山东省临沂市2025届高三年级下册5月第二次模拟考试数学试卷（含答案）

山东省临沂市2025届高三下学期5月第二次模拟考试数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.已知集合4={x|(x+l)(x-3)<0},={0,1,2,3,4,5},则4n8=()

A.{0,1,2,3}B.{-1,0,1,2)

C.[1,2,3}D.{0,1,2)

2.若复数Z]=i,Z2=2-i,则刍岁的虚部为()

4224

Ac

-----一

*5B.55D.5

3.已如实数％y满足Iog20og3%)=噬3(唳2丫)=1，则％+y=()

A.11B.12C.16D.17

4.已知{%}为正项等差数列，若403-。7=8,则由。3的最大值为()

A.4B.6C.8D.10

5.将函数/(幻=sin(2x+(p),(|@|<?的图象向左平移与个单位长度得到函数g(x)的图象.若g(x)的图象关

于y轴对称，则g=()

A—R――r—r)—

A.12D.6L.356

6.已知随机变量f〜N(0,。为使《在(一；，乡内的概率不小于0.9545(若X〜N(〃”2),则p(|x—|v2。)=

0.9545),则。的最小值为()

A.8B.16C.32D.64

7.已知sinQ=2cos/?,sin.=3cosa,若向量沅=(tana+tanp,tan(a+夕))与向量元=(1,4)互相垂直，则

A=()

A.一等B.等C.5D.当

8.已知尸1，尸2分别为双曲线端一马=1(。>°，力>°)的左、右焦点，P为C左支上一点，满足“记?2=

(PF2与C的右支交于点Q,若乙F[QF?=空,贝I」C的离心率为()

JO

A.V3B.V5C.V6D.V7

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知Q>b>c,则下列不等式正确的是()

A.'<工B.ab2>cb2C.a+b>cD.a2+c2>b2

a—ca—b

10.设函数/(x)=X3-3X-2,则()

A./(x)有3个零点

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B.过原点作曲线y=/(x)的切线，有且仅有一条

C.y=f(尤)与y=ax-2交点的横坐标之和为。

D./(外在区间(一2,2)上的取值范围是［一4,0)

11.三棱锥4-BCD中，AD=2V3,AB=BC=CD=2,AB1BC,BC1CD,贝U()

A.三棱锥A-BCO的体积为暂

B.三棱锥力-BCD外接球的表面积为37r

C.过8C中点E的平面截三棱锥力-BCD外接球所得最小截面的半径为1

D.当。£4。,。£80时，|PQ|的最小值为挈

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若样本数据打，孙…，孙的均值为10,则样本数据2%-1,2X2-l,-,2xn-1的均值为.

13.己知片，出分别为椭圆。：4+4=1(。＞匕＞。)的左、右焦点，C的离心率为后过七与。长轴垂直的直

a，3

线交C于P,Q两点，P&交y轴于M点，若|QM|=2遮，则的周长为.

14.已知正整数？1,欧拉函数夕(九)表示1、2、…、九中与〃互质的整数的个数，例如，尹(4)=2,＞(10)=4.

且a、匕互质时,(p(ab)=(p(a)(p(b).若从1、2、…、10中随机取一个数m,则满足@(2m)=p(3m)的概率

为•

四、解答题,本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图，在四棱锥P中，底面4BC0为矩形，AD=1,AB=2,△P40为等边三角形，PA1CD.

(1)证明：平面P/l。J■平面

(2)求平面240与平面PBC夹角的余弦值.

16.体育是培养学生高尚人格的重要途径之一.足球作为一项团队运动项目，深受学牛.喜爱，为了解学生喜

爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了100名学生作为样本，统计得到如下的列联表:

喜爱足球运动不喜爱足球运动合计

男生40a

女生b25

合计100

已知从这100名学生样本中随机抽取1个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为工

(1)求a,b；

(2)根据小概率值a=0.001的独立性检验，判断学生喜爱足球运动是否与性别有关？

第2页

(3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取30名，记其中男生

的人数为Z,求使事件“Z=/c”概率最大的/c的值.

