勾股定理的应用（4大题型4难点题型清单）解析版2026年中考数学一轮复习

专题1。勾股定理的应用（4大题型4难点，题型清单）

01题型盘点•中考全景扫描

题型一：利用勾股定理求线段长题型四：勾股定理的实际应用

难点01：结合折叠形成的边列方程求解求梯子滑落高度

难点02：利用网格判断直角三角形求旗杆高度

难点03；折叠与分类讨论解决水杯中筷子问题

题型二：勾股数相关面积问题解决航海问题

题型三：利用勾股定理求最短路径判断是否受台风影响

难点04：将军饮马问题

02题型突破•解题技巧攻坚

题型一：利用勾股定理求线段长

第一步找直角三角形卜

第二步，在直角三角形中标注各线段长，一般已知两边长，求第三边Q\

第三步利用勾股定理/+/=/求解6^

【中考母题溯源-学方法】

【典例1】难点01：结合折叠形成的边列方程求解

（2024•江苏常州•中考真题）如图，在RtZiABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=4,。是边AC的中点,

E是边BC上一点、,连接3D、DE,将△CDE沿OE翻折，点C落在上的点尸处，则CE=.

【详解】解：0ZACB=9O°,AC=6,8c=4,。是边AC的中点,

^CD=-AC=3,

2

0BD=V^C2+CDr=5*

团将△CDE沿•翻折，点C落在BD上的点F处,

0CD=DF=3,CE=EF,NEFD=90：

(?1BF=BD-DF=ZZBFE=90°,

设CE=x,贝I」：EF=x,BE=BC-CE=4-x,

在Rt△出E中，由勾股定理，得：（4-X）2=X2+22,

解得：x==3;

2

3

0CE=-；

2

3

故答案为：—.

【典例|一2】难点02：利用网格判断直角三角形

（2025・安徽亳州•一模）如图，在7x4网格中，点A,B,C,。是格点（网格线的交点），连接A8,BC,

过点。作。尸〃8c交AB于点P，则破=（）

B

A.2B.拽C.述D.拽

5355

【答案】D

【详解】解：由图可知：AC=5,4）=3,===2若，

⑦DP〃BC

^\ZAPD=ZABC,ZACB=ZADP

"BCS/PQ

AD八P加3AP

回y就二益即分丽

团仍皿

5

^BP=AB-AP=2yf5--=—

55

故选D.

【典例1-3】难点03：折叠与分类讨论

（2023•辽宁盘锦•中考真题）如图，四边形A48是矩形，AB=8,BC=6.点E为边3c的中点,点、F

为边人。上一点，将四边形ABE尸沿E尸折叠，点A的对应点为点4,点8的对应点为点8',过点B'作

B7/_LAC于点H,若477=2及，则尸。的长是.

【答案】3+6或3-6

【详解】解：当点尸在点E左侧时，如图，设汗石交AZ）于点G,过点上作EM_LA。于点M，

•••点E为边BC的中点，

/.BE=CE」BC=3,

2

•.•四边形A8C£＞为矩形，BC=6,

..AD=BC=6,ZA=ZB=90°,AD//BC,

.•.ZAM£,=ZA=ZB=90°,

二•四边形为矩形，

:.AB=ME=娓,AM=4£=3,

由折登可知，BE=B，E=3,NBEF=NBEF,

•.•AD//BC,

:"GFE=ZBEF,

NGFE=NBEF,即ZGFE=ZGEF,

:.FG=EG,

BHIBC,

:.NB'HE=90°,

在RtaBWE中，EH=^E2-B'H1=732-(2x/2)2=1，

'：MELBC,B'HLBC,

:"EMG="HE=5T,

•.•AD//BC,

ZfeU/W=^BEH,

EMEGMGEGMG瓜G

,-------==-------,HHIJn------=-------=—==

B'HB'EHE312722

.“3也”AO6

..EG=---=FG，MG=---，

22

：.FM=FG-MG=—--=x/3t

22

AF=AM-FM=3-6,

/.FD=AD-AF=6-(3-X/3)=3+73；

当点尸在点E右侧时，如图，设外?交/3C于点尸,过点尸作/K_L4C于点K,

同理可得：B'E=3,FP=EP,四边形KCDF为矩形，FK=AB=R,^B'EH^^FPK,

在Rl。HE中,EH=J方炉-府=巧七百=],

•/WEHsBPK，

.*EB'HEHrln32V2I

"~FP=~FK=~PK*\而—访一证

.-.FP=—=EP,PK=—,

22

：.EK=EP-PK=—--=y/3,

22

:.DF=CK=CE-EK=3-&

综上，ED的长是3+百或3-b.

