2025-2026学年湖南省长沙市某校八年级下册收心练习数学试卷 有答案

//2025-2026学年湖南省长沙市某校八年级下学期收心练习数学试卷一、单选题

1.计算(−x)3A.x5 B.x6 C.−x5

2.下列二次根式中，是最简二次根式的是（

）A.4 B.5 C.12 D.

3.二次根式x−3有意义的条件是（A.x>3 B.x>−3 C.

4.石墨烯是世界上目前最薄却也最坚硬的纳米材料，还是导电性最好的材料，其理论厚度仅为0.00000000034米，该厚度用科学记数法表示为（

）A.0.34×10﹣9米 B.34.0×10﹣11米 C.3.4×10﹣10米 D.3.4×10﹣9米

5.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90∘，分别以AB、BC、AC为边向外作正方形，若三个正方形的面积分别为225、400、S，则SA.25 B.175 C.600 D.625

6.如图，在RtΔOBC中，OC=1，OB=2，以点B为圆心，BC为半径画弧交数轴于点A．点O为原点，点A所表示的数为a，则aA.−5−2 B.−5 C.

7.把分式xyx+y中的xA.扩大10倍 B.扩大100倍 C.缩小10倍 D.不变

8.如图，用直尺和圆规作已知角的平分线，则说明OC为∠AOB的平分线的依据是（

）A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS

9.已知某多边形的内角和等于外角和的2倍，则该多边形的边数是（

）A.6 B.7 C.4 D.5

10.如图，在等边ΔABC中，D为边AC中点，AB=2，点P为线段BD上一动点，连接AP，则2APA.23 B.2 C.3 二、填空题

11.比较大小：23______________

12.分式12x2

13.因式分解：x2

14.已知m+n=2，mn=﹣2，则（1+m）（1+n）的值为________．

15.如图，在ΔABC，∠C=90∘,∠B=30∘,DE垂直平分AB

16.若分式方程kxx−1−1三、解答题

17.计算：(

18.先化简，再求值：5a+3+a2−

19.已知：x=2+（1）x（2）x

20.为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地，如图所示的四边形ABCD进行改建，将四边形ABCD全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板，已知运动型塑胶地板每平方米150元．经测量∠B=90∘

21.如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G（1）求证：△ABC（2）若AE=8，AB=10，GC=2

22.“你好！我是豆包，很高兴见到你！我能为你提供多种服务，比如解答各类知识疑问、陪你聊天解闷、协助进行内容创作等”．人工智能从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋、好助手”．某设计工作室自使用豆包后，每名设计员每天比原来多设计10件作品，且每名设计员使用豆包设计60件作品所用时间与原来设计30件作品所用时间相等．（1）问该工作室使用豆包后每名设计员每天能设计多少件作品？（2）该工作室共有设计员10人，由于工作需要，该设计工作室只有一部分成员使用豆包设计作品，要使每天设计作品总数不少于160件，则该工作室至少有多少人使用豆包设计作品？

23.定义：将二次三项式x2+bx+c变形为(x+（1）把多项式x2+4x+5配方成（2）若多项式A=x2+4x+5，B=x2（3）已知正整数a，b，c满足不等式a2+b

24.新定义：两边的平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做“骐骥三角形”．例如：某三角形三边长分别是2，4，10，因为22（1）根据上述定义，判断以下三角形是否为“骐骥三角形”：（在题后相应的括号中，是打“√”，不是打“×”）；

①等边三角形（

）；②等腰直角三角形（

）；（2）若RtΔABC是“骐骥三角形”，AB=c，AC=b，BC=a，

①若a=2，b=23（3）如图，在四边形ACBD中，∠ACB=∠ADB=90∘，AD=BD，若在四边形ACBD内存在点E使得AE=AD，CB=CE．

25.在ΔABC与ΔADE中，AB=AC，AD（1）如图1，A，C，D三点共线，连接BD，CE，延长CE交BD于点F，则CE与BD的数量关系为______；位置关系为______．（2）如图2，A，C，D不共线时，连接BD，CE交于点F，试探究CE，BD的关系．（3）如图3，在（2）条件下连接AF，AF延长线交BE于点G