2

附：丫2:刎-be)

z(a+b)(c+d)(Q+c)(b+d)

a0.010.0050.001

Xa6.6357.87910.828

17.已知函数f(x)=Q/-(a+2)勿+Inx.

(1)当a>0时，讨论/'(x)的单调性；

(2)设函数g(x)=/(x)+ax,已知g(x)有两个极值点勺,x2.

①求Q的取值范围；

②求证：。(石)+以小)〈一3.

18.对集合4氏定义集合449=k,£4%s8或%£8,%£.4},记|X|为有限集合X的元素个数.

(1)若力={1,2},B={2,3,4),求A△8；

(2)给定集合5={1,2,3,4}的子集M,求集合(X|X£S,|XAM|=1}的元素个数；

(3)设48,C为有限集合，证明：工/△Bl+IBaCI.

9

19.已知抛物线C:/=2py(p>0)的焦点为八P为圆V2+8+3)2=1上的动点,

2-

(1)求C的方程；

(2)已知点Mi。,/)，按照如下方式构造点M,5=1,2,3,4,…)，设直线4为C在点场处的切线，过点

M”作，.的垂线交C于另一一点M“十1，记M”的坐标为(aI，yn).

①证明：当"21时，|弧间之2九一1；

②设AM”尸Mn+i的面积为工，证明:

第3页

答案解析部分

1.【答案】A

【解析】【解答】A={x|(x+l)(x-3)<0}=[-1,3],B={0,1,2,3,4,5)

所以4nB={0,1,2,3},

故答案为：A.

【分析】

利用二次不等式求出集合A,再结合交集的运算求解即可得到结果.

2.【答案】A

【解析】【解答】根据提议震=卷=高7=(1*濯2广等=A叙

所以虚部为-3

故答案为：A.

【分析】利用复数的混合运算求解即可得到结果.

3.【答案】D

【解析】【解答】因为Iog2(log3%)=log3(log2y)=1,所以％+y=321+231=9+8=17.

故答案为：D.

【分析】利用对数运算进行化简，结合某指数运算求解即可得到结果.

4.【答案】C

82e

【解析】【解答】4a3—a7=4(%+2d)-(%+6d)=3al+2d=8,解得q=~^>

由于{斯}为正项等差数列，则勿=一厂>°,解得0<dV4,

(d>0

ag=今也餐42d)=①乌攀±幽

=^(8-2d)(4+2d)我•[-2”4+2dj=等号成立当且仅当d=1,%=2,

VV\Z/

所以的最大值为

故答案为：C.

【分析】根据题意，利用4a3-即=8化简出即=早，并且{%}为正项等差数列得0<d<4,接着将

进行化简结合不等式进行求解即可.得到结果.

5.【答案】B

【解析】【解答】由题意以幻=f卜+9=sin(2%+9+第,(|勿V刍是偶函数,

.(@+争=2+kTl,kEZjr

从而彳32,解得k=09=_不

(1^1<?6

第4页

故答案为：B.

【分析】利用图象得伸缩变化求出gQv)的表达式，接着利用gCv)的图象关于,轴对称求出仍/c的值.

6.【答案】C

【解析】【解答】若随机变量f〜N(O5),则〃=0,02=(>0,P(|X-〃|V2o)=P<f<

0.9545,

为使f在(-幺9内的概率不小于0.9545工设解得

即Q的最小值为32.

故答案为：C.

【分析】根据题意，利用正态分布的对称性得P<f<=0.9545,进而列出关于Q的不等式即可

得到结果

7.【答案】C

【解析】【解答】因为sina=2cos/?,sin/?=3cosa,显然sin/?、sina、cos/?、cosa均不为0,

所以黑=鄢，即野=品，所以tanatan/?=6,

所以tan(a+/?)=黑黑焉=Y(tana+tan/?),

因为向量沅=(tana+tan夕,tan(a+5))与向量元=(1,4)互相垂直，

所以沅-n=tana+tan/?+Atan(a+/?)=0

则tana+tan/?—:A(tana+tan夕)=0,又tana+tan/?H0,解得4=5.