故答案为：3+6或3-6.

【变式1-1］（2025•广东汕头•一模）如图，在三角形纸片A8c中，ZBAC=90°,AB=2,BC=V13，沿过点4

的直线将纸片折叠，使点8落在边BC上的点。处；再折叠纸片，使点C与点。重合，若第二次的折痕与AC

的交点为E，则AE的长是（）

B：、

【答案】D

【详解】解：由折叠的性质得：AB=AD=2,ED-EC,4=/EDC-/C,

®ZBAC=90°（

0Zfi+ZC=9O°,

⑦ZADB+NEDC=90°,

0Z4DE=9O°,

在RIAABC中，由勾股定理得：AC=NBC2-AB2=｛（屈）2-22=3,

设AE=x,则CE=DE=3-x,

在R^AOE中，由勾股定理得：AD2+DE2=AE2^

E|J22+（3—x）'=x2,

解得：X=；，

O

故选：D.

【变式1-2］（2025•河北唐山•三模）如图，点A、B、C、。在网格中小正方形的顶点处，AO与8C相交于

点。，小正方形的边长为1,则。。的长等于（）

2M3m

A.1.5

~5~—

【答案】D

【详解】解：由网格可知，AB//CD,

OCCD3

团---=---=—,

OBBA2

-BC=>/l2+32=V10»

故选:D.

【变式1-3］（2025•河南•模拟预测）如图，在RI/XA8C中，/。=90。.4。=4,8。=3,点。是AC边上的动

点，过点/）作垂足为E,将VA/3E沿直线。石折搂得到V"%，点G,“分别是BC和M上的

点，连接G”，将V8G“沿直线G”折叠使得点6和尸重合，连接。G,当AOFG和VABC相似时，AE的

长为.

AEFH""B

Q5

【答案】名或彳

54

【详解】解：由折叠的性质得/乃FE=NANGF"=N〃，AE=EF,BH=FH

0ZC=9O°,

0ZA+ZB=9O°,

回ND匹E+NG/77=90°,

□ZDFG=90°,

当“力7G和VA8C相似时，分以下两种情况：

如解图①，当N/DG二NC48时，&FDGsQB,

^DG//AB,

团由翻折得DE1AB,GH1AB,

0DG//AB,

因四边形DGHE为平行四边形，

^I)G=EH=EF+FH=-AF+-BF=-AB,

222

^DG//AB,

0AC/X?^ACA«,

CDDG\

~CA~~AB~2

g]AC=4,8C=3,

0/40=2,

在Rt4ABC中，由勾股定理得AB=5,

4

0cos4=—,

5

8

团4E=AD-cos4=-；

如解图②，当NFG£)=NC4B时，△FGMACAB,

团cosB=—，tanA=二，

54

5—8r

设OF=AO=5x,则£1〃=AE=4Z>cosA=4x,BH=FH=—,

团尸G=8G二旦二"*

cos46

0ZFG£)=ZC4B,

FD5x_3

tanNFGD=—25-40.r=4,

团FG

~6~

解得工=3

16

(?]/4E=4x—=-,

164

Q5

综上所述，当的G和VABC相似时，的长传或“

故答案为：［或:•

【中考模拟闯关.练提分】

1.（2025•河北邯郸・二模）如图，在矩形中，AB-3,AD-5,K是边〃。上的点，将矩形沿。E所在

点8的对应点B'.若点A在边8c的延长线上，则侬的长为（）

D.*

C.4

55

【答案】C

【详解】解：•.•四边形4BCZ）是矩形,

:.NB=NDCB=W,BC=AD=5,CD=AB=3.

设=贝ijCE=8C—BE=5—x.

由折叠的性质，得/9=/4=90°,B'E=BE=x,A'B'=AB=3,AD=AD=5.

