2025-2026学年专题08圆（北京专用）中考数学一模试题分类汇编 有解析

//2025-2026学年专题08圆（北京专用）中考数学一模试题分类汇编一、填空题

1.如图，，都是的切线，切点分别为，若，那么的度数是___________．

2.将一个量角器与一把无刻度透明直尺如图所示摆放，直尺的边与量角器分别交于点，，，，点，点分别对应量角器的刻度为，，若量角器的直径的长为，则点到的距离为________________．

3.如图，在由边长为的小正方形组成的网格中，点都在格点上，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则扇形的面积为______________．

4.如图，是的直径，是的弦，与交于点，若为中点，，，则______________．

5.如图，是的直径，点，在上，，若，则_________________．

6.如图，是的直径，弦于点，连接，若，则的度数为_________________．

7.如图，的直径平分弦（不是直径）．若，则的大小为____________．

8.如图，的直径平分弦（不是直径）．若，则________________．

二、解答题

9.如图，内接于，，过点作的切线交延长线于点，是的直径．

（1）求证：；（2）若，，求的长．

10.如图，，是的直径，点在上，连接交于点，连接交于点．

（1）求证：；（2）过点作的切线交的延长线于点．若，求的长．

11.如图，在中，为直径，为弦，，垂足为，过点作的切线，与的延长线交于点．

（1）求证：；（2）若的半径为，，求的长．

12.如图，是的直径，点在上，交于点，过点作的切线交的延长线于点．

（1）求证：；（2）过点作交于点．若，，求半径的长．

13.如图，是的直径，，交于点，过点作的切线交于点．

（1）求证：；（2）过点作交的延长线于点．若，，求的长．

14.如图，是的内接三角形，，点在的延长线上，．

（1）求证：是的切线；（2）若，，求半径的长．

15.如图，是的直径，点在上，连接，作直线，交直线于点，交的角平分线于点，连接．

（1）求证：是的切线；（2）连接交于点．若，，求的半径．

16.如图，为的直径，点为外一点，，连接交于点，连接，过作的切线交的延长线于点．

（1）求证：；（2）若，求的长．

17.如图，是直径，点是上一点，是切线，连接交于点，．

（1）求证：；（2）若，，求的长．

18.如图，是的外接圆，是的直径，点是的中点，连接，分别与交于点．

（1）求证：；（2）过点作的切线交的延长线于点．若，求半径的长．

19.如图，在中，，以为直径作交于点．点在线段上，．连接并延长交于．

（1）求证：；（2）连接交于点．若，，求的半径．

20.如图，在中，，点在上，以为直径作与相切于点，连接并延长交的延长线于点．

（1）求证：；（2）若，，求的半径的长．

答案与试题解析2025-2026学年专题08圆（北京专用）中考数学一模试题分类汇编一、填空题1.【正确答案】此题考查了切线的性质，四边形的内角，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．

由，都是的切线，可知，，再由四边形的内角和即可解答．解：，都是的切线，

，，

，

故．2.【正确答案】本题主要考查了角的度量、等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等知识点，掌握这些基础知识点是解题关键．

连接，过点作于点，根据题意得出，再由等边三角形的判定和性质得出为等边三角形，，结合三线合一及勾股定理求解即可．解：如图：连接，过点作于点，

点，点分别对应量角器的刻度为，，

，

，

为等边三角形，

直径的长为，

，

，

，

，

点到的距离为，

故．3.【正确答案】本题考查了勾股定理及逆定理，扇形的面积计算等知识点，掌握扇形的面积计算公式是解题的关键．

连接，根据勾股定理求出，，，得到，，，推出是直角三角形，，得到，求出，即可得到答案．解：如图，连接，

由题意得，，，

，，，

，

是直角三角形，，

，

，

故．

4.【正确答案】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键．

连接，得到，，，求出，得到，求出．解：如图，连接，

是的直径，为中点，

，，，

，

，

，

．

故．

5.【正确答案】本题考查了圆和三角形．熟练掌握圆周角定理推论，等腰三角形性质，是解答该题的关键．

利用直径所对的圆周角是直角可得，由等腰三角形的性质推知．解：是的直径，

，

；

又，

；

，

，

，

．

故

6.【正确答案】连接，由圆周角定理求出的度数，再由垂径定理和圆心角、弧、弦的关系得到的度数，从而求出的度数即可．本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．解：如图，连接．

，

，

弦，

，

，

．

故．7.【正确答案】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弦、弧的关系．熟练掌握垂径定理是解题的关键．

根据圆周角定理得出，根据垂径定理求出，根据在同圆中，等弧所对的圆心角相等即可求解．解：连接，如图：

，，

，

直径平分弦，

，

．

故．8.【正确答案】度本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理和圆周角定理．

利用垂径定理得出，求得，再利用圆周角定理即可求解．解：的直径平分弦，

，

，

，

故．二、解答题9.【正确答案】见解析（1）连接并延长，交于点，连接，利用切线的性质定理得到，利用圆周角定理得到，再利用平行线的判定定理解答即可；（2）连接，过点作于点，利用平行线的性质和直角三角形的边角关系定理求得，利用圆周角定理，圆的切线的性质定理和矩形的判定与性质，正方形的判定与性质得到，利用直角三角形的边角关系定理和勾股定理求得，则结论可求．（1）解：证明：连接并延长，交于点，连接，如图，