①若∠ADB=α，试用α的表达式表示∠EAG=______；

②若S

答案与试题解析2025-2026学年湖南省长沙市某校八年级下学期收心练习数学试卷一、单选题1.【正确答案】C根据同底数幂乘法的运算性质，运算后直接选取答案．解：(−x)3⋅x2.【正确答案】B本题考查最简二次根式的判定，根据最简二次根式的要求：被开方数不含能开得尽方的因数；被开方数不含分母，由这两条逐项判定即可得到答案，熟记最简二次根式的要求是解决问题的关键．解：A、4=2，故4不是最简二次根式，不符合题意；

B、5是最简二次根式，符合题意；

C、12中被开方数含有分母，故12不是最简二次根式，不符合题意；

D、0.09=0.3，故3.【正确答案】D本题考查了二次根式有意义的条件,根据被开方数是非负数列不等式求解即可.解：二次根式x−3有意义，

∴x−4.【正确答案】C根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10解：0.0000000034用科学记数法表示为3.4×105.【正确答案】D由勾股定理得：AC解：在ΔABC中，∠ACB=90∘，由勾股定理得：AC2+BC26.【正确答案】D先根据勾股定理求出BC的长，进而可求出A点表示的数.解：∵OB⊥OC,

∴∠BCO=90∘.

∵7.【正确答案】A本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，注意分子扩大了100倍，分母扩大了10倍.根据分式的基本性质，可得答案.解：如果把分式xyx+y中的x和y8.【正确答案】A根据作图得到OM=ON，CM=CN，以及OC为公共边，则可利用SSS证明解：由作法得OM=ON，CM=CN，而OC为公共边，

所以Δ9.【正确答案】A本题考查多边形的内角和，多边形的外角和．关键是根据题意利用多边形的外角和及内角和之间的关系列出方程．

n边形的内角和可以表示成(n−2解：设多边形的边数为n，依题意，得：

(n−2)⋅180=2×36010.【正确答案】A作PE⊥BC，垂足为E，由等边三角形的性质可得，∠PBE=30∘，所以PE=12PB解：如图，作PE⊥BC，垂足为E，连接AE，

∵ΔABC是等边三角形，

又：点D为边AC中点，

∴∠DBC=12∠ABC=30∘,BD⊥AC,

∵PE⊥BC,

∴∠PEB=90∘

在直角ΔPBE中，∠PEB=90二、填空题11.【正确答案】<此题暂无解析解：∵23=12，12<12.【正确答案】6本题主要考查了最简公分母，熟练掌握最简公分母的定义是解题的关键．取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，即可求解．解：分式12x2y与23x213.【正确答案】y本题考查了提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于需要进行二次分解因式．

先提取公因数y，再利用完全平方公式进行二次分解．解：x2y−2xy2+y14.【正确答案】1根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn，再代入计算即可.解：∵m+n=215.【正确答案】3本题考查的是线段的垂直平分线的性质，含30∘的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，本题先证明DA=DB=2,∠DAE=∠B=30∘求解∠CAD=30∘可得CD=1，从而可得答案.

解：∵DE垂直平分AB，AD=2，

∴DA此题暂无解答16.【正确答案】1或2本题考查了分式方程无解问题,正确理解分式方程无解与其增根的关系是解题的关键.先把k看作已知,解分式方程得出x与k的关系,再根据分式方程无解,进一步即可求出k的值.解：原方程两边同乘x−1（需x≠1），得kx−(x−1)=2

化简得(k−1)x+1=2，即(k−1)x=1,

当k−1=0即k=1时，方程变为0⋅三、解答题17.【正确答案】1先计算零指数幂，负整数指数幂，绝对值，二次根式，再计算加减即可.此题暂无解答18.【正确答案】a+2a+本题考查了分式的化简求值、分式有意义的条件以及因式分解等知识点，解题的关键是先对括号内的分式进行通分合并，再将除法转化为乘法并进行因式分解和约分，同时要注意选取使原分式有意义的a值代入计算.

先对括号内的分式进行通分，合并分子并因式分解；再将除法运算转化为乘法运算，对分子分母进行因式分解后约分，得到最简分式；最后根据分式有意义的条件排除a=−3、a=2，选取a=−1解：5a+3+a2−9a+3÷a2−4a+4a19.【正确答案】1243（1）先计算x+y（2）先计算xy=2（1）解：∵x=2+3,20.【正确答案】17100元本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形和四边形的面积计算等知识点,解题的关键是通过连接对角线AC,将不规则四边形ABCD的面积转化为两个直角三角形ΔABC和ΔACD的面积之和.