•.•NQC4=90。，点A在边5c的延长线上,

:.ZDCAr=90°,

AfC=JAfD2-CDr=4,

...AE=CE+A'C=97.

在RtAA'ZT石中，＜AE2=A'ff2+B'E)

.\(9-x)2=32+x2,

解得x=4,

.•.5E的长为4.

故选：C.

2.（2026・全国•模拟预测）如图，正方形44C。的边长为9,将正方形折叠，使顶点。落在边上的点石

处，折痕为G”.若的=2七C,则AG的长是（）

A.1B.2C.4D.-

2

【答案】B

【详解】解：如图，设E尸与A8用交于点K,

根据折叠的性质得，AG=FG,DH=EH,

设C7/=x,则=

团AE=2EC,BC=9,BC=BE+EC,

0£C=-BC=3,

3

在RtZ^EC”中，由勾股定理得：EH2=EC2+CH\

222

BP(9-A-)=3+X,

解得：x=4,

团CF7=4,EH=5,

©ZFEH=/D=/B=NC=90。,

0ZBKE+/BEK=/BEK+ACEH=90°,

@&KE=/CEH,

©△BEKSRHE,

BKBEEKBK9-3EK

团——=——=——,即HI1——=---=——

CECHHE345

915

团BK=2,EK=—,

22

93

^AK=9-BK=-,FK=9—EK=j

22

9

设AG-y,则FG=y,GK=^--y,

(3ZF=ZA=90°,

解得：＞'=2,

回线段AG的长是2,

故选：B.

3.（2025•江苏泰州•二模）如图，在3x4的正方形网格中，A、B、C为格点，连接C。，交过点A的水平

格线于点E.若小正方形边长为1,则CE=.

【详解】解：如图所示,

由A8在网格中的位置.，可知MQ=NQ=；MN=；,

/.DF=DN+FN=-

2

在RSCQ”中,CD=y]DF2+CF2=

,-EG\\DF,

CECG2

：.——=——=-，

CDCF3

CE_=2

,逅=3,

F

解得：CE=®

3

故答案为：画.

3

4.（2025•广东东莞•二模）如图，在矩形A8CD中，A8=4,BC=5,点、E在CD边上,将四边形A8CE沿

直线A£翻折，得到四边形AFGE,点B,C的对应点分别为点立G.当点。恰好在线段FG上时，线段CE

的长为.

【答案】L5

【详解】解：，•四边形是矩形，A3=4,BC=5,

.\CD=AB=4,AD=BC=5,

设CE=a,

DE=CD-CE=4—a,

由翻折的性质得：AF=AB=4,EG=CE=a,FG=BC=5,ZF=ZB=90°,ZG=ZC=90°,

在中，由勾股定理得：DF=y/AD2-AF2=V52-42=3»

:.DG=FG-DF=5-3=2,

在RtVQEG中，由勾股定理得：DE2=DG2+EG2,

(4—a)~=2"+,

解得：a=1.5.

CE=a=1.5.

故答案为：1.5.

5.（2025•上海杨浦•模拟预测）已知在RtZXABC中，/。=90。,4?=3&,3。=8,点。是8C边上一点，将

△ACD沿直线AO翻折，点C落在点£处，连结3E,如果NCAE=2N£BC,那么点£到直线BC的距离

是.

【答案】2庭或4忘

【详解】

由寇知：AC=AD,CD=DE,NCAD=NEAD,NC=/AED=9(F，

团NCDE=360。-ZC-ZAED-ZCAE=180°-ZCAE,

0ZCAE=1800-ZCDE=AEDB,

又dNC4£=2N£BC,

:./EDB=2/EBC,KAD=4EBC、

以点石为圆心，。石为半径画圆于8。交于M,过E作E”_LBO于〃，即Q£="W,

0ZEMD=/EDB=2/EBC,DH=MH,

..DE=EM=BM,CH=-BC=4

2t

设CQ=m,则=

;.DH=HM=4-m

CDEH

tanZ.CAD=tanZ.EBC,H|.-----=------,

ACHB

⑸〃？EHg2x/2

0-r==----,EH=-------m，

3A/243

2五

在RSOE”中，DH?+EH?=DE?，即(4一,"尸+------m=nr,

3

解得：町=3,叱=6,

EH=—w=242或4夜.