故答案为：c

【分析】根据题意,先得到sin0、sina、cos/?、cosa不为0,接着对sina=2cos0,sin0=3cosa进行化简得

到tanatan/?=6,tan(a+/?)=-i(tana4-tan/?),结合向量数量积为0化简即可得到结果.

因为乙尸产尸2=*4F]QF2=争，所以ZiFiPQ的三个内角都是生

从而IPQI=IPFil，结合双曲线定义得|P尸2ITPFII=2Q,故|Q&l=2a,

XIQFil-\QF2\=2a,故|QFi|=4为结合乙状(?尸2=警，

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故由余弦定理得(2a)2+(4a)2-2x2Qx4axcos冬=(2c)2,化简得4c2=28a2,解得e=^=V7.

故答案为：D.

【分析】根据题意，利用焦点三角形得到|PQ|=|PFJ接着利用定义结合余弦定理进行化简即可得到结果.

9.【答案】A,D

【解析】【解答】对于A，£-与=畸黯涕=益普，因为a>b>c，

所以c一bV0,a—c>0,Q—b>0,即(Q_C)(Q_1)V0,所以口，V故A正确；

对于B,取Q>匕=0>c,此时a匕2=cM=o,故B错误；

对于C,取a=—l>b=-2>c=—3,则a+b=c=—3,故C错误，

对于D,若a>b=0>c,则Q2+c2>b2=0显然成立，

22

若a>b>0>cf则a?+c>a>房成立，

若a>0>b>c,则次+c2>c2>/成立，

综上所述，只要Q>b>c,就一定有次+>M，故D正确.

故答案为：AD.

【分析】A：比较这两个数的大小采用做差法，结合通分化简即可得到结果；对于BC,利用特殊值法进行判

断即可得到结果；D：利用重要不等式结合分b>0/=0/V0三种情况讨论即可判断.

10.【答案】B,C

【解析】【解答】f(%)=3x2—3=0,x=±l»

X(一8,-1)-1(-14)1(1,+8)

+0—0+

/(X)单调增单调减单调增

/(-l)=-1+3-2=0,/(l)=1-3-2=-4,

所以f(x)有2个零点，A不正确；

对于选项B：设切点为(&,%),则切线方程为y一(“-3%。-2)=(3以-3)(%-40)，

代入原点，得一际+3%o+2=(3就—3)(—%o)<一瑞+3%o+2=-3%o+3%o»以=-1«*',XQ=-1»

故切线有且仅有一条，正确；

对于选项C：x3-3x—2=ax-2,x3=(a+3)x,x=0或炉=。+3,

若a+3Z0,根据对称性知，根之和为0,

若a+3V0,方程只有一个根为0,故正确：

对于选项D：/(-2)=-8+6-2=-4J(2)=8-6-2=0,7/(-1)=0,/(1)=-4,

故/"(工)在区间(一2,2)上的取值范围是[-4,0],错误.

故答案为：BC.

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【分析】先对函数进行求导，接着利用导函数的零点与正负值画出表格，进而得到函数的单调性，零点，最

值，进而画出大致图象进行判断即可得到结果.

11.【答案】A,C,D

【解析】【解答】由题设给定的三棱锥D-/BC,AD=2V3,AB=BC=CD=2,AB1BC,BC1CD.

所以AC=2a,力。2+。。2=4。2,即OCIAC,)^ACC\BC=C,AC,BC

所以ZK1平面ABC,故可将其补全为一个正方体，

其中=BC=CO=2为三条棱，4。=2通为体对角线，如下图示,

由48一8c,8C_LCO,则匕)_,或=gx2x*x2x2=*,A对：

由图，易知三棱锥。-4BC的外接球，即为正方体的外接球，且球心为4。的中点0,

所以外接球的半径R=遍，故其表面积为4山?2=12TT,B错；

要使过8c中点E的平面截三棱锥A-BCO外接球所得截面半径最小，

连接。E,只需截面与0E垂直即可，此时最小半径为丁="R2一0E?,而0E=&,

所以r=V3—2=1,C对；

构建如图示的空间直角坐标系4—xyz,乂PeAC,QCBD,设P(a,a,0),Q(2,b,b),

则|PQ|=J(q-2尸+(a-bp+万=&/一的+4-2ab+2广=一斤+|(a-g+]

所以，当。=打鸟时，附岛…竽，D对.

