001的x2独立性检验=10.828)，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001【答案】D【解析】【分析】A选项，将数据排序后，根据百分位数的定义得到答案；B选项，由正态分布的对称性得到答案；00B选项，因为ξ~N(1,σ2)，根据对称性可知P(ξ≥为圆柱．现测得底部直径为6cm，上部直径为12cm，茶杯侧面杯杯壁厚度忽略不计）约为单位：cm3）【答案】D【解析】【分析】圆台的体积即为该茶杯容量，求出圆台的高，进而利用圆台体积公式求出答案.过点A,B分别作AE⊥CD，BF⊥CD于点E,F，23.6.已知sin(a+β)=，tana=2tanβ,则sin(a-β)=()A.-B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先切化弦，得到sinacosβ=2cosasinβ,再结合两角和与差的正弦公式可求值.【详解】由tana=2tanβÞ=2.Þsinacosβ=2cosasinβ.所以sin(a-β)=sinacosβ-cosasinβ=2-1=1.D.(-∞,-1)【答案】D【解析】小值，即可得答案.【详解】由于函数f(x)=2-x-2x，定义域为R，满足f(-x)=2x-2-x=-f(x)，得f(x)是奇函数，且在R上为减函数.(0,+∞)上恒成立，:f(ax+1)>-f(lnx)=f(-lnx)在(0,+∞)上恒成:ax+1<-lnx在(0,+∞)上恒成立，:a<-在上恒成立.:g(x)≥g(1)=-1,:a<-1，即a的取值范围为(-∞,-1)，恰好能表示出12个不同的椭圆方程，则N的一个可能取值为()【答案】C【解析】【分析】由于椭圆的系数是从C,C,C,…C,中选两个不同的数的排列，所以分N为偶数和N为奇数研究，从而得解.当N为偶数时，去掉重复的数有+1个数C则任取两个数的排列数为个，当N为奇数时，去掉重复的数有个数C9.已知函数f(x)=A的部分图象如图所示，若将函数f(x)的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列命题正确的是()A.函数f(x)的解析式为=2sinB.函数g(x)的解析式为=2sinC.函数g(x)在区间[π,]上单调递增D.函数f(x)图象的一条对称轴是直线【答案】ABC【解析】可求出φ的值，从而可求出函数解析式，对于B，由三角函由2kπ-≤2x-≤2kπ+求出g的增区间进行判断即可，对于D，将x=-代入f(x)中验证是否能取得最值.若其纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，所得到的函数故函数g(x)的单调增区间是,kπ+f(x)不取最值，故x=-不是函数f(x)的一条对称轴,所以D项不正确.C的准线相切于点D．若AD=3BD，则下列说法正确的是()【答案】ACD【解析】【分析】根据给定条件，作出几何图形，结合抛物线的定义逐项分析判断得解.AF,FB，如图，【答案】AB【解析】P,N分别是C1D1,C1C中点，则PN//CD1，所以PN//A1B，即A1,P,N,B四点共面，当Q与A1重因为M,N分别是AA1,CC1中点，则A1M与C1N平行且相等，A1C1NM是平行四边形，所以MN//A1C1，又P是C1D1中点，所以PQ//A1C1，所以PQ//MN，MNÌ平面BMN，PQË平面BMN，所以PQ//平面BMN，B正确；选项C，正方体中，M,N分别是AA1,CC1中点，则MN//A1C1//AC，Q在A1D1上，如图，作QE//A1C1交C1D1于E，连接EN，延长交DC延长线于点K，连接QM延长交DA延长线于点T，连接TK交AB于点G，交BC于点F，QENFGM为所过M,N,Q三点的截面，由正方体的对称性可知梯形QENM与梯形FGMN全等，设D1Q梯形QENM是等腰梯形，高为h=f(x)在[0,2]上递增，f(x)max=f(2)=32，f(x)min=f(0)=24，取BB1中点U，DD1中点V，连接MV,MU,NV,NU，则MUNV-ABCD是正四棱柱（也是长方.【解析】【分析】先根据已知求出b=ae-2,a>再ì10当且仅当Þa=1时取等号，13.