3

故答案为：2a或4拒.

6.(2025・浙江绍兴•三模)如图，V4O8中，408=90。，。4=5,OB=8,点M为八8的中点，C为边OB

上一点，把△AOC沿直线AC翻折得到△A6.

(1)当点。恰好落在AB边上时，DW的长为.

(2)当M。与VAO/的边平行时，(儿的长为.

＜屈

【答案】3-----

2沙或I

【详解】解：(1)如图,

04=8,

团ABuJcW+ce?=屈,

团点M为A8的中点,

⑶AU屈

IAM=---.

2

由折役的性质得AO=OA=5,

J89

=AD-AM=5-—.

2

故答案为：5-翅：

2

(2)如图，当。M||QA时，作AK_LA/ZM交0M的延长线于K,M。的延长线交。8卜7,

^DM\\OA,

0ZOTK=NAO8=NK=90。，

团四边形。4K7是矩形，

^TK=OA=5,AK=OT,

dlDW||OA,点M为A4的中点，

BTBM,

OTAM

08r=07=4,

团AK=4,

由折叠的性质得0C=CD,40=0.4=5,

^DK=ylAD2-AK2=V52-42=3»

^DT=TK-DK=5-3=2,

设OC=CZ?=a,贝I」7C=4-a.

^DC2=TC2+DT2,

0«:=（4-a）2+22

解得。='，即。C=［；

z-

当DM||O8时，作77)〃。4,交OB于点、T,作4K_L7D于Q，延长DM交。4于M则四边形。4K7、四

边形ONDT、四边形N4KO都是矩形，

B

回7X=CM=5,AK=OT,

回。M||08,点M为AB的中点,

^ANAM

a—=——=ti,

ONBM

团AN=ON=*,

2

团77)=QK=2,

2

由折叠的性质省0C=CD,AD=0A=5,

^AK=ylAD2-DK2=

^OT=AK=-

2

设。C=8=a,则冗=拽一。

2

DC2=TC2+DT2,

解得即oc=*G.

33

综上可知，oc的长为或;.

32

故答案为：3G或!■.

32

7.（2025•山东聊城•三模）如图1,点A,3在x轴上，以AB为边的正方形A8CO在x轴上方，点C的坐标

为（14）,反比例函数），=々％。0）的图象经过C。的中点E,尸是4）上的一个动点，将ADEV沿EQ所在直

X

⑵如图2,若点G落在），轴上，过点尸作/"NLy轴于点N,求线段GN的长.

【详解】（1）解：•••正方形ABCD,

:.CD〃AB、NA8C=ND=90。，CD=BC,

,点C的坐标为(L4),

：.BC=4,

/.CD=4,

•.・点£为。。的中点，

：.CE=DE=-CD=-x4=2,

22

•••点E的坐标为(-1,4),

代入点E(—l,4)到)，=K伙工0),得&=(-l)x4=T,

X

4

反比例函数的表达式为〉，=—-.

X

:.EM=\,EM

:.DM=DE+EM=2+1=3,NEMG=90。,

由翻折的性质得GE=OE=2,ZEGF=ZD=90°,

GM=JGE2-EM?==万，/EGM+/FGN=骄,

尸N_Ly轴，

Z/WG=90°，

/.ZFNG=ZEMG=ZD=90°,NG/N+N尸GN=90°,

••・四边形DWNr是矩形，NEGM=NGFN,

：.FN=DM=3,

•・•4EGM=4GFN,/EMG=NGNF=90°,

;.EGMs4FN,

，型=吗即_L=g

GNFNGN3

解得：GN=6

8.（2025•河北石家庄•三模）（1）如图，将一张长方形纸片A8CD沿线段E尸折叠.C点对应点落在C'处，

。点对应点落在/X处，CE交AO于G点.

①求证：△EFG为等腰三角形；

②若E尸=4cm,/G=5cm,求重叠部分的面积.

（2）另取一张长方形纸片ABC。，在边C。上找一点E并沿着直线的折叠，使点C的对应点”落在边人。

上，请仅用无刻度的直尺和圆规右下图中找出点E的位置（不写作法，保留作图痕迹）.