先在RtΔABC中，利用勾股定理求出AC的长度；再根据AC、CD、AD的长度，利用勾股定理的逆定理判断ΔACD为直角三角形；然后分别计算ΔABC和ΔACD解：如图,连接AC,

∵∠B=90∘,AB=9m,BC=12m,

∴AC=AB2+BC2=92+122=15(m21.【正确答案】证明见解答；32．此题暂无解析（1）试题解析：证明：(1)∵AE // BC，∴∠B=∠DAE，∠C（2）∵F是AC的中点，∴AF=CF．在△AFE和△CFG中，∵∠C=∠CAE，AF=FC，∠AFE=∠GFC，∴△22.【正确答案】该工作室使用豆包后每名设计员每天能设计20件作品该工作室至少有6人使用豆包设计作品（1）通过“工作时间=工作总量÷工作效率”,结合“使用豆包设计60件的时间=原来设计30件的时间”这一等量关系,设未知数列分式方程求解.（2）根据“使用豆包的人数×使用后的效率+未使用的人数×原来的效率≥160”这一不等关系,（1）解：设该工作室使用豆包后每名设计员每天能设计x件作品,

根据题意得:60x=30x−10,

解得：x=20

经检验：当x=20（2）解：该工作室使用豆包后每名设计员每天能设计20件作品，

：该工作室使用豆包前每名设计员每天能设计20−10=10件作品，

：设该工作室有a人使用豆包设计作品,

根据题意得：20a+23.【正确答案】2，1；①见解析，②91（1）根据配方法的定义配方即可；（2）①根据平方具有非负性，即可得证；②将2A−B（3）根据原式可变形得4a2+（1）解：x2+4x+5

=x2+4x+4+（2）①证明：∵A=x2+4x+5=(x+2)2+1≥1，（3）∵a2+b2+c2+36<ab+6b+10c，

∴4a2+4b2+4c2+144<4ab+24b+40c，

∴(2a−b)2+3(b−4)2+4(c−5)2<4，

∵a，b，c为正整数，所以c−524.【正确答案】①​；①22；①证明见解析；②AB的长为4或（1）①设等边三角形的边长为a，则两边平方和=a2+a2，第三边平方的两倍为：2a2，再根据“骐骥三角形”的定义判断即可；

②设等腰三角形的腰长为b，底边长为c，则腰长的平方和为（2）①分c为斜边和b为斜边，两种情况讨论，根据“骐骥三角形”的定义求解即可；

②由勾股定理得a2+b2=c2，再由ΔABC是“骐骥三角形”，b>a，得到a2+（3）①由勾股定理得AB2=2AD2,AB2=AC2+BC2，再由BC=CE，AE=AD，即可证明AC2+CE2=2AE2，则可证明ΔACE是“骐骥三角形”；

②设AD=b，BC=a，则AE=BD=AD=b，CE=CB=a，由（3）①得：AC2+CE2=2AE2，则4+a2=2b2；当∠AEC=90∘时，由勾股定理得b2+a2=4，当∠CAE=90∘时，由勾股定理得4+b2=a2，两种情况求出b2，再根据AB=2b2即可得到答案.

是“骐骥三角形”；

②设AD=b，BC=a，则AE=BD=AD=b，CE=C

时，由勾股定理得b2+a2=4，当∠CAE=90∘时，由勾

（1）解：①设等边三角形的边长为a，

∴两边平方和=a2+a2，第三边平方的两倍为：2a2,

∵a2+a2=2a2,

∴等边三角形一定是“骐骥三角形”；

②设等腰直角三角形的腰长为b，底边长为c，

∴腰长的平方和为b2+b2，底边长的平方为c2,

∴b2+b2=c2,

∴等腰直角三角形不是“骐骥三角形”；

(2)解：①若c为斜边，

∴c=a2+b2=4+此题暂无解答25.【正确答案】CE=BD，CE⊥BDCE=BD,CE\perpBD;}$（1）证明ΔBAD≅ΔCAE（SAS），推出CE=BD，∠ABD=∠ACE，再利用三角形内角和定理求得∠BFE=∠（2）同（1）即可得到CE=BD，