则为的直径，

为的切线，

，

，

，

．

，

，

，

，

；（2）解：连接，过点作于点，如图，

，

，

．

是的直径，

，

，

，

，

，

，

，

四边形为矩形，

，

四边形为正方形，

，

，，

，

设，则，

，

，

．

．10.【正确答案】见解析的长为．（1）证明，利用垂径定理即可证明；（2）设，则，，证明，推出，，求得，，得到，据此求解即可．（1）解：证明：连接，

则，

，

，

，

，

；（2）解：由知，

，

，

设，则，，

是的切线，是的直径，

，

，

，，

，，

即，，

，，

，

整理得，

解得，

，，

在中，由勾股定理得，

即，

整理得，

，

，

，即的长为．11.【正确答案】见解析（1）由于点，得，由切线的性质得，即可由，，且，证明；（2）由的半径为，得，因为，所以，由，求得，则．（1）解：证明：，垂足为，

，

与相切于点，

，

，

，，且，

．（2）解：的半径为，，

，

，，

，

，

，

，

的长是．12.【正确答案】见解析（1）延长交于，先证明，，则可证明四边形是矩形，得到，再证明，推出，即可证明；（2）先证明，得到，即，设，则，，解直角三角形得到；，则，由相似三角形的性质得到，由矩形的性质得到，据此建立方程求解即可．（1）解：证明：如图所示，延长交于，

是的切线，

，

，

，

是的直径，

，

四边形是矩形，

，

，

，

，

，

，

，即；

（2）解：，

，

，

，

，

，

，

设，则，

，

，

；

，

；

，

，

，

，

四边形是矩形，

，

，

解得，

，

半径的长为

13.【正确答案】见解析；．（1）连接，利用等腰三角形的性质得到，继而得到，根据切线的性质得到，得出，即可得到结论；（2）连接，得到，继而得到，求出，．得到．（1）解：证明：如图，连接，

，

．

，

．

．

．

．

是的切线，

．

．

．

．

（2）解：如图，连接．

是的直径，

．

，

是的中点．

．

，

．

，，

，，

．14.【正确答案】是的切线（1）先利用圆周角定理证得，再根据平行线的性质，求得，然后利用切线的判定得出结论；（2）先证明，再根据相似三角形的性质，列出比例式，设，接着用表示出，然后利用勾股定理求得，代入比例式中，求得，再利用线段的和求得，得到关于的方程，求出，最后求出．（1）解：证明：如图，连接．

，

．

，

．

是半径，

是的切线．（2）设与相交于点．

，

．

，

．

，

，

．

，

．

设，则．

在中，．

．

．

．

，

，

．

．15.【正确答案】见解析；．（1）由角平分线的定义以及已知条件可证明可得，进而得到即可证明结论；（2）如图：连接．易证可得、，进而得到，易证可得，则、、，根据特殊角的三角函数值可得，则，进而得到，然后求得即可解答．（1）解：证明：平分，

．

，

．

．

，垂足是，

．

．

半径．

是的切线．（2）解：如图：连接．

．

，

．

．

，，

，

．

．

，

．

，

．

．

，

，

，

，即的半径为．16.【正确答案】见详解（1）由，得，由，得，所以，则；（2）连接，作于点，由为的直径，得，由，，且，得，，可求得，由，求得，则，可证明，则，所以．（1）解：证明：，

，

，

，

，

．（2）解：连接，作于点，

则，

为的直径，

，

，，且，

，，

，

与相切于点，

于点，

，

，

则

的长为．17.【正确答案】见解析（1）切线的性质，得到，进而得到，圆周角定理结合已知条件推出，进而得到，即可；（2）解，求出的长，进而求出的长，连接，圆周角定理得到，根据，求出的长即可．（1）解：证明：是切线，

，

，

，，

，

，

，

；（2），

，

，

，

，

，

，

，

连接，则：，

，

．

18.【正确答案】见解析（1）证明和，得到，即可得到结论；（2）证明，得到，设，得到，则，由即可求出答案．（1）解：证明：点是的中点，

，

．

，

．

，

．（2）解：如图，

，

，

，

设，

是的直径，

，

，

于点，

，

是的中位线，

，

，

是的切线，

，

，

，

，

半径的长为

19.【正确答案】见解析（1）连接，设，先证明，然后根据垂直平分线的性质定理证明，再逐步求得，即得答案；（2）连接，先证明，接着证明，即得和，从而可得，继续证明是等边三角形，最后利用直角三角形的性质，即可求得答案．（1）解：证明：如图，连接，设，

是的直径，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

；

（2）解：如图，连接，

由可得，，

，

，

，

，

是的直径，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，