（3）长方形纸片4BCD.48=5cm,8c=8cm0寸，若点M为射线4C上一点，将3M沿着直线AM折叠,

折叠后点4的对应点为9，当点夕恰好落在线段4C的垂直平分线上时，请直接写出的长.

【详解】（1）解•：①团纸片为矩形，KOBC//AD,

:.ZAFE=ZFEC,

由折叠的性质知，NFEG=NFEC,

:.ZAFE=ZFEG

.•.△EPG为等腰三角形，

②过点G作G”_LEF于点H,则EH=FH=；EF=2cm,

则利用勾股定理：GH=\lFG2-FH2=V21cm»

则公所6的面积=：xE产xGH=2后cm?；

（2）解：以点B为圆心，以BC尺度为半径作圆交4。于点凡作NF8C的角平分线鸵，交CD于点、E,

作图过程如下：

A、FD

（3）当点&落在矩形的外部时，过点长作£”_L8C于点”，交AO于点N,则AH=A8=5cm,

由题意得：A8=A"=5cm,/9=N8=90。,

回点9恰好落在8c的垂直平分线上，

故AN=Z)N」AO=」8C=4cm,

22

在R^AB'N中，

3

AB'=5cm,AN=4cm,则RN=3cm,则tanNB'AN=-,

4

回8"=3+5=8cm.

QNB'AN+/ABN=90°,ZAB'N+NHB'M=90°,

在RjB'HM中，tan/HB'M=华=粤=tanZB'AN=-,

BH84

解得：HM=6cm,

贝ijBM=BH+HM=4+6=lOcw.

当点9落在矩形内部时，过点8'作E"JL8C于点”，交A。于点N,则M7=A8=5cm,

BM\HC

I

由题意得：AB=W=5cm,Zff=NB=90。,

回点9恰好落在8c的垂直平分线上，

故AN=ON」AO」8C=4cm,

在RaAB'N中,

3

,.tAB'=5cm,AN=4cm,J|lljRN=3cm，则tanNB'AN=-,

回8"=5-3=2cm,

QNB'AN+公BN=90°,ZAB'N+/HB'M=90°,

:.ZM^H=Z^ANf

在RWHM中，tan/HB'M=—=—=tanNB'AN=-,

B'H24

3

解得：HM==cm,

35

则BM=BH—HM=4+—=—cm.

22

故答案为:“〃或10cm.

9.(2025•贵州黔东南•二模)在数学活动课上，老师给每个数学小组发放了一张长为8cm,宽为6cm的长方

形纸片，组织同学们以“长方形的折叠〃为主题进行探究活动.

EBAE

图①图②图③

(1)如图①，连接对角线AC,沿着。E折登，使得点A落在对角线AC上，点A的对应点记为川，ACSDE

的交点记为。.求证：AAf±DE^

(2)如图②，将长方形纸片A3CD对折，使得边AO与BC重合，边A8与0c重合.展开后再沿直线所折

叠，使得点人落在对折线的交点处，点人的对应点记为A，连接44'，求折痕E尸的长度；

（3）如图③，折叠长方形纸片A8CD,点A的对应点记为A,当“'BC是以BC为斜边的等腰直角三角形时,

直接写出折痕的长度.

【详解】（1）证明：•.•△以'£由1乂七折叠得到，

:.DA=DA,,

.♦.△ZM4'是等腰三角形，

乂••04=04，

.•.A4'_LD0，

即AA'IDE：

（2）解：,将长方形纸片A8C。对折，使得边AO与8C重合，边AB与。C重合，

.••点4是长方形对角线的中点.

设44'交石尸于点0，AO的中点为点从如图，

AH=—AD=3,A'H=—AB=4

22

/.A4*=y/A^+AH2="+42=5，

AO=—AA!=—,

22

由（1）得：AA!LEF,

:.ZAOE=9（r,

/.ZAOE=ZA/M'=90。，

•.AB//AH，

:.ZEAO=ZAA,H,

:.^A0E^AHA,

.AO0EAE

0E=—tAE=—t

•••四边形ABC。为矩形,

:.ZFAE=9（r,

AA'JLM,

「.△AOEs△必£,

EFEA

——=——，

AEOE

b125

，匕卜=---cm；

24

（3）折痕的长度为口2回cm或0叵cm.