故daanwei：ACD

【分析】根据题意，采用补形法进行求解，对于A,利用正方体的边长关系求出体内锥体的体积；对于B,

利用正方体求出体对角线的长，进而求出半径即可得到结果；对于C：利用球体的结构特征确定截面半径最

小情况下有截面与0E垂直即可判断C；对于D,建系利用空间坐标运算求解，结合二次函数最值即可得到结

果.

12.【答案】19

【解析】【解答】若样本数据问,如…，力的均值为10,则样本数据2勺一1,20一1,…，231的均值为2x

10-1=19.

故答案为：I。

【分析】根据题意，几何均值的运算性质进行计算即可得到结果.

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13.【答案】12

【解析】【解答】因为离心率e=£=，，且在椭圆中标=反+/可得

a3

a—A/3C»b=V2c，

建立如何所示的平面直角坐标系，

因为PQ垂直于x轴，垂足为&，故4=和=。，

代入椭圆方程可得

又M为PQ与y轴交点，可得M(O，W)

222

因为|QM|=2g,由两点之间的距离公式可得(0-c)2+(5+*)=(2g)2,

又Q=\Tic,b=V2c,

解得c=V3»Q=3,

则则△2(2&的周长为

『QI+IQFil+l%|=|PF2|+\PF1\+*+\QF2\=4a=12,

故答案为：12.

【分析】根据题意，先利用离心率与椭圆的a,b,c间的关系得到Q=8C，b=&c，接着建系，利用

2

=(2⑹2化简,进而得到结果.

【解析】【分析】验证m£{1,2,3,…,10}时，(p(2m)=s(3m)能否成立，结合古典概型的概率公式可求得所求

事件的概率.

【解答】

当m=1时,伊⑵=1,w(3)=2,此时0(2m)工(p(3m)；

当m=2时,9(4)=2,秋(6)=2,此时@(2m)=@(3m)；

当?n=3时,9⑹=2,*⑼=6,此时0(2m)工@(3m)；

当m=4时，0(8)=4,*(12)=4,此时@(2m)=(p(3m)；

第8页

当7n=5时,*(10)=4,0(15)=8,此时@(2m)*(p(3m)；

当?n=6时,W(12)=4,(p(18)=6,此时w(2??i)*<p(3??i)；

当m=7时，w(14)=6,@(21)=12,此时3(2m)工*(3m)；

当?n=8时，0(16)=8»租(24)=8,此时@(2m)=(p(3m)；

当m=9时，@(18)=6,@(27)=18,此时@(2m)二(p(3m)；

当m=10时，8(20)=8,8(30)=8,此时8(2m)=(p(3m).

所以，从1、2、…、10中随机取一个数m,则满足0(2m)=租(3m)的数机的取值集合为{2,4,8,10},

故所求概率为白=|.

故答案为：!

【分析】根据题意，利用题中的结论结合特殊值法将加€{1,2,3,…,10}逐个代入验证8(2m)=9(3m),接着

古典概型公式求解即可得到结果。

15.【答案】(1)因为底面48co为矩形，所以48〃。9,48140.

又因为24_LCD,所以jB_LR4.

又因为P4ADu平面240,PAQAD=A,

所以1平面H4D,

又因为48u平面力BCD,

所以平面24。1平面ABC。；

(2)取AO中点E连接PE,因为△PAO为等边三角形，所以PE1AD,

乂因为平面04。1•平面4BC0,平面/MOC平面48。。=40,0Eu平面/MO,

所以PE，平面ABCQ,

如图所示，以点E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

因为力D=1,48=2,所以p(o,o用4&0,0),8&2,0),。(一4,2,0),0(-*,0,0)，

从而而=(-：,0,一冬)，同=传,0,一劣，而=0,2,一劣，丽=(-2<2>-T)|

设平面的法向量分别为方=(xiJMi),而=(x2,y2,z2Jf

而•五=-4%]_苧2]=0说―1>目a

PB-n=2X2+2y2-~2Z2=0

从而2

而•石=2-号21=0PC-nJ=~^x2+2y之-孚z2=0

第9页

令=l,y2=V3,解得Xi=Zi=0,x2=0,z2=4,

故可取过=（0,1,0）,nJ=（0,V3,4）,

设平面P/l。与平面PBC夹角为仇贝"cos。=|cos（n7>^2）l=露氤=

故所求为将.