已知双曲线Γ的左、右焦点分别为F1、F2，点P(4,2)，点Q(x0,y0)是第一象限内双曲______【答案】8【解析】FQF1F2F1FF得P在ÐQF1FQF1F2F1差即可.【详解】F又EF1【解析】22-2bccosA，所以bc=c2-2bccosA，故b=c-2bcosA，即sinB=sin(A-B)，2B2B-3，ìï0ïìï0ïïï因为VABC是锐角三角形，所以í0ïτïτï所以VABC的周长的取值范围为(3,3).证明过程或演算步骤.15.已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且an（2）2n2+3n【解析】-12，S1S1当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1，所以an=2n-1,nT22n2n2n-S2n-1)-(a1-a2+…-a2n)22n-(a1-a2+…-a2n)22n)22n2沿BD翻折，使得平面ABD丄平面BCD.（2）在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.（2）存在点N，此时【解析】因为平面ABD丄平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，且CDÌ平面BCD，又因为ABÌ平面ABD，因为CD丄平面ABD，且BDÌ平面ABD，所以CD丄BD，，假设存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60o，设=λ,（其中0≤λ≤1则N(2-2λ,2λ,0)，=(1-2λ,2λ,-1)，整理得+2λ-1=0，解得λ=或λ=-所以在线段BC上存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°,此时.游戏.规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题.若答题正确，则将罐无球.**值；若不存在，试说明理由.）；【解析】正确”，i=1,2,3，记Bj=“第j次摸出黑球，并且答题正确（2）第n次后游戏停止的情况是：前n-1次答题正确恰好为4次，答题错误n-5次，且第n次摸出一球时答题正确，即可直接得到an，结合概率的性质，即可记M=“此人三次答题后，乙罐内恰有红、黑各一球”，记Bj=“第j次摸出黑球，并且答题正确”，j=1,2,3，C2B3A2B3所以P(A1B2C3)=P(A1B2).P(C3AB2).P(B2A.P(C3AB2)①第n次后游戏停止的情况是：前n-1次答题正确恰好为4次，答题错误n-5次，且第n次摸出一球时答题正确，②由①知，an=C， 67TF1TFTF2TF（2）直线l:x=4与x轴交于点M,B为l上的动点，过B作C的两条切线，分别交y轴于点P,Q.②eN经过B,P,Q三点，是否存在点B，使得ÐPNQ=90o？若存在，求BM；若不存在，请说明理 （2）①证明见解析；②存在，BM=7【解析】（2）设直线的方程为y-t=k(x-4)，将直线方①根据直线与椭圆的位置关系，由Δ=0可以得到关于k的一元二次方程，根据韦达定理，可得kBP+kBQ=再得所以直线BP,BF2,BQ的斜率成等差数列.法二：分别用k1,k2表示出P,Q,N的坐标，结合①中的k1+k2，k1.k2，根据求t的值 法四：分别用k1,k2表示出P,Q,N的坐标，结合①中的k1+k2，k1.k2，根据cosÐPBQ=求t的值即可.TF1TFTF2TFFFFF-c2设B(4,t)，易知过B且与C相切的直线斜率存在，设直线方程为y-t=k(x-4)，联立24k2①证明：设BF2的斜率为k3，则k3=因为k1,解得N(2k1k2 易得BP的中点为(2,t-2k1)，所以BP的中垂线为+t-2k1， PQN2-k2， PQN2 k1-k2k2从而itanÐPBQk1-k2k2 cosÐPBQ=.=.在y-t=k1(x-4)中，令x=0，得yP=t-4k1，故P(0,t-4k1)，同理可得Q2，在y-t=k1(x-4)中，令x=0，得yP=t-4k1，故P(0,t-4k1)，同理可得Q(0,t- 222(2