1511

①作BC的垂直平分线，交A。「♦点从交8C「点G,如图,

贝ljHG=4?=C/）=8,AH=HD=-AD=3,BG=GC=、BC=3,

22

“VAC是以BC为斜边的等腰直角三角形，BC=6,

AG=-BC=3,

2

/.A"=5,

AA:=^AH2+A：H2=V32+52=5/34»

..AO=OA,=-AA,=—

22f

由（1）得：AA'LEF,

.1.zAOE=90°,

:.ZAOE=ZAHA=90°,

:.ZEAO=ZAAfH,

:.^AOE^Z\AHA,

.A。OEAE

:.OE库,AE=3,

IO5

••・四边形ABC。为矩形,

ZFAE=9(r，

A4'JL£尸，

:.Z^AOE^Z\FAE,

EFEA

'~\E~~OE'

.”17扃

..EF=--------

15

EF与BC交于点M,如图,

则“G=AB=CD=8.AH=HD=-AD=3,BG=GC=-BC=3,

22

•「△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，BC=6,

AG=-BC=3,

2

二AAf=，心+A7/2=6+112=7130，

...AO=OAf=-A4=，

22

由（1）得：AA'IEF,

:.zAOE=9(r，

NAOE=NAHA'=90。,

\AB//^H，

.•.NE4O=W”,

...△AOES^A'/M,

AOOEAE

A!HHAA'A

.所-3同

22

\AB//A!H.

:.^EAO=ZAAH,

在AAOE和AA'OM'P,

ZEAO=ZAArH

<AO=A'O,

ZAOE=NAOM

.•.△AOEg"'QM（ASA）,

,。…叫①

22

:.ME=2OE=^^~,

11

,”36x/130

11

综上所述，折痕的长度为处亘cm或5叵cm.

1511

题型二：勾股数相关面积问题

【典例2】（2025•吉林长春•一模）如图，分别以VA8C的三边为边向外作三个正方形4CE/7、4cMN、ABDT,

过。作A8的垂线，垂足为G,分别交£加、77）于点〃和点。，记正方形A3。7的面积为S，正方形ACE/

的面积为S?,正方形BCMN的面积为S-下列结论：①当ZACB=90°时，，=S?+邑；②当5心S2+S,时,

上ACB为钝角；③SJCB；④当NECM=90。时，CH=；EM.其中正确的是.

D

Q

【答案】①③④

【详解】解：(3四边形ACEF、BCMN、人班)丁是正方形，

^AB=AT,AC=EC^C=CM.ZACE=ZTAB=ZABD=ZBCM=90°t

0ZACB+NECM=360°-90°-90c=180°,

①当N4cB=90。时•，则根据勾股定理可得：BC2+AC2=AB2,

222

ABtS2-AC,S^-BC,

0S1=s2+s3；故①正确;

②假设VA3C是钝角三角形，过点A作A7_LBC于点J,如图示：

设A8=c,AC=〃,8C=a,JC=x,则有：

在RtzM以中，由勾股定理得：AJ2=c2-(a+x)\

在Rt~4CJ中，由勾股定理得：AJ2=b2-x\

团/4=°2-([+,2,

^c2=a2+b2+2ax>a2+b~,与②题干矛盾，故不正确；

③分别过点反4作ER_LCM,AP_L4C,垂足分别为R、P,如图所示:

0Z4CB+Z4CP=18O°,ZACB+ZECM=1SO0,

团N4CP=NECK,

0ZAPC=/ERC=90°,AC=EC,

0AACP^AEC/?(AAS),

l?lAP=ER,

团SeABc=；BCAP,S皿M=；CMER，

0S&ECM=S6CB,故③正确；

④当NECN=90。时，则有4CB=90。，

团过C作AB的垂线，垂足为G,

0Z4GC=Z5GC=9O°,

121ZJiAC+ZACG=ZA6C+4BCG=%户，

团ZACG+ZECH=/BCG+NHCM=90°,

团NBAC=ZECH,ZABC=NHCM,

回AC=EC,/ACB=NECM=90°,BC=MC,

团△ACB%ECM（SAS）,

0ABAC=AMEC=4ECH/EMC=ZABC=NHCM,

BEH=CH=HM,

0CW=|EA/,故④正确；

综上所述：正确的结论有①③④；

故答案为①③④.