【解析】【分析】（1）根据题意用面面垂直的判定定理证明即可得到结果；（2）先证明PEL平面4BCO,进而

可以点E为原点建立空间直角坐标系，采用空间坐标的方法进行运算，结合空间向量夹角的余弦公式求解即

可得到结果.

（1）因为底面48。。为矩形，所以140,

又因为P41CD,所以AB_LPA,

又因为P44Du平面P4D,PAdAD=A,

所以1平面P4D,

又因为48u平面力BCO,

所以平面PA。1平面48C。；

（2）取40中点E连接PE,因为△PA0为等边三角形，所以PEJLAD,

又因为平面PAD_L平面力BCD,平面P40n平面力BCD=AD.PEu平面P4D,

所以P£_L平面ABC。，

如图所示，以点E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系

消¥

因为AD=1,AB=2,所以P（0,0,噂），4（4,0,0）,82,0）,（。2,0）（一

从而方=（一加,一苧），同=&0,一空），丽=&2,一字）,近=（+'2'-劣，

设平面P4D,PBC的法向量分别为石=（与/1*1）,而={x2,y2,Z2），

（而石=-孔一孚zi=0PS-nJ=1x2+2y2--凫2=。

从叩］__1气»,_

x—z=-*11o8n

P71-n7=2i^2~i0PC•Xz

n2=~22+2y2-~2i=0

令y〔=i,y2=瓜解得工1=zi=。,工2=0*2=4,

故可取方=（0,1,0）用=（0,73,4）,

设平面7Mo与平面PBC夹角为仇则cos6=

=1|cos（n71，nj2,）1|=兽f

'|nil|n2|x/3+1619

第10页

故所求为书.

16.【答案】（1）因为从这1（）0名学生样本中随机抽取1个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为官

所以b=100x--40=20,a=100-40-25-d=15;

(2)零假设“0：喜爱足球运动与性别无关.

作出列联表如卜:

喜爱足球运动不喜爱足球运动合计

男生401555

女生202545

合计6040100

2

由题2_100x(1000—300)’

4-60x40x55x45*8.249<10.828,

根据小概率值a=0.001的独立性检验，我们推断“°成立,

也就是说没有99%的把握认为喜爱足球运动与性别有关.

⑶现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取1名学生，该学生是男生的概率是P=^=看从而从喜爱足球

OU3

运动的学生中随机抽取30名时，记其中男生的人数为Z,则Z〜B（30,|）,

一Q、k八\30一〃

所以P（Z=k）=《o停）G）,（k=0,l,...,30），

P(Z=k+l)2(30-/：)<1

P(Z=k)

令.，解得等WkW等

P(Z=k-l)

P[Z=k)2(31-/c)-1

故使事件"Z=k”概率最大的k的值为20.

【解析】【分析】（1）根据抽样的概率反算出a,b的值；

（2）先假设出零假设Ho,接着画出列联表，进而计算卡方值即可得到结果；

（3）根据题意，男生的人数为Z,且Z〜进而利用二项分布求出概率公式，接者列出不等式化简即

可得到结果。

（1）因为从这100名学生样本中随机抽取1个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为官

所以匕=100x1-40=20,Q=100—40—25—b=15;

（2）零假设“0：喜爱足球运动与性别无关.

作出列联表如下：

第11页

喜爱足球运动不喜爱足球运动合计

男生401555

女生202545

合计6040100

7

由题2—100x(1000—300)/

x~60x40x55x45X8.249<10.828,

根据小概率值a=0.001的独立性检验，我们推断/成立,

也就是说没有99%的把握认为喜爱足球运动与性别有关.