【变式2】（25-26九年级上•广东揭阳•月考）如图所示，正方形的边长为2,其面积标记为号，以C£）

为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S;，…按照

此规律继续下去，则S2的值为（）

aB

【答案】D

【详解】解：如图所示,

：.DE=CE,ZCW=90v,

CD2=DE2+CE2=2DE2，

五

..DE=—CD,

2

即等腰直角三角形的直角边为斜边的正倍,

2

\n-]

5=4x[l

-,-52025=4X^-

故选：D.

【中考模拟闯关•练提分】

1.如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、

8、。、。的面积分别是3、5、2、3,则最大正方形£的面积是（）

C.15D.26

【答案】B

【详解】解：设中间两个正方形的边长分别为x、），，最大正方形E的边长为z,则由勾股定理得：

2

x=3+5=8,/=2+3=5,Z2=X24-/=13,

即最大正方形£的面积为：?=13.

故选:B.

2.下图是“毕达哥拉斯树〃的“生长〃过程：如图①，一个边长为。的正方形，经过第一次“生长”后在它的上

侧长出两个小正方形，且三个正方形所围成的三角形是直角三角形；再经过一次“生长〃后变成了图②；如

此纬续"生长"下去，则第2015次“生长〃后，这棵“毕达哥拉斯树〃上所有正方形的面积和为.

图①图②

【答案】2016a2

【详解】解：生长之前面积设为S。,第〃次“生长”后的面积为天,

ISQ—a

S,=cr+cr=2a1,

Si=2a~+ci2=3a",

sa=(〃+i)/,

当〃=2015时，S200G=(2015+1”。=2016c/；

故答案为：2016a?.

3.（2025・河北廊坊•一模）观察下列等式:

22222

第1个等式（2-1）+4=（2+1）

22222

第2个等式（3-1）+6=（3+1）

第3个等式（4—）"=（——丫

22222

第4个等式（5-1）+10=（5+1）

..

（1）补充上述表格.

发现：

（2）请用含〃（〃为正整数，且〃>1）的等式表示上述规律：

应用：

（3）若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如：3,4,5）.现有一个直角边

为14的直角三角形，它的三边长为勾股数，请求这个直角三角形的面积.

【详解】解：（1）补充上述表格，百-日+8?=02+1）-

故答案为：42+1;

（2）用含〃（«为正整数，且〃>1）的等式表示上述规律：（T:2-1）2+（2/02=（/22+1）2,

故答案为:（"一炉+⑵汽

（3）由（2）中规律（〃2叫2+⑵）2=（4+1）2,

则存在以1-I、2〃为直角边，"+1为斜边的直角三角形，

・•・当有一个直角边为14的直角三角形时，它的三边长为勾股数，可得2〃=14,解得〃=7,

••・直角三角形的另一个直角边是72-1=48，

则这个直角三角形的面积为gxl4x48=336.

4.如图1,四边形ACQE是证明勾股定理时用到的一个图形，61,'c是8△ABC和RtZ\B£Q边长，易知

2

4E=缶，这时我们把关于X的形如ax+42cx+b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程

请解决卜列问题:

E

C

⑴写出一个“勾系一元二次方程〃；

⑵求证：关于工的“勾系一元二次方程"江+忘3+〃=0必有实数根；

⑶如图1,若4-1是“勾系一元二次方程”北+及以.+〃=o的一个根，且四边形4COE的周长是6拒，求

VA8C面积；

⑷如图2,V48C的三边分别为a,b,c,N8C4=60。，且2b>a.求证：关于x的一元二次方程

底1+2拒ex+2）一“=0必,有实数根.

【详解】（1）解：当。=3,力=4,c=5时勾系一元二次方程为3f+5缶+4=0；

（2）证明：ax2+42cx+b=0^

囹△=（V5c）-4ab=2c2-4ab,

+b2=C2»

团2/-4ab=2（a2+b2）-4ab=2（a-by>0

0A>（）,

团勾系•元二次方程以2+夜5+方=0必有实数根；

（3）'与x=-1时，ha—xf2c+/?=0>I'Pa+b=>/2c»

回四边形ACDE的周长是6应，

⑦2a+2b+伍=6丘,B[j2（a+b）+\[lc=6\f2,

回皿=6及，

团c=2,

0+Z>2=c2=4>a+b=2\/2»

0（c+Z>）2=a2+b2+2ab,

回（2夜丫=4+2帅

团而=2,

田S.ABc=gab=L

(4)如图，⑦力>〃，ZBCA=6C^,过8作8OJ.AC于"，

21

^CD=-BC=-atBD=^BC-CD=—a,。在线段AC上,

222

nf73Y(h1V，

团—a+b—a=c",

12JI2J

团a，+b2-ab=c2，

0#)ax'+l4lcx+2/?—〃=0,

0A=(2>/2cj-4xGa(2〃-a)

=85-8岛6+4岛2

=8(6+〃一")一8岛b+4岛2

=2(4+2@"-2(4+4同他+2x4〃

=2收+1)2tz2-2(x/3+l)«-2/?+|2/?)2

=2(石+1卜-2可、0,

团关于x的一元二次方程GaF+2Gtex+2b—a=()必有实数根.

题型三：利用勾股定理求最短路径

【中考母题溯源■学方法】

【典例2-1】将军饮马问题

（2024•四川成都•中考真题）如图，在平面直角坐标系宜万中，已知A（3,0）,8（0,2）,过点〃作V轴的垂线

/,P为直线/上一动点，连接尸。，PA,则PO+尸4的最小值为.

【答案】5

【详解】解：取点A关于直线/的对称点A,连A0交直线/J.•点C,连AC,

则可知4C=A'C,AfA±l,

^PO+PA=PO+PA>AO,

即当O,P,A三点共线时，PO+PA的最小值为40,

团直线/垂直于y轴，

(3AN_Lx轴，

04(3,0),8(0,2),

团4。=3,44'=4,

团在RSA'AO中，

AO=>]O^+AA>2=>/32+42=5,

【典例2-2](2025•青海西宁•三模)参照例题解决问题

例题：求jY+9+J(7-xy+16的最小值

求解：如图所示在中由3可看成是直角边分别为x和3的直角三角形斜边AC的长度，延长

到D，使得40=7,则C。为7—x,以点。为直角构造RtVDCE,使得DE=4,可得CE=+16,

过点石作坊_LA4交的延长线于点立此时△/1/芯为直角三角形，四边形尸为矩形，连结人£交8。

于点G，当x等于BG时，必3+，（7-力2+|6最小,此时最小值.七="方=7五

⑴直接写出x/774+7（8-A-）2+16的最小值为

⑵请求出7774+“8-力2+16的值最小时x的值.

【详解】（1）解：如下图所示，

在n△A8C中，V7+4可看成是直角边分别为x和2的宜角三角形的斜边4c的长度,

延长6r到。.使得B£）=8.则a）为8-工，

以点。为直角构造RtVQCE,使得OE=4,可得CE=J（87『+16,

过点E作石产_148交人8的延长线的垂线交于点F,

此时八4庄为直角三角形，四边形双九行为矩形，

连结AE交30于点C.

^1AC+CE>AE,

团当点A、aE三点共线时，AC+CE最小，最小值为4E的长，

即当文等于8G时，4+4+J（8T）2+16最小,

此时最小值4E=J（2+4『+82=10，

故答案为：10;

（2）由（1）知，当x等J"G时，&+4+J（8-正16最小,

?AC,B彳定G。，ABG=?EDC90?,

\WAEDC，

、旦二空

DC,DE'

VAB=2.DE=4,8G=x,DCt=8-x,

\—

8-x4

Q

解得：X=1,经检验是原方程的解，

...炉二+J(8-4+16的值最小时X的值为g.

【变式2-1】将军饮马问题

(2025・四川遂宁•一模)如图，点E在等边VA8C的边BC上，BE=4,射线C0_L8C,垂足为点C,点P是

射线。。上一动点，点r是线段上一动点，当EP+FP的值最小时，BF=5.则配+FP这个最小值是

()

A.9B.10C.5GD.3石

【答案】C

【详解】解：作七点关于C。的对称点£，过F作£尸_1_/\4交A4于点凡交C。于