(3)现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取1名学生，该学生是男生的概率是P=|§=|,

从而从喜爱足球运动的学生中随机抽取30名时，记其中男生的人数为Z,则Z〜8(30,|),

所以P(Z=k)=或°G)(I),(fc=0,l,-.,30)*

P(Z=k+l)二2(30—k)

P[Z=k)=-k+1

令.解得苧<k<^

P(Z=k-l)_

=1

P[Z=k)Ck/230-/c2(31-/c)-

3O(-

\3

故使事件“Z=H概率最大的々的值为20.

2ax22x+1

17.【答案】(1)对函数/(%)=a/一(Q+2次+Ex求导得，/(x)=2ax-(a+2)+i=~^)=

(ax-lX2x-l)(x>Q)>

若a>o,则/4)=(a-产-1)二>。)，

若a=2,f(x)=(2%T)N0,(x>0),此时/(x)在定义域(0,+8)上单调递增，

若OvaV2,则当或时;/(%)>0»当XV机寸，/(x)<0»

此时/⑺在(0,扛&十8)上单调递增，在(另)上单调递减，

若a>2,MO<i<1,当XV、或*时，/W>0,当:<XV*时，/(%)<0，

此时八功在(o,J),Q,+8)上单调递增，在&4)上单调递减，

综上所述，若Q=2,则f(x)在定义域(0,+8)上单调递增：

若0VQV2,则f(x)在(0,m,&+8)上单调递增，在(另)上单调递减；

若a>2,则/(%)在(o[)，G，+8)上单调递增，在上单调递减.

第12页

(2)①g(x)=f(x)+ax=ax2-(a+2)x+Inx+ax=ax2-2x+\nx,(x>0),求导得g'(x)=2ax-24-

(x>0)>

因为有两个极值点不,x,所以g'(x)=2ax-2+i=0,(%>0)有两个“变号”零点，

2人

即a=^=-表+]=-4©-1)2+/*>°)有两个零点，

令t=>0)=t>0,是—对应的，

从而a=-i(t-I)2>0)有两个零点，

设9(£)=一/(£-1)2+1该二次函数开口向下，对称轴是£=1,

注意到亡>0,所以g(0)=0<a<g(l)=

即a的取值范围是(0,；)；

②由：2)①不妨设0<匕=4<1<亡2=；<2,即2V%2<1<勺，

人1人2乙

g(%)=2ax-2+i=0,(x>0)等价于2a--2%+1=0,

由韦达定理有+第2=：，勺％2=白，QC

gCq)+g(%2)=«U1+-2(x1+x2)+ln(XiX2)

=Q[(4+孙)2-2%1%2]-2(%1+x2)+ln(Xi%2)

11

k方

Q6-

?u

1

-l1

九--+>a6-

ao,2

a2

所以/I(Q)=—1—ln2—Inez—&,Q£(0,^)单调递增，

从而/i(a)=-1—ln2—Inti-gV九G)=-3,CLE(°])

【解析】【分析】(1)对函数进行求导化简，进而得到/(%)=(ax-l)(2%T)c>0),接着对a值进行分类讨

论即可得到结果.

(2)①因为g(x)有两个极值点，则9‘(0=0,(%>())有两个"变号''零点，接着进行参变分离，结合极限思想

与图象即可得到结果；

②利用g'Q)=2ax-2+i=0,(x>0)转化为2a/-2x+1=。，结合韦达定理将gQq)+^(%2)<-3转换

为a的函数，利用导数研究函数的单调性即可得证.

2

(1)对函数/(x)=ax-(a4-2)x+In%求导得，/(x)=2ax一(a+2)+]=2。，-(：+2)"+l=

(axT*T),(x>0),

第13页

若a>0,则/(%)=(a%T)(2-T)=2a卜-肝一；),(%>°),

XX

2

若Q=2,/&)=(2%T)=0,(*>0),此时/(%)在定义域(0,+8)上单调递增，

若0<a<2,则：>4，当％<2或X>:时，/(%)>0，当:<%<M寸，/(X)<0，

此时/a)在(0；),@,+8)上单调递增，在QI)上单调递减，

若a>2,则0v(<4，当时，/(%)>0»当JvxV,时，f(x)v0，

此时/(%)在(o.)，C，is)上单调递增，在上单调递减，

综上所述，若Q=2,则/(x)在定义域(0,+8)上单调递增；

若0VQV2,则/(%)在(o]),@,+8)上单调递增，在QI)上单调递减；

若a>2,则人%)在(o[)，G，+8)上单调递增，在(J,；)上单调递减.

(2)①g(x)=/(x)+ax=ax2—(a+2)x+Inx+ax=ax2—2x+Inx,(x>0),

求导得g'Q)=2ax一2十(x>0),

因为。(%)有两个极值点不，x2,所以g'3)=2ax-2+i=0,(x>0)有两个"变号”零点,

Q12

即。=芸=一表+9=一3©一1)+幺(”>°)有两个零点，

令t=3，(x>0)=t>0,是---对应的，

从而Q=-1(t-I)24-i,(t>0)有两个零点，

设9(£)=一/(£-1)2+1该二次函数开口向下，对称轴是£=1,

乙乙

注意到£>0,所以g(0)=0<a<g(l)=i,

乙

即a的取值范围是(o1)；

②由⑵①不妨设。<0=*<1<£2=呆2,即

9(幻=2ax-2+i=0,(%>0)等价于2a/-2x+1=0,

由韦达定理有+%2=白，。6(年)'

gOi)+g(%2)=Q(君+右)-2(匕+x2)+ln(x1x2)

2

=矶(%1+x2)-2X1X2]-2al+x2)+ln(x1x2)

)-介幅)=-1-上2-1必[”(0]),

J,、1.11—a、八_

令h(a)=-1—ln2—Ina—i,aE(0,4),/i(a)=--+^=-^->0,ae

第14页

所以九⑷=-1-ln2-Ina-]aW(og)单调递增，

从而h(a)=-1—ln2—Ina—^<%G)=-3,aE(0,g)

18•【答案】(1)因为448中的元素是要么只属于A,要么只属于B,

所以={1,3,4}；

(2)设则m44,因为|Xz\M|=l,

故符合条件的X的个数为喀以-m+=4-m+m=4.

(3)对任意元素xW4△C,因为％”合属于集合4c之一，不妨设X£4且xCC.

若x€B,则x€BzkC；若x图B,则x€4△B.

故％G(A△B)U(8△C),从而力△CG(4△B)U(B△C).

因此|A△C|W△B|+|B△C|,结论成立.

【解析】【分析】(1)利用题中的定义求解即可；

(2)根据新定义得到mW4,结合条件利用组合计数的方法可求集合中元素的个数：

(3)根据题意，对任意元素得到或AC,所以题设中的不等式成立的.

(1)因为力中的元素是要么只属于4,要么只属于B,

所以44B={1,3,4}；

(2)设|M|=m,则mW4,因为|XAM|=1,

故符合条件的X的个数为=4-m+m=4.

(3)对任意元素xWA△C,因为k合属于集合4c之一，不妨设尤WA且％CC.

若x£B,则％GB/iC；若X空B,则kCAZiB.

故XE[A△B)U(B△C),从而力△C£(A△B)U(B△C).

因此|A△C|W□△8|+|8△C],结论成立.

由题意可知，所以与+3+1=劣，解得p=l,

乙乙

所以C的方程为/=2y；

第15页

所以点场处的切线斜率为出,所以直线/%+1斜率为-十，

xn

所以直线MM+1：y-竽=一;（X-&），

L471

与%2=2y联立可得，亨-，=」（%-$）=生色噤垃,

可得g+1=-7--xn,即Mn+1的横坐标为一擀一小，

Xnxn

所以儿+1=岁=弘竟+谧+4）=竽+竟+2=yn+套+2>{+2,

当九N2时，有人=（人一人—i）+（Xn-i-yn-2）+…+（、2-%）+%>2（九一1）+2=2n一5,

1

又丫1=$故%N2n-*,（7ieN）所以用十->2n

yn2

②直线%此+i的方程为/Mn+i:y_争=_/(%_%>

点F到直线MnM“+i

所以|“科计11一

(四+1)2

所以S"=抠+限）导2*>2戊九1(照+1)

=舄+1，

-2|xl-